A group with deep pockets for all finite generating sets
Andrew D. Warshall
我们证明了离散海森堡群关于每个有限生成集都有无界的死端深度。我们还表明，相反，它有界撤退深度。
We show that the discrete Heisenberg group has unbounded dead-end depth with respect to every finite generating set. We also show that, in contrast, it has bounded retreat depth.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Computing word length in alternate presentations of Thompson's group F
本文介绍了一种计算Thompson群F中元素关于X_n={x_0，x_1，…，x_n}，它是F的标准无限生成集的子集。我们用这种方法证明了（F，X_n）不是几乎凸的，并且有一些深度依赖于n而增加的口袋，尽管它们是有界的。
An algorithm for finding minimal generating sets of finite groups
本文研究Cayley图$\mathrm{Cay}(G,A)$（其中$A$是群$G$的任意子集）的分支与由$A$生成的$G$的子群的陪集之间的联系.特别是，我们展示了如何构建生成集的$G$，如果$\mathrm{Cay}(G,A)$有许多组件。此外，我们还提供了一个利用Cayley图求有限群的最小生成集的算法。
Minimal invariable generating sets
一个子集$S$的一组$G$总是产生$G$如果，当每个元素的$S$是由一个任意的共轭取代，所产生的集合产生$G.$一个不变的生成集$X$的$G$被称为最小的，如果没有真子集的$X$总是产生$G.$我们将解决几个问题有关的行为最小不变生成集的有限群。
Minimal sized generating sets of permutation groups
本文提出一种随机化算法，用于在有限置换群中寻找最小规模生成集，并证明其期望运行时间为多项式时间。
Minimal generating sets in wreath products
本文给出了两个群的置换圈积存在最小生成集的充分条件。特别地，我们证明了对于一个正则有根树，所有自同构群和所有有限态自同构群满足这些条件。
Computational Enumeration of Independent Generating Sets of Finite Symmetric Groups
我们开发了计算机代数工具，用于枚举共轭类的独立子集和生成集的对称群$n=7$，并进行了初步的分析所获得的结果。
Strongly t-logarithmic t-generating sets: Geometric properties of some soluble groups
引入了Z[t，t^{-1}]-模的强t-对数t-生成集的概念，证明了一类可解群不是几乎凸的.我们还证明了一些关于死端深度的结果。
Large minimal invariable generating sets in the finite symmetric groups
对于有限群$G$，令$m_I(G)$表示$G$的最小不变生成集的最大可能基数。我们证明了$m_I(S_n)$的一个上界和一个下界，特别表明$m_I(S_n)$是渐近$n/2$作为$n\rightarrow \infty$。
Irredundant generating sets and dimension-like invariants of the finite group
Whiston证明了对称群$S_n$中无冗余生成集的最大尺寸是$n-1$，Cameron和Cara刻画了所有达到这个尺寸的$S_n$的无冗余生成集。我们的目标是扩大他们的成果。利用对称群的可迁子群的性质，我们能够对$A_n$和$S_n$中所有大小为$n-2$的无冗余生成集进行分类。接下来，基于这种分类，我们得到了交替群$A_n$的其他有趣的性质。最后，利用Whiston引理，我们将导出某些特殊类型的圈积的类量纲不变量的计算公式。
Strong shortcuts, generating sets, and isometric circles in asymptotic cones
本文以两个秩2自由群的直积为例，证明 Cayley 图中环路的强捷径性质依赖有限生成集，并推出其渐近锥可包含等距嵌入的零伦圆。
Generating sets of Affine groups of low genus
我们描述了一个新的算法计算辫子轨道的尼尔森类。作为一个应用，我们分类所有家庭的仿射亏格零系统，这是所有家庭的覆盖黎曼领域本身，使monodromy集团是一个原始的仿射置换群。
