Note on the ABC Conjecture
N. A. Carella
本文给出了反驳有理数上abc猜想的启发式论证和理论证据。此外，还提供了将这一问题转化为等分布理论研究的初步资料。
This note imparts heuristic arguments and theorectical evidences that contradict the abc conjecture over the rational numbers. In addition, the rudimentary datails for transforming this problem into the doimain of equidistribution theory are provided.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
The number of abc-equations c^n=a+b stisfying the strong abc-conjecture
本文证明了满足强abc猜想的abc方程c^n = a+b的频率为phi（c^n）/2+o（phi（c^n）/2），其中n趋于无穷大.
Congruence ABC implies ABC
Masser和Oesterle的ABC猜想指出，如果（a，b，c）是互质整数且a + b + c = 0，则对于任何e > 0，sup（|a|，|b|，|c|）< c_e（rad（abc））^{1+e}。Oesterle观察到，如果ABC猜想对所有（a，b，c）成立，|abc，则完整的ABC猜想成立。我们推广了这个结果，证明了对于任何整数N，ABC对所有（a，b，c）成立的“同余ABC猜想”，|abc蕴含了完整的ABC猜想。
Ellenberg proved that the abc conjecture would follow if this conjecture were known for sums $a+b=c$ such that $D\mid abc$ for some integer~$D$. Mochizuki proved a theorem with an opposite restriction, that the full abc conjecture would follow if it were known for abc sums that are not highly divisible. We prove both theorems for general number fields.
On the $abc$ and the $abcd$ conjectures
本文重新审视 $abc$ 猜想的次指数界，利用对数线性型建立新变体，并在适当假设下证明四项 $abcd$ 猜想的无条件次指数界。
Baker's Explicit abc-Conjecture and applications
Masser-Oesterlé猜想，通常被称为$abc$ -猜想有许多结果。我们使用一个明确的版本，由于贝克解决了一些问题。
Probable Counterexamples of the ABC Conjecture
本文给出了有理整数上abc猜想的无穷多个可能反例的构造方法。
The $abc$-Conjecture implies uniform bounds on dynamical Zsigmondy sets
证明了$abc$ -猜想蕴含数域上单临界多项式族一致的Zsigmondy集的上界.作为应用，我们利用$abc$ -猜想证明了树实伽罗瓦表示的指数存在一致界.
Powerful numbers and the ABC-conjecture
本文探讨了ABC猜想在确定强大数位置中的应用，介绍了该猜想及其在数论中的重要性。
The abc conjecture is one of the most famous unsolved problems in number theory. The conjecture claims for each real $ε> 0$ that there are only a finite number of coprime positive integer solutions to the equation $a+b = c$ with $c > (rad(a b c))^{1+ε}$. If true, the abc conjecture would imply many other famous theorems and conjectures as corollaries. In this paper, we discuss the abc conjecture and find new applications to powerful numbers, which are integers $n$ for which $p^2 | n$ for every prime $p$ such that $p | n$. We answer several questions from an earlier paper on this topic, assumin…
ABC Implies There are Infinitely Many non-Fibonacci-Wieferich Primes - An Application of ABC Conjecture over Number Fields
本文定义了$X$基Fibonacci-Wieferich素数，它是一个广义的Wieferich素数，其中$X$是有限的代数数集合.我们将证明存在无穷多个非$X$基的Fibonacci-Wieferich素数，假设Masser-Oesterlé-Szpiro对数域的$abc$ -猜想。我们还提出了一个关于由$X$中所有元素生成的阿贝尔群的自由部分的秩的新猜想，并从算术和几何的角度给出了启发式的证明.
