An x-ray estimate in $R^n$
Izabella Laba, Terence Tao
我们证明了一般尺寸的x射线估计，这是强于Kakeya估计沃尔夫。这推广了X射线估计在三维空间，这也是由于沃尔夫。
We prove an x-ray estimate in general dimension which is stronger than the Kakeya estimates of Wolff. This generalizes an x-ray estimate in three dimensions which is also due to Wolff.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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A refined trilinear Kakeya estimate in $\mathbb{R}^3$
本文证明了三维空间中改进的三线性 Kakeya 估计，适用于横截参数较小的情况。
A Kakeya maximal estimate for regulus strips
研究扭歪直线带的卡克亚型估计，通过证明其不相交对卡克亚猜想有改进，还建立了第一海森堡群中尼科迪姆型极大函数的\(L^p\)不等式。
New Kakeya estimates using Gromov's algebraic lemma
该研究针对Kakeya问题，先建立方向分离管无法在低次代数簇薄邻域聚集的几何不等式，据此得到新的多线性Kakeya估计，再转化为Kakeya极大函数估计，在多数维度下得到新的界。
Sharp bounds for multilinear curved Kakeya, restriction and oscillatory integral estimates away from the endpoint
我们重新审视多线性Kakeya，弯曲Kakeya，限制，和振荡积分的估计，得到的文件贝内特，Carbery，和作者使用热流单调性方法应用到一个分数笛卡儿积产品，连同归纳尺度的论点。对于某些比例因子$R$，这些估计值中的许多包含形式为$R^\varepsilon$（或$\log^{O(1)} R$）的损失。通过进一步发展热流方法，并将其直接应用于第一次的多线性曲线Kakeya和限制设置，我们能够消除这些损失，只要指数$p$远离端点。特别地，我们建立了远离端点的全局多线性约束估计，在超曲面上没有任何曲率假设。
New curved Kakeya estimates
研究\(\mathbb{R}^3\)中由曲线族构建的卡克亚集豪斯多夫维数新下界，结合沃尔夫发刷论证与新关联界，基于特定技术，超越多项式划分方法成果。
A family of fractal Fourier restriction estimates with implications on the Kakeya problem
在最近的一篇论文[Ann. of Math.189（2019），837- 861]中，Du和Zhang证明了一个分形傅里叶限制估计，并利用它建立了$\Bbb R^n$中薛定谔极大函数的尖锐$L^2$估计，$n \geq 2$。本文证明了Du-Zhang估计是一类分形约束估计族的端点，使得该族的每个成员（除原估计外）在$\Bbb R^n$中蕴涵一个与多项式Wolff公理密切相关的尖锐Kakeya结果.我们还证明了在$\Bbb R^2$中我们族的所有估计都是真的。
A bilinear approach to the restriction and Kakeya conjectures
双线性约束估计已经出现在Bourgain，Klainerman和Machedon的工作中。在本文中，我们开发的理论，这些估计（连同类似的Kakeya估计）。从而将Wolff的$(L^p,L^p)$球面限制定理从$p > 42/11$改进为$p > 34/9$，并得到了$q > 4 - 5/27$的一个精确的$(L^p,L^q)$球面限制定理.
