P-adic 弯曲 Kakeya 集、投影定理与覆盖数
P-adic Curved Kakeya Sets, Projection Theorem and Covering Numbers
- National University of Singapore（新加坡国立大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
AI总结：
本文证明了 p-adic 域上弯曲 Kakeya 集的 Hausdorff 维数下界，并建立了投影定理与覆盖数比较，核心方法为多项式到线提升映射与素数幂 Kakeya 估计。
AI中文摘要：
设 $n,d\geq1$，并假设 $E\subset \mathbb{Q}_p^n$ 在非空集合 $V\subset\mathbb{P}^{n-1}(\mathbb{Q}_p)$ 的每个主方向上都包含 $\mathbb{Z}_p$ 的 $d$ 次多项式像。我们证明了锐界 $\dim_H E\geq\dim_H V+1$。对于联合块值多项式求值，总入射维数至少为像维数的上确界加一。对于解析系数集，Haar 几乎每个求值都达到此上确界，并且我们给出了像维数下降的参数集的 Hausdorff 维数界。对于有界系数集和任意固定的各向异性块尺度，我们证明了与公共 Haar 零例外集的数量覆盖比较。在此集合之外，每个求值的覆盖数支配任何紧致参考球上的最大值，在所有足够小的尺度上允许任意正幂损失。证明使用了 Nadjimzadah 的多项式到线提升映射，以及 Dhar 的素数幂 Kakeya 集估计和由此导出的管极大不等式。
英文摘要：
Let $n,d\geq1$, and suppose that $E\subset \mathbb{Q}_p^n$ contains a degree-$d$ polynomial image of $\mathbb{Z}_p$ in every leading direction of a nonempty set $V\subset\mathbb{P}^{n-1}(\mathbb{Q}_p)$. We prove the sharp bound $\dim_H E\geq\dim_H V+1$. For joint block-valued polynomial evaluations, the total incidence dimension is at least one plus the supremum of the image dimensions. For analytic coefficient sets, Haar-almost every evaluation attains this supremum, and we bound the Hausdorff dimension of the parameters where the image dimension drops. For bounded coefficient sets and arbitrary fixed anisotropic block scales, we prove a quantitative covering comparison with a common Haar-null exceptional set. Outside this set, each evaluation's covering number dominates the maximum over any compact reference ball, up to any positive power loss at all sufficiently small scales. The proofs use the polynomial-to-line lifting map due to Nadjimzadah, together with Dhar's prime-power Kakeya set estimate and a tube maximal inequality derived from it.
