A counterexample to the rigidity conjecture for rings
Raymond C. Heitmann
构造了一个局部环和一个模的有限型和有限的投射维数的环，使模块是不刚性的。这表明刚性猜想是错误的。
An example is constructed of a local ring and a module of finite type and finite projective dimension over that ring such that the module is not rigid. This shows that the rigidity conjecture is false.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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A counterexample to the localization problem for AB rings
该研究构造了一个1维完全局部Gorenstein环的反例，证明AB环的局部化不一定为AB环，否定了Huneke与Jorgensen提出的相关问题。
A counterexample to the Hermite ring conjecture
该研究构造出多项式环上非基环扩张的稳定自由模，给出埃尔米特环猜想的反例，推进了相关代数理论研究。
A Counterexample to Problem 19 on Integer-valued Polynomial Rings
针对Cahen等人关于整值多项式环的平坦性与自由性的问题19，通过构造一个二元域上的二维诺特局部整环D，并证明D上的整值多项式环作为D-模不是平坦的，从而给出否定回答。
Rigidity of Ext and Tor with coefficients in residue fields of a commutative noetherian ring
设p是交换诺特环R中的素理想。证明了：若R-模M对n个\geq dim R_p满足Tor ^R_n（k（p），M）= 0，其中k（p）是p处的剩余域，则Tor ^R_i（k（p），M）= 0对所有i个\geq n成立.证明了关于Ext_R ^*（k（p），M）的相似刚性结果，并探讨了其在同调维数理论中的应用.
On the (non)rigidity of the Frobenius Endomorphism over Gorenstein Rings
众所周知，对于一大类具有正特征的局部环，包括完全交环，Frobenius自同态可以作为有限投射维数的一个检验.在本文中，我们利用这一性质来研究这类环的结构。我们的一个结果表明，这样的环$R$的穿孔谱的Picard群不能有$p$ -挠。当$R$是一个局部完全相交，这恢复（与纯粹的局部代数证明）一个类似的声明完全相交的射影空间首先在SGA和特殊情况下的猜想由Gabber。我们的方法也导致许多简单的例子，刚性的Frobenius自同态不成立，即使当环Gorenstein与孤立奇点。这与完全相交环的情况形成鲜明对比。最后讨论了有限长有限投射维数模的一个相关长度准则。
More Counterexamples to the Unit Conjecture for Group Rings
将Giles Gardam的一个具体反例的发现推广到Kaplansky单位猜想的特征2中，给出了每一个素特征的一族反例。
Reflexivity and rigidity for complexes. I. Commutative rings
引入并研究了交换诺特环R上任意半对偶复形C的刚性概念。主要结果之一是C-刚性配合物的性质。专门的情况下，当C是相对对偶复的同态环的有限Gorenstein维数，它导致广泛的推广定理Yekutieli和张关于刚性对偶复，在意义上的范登伯格。一路上，一些新的结果，关于C导出的自反性建立。值得注意的是，导出的C-自反性是一个局部性质;它意味着一个有限R-模M在R上有有限G-维数，如果它局部有有限G-维数。
Toric rings, inseparability and rigidity
本文提供了无穷小变形的基本代数背景，并证明了一个著名的事实，即$K$ -代数$R$的非平凡无穷小变形是由$R$的余切模$T^1(R)$的元素参数化的。本文主要研究复曲面环的变形，在$R$是复曲面环的情况下，给出了$T^1(R)$的一个显式描述.特别是，我们感兴趣的是保持复曲面结构的无障碍变形。这种变形我们称之为分离。不允许任何分离的复曲面环称为不可分环。我们将这一理论应用到有限图的边环上。凸四角图的坐标环可以看作一类特殊的二部图的边环。证明了任何凸四角形的坐标环都是不可分的。引入了半刚性的概念，给出了边环为半刚性的图的组合刻画。结果表明，对于$m-k=k=3$，$G_{k,m-k}$不是刚性的，而对于$m-k\geq k\geq 4$，$G_{k,m-k}$是刚性的。这里$G_{k,m-k}$是去掉一条边的完全二部图$K_{m-k,k}$。
On the rigidity of symbolic powers
讨论了正则环上符号幂的刚性猜想。”这是Huneke问的。随着我们的研究，我们证实了一个猜想[7，猜想3.8]。
A finite separating set for Daigle and Freudenburg's counterexample to Hilbert's Fourteenth Problem
本文给出了在一个非双生成的不变环中有限分离集的第一个显式例子，即关于希尔伯特第十四问题的Daigle和Freudenburg的五维反例.