Restriction and Kakeya maximal estimates in $\mathbb{R}^4$
该研究结合平面刷论证与解耦- incidence方法，推导出R^4中Fourier限制和Bochner-Riesz问题的新界，并获得维度3.054的凯凯ya极大估计。
A Kakeya maximal function estimate in four dimensions using planebrushes
本文提出平面刷这一新几何工具，在四维空间中改进了Kakeya极大函数估计，得到维度3.049的极大函数估计，并证明Besicovitch集合的Hausdorff维数至少为3.059。
Lifting curved Kakeya sets to linear Kakeya sets
本文证明弯曲Kakeya问题可提升为高维线性Kakeya问题，若经典猜想成立，则全维曲线族在Hörmander型族中稠密，并深化了对相关问题的理解。
New Kakeya estimates using the polynomial Wolff axioms
我们得到了Kakeya极大猜想在大多数维数$n<100$下的新的界，以及当$n=7$或$9$ .为此，我们考虑Guth和Zahl的加强制定的最大猜想，有关家庭的管，满足多项式沃尔夫公理。我们的研究结果给出了改进的估计，这种加强制定时，$n =5$或$n \geq 7$。
$L^p$-improving estimates for Radon-like operators and the Kakeya-Brascamp-Lieb inequality
本文考虑了中等维Radon-like算子的$L^p$改进不等式的建立问题（即，对于既不是曲线也不是超曲面的子流形上的平均）。由于现有方法的局限性，以前的结果在这方面是比较稀疏的，往往需要特殊的数值关系之间的维度$n$的环境空间和维度$k$的子流形。本文基于由Zhang建立并由Zorin-Kranich推广的Kakeya-Brascamp-Lieb不等式的连续形式，以及几何非集中不等式的最新结果，提出了一种新的解决方法.作为这一新方法的初步应用，本文对$k < n \leq 2k$范围内的一类模型二次子流形建立了严格的强型$L^p$ -改进不等式。
Finite field restriction estimates based on Kakeya maximal operator estimates
在有限域的设置，我们表明，限制猜想与任何一个大家庭的$d=2n+1$维二次曲面意味着$n+1$维Kakeya猜想（Dvir定理）。这包括$-1$ \emph{is}是正方形的有限域上的抛物面的情形。我们能够部分扭转这一含义使用尖锐的Kakeya最大算子估计Ellenberg，Oberlin和陶建立第一个有限域限制估计超出斯坦-托马斯指数在此设置。
Bounds for Kakeya-type maximal operators associated with k-planes
一个（d，k）集合是R^d的一个子集，包含每个k维平面的平移。Bourgain证明了对k个\geq k_{cr}（d），其中k_{cr}（d）解2^{ k_{cr} -1}+ k_{cr} = d，每个（d，k）集都有正的勒贝格测度.我们给出了这个结果的一个简短的证明，它允许相应的极大算子的改进的L^p估计，并表明，如果已知x射线变换的改进的混合范数估计，则可以获得较低的k_{cr}值。
Degree reduction and graininess for Kakeya-type sets in $\mathbb{R}^3$
令$\frak T$是$\mathbb{R}^3$中的一组长度为$N$、半径为1的圆柱形管。如果管的并集具有体积$N^{3 - σ}$，并且并集中的每个点位于指向三个数量上不同的方向的管中，并且如果技术假设成立，则在尺度$N^σ$下，管被聚集成尺寸为$1 \times N^σ\times N^σ$的矩形板。该估计推广了Katz-Laba-Tao证明的粒度估计。证明是基于建模与高次多项式管的工会。
Dimension estimates for Kakeya sets defined in an axiomatic setting
本文定义了一类度量空间中Kakeya集的推广。欧几里得空间中的Kakeya集是零勒贝格测度的集合，它在每个方向上都包含一个长度为1的线段。一个著名的猜想，被称为挂谷猜想，指出任何挂谷集的豪斯多夫维数应该等于空间的维数。它只在平面上得到了证明，而在高维上，几何和算术组合方法都被用来获得部分结果。本文的第一部分定义了满足一定公理的度量空间中的广义Kakeya集。这些使我们能够证明一些下界的豪斯多夫维数的广义Kakeya集使用两种方法介绍了在欧几里得上下文中的Bourgain和Wolff。有了这个抽象的设置，我们可以处理许多特殊情况下，在一个统一的方式，恢复一些已知的结果和证明新的。在第二部分中，我们介绍了各种应用。我们恢复一些已知的估计经典Kakeya和Nikodym集和弯曲Kakeya集。此外，我们证明了包含一段在一条直线上通过一个超平面的每一个点的集和（n-1）-可求长集的维数的下界。然后，我们显示尺寸估计Furstenberg型集（已经知道在平面上）和经典Kakeya集相对于一个度量，是均匀的非各向同性膨胀下，其中球是矩形盒的两侧平行于坐标轴。最后，我们证明了下界的经典有界Kakeya集和一个自然的修改，他们在卡诺群的步骤二，其第二层具有一个维度，如海森堡群。另一方面，如果维数大于1，我们表明我们不能使用这种方法。
Kakeya and Furstenberg problems for sticky sets of tubes
本文研究粘性管集的关联问题，证明了三维空间中满足凸Wolff公理的粘性管集的尖锐Furstenberg集估计，以及四维空间中相应的Kakeya集猜想。
New bounds on Kakeya problems
建立了Besicovitch集的Minkowski维数和豪斯多夫维数的新估计，并得到了Kakeya极大算子的新界.