A more general abc conjecture
本文给出了一个猜想，它推广了Masser-Oesterlé的abc猜想和作者关于有界度代数点的丢番图猜想。它还表明，新的猜想是由以前的猜想。与大多数作者的论文一样，这个新猜想源于与Nevanlinna理论的类比;在这种情况下，它对应于Nevanlinna理论中的第二个主要定理与截断的计数函数。Masser和Oesterlé最初的abc猜想对应于第二主要定理，其中对于除数[0]+[1]+[ \infty ]，在P^1上截断计数函数。
The exceptional set in the abc conjecture
本文聚焦 abc 猜想的例外集规模问题，在 Browning、Lichtman 与 Teräväinen 的既有成果基础上作出改进与简化。
Wall's Conjecture and the ABC Conjecutre
我们证明了Masser-Oesterlé-Szpiro关于数域的$abc$猜想蕴含着存在无穷多个非Fibonacci-Wieferich素数.我们还提供了一个新的启发式的数量，这样的素数低于一定的值。
In this short note we confirm the relation between the generalized $abc$-conjecture and the $p$-rationality of number fields. Namely, we prove that given K$/\mathbb{Q}$ a real quadratic extension or an imaginary $S_3$-extension, if the generalized $abc$-conjecture holds in K, then there exist at least $c\,\log X$ prime numbers $p \leq X$ for which K is $p$-rational, here $c$ is some nonzero constant depending on K. The real quadratic case was recently suggested by Böckle-Guiraud-Kalyanswamy-Khare.
An extended generating series of the radical of n, involving two variables, leads to an identity in said variables, which proves Bombieri's abc-Conjecture for certain sets of integers.
Enrico Bombieri proved that the ABC Conjecture implies Roth's theorem in 1994. This paper concerns the other direction. In making use of Bombieri's and Van der Poorten's explicit formula for the coefficients of the regular continued fractions of algebraic numbers, we prove that Roth's theorem implies a weakened non-effective version of the ABC Conjecture in certain cases relating to roots.
A height inequality for rational points on elliptic curves implied by the abc-conjecture
本文证明了数域上的一致abc-猜想对椭圆曲线上有理点的坐标有严格的限制。对于证明，我们使用一个变种的统一abc猜想数领域制定的望月。作为应用，推广了Silverman关于椭圆型非Wieferich素数的一个结果.
Effectivity in Mochizuki's work on the $abc$-conjecture
本文概述了一个建设性的证明一个命题Mochizuki的文件“算术椭圆曲线在一般的立场，"直接使用可计算的非临界Belyi映射，以有效地减少充分的$abc$ -猜想的限制形式。这样的简化意味着一个有效的$abc$ -定理被Mochizuki最后的IUT论文（“Inter-universal Teichmuller theory IV：log-volume computations and set-theoretical foundations”）的定理1.10所隐含。
Non-Wieferich primes in number fields and ABC conjecture
设$K/\mathbb{Q}$是一类代数数域，$\mathcal{O}_K$是它的整数环.证明了在数域的\textit{abc}猜想的假设下，在$\mathcal{O}_K$中存在无穷多个关于某些单位的非Wieferich素数.
We prove the lower bound for the number of Lucas non-Wieferich primes in arithmetic progressions. More precisely, for any given integer $k\geq 2$ there are $\gg \log x$ Lucas non-Wieferich primes $p\leq x$ such that $p\equiv\pm1\pmod{k}$, assuming the $abc$ conjecture for number fields. Further, we discuss some applications of Lucas sequences in Cryptography.
Siegel's theorem and the abc conjecture
继N。Elkies（“ABC意味着Mordell”），我们表明，ABC猜想的Masser-Oesterle意味着一个有效的版本西格尔定理积分点的代数曲线，即一个上界的S-积分点的依赖S是明确的。相反的声明也在这份说明中公布。对于这两个结果，主要的几何工具是G. V. Belyi定理。
The abc-conjecture is true for at least $N(c), 1 \leq N(c) <ϕ(c)/2$, partitions a, b of c
证明了对任意正整数c，至少有N（c），c的$1\leq N(c) < ϕ(c)/2$表示为两个无公因数的正整数a，b之和，使得N（c）根R（abc）都大于kc，其中k为绝对常数.