A counterexample to a conjecture of Ding
给出了S. Ding关于Gorenstein局部环的指数，给出了嵌入维3的指数为5且广义Löewy长度为6的一维局部完全交的几个例子.
Complexity and rigidity of Ulrich modules, and some applications
本文研究 Ulrich 模作为测试模的可行性，证明 CM 局部环上的 Ulrich 模具有极大复杂性和曲率，给出局部环的新刻画，并探讨其 Tor 刚性性质。
Counterexamples to Peskine-Szpiro's conjecture on modules of finite projective dimension
该研究针对诺特局部环上有限投射维数模的Peskine-Szpiro同调猜想，给出反例并证明其中的维数不等式、强相交猜想和等级猜想在一般情况下不成立。
Serre's condition for tensor products and $n$-Tor-rigidity of modules
本文研究了交换Noether局部环上模的张量积的Serre条件$(S_n)$。本文旨在说明以下几点。设$M$和$N$是交换Noether局部环$R$上的非生成模，其中任一环是$(n+1)$ -Tor-刚性的.如果张量积$M \otimes_R N$满足$(S_{n+1})$，则在某些假设下，对所有$i \ge 1$都有$\mathrm{Tor}_{i}^R(M, N) = 0$。其中起关键作用的是模块的$(n+1)$ -Tor-rigidity。作为应用，我们将证明该结果恢复了几个已知的结果。
On the rigidity of certain Pham-Brieskorn rings
修复特征为零的字段$k$。若$a_1, ..., a_n$（$n>2$）为正整数，则整环$B = k[X_1, ..., X_n] / ( X_1^{a_1} + ... + X_n^{a_n} )$称为Pham-Brieskorn环.证明了如果所有$i$的$a_i > 1$和至多一个$i$的$a_i=2$，则$B$是刚性的。（如果唯一的局部幂零导子$D: B \to B$是零导子，则称环$B$是刚性的。）给出了该猜想的部分结果。
A study of the cohomological rigidity property
本文在Luk和Yau，Huneke和Wiegand的工作的启发下，研究了交换诺特环上模的张量积的上同调刚性性质.本文确定了张量积的局部上同调模的消失蕴涵所有下同调模的消失的条件，并得到了张量积的局部上同调模与Tate同调之间的新联系.我们的论证给出了模的张量积的深度的界，以及完备交环上模的自由度的准则。同时，我们还给出了光滑完备交上向量丛的分裂准则。
Primary Decomposition in Boolean Rings
学习关于理想的准素分解的拉斯克-诺特定理的学生可能想看一个不具有准素分解的理想（必须在非诺特环中）的例子。最著名的反例是在Atiyah和MacDonald的交换代数课本中的一个练习中提到的。它涉及到一个紧凑的T2空间上的连续实值函数的环，和细节需要使用Urysohn引理从拓扑。在这篇文章中，我们通过在集合X的幂集P（X）中找到一个纯代数反例来消除与拓扑的不必要的联系，这是一个布尔环。在此过程中，我们确定了P（X）中哪些主理想具有准素分解，并证明了更一般的布尔环中理想分解的一些相关结果。
Infinite prime avoidance
研究了交换环中任意一组素理想的素回避问题。给出了素数回避的各种必要和/或充分条件，从而得到满足素数回避的无穷素数集的自然类。在整个过程中给出了例子和反例来说明可能发生的现象。作为一个应用，我们展示了如何使用避免素构造反例之间的环本质上是有限型。
A Counterexample to Bhatt-Lurie's Cohomological Dimension Conjecture
通过Datta-Smith构造的非优良离散赋值环，给出了Bhatt-Lurie关于正则局部环Hodge-Tate轨迹上同调维数猜想的一个反例，并说明在优良性假设下该猜想成立。
Counterexamples to local monomialization in positive characteristic
本文研究了优良局部环上分歧的双有理性质。我们给出了一个例子表明，局部单项式（和弱局部单项式）可以失败的扩展代数局部环的代数函数域的尺寸大于大于或等于2沿一个领域的正特征的估值。作者在较早的时候证明了局部单值化在特征零代数函数域中成立。