Polynomial Wolff axioms and Kakeya-type estimates in $\mathbb{R}^4$
我们建立了新的线性和三线性的界限集合管$\mathbb{R}^4$，满足多项式沃尔夫公理。简而言之，如果平面的$δ$ -邻域中不能包含太多的管，则$δ$ -管的集合满足沃尔夫公理。如果在一个低次代数簇的$δ$ -邻域中不能包含太多的管，则管的集合满足多项式Wolff公理。首先，我们证明了如果$\mathbb{R}^4$中的一组$δ^{-3}$管满足多项式Wolff公理，则这些管的并必须具有至少$δ^{1-1/40}$的体积。我们还证明了一个更技术性的声明，这是类似于一个最大的功能估计在尺寸$3+1/40$。其次，证明了如果$\mathbb{R}^4$中的$δ^{-3}$管集合满足多项式Wolff公理，并且如果相交管的大多数三元组指向三个线性无关的方向，则管的并集的体积至少为$δ^{3/4}$ .同样，我们还证明了一个稍微技术性的声明，这是类似于一个最大的功能估计尺寸$3+1/4$。我们猜想，每个Kakeya集满足多项式沃尔夫公理，但我们无法证明这一点。如果我们的猜想是正确的，它意味着一个Kakeya极大函数估计在维度$3+1/40$，特别是这意味着每个Kakeya集在$\mathbb{R}^4$必须有豪斯多夫维数至少$3+1/40$。这将是对沃尔夫在1995年建立的当前最佳界限3的改进。
Volume estimates for unions of convex sets, and the Kakeya set conjecture in three dimensions
本文研究三维空间中具有限制性管集合的并集体积，证明其体积接近最大，并由此推出所有Kakeya集的Minkowski和Hausdorff维数均为3。
Quasisymmetric maps on Kakeya sets
我表明，$L^{p}-L^{q}$估计的Kakeya最大的功能产生的Kakeya集的共形尺寸的下限，和上限有多少准对称可以增加豪斯多夫维数的线段内Kakeya集。结合Wolff和Katz-Tao的$L^{p}-L^{q}$估计和本文的主要结果，证明了$\mathbb{R}^{n}$中Kakeya集的共形维数至少为$\max\{(n + 2)/2,(4n + 3)/7\}$ .而且，如果$f$是从Kakeya集$K \subset \mathbb{R}^{n}$到至多$n$维度量空间上的拟对称，则a.e. $K$中的线段最多有$\min\{2n/(n + 2),7n/(4n + 3)\}$维。Kakeya极大函数猜想意味着可以分别将边界改进为$n$和$1$。
A Bilinear Kakeya Inequality in the Heisenberg Group
本文在Heisenberg群中证明了双线性Kakeya不等式，并通过结合Pramanik、Yang和Zahl等人的技术，以及Zahl的工作引入新的广度假设，解决了欧几里得弯曲管中的尖锐估计问题。
Refined and microlocal Kakeya-Nikodym bounds for eigenfunctions in two dimensions
我们得到了二维本征函数的一些改进的本质上尖锐的Kakeya-Nikodym估计。我们得到这些通过证明更强的相关microlocal估计，涉及相空间的自然分解，是适应的测地流。
Some results in support of the Kakeya Conjecture
Besicovitch集是$\R^d$的一个子集，它在每个方向上都包含一个单位线段，著名的Kakeya猜想指出Besicovitch集应该具有全维数。我们提供了一些结果，在各种情况下支持这一猜想。我们的证明是简单的，目的是给一个直观的感觉的问题。例如，我们给出了一个非常简单的证明，包装和低盒计数维的任何贝西科维奇集至少是$(d+1)/2$（更好的估计可在文献中）。我们还研究了Kakeya猜想在Baire范畴下的“通有有效性”，并证明了典型的Besicovitch集具有满的上计盒维数.我们还研究了一个较弱的版本的Kakeya问题的单位线段被替换为半无限线。我们证明了这样的“半扩展Besicovitch集”有充分的Assouad维数。这可以被看作是一个（大大削弱的）版本的挂谷问题的完全解决方案。
