Muirhead-Rado 不等式、1 向量优超与排列多面体
The Muirhead-Rado inequality, 1 Vector majorization and the permutohedron
AI总结：
本文证明了向量优超的等价刻画：$\mathbf{b} \preceq \mathbf{a}$ 当且仅当存在双随机矩阵 $P$ 使 $P\mathbf{a}=\mathbf{b}$，当且仅当 $\mathbf{b}$ 位于由 $\mathbf{a}$ 生成的排列多面体中。
摘要：
设 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 为 $\mathbf{R}^n$ 中坐标非负的向量。通过置换坐标，可假设 $a_1 \geq \cdots \geq a_n$ 且 $b_1 \geq \cdots \geq b_n$。若 $\sum_{i=1}^n b_i = \sum_{i=1}^n a_i$ 且对所有 $k \in \{1,\ldots,n-1\}$ 有 $\sum_{i=1}^k b_i \leq \sum_{i=1}^k a_i$，则称向量 $\mathbf{a}$ 优超向量 $\mathbf{b}$，记为 $\mathbf{b} \preceq \mathbf{a}$。本文证明了 Hardy-Littlewood-Pólya 和 Rado 的定理：$\mathbf{b} \preceq \mathbf{a}$ 当且仅当存在某个双随机矩阵 $P$ 使得 $P\mathbf{a} = \mathbf{b}$，当且仅当 $\mathbf{b}$ 属于由 $\mathbf{a}$ 生成的 $S_n$-排列多面体。
英文摘要：
Let $\mathbf{a}$ and $\mathbf{b}$ be vectors in $\mathbf{R}^n$ with nonnegative coordinates. Permuting the coordinates, we can assume that $a_1 \geq \cdots \geq a_n$ and $b_1 \geq \cdots \geq b_n$. The vector $\mathbf{a}$ majorizes the vector $\mathbf{b}$, denoted $\mathbf{b} \preceq \mathbf{a}$, if $\sum_{i=1}^n b_i = \sum_{i=1}^n a_i$ and $\sum_{i=1}^k b_i \leq \sum_{i=1}^k a_i$ for all $k \in \{1,\ldots,n-1\}$. This paper proves theorems of Hardy-Littlewood-Pólya and Rado that $\mathbf{b} \preceq \mathbf{a}$ if and only if $P\mathbf{a} = \mathbf{b}$ for some doubly stochastic matrix $P$ if and only if $\mathbf{b}$ is in the $S_n$-permutohedron generated by $\mathbf{a}$.
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