Recent Progress in Graph Pebbling
Glenn Hurlbert
最近，无论是在出版物的数量上，还是在变化和应用的广度上，图形鹅卵石化的主题都有了戏剧性的增长。在这里，我们向读者更新了自1999年最初的图表卵石调查以来发生的许多发展。
The subject of graph pebbling has seen dramatic growth recently, both in the number of publications and in the breadth of variations and applications. Here we update the reader on the many developments that have occurred since the original Survey of Graph Pebbling in 1999.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Critical Pebbling Numbers of Graphs
定义了连通图$G$的三个新的pebbling参数：$r$ -，$g$-和$u$ -临界pebbling数.与pebbling数、最优pebbling数、顶点数$n$和图的直径$d$一起，这产生7个图参数。我们确定这些参数之间的关系。我们研究了$r$ -临界pebbling数的性质，并区分了贪婪图、节俭图和$r$ -临界pebbling数为$2^d$的图.
A graph pebbling algorithm on weighted graphs
加权图上的卵石移动在一个顶点上移除一些卵石，并在相邻的顶点上添加一个卵石。移除的卵石数是连接顶点的边的权重。如果可以使用pebbling移动将pebble移动到某个顶点，则该顶点可以从pebble分布到达。加权图的pebbling数是保证从$m$ pebbles的任何pebble分布中任何顶点都是可达的所需的最小数$m$。无权图上的规则卵石问题是每条边的权为2的特殊情况。一个规则的卵石问题往往简化为一个更简单的加权图上的卵石问题。本文给出了一个求赋权图的pebbling数的算法。我们使用这个算法与图的简化一起找到了所有至多九个顶点的连通图的正则pebbling数。
The Complexity of Graph Pebbling
我们探讨了计算图的最优pebbling数和pebbling数的复杂性。证明了判定G的最优pebbling数是否至多为k是NP-完全的，判定G的最优pebbling数是否至多为k是NP-完全的.此外，我们提供了一个表征，当一个无序的一组卵石移动可以有序，形成一个有效的序列卵石移动。
$t$-Pebbling in $k$-connected diameter two graphs
图卵石模型的消耗性资源的运输。当两个鹅卵石在边缘移动时，一个到达目的地，而另一个被消耗。$t$ -pebbling数是最小整数$m$，使得任何初始分布的$m$ pebbles供应可以通过pebbling移动将$t$ pebbles放置在任何目标顶点上。直径为2的图的1-pebbling数是一个很好的研究。本文研究了在连通度条件下直径为2的图的$t$ -pebbling数.
An Exploration of Graph Pebbling
本文围绕图pebbling这一组合技术展开，研究了pebbling数、权函数等相关内容，既为初学者提供全面入门基础，也为资深研究者带来新的思路与结果。
Optimal Pebbling in Products of Graphs
我们证明了一个推广的格雷厄姆猜想的最佳卵石任意套的目标分布。我们提供的完全图的产品的最佳pebbling数的界限，并明确找到最佳的$t$ -pebbling数为特定的产品。得到了循环$C_5$的幂的最优pebbling数的界.最后，我们提出了明确的分布，提供了渐近界的最佳pebbling数的超立方体。
A Survey of Graph Pebbling
我们调查的结果卵石数量的图，以及他们的历史联系与数论问题的Erd \H OS和Lemke。我们还提出了两个概率卵石的考虑，第一个随机图阈值的属性，卵石数的图等于其顶点数，第二卵石门限函数的各种自然图序列的新结果。最后，我们将卵石阈值的存在性问题与偏序集的正规性的加强联系起来，并证明了多集格不是超正规的。
A new graph invariant called the secure vertex cover pebbling number, which is a combination of two graph invariants, namely secure vertex cover and cover pebbling number, is introduced in this paper. The secure vertex cover pebbling number of a graph G is the minimum number m so that every distribution of m pebbles can reach some secure vertex cover of G by a sequence of pebbling moves. In this paper, the complexity of the secure vertex cover problem and secure vertex cover pebbling problem are discussed. Also, we obtain some basic results and the secure vertex cover pebbling number for compl…
The cover pebbling theorem
对于图的节点上的任何pebbles配置，pebbling移动将一个节点上的两个pebbles替换为相邻节点上的一个pebbles。一个cover pebbling是一个没有空节点的移动序列。从一个节点上的所有pebbles开始的覆盖pebbling所需的pebbles数是微不足道的计算，并且证明了这些简单覆盖pebbling数的最大值确实是图的一般覆盖pebbling数。也就是说，对于这种尺寸的任何配置，都存在覆盖卵石。本文证明了该猜想的一个推广。所有以前发表的关于特殊图（树，超立方体等）的覆盖卵石数的结果是这个定理的直接后果。我们还证明了两个图的乘积的覆盖卵石数等于这两个图的覆盖卵石数的乘积。
The Cover Pebbling Number of Graphs
图上的鹅卵石移动包括从一个顶点上取下两个鹅卵石，并将一个鹅卵石放在相邻的顶点上。在传统的卵石问题中，我们试图通过一系列卵石移动到达图的指定顶点。在本文中，我们研究的情况下，每个顶点的图必须结束后，至少有一个卵石一系列的卵石移动。一个图的覆盖卵石数是指一个图的最小卵石数，使得不管卵石最初被放置在图的顶点上，我们最终都可以同时在图的每个顶点上放置一个卵石。我们找到了树和其他图的覆盖卵石数。我们还考虑了更一般的问题，其中（可能不同的）给定数量的鹅卵石所需的顶点。
The Optimal Pebbling Number of Staircase Graphs
设G是一个顶点上有卵石分布的图。一个鹅卵石移动包括从一个顶点移除两个鹅卵石，并将一个鹅卵石放置在相邻的顶点上。G的最优pebbling数是指G的顶点上所能放置的pebbles的最小数目，使得对于G的任意顶点v，都有一个pebbling移动序列导致v上至少有一个pebbling.我们确定了正方形网格的几类诱导子图的最优pebbling数，我们称之为阶梯图.