Topological rigidity as a monoidal equivalence
一个拓扑交换环被称为刚性的，当对每个集合$X$，环的$X$ -fold拓扑积的拓扑对偶同构于$X$上的自由模。例子是具有环拓扑的域、离散环和赋范代数。刚性转化为自由模范畴和“拓扑自由”模范畴之间的对偶等价，并且，对于后者，利用适当的拓扑张量积，人们证明它提升为这个范畴中的幺半群（某些适当广义的拓扑代数）和余代数之间的等价。特别是，我们提供了一个描述它与代数和余代数之间的标准对偶，即有限对偶的关系。
Pure dimension and counterexamples to the maximality of purely-primes
该研究通过高级AI模型构造出反例，证明存在含纯素理想却非纯极大理想的交换环，反驳了Tarizadeh的猜想5.8。
The equality I^2=QI in Buchsbaum rings with multiplicity two
设A是具有极大理想m的Buchsbaum局部环，e（A）表示A的重数.设Q是A中的参数理想，设I=Q：m。那么等式I^2=QI成立，如果e（A）=2且深度A>0。这个断言不再为真，除非e（A）=2。给出了反例。
Product decompositions of moment-angle manifolds and $B$-rigidity
一个简单的多面体$P$称为$B$ -刚性的，如果它的组合类型由$P$上的矩角流形$\mathcal{Z}_P$的上同调环决定。我们表明，任何张量积分解的上同调环是几何实现的产品分解的时刻，角度流形的等变同构。作为应用，我们发现$B$ -刚性多面体在乘积下是封闭的，推广了环面拓扑文献中的一些最近结果。代数上，我们的证明建立了一个Gorenstein Stanley-Reisner环的Koszul同调允许一个非平凡的张量积分解当且仅当底层的单纯复形分解为一个完整的子复形的连接。
Counterexamples to Minkowski-type inequalities and the Rees converse for modules via mixed Buchsbaum-Rim Multiplicities
本文构造混合Buchsbaum-Rim重数，证明其系数乘积公式，给出Minkowski型不等式等失效的反例，明确一维情形下Rees逆命题不成立，仅在特定条件下成立，并提出高维逆命题问题。
Cohomological rigidity for toric Fano manifolds of small dimensions or large Picard numbers
复曲面流形的上同调刚性问题是关于复曲面流形是否是同构的（或同胚的），如果它们的积分上同调环是同构的。已得到许多肯定的部分解决方案的问题，没有反例是已知的。本文研究复曲面Fano $d$ -折叠与$d=3,4$或与Picard数$\ge 2d-2$的同构分类.特别地，我们证明了除了两个复曲面Fano $4$ -褶皱之外的流形是复纯的，如果它们的积分上同调环是同构的.例外的两个环面Fano $4$ -折叠（它们的ID号是50和57在一个列表上的Bubro）有同构的上同调环和它们的总庞特里亚金类保持在它们的上同调环之间的同构下，但我们不知道它们是同构的还是同胚的。
A counterexample to strong local monomialization in a tower of two independent defect Artin-Schreier extensions
我们给出了一个例子的扩展的二维正则局部环在一个塔的两个独立的缺陷的Artin-Schreier扩展的强局部单单性不成立。
Rigidity of Ext and Tor via flat-cotorsion theory
本文利用 Nakamura 和 Thompson 建立的极小半平坦-余挠替换，将 Ext 刚性结果中 n 的下界降至 dim R，并改进 Tor-刚性结论。
An Explicit Five-Variable Counterexample to the Generalized Vanishing Conjecture
该研究构造了多项式环中的显式五变量反例，证明广义消失猜想在5维时不成立，其灵感来自SU(2)的Mathieu猜想反例。
Nonvanishing cohomology and classes of Gorenstein rings