Refined and Microlocal Kakeya-Nikodym Bounds of Eigenfunctions in Higher Dimensions
我们证明了本征函数和拟模的Kakeya-Nikodym界，这使作者的一个结果更加尖锐，并将其推广到高维。在以前的工作中，关键的中间步骤是证明这些估计的微局部版本，其中涉及这些模式的相空间分解基本上是不变的bicharteristic/测地流。在一个配套文件中，它会看到，这些尖锐的估计产生改进的$L^q(M)$边界上的特征函数的存在下，非正曲率时，$2 < q < \frac{2(d+1)}{d-1}$。
Strichartz Estimates for the Liouville Equation on Euclidean Tori and Applications to Kakeya
本文证明了平坦环面上自由Liouville方程解的时空密度ρ的Strichartz估计，在一维得到最优范围，在高维需加权重，并推测了最优估计范围，部分证明之，最后应用于X射线变换和Kakeya问题。
Refinements on the Restriction and Kakeya problems range in $\mathbb{R}^4$
通过证明两个两端点关联估计，改进了 $\mathbb{R}^4$ 中 Fourier 限制性与 Kakeya 极大估计的范围，并探讨了对 Kakeya 集维数下界和 Bochner--Riesz 猜想的影响。
On the Fourier dimension of $(d,k)$-sets and Kakeya sets with restricted directions
$(d,k)$ -集合是$\mathbb{R}^d$的一个子集，包含所有可能方向的$k$维单位球.使用D.~的方法Oberlin我们证明了各种紧$(d,k)$ -集的傅立叶维数估计。我们的主要兴趣是在限制$(d,k)$ -集，其中该集只包含一个有限的一组可能的取向$Γ$的单位球。在这种情况下，我们的估计依赖于豪斯多夫维数的$Γ$，有时可以得到改善，如果额外的几何性质的$Γ$假设。我们考虑锥，并证明在$\mathbb{R}^{d+1}$的锥具有傅立叶维数$d-1$，这可能是感兴趣的本身。
Curved Kakeya sets for generic phases in odd dimensions
本文将有限接触阶条件推广至任意奇数维，利用多项式方法证明了一般Hörmander相位下弯曲Kakeya集的Hausdorff维度超过经典压缩阈值，并改进了相关振荡积分估计。
Joints formed by lines and a $k$-plane, and a discrete estimate of Kakeya type
设$\mathcal{L}$是一个线族，$\mathcal{P}$是$\mathbb{F}^n$中的一个$k$平面族，其中$\mathbb{F}$是一个域。在我们的第一个结果中，我们证明了由$\mathcal{P}$中的$k$ -平面与$\mathcal{L}$中的$(n-k)$线一起形成的关节数是$O_n(|\mathcal{L}||\mathcal{P}|^{1/(n-k)}$）。这是涉及高维仿射子空间的关节的第一个尖锐的结果，并且它在任意域$\mathbb{F}$的设置中成立。相比之下，对于我们的第二个结果，我们在三维欧氏空间$\mathbb{R}^3$中工作，并且我们建立了Kakeya型估计\begin{equation*}\sum_{x \in J} \left(\sum_{\ell \in \mathcal{L}} χ_\ell(x)\right)^{3/2} \lesssim |\mathcal{L}|^{3/2}\end{equation*}，其中$J$是由$\mathcal{L}$形成的关节的集合;这样的估计在任意字段的设置中失败。这一结果加强了已知的关节估计，包括计算多重性的估计。此外，我们的技术产生了显着的结构信息，准极值这个不平等。
An improved restriction estimate in $\mathbb{R}^3$
基于一些Kakeya型关联估计和精化解耦定理，我们将$\mathbb{R}^3$中的$L^{p}\rightarrow L^p$约束估计改进到范围$p>3+3/14$.