Small Kazhdan constants for small generating sets of linear groups
本文证明线性群及具有非初等收敛作用的有限生成群，存在大小仅比生成元数多2的生成集，其Kazhdan常数可任意小。
Diameter of Cayley graphs of $SL(n,p)$ with generating sets containing a transvection
Babai的一个著名的猜想是，如果$G$是一个有限单群，$X$是$G$的生成集，那么对于某个绝对常数$c$，Cayley图$Cay(G,X)$的直径上界为$(\log |G|)^c$。本文的目的是证明这样一个界的直径$Cay(G,X)$时，$G=SL(n,p)$和$X$是一个生成集的$G$，其中包含一个transvection。对于$G=SL(n,K)$也证明了这个结果的自然类似物，其中$K$可以是任何字段。
Generating Sets of Mathieu Groups
本文通过考察极大子群并辅以计算，确定了前两个 Mathieu 群 $M_{11}$ 和 $M_{12}$ 的无冗余生成集最大规模分别为 5 和 6。
Generating groups by conjugation-invariant sets
设S是群G的生成集.我们说G相对于S有有限宽度，如果G=（S \cup S^{-1}）^k，对于一个合适的自然数k。我们说群G是有限C-WIDTH群，如果G关于所有共轭不变生成集具有有限宽度。给出了有限C-宽度群的一些例子，特别证明了Thompson群F的换位子群F'是有限C-宽度群.我们还研究了行为的类的所有群体的有限C-宽度下的一些群论建设;它是成立的，例如，这一类是封闭下形成的群体扩展。
Flexibility in generating sets of finite groups
设G是有限群.最近证明了G的每一个非平凡元素都包含在一个最小生成元集中当且仅当G的所有真元所需要的生成元比G少。很自然地会问，除此之外，哪些有限群具有G的任何两个不生成循环群的元素可以扩展为最小大小的生成集的性质。这张便条回答了这个问题。唯一这样的有限群是非常特殊的仿射群：由充当标量的循环群扩展的初等阿贝尔群。
On the diameter of Cayley graphs of classical groups with generating sets containing a transvection
Babai的一个著名的猜想是，如果$G$是任何有限单群，$X$是$G$的生成集，则Cayley图$Cay(G,X)$的直径对于某个泛常数$c$以$\log|G|^c$为界。本文在$X$含有一个横截和$81$或$q\neq 9$的条件下，证明了$Cay(G,X)$对于$G=PSL(n,q),PSp(n,q)$或$PSU(n,q)$的一个界，其中$q$是奇数.
Finite generating sets of relatively hyperbolic groups and applications to geodesic languages
给定一个双曲生成的相对双曲群$G$，构造了$G$的有限生成集$X$，使得$(G,X)$具有“同路者证伪性质”，条件是抛物子群$\{H_ω\}_{ω\in Ω}$关于生成集$\{X\cap H_ω\}_{ω\in Ω}$具有该性质.这意味着双曲群相对于几乎阿贝尔子群，其中包括所有的极限群和自由作用于$\mathbb{R}^n$ -树的群，或几何有限双曲群，有生成集，其中测地线的语言是正则的，完全增长级数和完全测地线级数是有理的。作为我们的技术的应用，我们证明了如果每个$H_ω$都承认$X\cap H_ω$上的测地线双自动结构，则$G$具有测地线双自动结构。同样地，我们构造了$G$的有限生成集$X$，使得$(G,X)$具有“有界共轭图”性质或“邻短共轭”性质，如果抛物子群$\{H_ω\}_{ω\in Ω}$关于生成集$\{X\cap H_ω\}_{ω\in Ω}$具有此性质.这意味着一个相对于交换子群的双曲群有一个生成集，对于这个生成集，它的Cayley图有界共轭图，我们利用这个事实给出了一个三次时间算法来解决共轭问题。我们的结果的另一个推论是，双曲群相对于几乎阿贝尔子群有一个经常的共轭测地线的语言。
On generating sets of infinite symmetric group
证明了在一个无限集的双射群中，生成与某些特征空间的基数有关的子集族。此外，我们还导出了这类集合生成的一个判据。
On the Maximal Size of Irredundant Generating Sets in Lie Groups and Algebraic Groups
研究显示，连通紧致李群的生成集若大小超过群秩的固定多项式，则必冗余。类似结果适用于可解李群和具有 Zariski 群的半单代数群。方法产生的量化界限受有限简单李型群界限的控制，并部分回答了 Gelander 的猜想。