我们给出Auslander猜想的反例：给定Artin代数$Λ$上的一个有限生成模$M$，存在一个正整数$n_M$使得对于所有非线性生成的$Λ$ -模$N$，如果对所有$i\gg 0$有$\Ext_Λ^i(M,N)=0$，则对所有$i\geq n_M$有$\Ext_Λ^i(M,N)=0$.此外，我们的一些例子产生同调定义类的交换局部环严格之间的类的地方完全交叉和类的地方Gorenstein环。
On the Graded Annihilators of Right Modules Over The Frobenius Skew Polynomial Ring
设R是素特征的交换诺特环，M是x-可分右R[x，f]-模，且R是诺特模.在R是半局部的情况下，我们肯定地回答了Sharp和Yoshino的问题，并证明了M的R[x，f]-同态像的分次零化子集是有限的.在一般情况下，我们也给出了一个反例。
Vanishing of cohomology over Cohen--Macaulay rings
2003年，Auslander猜想的一个反例引起了人们对一个环族的注意--通俗地称为AC环--满足上同调消失的自然条件。几个结果证明了AC环的显着的同调性质，但它们的定义几乎是可操作的，它仍然是未知的，如果他们形成一个类，是封闭的典型结构下的环论。本文研究了Cohen-Macaulay环的AC性质沿其局部同态的转移.特别是，我们表明，AC属性是由本地代数的标准程序。我们的结果也得到了Cohen-Macaulay AC环的新例子。
Rigidity of linear strands and generic initial ideals
设$K$是一个域，$S$是一个多项式环，$E$是$K$上的一个外代数，两者都在一个有限的变量集中。研究了$S$和$E$中分次理想的分次Betti数在传递到其一般初始理想时的刚性性质。首先，我们证明了若分次Betti数$β_{ii+k}^S(S/I)=β_{ii+k}^S(S/\Gin(I))$对某些$i>1$和$k \geq 0$，则$β_{qq+k}^S(S/I)= β_{qq+k}^S(S/\Gin(I))$对所有$q \geq i$，其中$I\subset S$是分次理想.其次，我们证明了，如果$β_{ii+k}^E(E/I)= β_{ii+k}^E(E/\Gin(I))$对某些$i>1$和$k \geq 0$，那么$β_{qq+k}^E(E/I)= β_{qq+k}^E(E/\Gin(I))$对所有$q \geq 1$，其中$I\subset E$是一个分次理想。此外，它将表明，分级贝蒂数$β_{ii+k}^R(R/I)= β_{ii+k}^R(R/\Gin(I))$的所有$i \geq 1$当且仅当$I_{< k >}$和$I_{< k+1 >}$有一个线性分辨率。这里$I_{< d >}$是由$I$中所有次数为$d$的齐次元素生成的理想，$R$可以是多项式环或外代数。
Polynomial automorphisms of characteristic order and their invariant rings
令$k$是特征$p>0$的域。本文讨论了仿射空间${\bf A}_k^n$上的$p$阶多项式环$k[x_1,\ldots ,x_n]$的自同构，或等价于${\bf Z}/p{\bf Z}$ -作用.当$n=2$，这样的自同构被认为是固定变量的自同构的共轭。当使用$n\ge 3$时，是否同样成立，这是一个悬而未决的问题。本文（1）给出了$n=3$时这个问题的第一个反例。事实上，我们表明，对排名第三的${\bf A}_k^3$的每个${\bf G}_a$ -动作都会产生$n=3$的反例。通过构造${\bf A}_k^3$上秩为3的${\bf G}_a$ -作用族，给出了一族反例. (2)对于这类${\bf G}_a$ -作用所诱导的自同构，在一些温和的假设下，我们证明了不变环同构于$k[x_1,x_2,x_3]$当且仅当基座理想是主理想. (3)研究了$R[x_1,x_2]$的Nagata型自同构，其中$R$是特征$p>0$的UFD.这种类型的自同构是$p$阶的。给出了不变环同构于$R[x_1,x_2]$的一个充要条件。这个条件等价于基座理想为主的条件。
Self-injective commutative rings have no nontrivial rigid ideals
建立了诺特环上模的迹模与刚性之间的联系.利用迹理想理论，我们对Dao的一个问题和Artinian Gorenstein环上的Auslander-Reiten猜想作了部分的进展.