Sharp microlocal Kakeya--Nikodym estimates for eigenfunctions with applications
本文扩展了Blair-Sogge特征函数的微局Kakeya-Nikodym界，适用于更广的指数范围，并在常曲率流形上引入新的各向异性范数，从而改进了Hecke-Maass形式在紧致双曲3流形上的L^p界。
Kakeya Sets in Cantor directions
我们构造了一个由N个平行四边形组成的并集，这些平行四边形在平面上的维数约为1/N x 1，它们的长边的斜率在标准康托尔集中。并集的面积为1/log N，而双精度数的并集的面积为log log N/ log N。特别地，这意味着对于任何不同于无穷大的p，L^p中的相关极大算子是无界的。这种构造是通过随机化第二作者在L^2情况下的早期构造来实现的。证明该结构满足所需的条件是由初等估计理论的渗透树发展的R。里昂
A new bound on partial sum-sets and difference-sets, and applications to the Kakeya conjecture
设$A, B$是阿贝尔群的有限子集，且$G \subset A \times B$使得$# A, # B, # \{a+b: (a,b) \in G \} \leq N$。我们考虑估计量$# \{a-b: (a,b) \in G \}$的问题。最近Bourgain将$N^2$的平凡上界改进为$N^{2-1/13}$，并将其应用于Kakeya猜想.进一步改进了Bourgain的估计，得到了$N^{2-1/6}$的进一步改进，如果我们也知道$# \{a+2b: (a,b) \in G\} \leq N$ .我们得出结论，$\R^n$中的Besicovitch集的Hausdorff维度至少为6 n/11+5/11，Minkowski维度至少为$4n/7 + 3/7$。这是$n > 8$的新功能。
Cellular Maximal-Density Factoring: Joint Shadings, Stable Refinements, and a Conditional Kakeya Application
针对Guth–Wang–Zahl三维Kakeya简化证明的两处缺陷，提出细胞联合极大密度分解方法修正，完成关键估计与链推导，证明对应幂为尖锐值。
P-adic Curved Kakeya Sets, Projection Theorem and Covering Numbers
本文证明了 p-adic 域上弯曲 Kakeya 集的 Hausdorff 维数下界，并建立了投影定理与覆盖数比较，核心方法为多项式到线提升映射与素数幂 Kakeya 估计。
Sharp refined-direction Kakeya estimates in finite Heisenberg groups
本文针对有限海森堡群，证明了尖锐富方向Kakeya估计，确定了对应ℓᵘ→ℓᵛ估计中q的尖锐指数，证明结合多项式方法与重数及仿射辛群作用的概率覆盖论证。
Twisted Hilbert transforms vs Kakeya sets of directions
给定离散群$\G$和正交作用$γ: \G \to O(n)$，研究了频率支撑在半直积$\R^n \rtimes_γ\G$上的Fourier积分的$L_p$收敛性.给定单位$u \in \R^n$和$1 < p \neq 2 < \infty$，我们的主要结果表明：扭曲（方向）Hilbert变换$H_u \rtimes_γid_\G$是$L_p$有界的当且仅当轨道$\mathcal{O}_γ(u)$是有限的.这与扭曲Riesz变换$R_u \rtimes_γid_\G$形成鲜明对比，扭曲Riesz变换总是有界的。我们的结果刻画了这类群在$L_p$中的Fourier可和性。我们还扩展了de Leeuw的紧化定理，以这种设置，并获得更强的估计功能与“缺”的频率支持。
An elementary approach to certain bilinear estimates
我们证明了L2 × L2弱L1估计的一些新的双线性极大算子的Kakeya和缺型，从而扩展到这个设置，科尔多瓦和Nagel，Stein和Wainger的作品。
On Kakeya-Nikodym averages, $L^p$-norms and lower bounds for nodal sets of eigenfunctions in higher dimensions