Finite generating sets for monoids of $G$-equivariant functions
研究\(G\)作用于集合\(X\)时\(G\)-等变函数构成的幺半群的生成集。先给出其单位群\(\operatorname{Aut}_{G}(X)\)生成集基数的界，再用轨道渗透确定使\(\operatorname{End}_{G}(X)\)无有限生成集的条件。
Diagram monoids and Graham-Houghton graphs: idempotents and generating sets of ideals
我们研究理想的分区，布劳尔，琼斯幺半群，建立各种组合的结果，通过分析其格雷厄姆-霍顿图的生成集和幂等生成集。证明了划分幺半群P_n的每一个真理想都是幂等生成半群，并得到了生成这些半群所需的最少元素数（以及最少幂等元数）的公式.特别地，我们证明了这两个数字，这是所谓的秩和幂等秩（分别）的半群，是彼此相等的，我们的特征，这种最小基数的生成集。刻画并列举了P_n的最大真理想的极小幂等元生成集，它与P_n的奇异部分一致。类似的结果证明了理想的布劳尔和琼斯幺半群，在每种情况下，秩和幂等秩原来是相等的，所有的最小生成集的描述。我们还展示了如何秩和幂等秩的结果，当应用到相应的扭曲半群代数（分区，布劳尔，和Temperley-Lieb代数），允许一个恢复公式的尺寸，他们的细胞模块（视为细胞代数），在半单的情况下，是公式的尺寸的不可约表示的代数。以及被代数的兴趣，我们的结果涉及到几个充分研究的图论的主题，包括问题的计数完美匹配（涉及到问题的计算永久的{0，1}-矩阵和理论的Pfavian方向），和问题的发现因子分解的约翰逊图。我们的结果还汇集了几个著名的数字序列，如斯特林，贝尔，加泰罗尼亚和斐波那契数。
On rigidity of Coxeter systems up to finite twists and separations of Coxeter generating sets
本文研究Coxeter系统的扭转猜想与有限扭转下的刚性，通过untangle条件分析生成集的分离及I/II型子集，给出共轭等价条件，为有限秩同构问题提供研究方向。
Transversals as generating sets in finitely generated groups
研究了有限生成群的有限指数子群的断面。证明了当$H$是秩$n$群$G$的子群且$H$在$G$中的索引至少为$n$时，我们可以构造$H$的左截线，它包含$G$的生成集的大小为$n$，并且当$G$被证明时，构造是算法的.我们还表明，在$G$有秩$n \leq3$的情况下，有一个同时左右横向的$H$，其中包含一个生成集的大小$n$为$G$。最后，我们表明，如果$H$是一个小组的秩$n$组$G$的索引小于$3 \cdot 2^{n-1}$，$H$不包含本原元的$G$，那么$H$是正常的$G$和$G/H \cong C_{2}^{n}$。
Investigating transversals as generating sets for groups
在[3]中，示出了对于任何组$G$，其秩（即，生成元的最小数目）至多为3，并且任何具有指标$[G:H]\geq rank(G)$的有限指标子群$H\leq G$，总是可以找到生成$G$的$H$的左右断面。在本文中，我们将这个结果推广到最多秩为4的群。我们还扩展到组$G$的任意（有限）秩$r$的所有非平凡因子的$[G:core_G(H)]$至少是$2r-1$。最后，我们扩展到组$G$的任意（有限）秩的$H$是反常的$G$。
Kazhdan constants for two-element generating sets of $\mathrm{SL}_n(\mathbb Z)$
本文证明对每个$n\geq3$，$\mathrm{SL}_n(\mathbb Z)$的所有两元素生成集的Kazhdan常数下确界为$0$，回答了生成集基数有界时下确界是否仍为零的问题。
Surface groups, infinite generating sets, and stable commutator length
给出了D. Calegari的一个定理，即曲面群关于位于任意多个映射类群轨道上的生成元集的Cayley图具有无穷大直径。例如，这适用于由所有简单闭曲线组成的生成组。
Word length in surface groups with characteristic generating sets
群的子集是特征的，如果它在群的每个自同构下不变。本文研究了闭双曲曲面的基本群中的字长，其特征生成集由自同构群的轨道的有限并集组成，证明了任何具有非零交叉数的元素的平移长度都是正的，并且其下有一个常数的界只取决于（并且明确地）生成元素的交叉数的界.这回答了B的问题。法布
Small generating sets for the Torelli group