The number of equations c=a+b satisfying the abc-conjecture
我们证明了，对于一个正整数$c$和任何给定的$\varepsilon$，$0<\varepsilon<1$，方程$c=a+b$，$a<b$，正互质整数$a$和$b$，满足不等式$$c < R(c)^{\frac{\varepsilon}{1+\varepsilon}}R(a)^{\frac{1}{1+\varepsilon}}R(b)^{\frac{1}{1+\varepsilon}},$$，其中R（n）是$n$的根的数目$N(c)$是$c\to\infty$ $$N(c)=(1-\varepsilon)\frac{ϕ(c)}{2}+O\Bigl(\frac{ϕ(c)}{2}\Bigr).$$一个类似的abc猜想不等式$c<R(abc)^{1+\varepsilon}$（没有常数因子）也将被证明。
Assuming the abc conjecture with $ε=1/6$, we use elementary methods to show that only finitely many $s$-Cullen numbers are repunits, aside from two known infinite families. More precisely, only finitely many positive integers $s$, $n$, $b$, and $q$ with $s,b \geq 2$ and $n,q \geq 3$ satisfy \[C_{s,n} = ns^n + 1 = \frac{b^q -1}{b-1}.\]
The $abc$ Conjecture implies the Weak Diversity Conjecture
我们证明了abc猜想蕴含Bilu和Luca的弱多样性猜想。
On the Number of ABC Solutions with Restricted Radical Sizes
我们考虑ABC猜想的一个变体，试图计算$A+B+C=0$的解的个数，在相对素数$A,B,C$中，每个解的绝对值小于$N$，且具有$r(A)<|A|^a, r(B)<|B|^b, r(C)<|C|^c.$。ABC猜想等价于这样一个陈述，即对于$a+b+c<1$，解的个数是独立于$N$有界的。若$a+b+c \geq 1$成立，则证明了解的个数渐近地为$N^{a+b+c-1 \pm ε}.$。只要$a+b+c \geq 2.$成立，我们就证明了这个猜想
Are the Collatz and abc conjectures related?
本文建立 Collatz 猜想与 abc 猜想的联系：在 abc 猜想成立下改进一类捷径型 Collatz 序列起始整数的下界，并借助 abc-hits 子集、Collatz 迭代与 Wieferich 素数寻找大型三元组。
We address the Uniform Boundedness Conjecture of Morton and Silverman in the case of unicritical polynomials, assuming a generalization of the $abc$-conjecture. For unicritical polynomials of degree at least five, we require only the standard $abc$-conjecture.
abc triples
abc猜想是数论中最著名的开放问题之一，它声称满足a+b=c的三个正整数不能同时在它们的素因子之间有显著的重复;特别地，不同的素数除以三个整数的乘积不应该比c小小于。满足a+b=c的三元组称为abc三元组，如果它们的不同素除子的乘积严格小于c。我们编目什么是已知的abc三元组，通过计算和无限的例子，从理论上建立的家庭发现的数值例子。此外，我们收集的动机和支持的$abc$猜想，以及它的一些改进和推广，我们描述了国家的最先进的进展建立猜想。
A strong "abc-conjecture" for certain partitions a+b of c
证明了对任意正整数c和任意s > 0，存在c表示为两个互素的正整数a，b的和a+b，使得相应的根式都大于K（s）R（c）^（1-s）c ^2。对于所讨论的表示，这是一个比abc猜想更强的结果，abc猜想假定这些表示大于k（s）c^1/（1+s）。
Vojta's Conjecture on Multiple Blowups of $\mathbb{P}^2$ and the $abc$ conjecture
证明了Vojta猜想与$abc$猜想之间的关系。更具体地说，我们证明了Vojta的猜想在这些表面上意味着一个特殊的情况下的$abc$猜想，而$abc$猜想意味着Vojta的猜想在这些表面上。此外，对于相似但不同的有理曲面，我们无条件地证明了Vojta猜想。为了证明这些结果，我们使用了法里序列的一些（可能是新的）性质。
Smooth solutions to the abc equation: the xyz Conjecture