When is the intersection of two finitely generated subalgebras of a polynomial ring also finitely generated?
本文研究了如下问题的两个变形：“给定C[x_1，\ldots，x_n]的两个双生成子代数R_1，R_2，它们的交是否也双生成？“我们证明了有反例的$n$的最小值在一般情况下为2，在R_1和R_2是整闭的情况下为3。我们还解释了这个问题与构造C^n的代数紧化问题和R^n的半代数子集上的矩问题的关系。一般情况下的反例是对Neena Gupta的一个构造的简单修改，而整闭子代数情况下的反例则使用了C^2的正规解析紧化理论，通过以无穷大为中心的赋值的“键形式”。
Some results on null ideals of finite rings
本文针对有限环的零理想展开研究，证明当环的Jacobson根幂零指数不超过3时其零理想为双侧理想，还构造出幂零指数为任意不小于5的整数的反例环。
The finite generation ideal for Daigle & Freudenberg's counterexample to Hilbert's fourteenth problem
本文计算了 Daigle 和 Freudenberg 对希尔伯特第十四问题反例的有限生成理想，证明其由三个无限族与另一不变式构成的 SAGBI 基生成，并利用该基完成计算。
On the methods to construct UFD counterexamples to a cancellation problem
在前一篇论文中，作者与Fengyang教授一起构造了一类UFD A_{n,m}，其中n，m为\in \N^* .这些环都是稳定等价的（A_{n,m} [T] \cong A_{p,q} [T]对于所有的n，m，p，q），但只有当（n，m）=（p，q）时它们才是同构的。这些例子是第一个UFD的例子，在一个特征封闭的领域满足这一行为。在本文中，我们描述了本文中使用的方法，并表明它们是非常普遍的，使读者能够构建更多这样的例子，基于相同的原则。
Ringel modules and homological subcategories
给定环$A$上的一个好的$n$ -倾斜模$T$，设$B$是$T$的自同态环，在$B$和$A$的导模范畴之间的左导出函子$T\otimes^L_B-$的核能否通过$n\ge 2$的环满射$B\rightarrow C$实现为环$C$的导模范畴是一个开放的问题.本文首先通过考虑一类新的Ringel模，对倾斜模和余倾斜模给出了一个统一的处理方法，然后给出了$T\otimes^L_B-$的核等价于具有环满射$B\rightarrow C$的环$C$的导模范畴的判据.利用这些刻画，我们给出了非交换代数中的$n$ -倾斜模的一个正例和交换代数中的$n$ -倾斜模的一个反例，以表明在一般情况下，这个公开问题可能有一个否定的答案.作为我们方法的另一个应用，我们考虑了余倾斜模的对偶问题，得到了相应的判别准则和反例。然而，共同倾斜模块的情况比倾斜模块的情况复杂得多。
Modules in which pure submodule is essential in a direct summand
本文研究了具有直和项中每个纯子模必素性质的模类。这些模被称为纯扩展模，这是扩展模的适当推广。给出了实例和反例。研究了纯扩张模的一些性质，并利用纯扩张模刻画了正则环、半单环、局部环和PDS环。
Equations of negative curves of blow-ups of Ehrhart rings of rational convex polygons
三维加权多项式环的空间单项素理想的符号Rees环的有限生成是一个非常有趣的问题。负曲线在这些环的有限生成中起着重要的作用。我们感兴趣的是负曲线的结构。我们将证明负曲线在许多情况下是有理的。我们还看到，复曲面簇在点（1，1，...，1)与多项式环的理想的扩展符号Rees环重合。例如，罗伯茨对考西克问题（以及希尔伯特的第14个问题）的第二个反例与某个正规投射簇的考克斯环重合。
Counterexamples to Norm Conjectures of Wehlau in Modular Invariant Theory
研究有限群\(G\)及有限维\(G -\)模\(V\)在特征\(2\)下韦劳范数猜想，通过构造\(C_2^3\)和\(C_2^4\)在\(\mathbb F_8\)上的忠实四维表示给出反例，反驳了韦劳范数猜想及其无限制扩展。
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