证明了Dennis Johnson的一个猜想，证明了映射类群的Torelli子群有一个有限生成集，其大小随曲面的亏格成立方增长.我们的主要工具是一个新的空间称为处理图上的Torelli群行为cocompanies。
Generating sets of finite groups
我们研究交换关系在有限群$G$中成立的程度。我们定义了一个新的等价关系$\equiv_{\mathrm{m}}$，其中两个元素是等价的，如果每一个都可以取代其他在任何生成集的$G$。然后，我们将其细化为等价关系的新序列$\equiv_{\mathrm{m}}^{(r)}$，即$x \equiv_{\mathrm{m}}^{(r)}y$，如果每个都可以在任何$r$ -元素生成集中替换另一个。关系$\equiv_{\mathrm{m}}^{(r)}$变得更好的$r$增加，我们定义了一个新的组不变$ψ(G)$的值$r$，在他们稳定到$\equiv_{\mathrm{m}}$。值得注意的是，我们能够证明，如果$G$是可溶的，那么$ψ(G) \in \{d(G), d(G) +1\}$，其中$d(G)$是$G$的生成元的最小数目，并分类有限的可解群$G$，其中$ψ(G) = d(G)$。对于不溶性$G$，我们表明，$d(G) \leq ψ(G) \leq d(G) + 5$。然而，我们不知道有$ψ(G) > d(G) + 1$的群$G$的例子。作为一个应用，我们看看生成图的$G$，其顶点是$G$的元素，边缘是$2$ -元素生成集。我们的关系$\equiv_{\mathrm{m}}^{(2)}$使我们能够计算$\mathrm{Aut}(Γ(G))$的所有可溶性基团$G$的非零蔓延，并给出详细的…
Exact descriptions of Følner functions and sets on wreath products and Baumslag-Solitar groups
我们计算了标准发电机组的点灯族$\mathbb{Z}\wr\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$的Følner函数$\mathrm{Føl}$的精确值。更一般地，对于任何有限群$D$和$n\geq|D|$，我们得到了$\mathrm{Føl}(n)$在圈积$\mathbb{Z}\wr D$上的精确值，对于由$\mathbb{Z}$上的生成元诱导的生成集，并且整个群被视为$D$的生成元。我们还描述了引起它的Følner集。Følner函数编码顺从群的等周性质，以前已经研究到渐近等价（也就是说，独立于有限生成集的选择）。此外，我们还证明了标准生成集上Baumslag-Solitar群$BS(1,2)$上边边界的一个等周结果。
Bounding the maximal size of independent generating sets of finite groups
用$m(G)$表示有限群$G$的最小生成集的最大尺寸。我们估计$m(G)$的条款$\sum_{p\in π(G)}d_p(G),$，其中我们表示由$d_p(G)$的最小数量的生成元的Sylow $p$ -子群的$G$和由$π(G)$的一组素数划分的顺序$G$。
On Minimal generating sets of splitting field, Cluster towers and Multiple transitivity of Galois groups
本文研究了分裂域中最小生成集的性质，揭示了其在Galois群多重传递性下的行为，并将其与根聚类塔概念联系起来。
Minimal generating sets and the abelianization for the quasitoric braid group
复曲面编织物是闭合为$\mathbb{R}^3$中的圆环链的编织物。Manturov推广了复曲面辫，称之为拟心辫，并证明了经典辫群中的拟心辫的子集是辫群的一个子群.我们称这个子群为拟素辫群。本文给出了拟序辫群的两个极小生成集，并确定了它的阿贝尔化。这两个生成集的极小值是从一个下界由阿贝尔化的生成元的数量。
Minimal generating and normally generating sets for the braid and mapping class groups of the disc, the sphere and the projective plane
我们考虑（纯）辫群B_{n}（M）和P_{n}（M），其中M是2-球面S^2或实射影平面RP ^2。我们确定这些群的（正规）生成集X的最小基数，首先当X上没有限制时，其次当X由有穷级的元素组成时。这改进了Berrick和Matthey在S^2情形下的结果，并将其推广到RP^2情形。我们首先回顾一下阿廷辫群的情况。作为结果的应用，我们回答了相应的映射类群的相应问题，并证明了对M=S^2或RP^2，B_n（M）在M的n阶位形空间的泛覆盖的H_3上的诱导作用是平凡的.