本文研究了ABC方程A+B+C=0的整数解，其中A，B，C都没有大素因子.设置H（A，B，C）= max（|A|，|B|，|C|），并将平滑度S（A，B，C）设置为ABC的最大素因子。我们考虑原始解（gcd（A，B，C）=1）的光滑性不大于log H的固定幂p.假设abc猜想，我们证明了当p<1时，有n个解。我们讨论了一个条件性结果，证明了当p>8时，广义黎曼假设（GRH）蕴涵有无穷多个原始解。我们勾勒出后一个结果的证明的一些细节。
The $abc$ Conjecture Revisited
该研究提出新的abc型猜想，核心围绕函数\(W(x,y)\)，通过相关应用激发并说明其相关性，主要结果表明对于固定的\(y\in\mathbb{N}\)，\(\limsup_{x \to \infty} \frac{W(x,y)\log\log x}{\log x} = 1\)。
Vojta's abc Conjecture for algebraic tori and applications over function fields
本文证明了函数域上代数环面和环面簇的 Vojta 广义 abc 猜想，并应用其研究了 log 一般型簇的 Lang-Vojta 猜想，同时将该方法推广至复数情形以确定显式例外集。
The abc conjecture implies infinitely many non-Wieferich places for fixed bases in number fields
本文在abc猜想假设下，将非Wieferich素数增长结果推广至数域，证明Ding的结果在虚二次域整数环中除31个例外外对所有基成立。
Ramanujan, the taxicab problem for polynomials, and the abc-conjecture
本文研究多项式中方程 $p^n+q^n=r^n+s^n$ 的可解性，并探讨更一般的 $p_1^{k_1}+\dots+p_m^{k_m}=0$ 方程，关联到abc猜想。
Sur l'effectivite du theoreme de Siegel et la conjecture abc
我们将西格尔的理论应用于代数过程中的所有点，这些点隐含着马赫-奥斯特尔的猜想。我们的公式是一个假设“西格尔均匀”，它是一个主要的高点S-entiers的路线，在termes du corps de rationalité et de l 'ensemble de places S。假设的有效性对欧拉-庞加莱严格负性特征的代数学意义，隐含着猜想abc的一个版本。Ceci étend aux points S-entiers des résultats précédents de L. Moret-Bailly，这是一个奇怪的问题，一个关于我们在数学中使用蒙特利尔的问题，NT/0408168，根据N.麋鹿几何学的原理是G. V.贝利的理论。Nous montrons aussi quelques versions inconditionnelles de ces énoncés：un résultat allant dans le sens de la conjecture abc，valable sur tout corps de nombres，ainsi que des bornes pour la hauteur des solutions en S-entiers de certain équations Diophantiennes classiques.
A form of refined Roth's theorem and its application to the $abc$-conjecture
本文提出精细Roth定理的一种新形式，并利用该结果证明了abc猜想的一个特殊情形。
On the exceptional set in the $abc$ conjecture
本文利用 Browning、Lichtman 和 Teräväinen 的优化方法，将 $abc$ 猜想例外集中满足 $c \leqslant X$ 的三元组数量上界从 $O(X^{33/50})$ 改进为 $O(X^{56/85+\varepsilon})$。
LLL & ABC
本文是一个观察，LLL算法适用于素数的权力，可以用来找到“好”的例子，为ABC和Szpiro的结构。
Gain Bounds for Diagonal Superelliptic Equations under the Strong ABC Conjecture
本文在强ABC猜想下，通过结构性分析，建立了对角超椭圆方程解的功率增益和近似增益的理论界，验证了数值观察结果。
Insulators of ABC Solutions
本文研究了方程$A \,+\, B\, + \,C = 0$原始解复杂性的各种度量方法及有关的图解。我们定义原始解的绝缘体$\mathcal I(A,B,C)$为最小正整数$\mathcal I$，使得除乘积$ABC \cdot \mathcal I$的素数恰好是低于给定界限的素数。我们证明了Lagarias和Soundararajan的强XYZ猜想意味着对于给定的绝缘体，只有200多个原始解$(A,B,C)$.
