ABC猜想：$ABC = 2^m p^n q^r$与费马或梅森素数
ABC Conjecture: $ABC = 2^m p^n q^r$ with Fermat or Mersenne Primes
AI总结：
研究了ABC猜想中关于费马和梅森素数的三元组解的有限性及具体构造。
摘要：
对于任意两个不同的费马或梅森素数 $p$ 和 $q$，以及正整数 $m,n,r$ 和 $μ=±1$ 满足任何丢番图关系，(i) $2^m + μ = p^n q^r$，(ii) $2^m p^n + μ = q^r$ 或 (iii) $p^n + μ q^r = 2^m$，证明了满足 $\gcd(A,B) = 1$ 且 $C = A + B$，其乘积为 $ABC = 2^m p^n q^r$，并且满足 $C > \mathrm{rad}(ABC)^{1 + \varepsilon}$ 对于任何实数 $\varepsilon > 0$ 的三元组 $\{A, B, C\}$ 的数量是有限的。对于三元组 $\{2^{y+1}, 2^{2y}+1, (2^y+1)^2\}$，当 $y$ 为正整数且 $2^y+1$ 和 $2^{2y}+1$ 为素数时，$\mathrm{rad}(ABC)^{1 + \varepsilon} > C$ 对于任何 $\varepsilon > 0$ 成立。此外，当 $n$ 为偶数时，(iii) 的解的有限性已在其他地方证明（参考[64]）。所有其他解都被列举出来。
英文摘要：
For $p$ and $q$ any two distinct Fermat or Mersenne primes, $m,n,r$ as positive integers and $μ= \pm 1$ satisfying any diophantine relation, $\mbox{(i)}\; 2^m + μ= p^nq^r, \mbox{(ii)} \; 2^mp^n + μ= q^r \mbox{ or } \mbox{(iii)} \; p^n + μq^r = 2^m$, it is shown that the number of triplets $\{A, B, C \}$ with $\gcd(A,B) = 1$ and $C = A + B$, for which their product is of the form $ABC = 2^mp^nq^r$ and which satisfy $C > \mathrm{rad}(ABC)^{1 + \varepsilon}$ for any real $\varepsilon > 0$, is finite. For the triplet $\{2^{y+1}, 2^{2y}+1, (2^y+1)^2\}$, a solution to (iii) with positive integer $y$ such that $2^y+1$ and $2^{2y}+1$ are primes, $\mathrm{rad}(ABC)^{1 + \varepsilon} > C$ holds for any $\varepsilon > 0$. Furthermore, finiteness of the number of solutions of (iii) when $n$ is even, is demonstrated elsewhere (Ref. [64]). All other solutions are enumerated.
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