Growth gaps and generating sets
该研究证明有限生成群的无限指数子群的增长间隙存在与否可依赖于有限生成集，具体对高阶半单李群中不可约格Λ的Λ×Λ群，存在带与不带增长间隙的有限对称生成集，且增长间隙可任意小，而非初等双曲群的增长间隙存在与否与生成集无关。
Piecewise excluding geodesic languages
测地线语言的复杂性与群的代数性质有关。Gilman，Hermiller，Holt和Rees证明了一个有限生成群是虚自由的当且仅当它的测地语言对于某个有限逆闭生成集是局部不相容的。这种对应关系的存在以及Hermiller，Holt，和Rees关于有限逆闭生成集上的广义阿贝尔群具有分段不相容测地线语言的结果，激发了我们的工作.证明了具有分段排除测地语言的有限生成群不一定是阿贝尔群，并给出了一类对某些生成集具有分段排除测地语言的无限非阿贝尔群.证明了四元数群是唯一一个对所有有限逆闭生成元集具有逐段排除测地线语言的非交换2-生成元群。我们还证明了几乎存在具有测地语言的阿贝尔群，它们对任何有限的逆闭生成集都不分段排除。
Hypermaps over non-abelian simple groups and strongly symmetric generating sets
一个群$G$的生成对$x, y$称为\textbf{\textit{symmetric}}，如果存在一个$G$的自同构$φ_{x,y}$，它将$x$和$y$都反转，即$x^{φ_{x,y}}=x^{-1}$和$y^{φ_{x,y}}=y^{-1}$。类似地，如果$G$可以用两个元素生成，并且如果所有生成的$G$对都是对称的，则称组$G$为\textbf{\textit{strongly symmetric}}。本文对有限强对称非交换单群进行了分类。在组合意义上，它们是有限的非交换单群$G$，使得每个具有单值群$G$的可定向正则超映射是自反的.
Generating Sets and Algebraic Properties of Pure Mapping Class Groups of Infinite Graphs
本文完全分类了具有纯映射类群且允许粗有界生成集的局部有限无限图，并研究了其代数性质，包括半直积分解、第一积分上同调、剩余有限性和Tits二择性，为这些群的刚性研究奠定基础。
Conformal Automorphism Groups, Adapted Generating Sets and Bases
设S是亏格g>= 2的紧致Riemann曲面，G是作用在S上的n阶共形自映射群.本文给出了这类紧黎曼曲面的第一同调群的适应生成集和适应基的定义。这个生成集和基以尽可能简单的方式反映G的作用。这可以从我们得到的G的作用量矩阵中看出。我们证明存在这样的生成集和基础的任何共形群作用在这样的表面上，并找到矩阵。这扩展了我们以前的结果适应基地和矩阵的自同构群的素数阶和其他特定的群体。
Growth of small generating sets in SL_n(Z/pZ)
设G=SL_n.设K=Z/pZ，p为素数。设A \subset G（K）生成G（K）.假设|A| <p^{n+1-δ}，delta>0。然后|A A a|>> |A| ^{1+ε}，其中ε>0且隐含常数仅取决于n和delta。
Generating sets of Reidemeister moves of oriented singular links and quandles
给出了有向奇异链环的广义Reidemeister移动的生成集。我们用它来介绍一个代数结构所产生的定向奇异结的研究。我们给出了一些例子，包括非阿贝尔群上这类结构的非同构族。我们证明了这种新结构的奇异纽结的着色集是定向奇异纽结的不变量，并利用它来区分某些奇异链环。
Large sets of generating tuples for Lie groups
我们证明了对于一个连通的半单线性李群$G$，生成元素对或子群的空间在许多方面都是良好的：生成稠密子群的元素对的集合在紧的情况下是Zakki-开的，在一般情况下是欧几里得-开的，并且总是稠密的。类似地，对于$G$的充分一般的圆子群$H_i$，$i=1,2$，生成稠密子群的$H_i$的共轭空间总是Zerkiki-开且稠密的。类似的陈述适用于李代数$Lie(G)$的李子代数对。
Structure and minimal generating sets of Sylow 2-subgroups of alternating groups, properties of its commutator subgroup