Differences of Harmonic Numbers and the $abc$-Conjecture
我们的主要灵感来源于Hendrik Lenstra关于调和数的演讲，调和数是指只有两个或三个素因子的数。Gersonides在675年前证明了一个可以用四种方式写成调和数的差：2-1，3-2，4-3和9-8。我们调查的数字以外的一个可以或不能被写入不同的谐波数，我们看看他们的连接的$abc$猜想。我们发现只有十一个小于100的数字不能写成调和数的差（我们称这些数字为$ndh$ -数字）。最小的$ndh$ -数是41，这也是欧拉最大的幸运数，是一个非常有趣的数字。然后我们证明了有无穷多个$ndh$ -数，其中一些是与$41$模$48$全等的素数。对于每一个费马或梅森素数，我们要么证明它是一个$ndh$ -数，要么找到它可以写成调和数差的所有方法。最后，正如Lenstra在他的演讲中所建议的那样，我们将Gersonides定理解释为“$abc$ -猜想在调和数集合上为真”，并且我们通过向调和数集合添加以下集合来扩展$abc$ -猜想为真的集合（一次一个）：$ndh$ -数的有限集，$48k+41$形式的素数的无限集，费马素数的集合和梅森素数的集合。
Yang-Mills Theory and the ABC Conjecture
我们建立了ABC猜想与N=4超杨-米尔斯理论之间的精确对应。这是通过结合三个成分实现的：（i）Elkies的方法映射ABC-三元组椭圆曲线在他的示范，ABC意味着莫德尔/法尔丁斯;（ii）一个明确的椭圆曲线对和相关的Belyi映射给出的Khadjavi-Scharaschkin;和（iii）的事实，即二分膜平铺/二聚体模型的规范理论与环面模空间是一个特殊的dessin d 'enfant在格罗滕迪克的意义。我们探索这种对应关系的最高质量的ABC三元组以及随机三元组的大样本。猜想本身被映射到一个关于N=4 SYM的弦实现的环形紧化的基本域的陈述。
ABC Conjecture: $ABC = 2^m p^n q^r$ with Fermat or Mersenne Primes
研究了ABC猜想中关于费马和梅森素数的三元组解的有限性及具体构造。
The strong $ABC$ conjecture over function fields (after McQuillan and Yamanoi)
$abc$猜想预言了代数点的高度的一个高度非平凡的上界，它是由代数点的判别式和它与投影线的一个固定因子的交集来表示的。给出了McQuillan和Yamanoi关于函数域上强$abc$猜想的两个独立证明.第一个证明依赖于微分和代数几何的工具;第二个依赖于解析和拓扑方法。它们分别对应于Nevanlinna和Ahlfors方法的Nevanlinna第二主要定理。
We develop a general framework to study Szpiro's conjecture and the $abc$ conjecture by means of Shimura curves and their maps to elliptic curves, introducing new techniques that allow us to obtain several unconditional results for these conjectures. We first prove various general results about modular and Shimura curves, including bounds for the Manin constant in the case of additive reduction, a detailed study of maps from Shimura curves to elliptic curves and comparisons between their degrees, and lower bounds for the Petersson norm of integral modular forms on Shimura curves. Our main appl…
While currently the $abc$ conjecture and work towards it remains open or is disputed, at the same time much work has been done on weaker versions, as well as on its generalisation to number fields. Given integers satisfying $a+b=c$, Stewart and Yu were able to give an exponential bound for $\max(a,\,b,\,c)$ in terms of the radical over the integers, while Györy was able to give an exponential bound in the algebraic number field case for the projective height $H_{K}(a,\,b,\,c)$ in terms of the radical for algebraic numbers. We generalise Stewart and Yu's method to give an improvement on Györy's…
The largest prime factor of $n^2+1$ and improvements on subexponential $ABC$
本文结合超越方法与模方法，利用 Shimura 曲线同 $ABC$ 猜想的联系，改进了 $n^2+1$ 最大素因子的下界，并推进了 $ABC$ 猜想的亚指数界。
Construction of Arithmetic Teichmuller Spaces IV: Proof of the abc-conjecture
作为算术泰希米勒空间系列研究的第四部分，本文沿用望月新一的研究框架，证明了算术泰希米勒空间理论可导出abc猜想的证明，验证了望月新一的相关断言。
Counting squarefree discriminants of trinomials under abc
对于奇数正整数$n\ge 5$，假设$abc$猜想成立，我们证明了对于正比例的整数对$(a,b)$，形式为$t^n+at+b (a,b\in \mathbb Z)$的三项式是不可约的，它们的判别式是无平方的.