我们将第二作者\cite [定理1.1]{soggekaknik}的结果推广到维数$d \geq 3$，它将$2<p<\frac{2(d+1)}{d-1}$的本征函数的$L^p$ -范数的大小与收缩管中关于单位长度测地线的$L^2$ -质量的量联系起来。证明使用双线性振荡积分估计李\cite{leebilinear}和一个可变系数变量的“$\veps$删除引理”陶和巴尔加斯\cite{tv1}。我们还使用Hörmander的\cite{HorOsc} $L^2$振荡积分定理和Cartan-Hadamard定理表明，在非正曲率的假设下，特征函数$e_\la$的$L^2$ -范数在宽度为$\la^{-\frac12}$的单位长度管上趋于零。使用我们的主要估计，我们推断，在这种情况下，$L^p$规范的本征函数的上述范围内的指数是相对较小的。其结果是，我们可以稍微改善已知的下界节点集的尺寸$d\ge3$的Colding和Minicozzi \cite{CM}在特殊情况下（可变）非正曲率。
On the Hilbert Transform and $C^{1+\ze}$ Families of Lines
这篇论文已经被撤回了。Kakeya极大函数的Lipschitz变式的一个重要估计有一个不完全的证明。
Improved Fourier restriction estimates in higher dimensions
我们认为古斯的方法通过多项式分割的傅立叶限制问题。通过写出他的归纳论证作为一个递归算法，并引入新的几何信息，被称为多项式沃尔夫公理，我们得到改进的限制猜想的界限，特别是在高维。的Kakeya猜想的后果也被认为是。
Heisenberg Hausdorff dimension of Besicovitch sets
我们认为（有界）Besicovitch集的海森堡群，并证明了$L^p$估计的Kakeya极大函数意味着其海森堡豪斯多夫维数的下界。
Dimension Estimates on Circular $(s,t)$-Furstenberg Sets
本文证明了$\mathbb R^2$中的循环$(s,t)$-Furstenberg集的豪斯多夫维数至少为$$\max\{\frac{t}3+s,(2t+1)s-t\} \text{ for all $0<s,t\le 1$}.$$.这个结果推广了Wolff关于循环Kakeya集的维数估计.
On the restriction theorem for paraboloid in $\mathbb R^4$
我们证明，最近打破由Zahl的$\frac32$障碍沃尔夫的Kakeya最大的运营商在$\mathbb R^4$的估计导致改善$\frac{14}{5}$阈值的抛物面的限制问题在$\mathbb R^4$。其中一个成分是一个新的三线性估计。证明是故意在一个非技术性和简洁的格式，以使论点更具可读性和重点关注的关键工具。
Bounds on oscillatory integral operators based on multilinear estimates
我们应用Bennett-Carbery-Tao多线性约束估计来约束算子和更一般的振荡积分算子。我们得到了改进的L^p估计在Stein限制问题的尺寸至少为5和一个小的改进，在3维。当相函数中的二次项为正定时，我们证明了Hormander型振荡积分算子的类似估计，在维数至少为5的情况下得到了改进。我们还证明了估计Hormander型振荡积分运营商在偶数维。这些最后的振荡估计有关的改进边界的尺寸弯曲Kakeya集在偶数维。
A discretized Severi-type theorem with applications to harmonic analysis
在1901年，塞维里证明，如果$Z$是一个不可约超曲面在$\mathbb{P}^4(\mathbb{C})$，其中包含一个三维的一组线，那么$Z$是一个二次超曲面或涡卷的飞机。我们证明了一个离散化版本的超曲面在$\mathbb{R}^4$。作为应用，我们证明了$\mathbb{R}^4$中低次超曲面的$δ$ -邻域中至多包含$δ^{-2-\varepsilon}$方向分离的$δ$ -管.这一结果导致改进的限制和Kakeya问题在$\mathbb{R}^4$的界限。结合Guth和作者以前的工作，这个结果意味着在维数$3+1/28$上的Kakeya极大函数估计，这是对Wolff以前的$3$界的改进.证明了$\mathbb{R}^4$中的Besicovitch集的豪斯多夫维数至少为$3+1/28$ .最近，德米特表明，任何改进沃尔夫界的Kakeya极大函数产生新的界限上的限制问题的抛物面$\mathbb{R}^4$。
Refined size estimates for Furstenberg sets via Hausdorff measures: a survey of some recent results
本文收集和讨论了关于所谓的“Furstenberg集问题”的一些最新结果，该问题的经典形式涉及平面集的豪斯多夫维数的估计，该平面集在任意方向上包含一个在该方向上具有某个规定维数的区间点的子集。这个问题与“挂谷针问题”密切相关。在这项工作中，我们从一个更一般的角度来处理这个问题，在广义Hausdorff措施与维函数。我们推广了已知的结果的“对数间隙”，并获得类似的经典估计。此外，这些类似物允许我们将我们的结果扩展到零维端点。我们还得到了关于定义为分形方向集的Furstenberg集的变化的维数的结果。我们证明了类似的不等式，反映了一组方向的大小和每个纤维的大小之间的相互作用。这个问题也研究了一般情况下的Hausdorff措施。