本文研究了${{A}_{n}}$和${{S}_{n}}$的Sylows p-子群，这一研究工作始于U. Dmitruk，V. Suschansky“对称交错群的2-sylow子群的结构”和R.~ Skuratovskii“群S_n的Sylow p-子群的余表示”\cite{Dm, Sk, Paw}的推广.设$Syl_2{A_{2^k}}$和$Syl_2{A_{n}}$是相应的交错群$A_{2^k}$和$A_{n}$的Sylow 2-子群.我们找到了这样的子群$Sy{{l}_{2}}{{A}_{{{2}^{k}}}}$和$Syl_2{A_{n}}$的最小生成集和结构以及$Syl_2{A_{2^k}}$ \cite{Mur}的换位子宽度. \cite{Dm, Paw}的作者没有证明对$A_n$的Sylow 2-子群的生成元系的极小性，只是初步建立了生成元系的结构。本文研究了Sylow 2-子群的结构，并构造了这类子群的极小生成系。换句话说，问题不仅仅是证明$2^k $次交错群的Sylow 2-子群的元素生成集的存在性和证明其极小性。主要结果是证明了上述子群的生成集的极小性，并描述了它们的结构。
The infinite dimensional geometry of conjugation invariant generating sets
研究共轭不变生成集的几何性质，展示Cayley图中存在无限维的 quasi-isometrically 蕴含结构，并通过新投影方法恢复自由分裂图的结论。
Monochromatic generating sets in groups and other algebraic structures
组$G$的\emph{generating chromatic number}，$\chigen(G)$，是颜色$k$的最大数目，使得对于$k$颜色中的$G$的元素的每个着色存在单色生成集。如果不存在这样的最大$k$，则设置$\chigen(G)=\infty$。等价地，$\chigen(G)$是最大数$k$，使得$G$不被真子群覆盖（如果不存在这样的最大$k$，则为$\infty$）。我们提供了表征，为任意groops，在情况下$\chigen(G)=\infty$和$\chigen(G)=2$。对幂零群（特别是阿贝尔群），刻画了所有可能的色数。实例表明，幂零群的刻画不能推广到任意可解群。最后，我们应用到向量空间和领域。
Existence and genericity of finite topological generating sets for homeomorphism groups
证明了区间和圆的保向$C^1$ -纯同态的拓扑群$Diff_{+}^{1}(I)$和$Diff_{+}^{1}(\mathbb{S}^1)$分别允许纯生成稠密子群.我们还调查的问题的genericity（在Baire范畴的意义上），这样的有限拓扑生成集在相关的群体。证明了同胚群$Homeo_+(I)$中的类属元素对生成$Homeo_+(I)$的稠密子群.相比之下，如果$M$是任何边界不是区间的紧致连通流形，我们观察到来自相关边界固定同胚群$Homeo(M,\partial M)$的开稠密对集将生成离散子群。我们对包括$\mathbb{S}^1$在内的无边界流形的同胚群也作了类似的观察。
The commutator subgroup of the braid group is generated by two elements
对于$n$至少为7且$n$等于5，我们给出了$n$股上辫群的换位子群的大小为2的生成集.这些生成集具有最小可能的基数。对于$n$等于4或6，我们给出大小为3的生成集。我们还证明了四股辫群的换位子群不能由少于三个元素生成。
Generating abelian groups by addition only
定义有限群$G$关于生成集$A\subset G$的正直径为最小非负整数$n$，使得$G$的每个元素至多可写为$A$的$n$元素的乘积.这个不变量记为$\diam_A^+(G)$，可以解释为由$A$在$G$上诱导的Cayley有向图的直径.本文研究有限阿贝尔群$G$关于它的各种生成集$A$的正直径.更具体地说，我们确定的最大可能值的$\diam_A^+(G)$和分类的所有发电机组，这个最大值达到。此外，我们确定的条件下，$\diam_A^+(G)$是“不太小”的$A$的最大可能的基数。从概念上讲，所研究的问题与我们以前的工作密切相关，所获得的结果为这个问题提供了新的思路。我们最初的动机来自于与上限、无和集和准完美码的联系。
Rational sets in virtually abelian groups: languages and growth
本文统一并推广了关于几乎阿贝尔群中有理集增长级数有理性的结果，证明了多种重要集合类的有理性，并给出有理集的EDT0L表示。
The rates of growth in a hyperbolic group
本文研究双曲群及其子群、子半群在所有有限生成集下的增长率集合，证明这些集合良序并确定极限群情形的序数为 $ω^ω$。
On sets of commuting and anticommuting Paulis
本文研究交换Pauli群中交换Pauli和反交换Pauli的极大集的结构和基数。给出了反交换集为极大集的充要条件，并给出了一个生成最大反交换集的有效算法。作为一种理论工具，我们引入了交换映射，并研究了陪集中的元素关于反交换极小生成集的映射的性质。我们还推导出表达式的数量不同的交换和反交换保。
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