On the abc conjecture and diophantine approximation by rational points
本文证明了作者关于簇上有理点的丢番图逼近的一个猜想蕴含了Masser和Oestell'e的"abc图“。事实上，前一个猜想的弱形式是足够的，涉及一个额外的假设，即品种和除数承认一个忠实的群作用的某种类型。在特征为零的分裂函数域和全纯曲线（Nevanlinna理论）的情况下，证明了这个较弱猜想的类似物。后者的证明涉及到一个几何推广的经典引理的对数导数，由于麦克奎伦。这个引理可能是独立的利益。
On Smirnov's approach to the $abc$ conjecture
本文利用带基点幺半群上的代数几何，为 Smirnov 在 $abc$ 猜想方法中引入的紧化谱及射影直线映射提供了内在解释。
From ABC to Effective Roth and Ridout Constants for Cubic Roots
本文基于ABC猜想和Roth定理，推导出立方根的有效Roth和Ridout常数界，并引入逼近增益概念，探讨了ABC猜想的可能解决策略。
Bounds on the exceptional set in the $abc$ conjecture
本文研究 abc 猜想中例外集的大小，通过数论和调和分析方法，获得幂级数级数的界。
Sur la conjecture abc, version corps de fonctions d'Oesterle
我们展示了一个弱形式的函数场版本的Oesterle的ABC猜想。它断言，如果$B$是一个复杂的投影连接曲线，交叉点的数量，计数没有多重性，一个固定的除数$D$的程度$d>0$超过$B$与图形$H$的一个部分$h:B\to B\times \bP^1$的第一个投影至少是$(d-2)n-C(B,D)$，其中$n$是程度$H$超过$\bP^1$，和$C(D,B)$一个常数只取决于这两个数据。我们证明这个数至少是$(d-2[\sqrt {d}]).n-C(D,B)$。常数是无效的。
On $abc$ triples of the form $(1,c-1,c)$
本文研究形如 $(1,c-1,c)$ 的 $abc$ 三元组，推导出两个一般性结论，可复原现有文献中首项为1的 $abc$ 三元组序列，为 $abc$ 猜想相关研究提供支撑。
The Weakly Special Conjecture contradicts orbifold Mordell, and hence the abc conjecture
该研究通过构造特定的弱特殊三维流形，证明了弱特殊猜想与orbifold莫尔德猜想矛盾，进而影响abc猜想，并展示了Enriques和K3表面的非可除退化情况。
We define certain arithmetic derivatives on $\mathbb{Z}$ that respect the Leibniz rule, are additive for a chosen equation $a+b=c$, and satisfy a suitable non-degeneracy condition. Using Geometry of Numbers, we unconditionally show their existence with controlled size. We prove that any power-saving improvement on our size bounds would give a version of the $abc$ Conjecture. In fact, we show that the existence of sufficiently small arithmetic derivatives in our sense is equivalent to the $abc$ Conjecture. Our results give an explicit manifestation of an analogy suggested by Vojta in the eighti…
A New Lower Bound in the $abc$ Conjecture
本文证明了$abc$猜想中存在无限多互质数满足更极端的下界条件，将常数从6.068提升至6.563，并给出了与满秩幺模格中非零向量$\ell_1$范数相关的常数$δ$的替换表达式。
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