Sharp $L^2$ estimate of Schrödinger maximal function in higher dimensions
我们证明了，对于$n\geq 3$，只要$s>\frac{n}{2(n+1)}$成立，则对于所有$f \in H^s (\mathbb{R}^n)$，$\lim_{t \to 0} e^{itΔ}f(x) = f(x)$几乎处处成立。由于Bourgain的一个反例，直到端点，这个结果是尖锐的，完全解决了Carleson提出的一个问题。我们的主要定理是一个分形$L^2$限制估计，它也改进了Schr dinger解的发散集的大小，Falconer距离集问题和分形测度的球平均Fourier衰减率.证明的关键成分包括多线性Kakeya估计，解耦和归纳尺度。
Restriction estimates using decoupling theorems and two-ends Furstenberg inequalities
本文提出利用 decoupling 定理与 two-ends Furstenberg 不等式研究限制性猜想，并给出一个蕴含该猜想的 two-ends Furstenberg 猜想，在平面上予以证明，进而推导出三维 $p>22/7$ 的限制性估计及高维改进。
Uniform estimates for the X-ray transform restricted to polynomial curves
我们建立了近似最优的混合范数估计的X射线变换限制到多项式曲线的权重是仿射弧长的幂。我们建立的边界仅取决于空间维度和多项式的次数。我们的一些结果是新的，即使在良好的弯曲的情况下。
Two bounds for the x-ray transform
我们使用Katz和Tao的算术组合方法给出了当d \geq 4时R^d上x射线变换的混合范数估计。作为应用，我们得到了（d，k）集的豪斯多夫维数的一个改进的估计，（d，k）集是R^d的包含每个k-平面平移的子集.
Sharp endpoint estimates for the $X$-ray transform and the Radon transform in finite fields
本文建立了有限域中$X$射线变换和Radon变换的$L^p-L^r$估计.
Dimensions of sets which uniformly avoid arithmetic progressions
我们提供的$\mathbb{R}$，一致避免有限的等差数列的尺寸集的估计。更确切地说，如果存在$ε>0$使得在$F$的$εΔ$邻域内不能找到长度$k$和间隙长度$Δ>0$的算术级数，则我们说$F$一致地避免长度$k \geq 3$的等差数列。我们的主要结果是一个明确的上界的Assouad（从而Hausdorff）维数的$k$和$ε$等集。在另一个方向，我们提供的例子集，一致避免等差数列的一个给定的长度，但仍然有相对较大的Hausdorff维数。我们也考虑这些问题的高维类似物，其中等差数列被替换为算术补丁躺在一个超平面。因此，我们得到一个离散化版本的“反向Kakeya问题”：我们表明，如果一组$\mathbb{R}^d$的尺寸是足够大的，那么它密切接近等差数列在每个方向。
A new fractal dimension: The topological Hausdorff dimension
本文引入度量空间的一个新的维数概念，即拓扑豪斯多夫维数。它是由拓扑维数和豪斯多夫维数的定义的非常自然的组合定义的。拓扑豪斯多夫维数的值总是介于拓扑维数和豪斯多夫维数之间，特别地，这个新维数是豪斯多夫维数的一个非平凡的下估计.我们研究了这个新的维数概念的基本性质，将它与其他著名的维数概念进行了比较，确定了它对于Sierpinski地毯，von Koch雪花曲线，Kakeya集，布朗运动的轨迹等经典分形的值。作为我们的第一个应用，我们推广了Chayes的著名结果，Chayes和Durrett关于Mandelbrot分形渗流过程极限集连通性的相变。他们证明，某些曲线出现在极限集时，通过一个关键的概率，我们证明，实际上“厚”家庭的曲线出现，其中粗略地说，这个词厚的意思是曲线可以参数化的自然方式由一组大豪斯多夫维数。证明这一点基本上是一个较低的估计拓扑豪斯多夫维数的极限集。为了完备性，我们还给出了一个上估计，并得出结论：在非平凡情形下，拓扑豪斯多夫维数几乎必然严格小于豪斯多夫维数.最后，作为我们的第二个应用，我们证明了拓扑豪斯多夫维数是正确的概念来描述一般连续函数（在Baire范畴的意义下）的水平集的豪斯多夫维数定义在一个紧凑的度量空间。
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