AI 中文总结
该研究提出新的abc型猜想，核心围绕函数\(W(x,y)\)，通过相关应用激发并说明其相关性，主要结果表明对于固定的\(y\in\mathbb{N}\)，\(\limsup_{x \to \infty} \frac{W(x,y)\log\log x}{\log x} = 1\)。
AI 中文摘要
我们提出了一个新的abc型猜想。通过若干应用来激发该猜想并说明其相关性。我们的主要结果涉及函数\(W(x,y):=\sum_{j = 1}^{y}\omega(x + j)\)（\(y\in\mathbb{N}\)，\(x\in\mathbb{Z}_{\geq0}\)），其中\(\omega(n)\)表示\(n\)的不同素因子的个数。新猜想意味着，对于每个固定的\(y\in\mathbb{N}\)，\(\limsup_{x \to \infty} \frac{W(x,y)\log\log x}{\log x} = 1\)。
英文摘要
We propose a new abc-type conjecture. We motivate the conjecture and illustrate its relevance through several applications. Our main result concerns the function $$ W(x,y) := \sum_{j = 1}^{y}ω(x+j) \quad (y \in \mathbb{N},\ x \in \mathbb{Z}_{\ge 0}) $$ where $ω(n)$ denotes the number of distinct prime divisors of $n$. The new conjecture implies that, for each fixed $y \in \mathbb{N}$, $$ \limsup_{x \to \infty} \frac{W(x,y)\log\log x}{\log x} = 1. $$