Two-Player Pebbling on Diameter 2 Graphs
鹅卵石移动是指从一个顶点移除两个鹅卵石并将一个鹅卵石放置在相邻顶点上的行为。图卵石的目标是：给定卵石的初始分布，使用卵石移动到达称为根的指定目标顶点。图$π(G)$的pebbling数是使$π(G)$ pebbles的每个分布都能到达根的每个选择所需的最小pebbles数。我们介绍了一个新的变种图卵石，两个球员之间的游戏。一个玩家的目标是将鹅卵石移动到根部，另一个玩家的目标是阻止这一点。我们展示了各类图的配置，每个玩家都有一个获胜的策略。我们将描述一个特定的类直径为2图的赢家。
Cover pebbling numbers and bounds for certain families of graphs
给定一个图的顶点上的卵石配置，卵石移动定义为从某个顶点移除两个卵石，并将一个卵石放置在相邻的顶点上。一个图的覆盖卵石数gamma（G），是指通过一系列卵石移动，一个卵石最终可以同时放置在每个顶点上的最小卵石数，而不管卵石最初是如何分布的。确定了完全多部图和轮图的覆盖pebbling数。在给定G的直径和顶点数的情况下，我们还证明了gamma（G）的一个精确界。
Domination Cover Pebbling: Graph Families
给定一个连通图G的顶点上的pebbles配置，pebbling移动定义为从某个顶点移去两个pebbles，并将其中一个放置在相邻的顶点上.我们引入了控制覆盖卵石的概念，通过结合图覆盖卵石与图中的控制理论。图G的控制覆盖pebbling数psi（G）是指在一系列pebbling移动之后，具有pebbling的顶点集形成G的控制集，而不管pebbles的初始配置如何，必须放置在V（G）上的pebbles的最小数目。我们讨论了基本结果，并确定了路，圈和完全二叉树的psi（G）。
Weighted pebbling numbers on graphs
本文将卵石化理论推广到带权边的图。在加权卵石博弈中，一个博弈者在图的边上分配一定量的权重，他的对手选择一个目标顶点，并在顶点上放置一组卵石。如果通过一系列的鹅卵石移动，玩家1能够将至少一个鹅卵石移动到目标，则他获胜。pebbling移动p个pebbles穿过一条边，权重为w，在下一个顶点上留下pw个pebbles的地板。我们发现加权卵石数的明星，图至少有2 |V| -1边，树与给定的目标。我们给出了一个明确的公式长度为2的路径，可解的p卵石的边缘上所需的最小总重量，并展示了一个图，它需要一个边的重量为1/3，以实现其加权卵石数。
Graham's pebbling conjecture on Cartesian product of the middle graphs of even cycles
图$G$上的pebbling移动包括从一个顶点取出两个pebbles，并将一个pebbles放置在相邻的顶点上。图$G$的pebbling数，记为$f(G)$，是最小整数$n$，使得无论$n$ pebbles位于$G$的顶点上，我们都可以通过pebbling移动序列将一个pebbling移动到任何顶点.设$M(G)$是$G$的中间图。对于任意连通图$G$和$H$，Graham证明了$f(G\times H)\leq f(G)f(H)$.本文给出了某些图的pebbling数，证明了Graham猜想对某些偶圈的中间图成立。
Domination Cover Pebbling: Structural Results
本文继续了“控制覆盖卵石：图族”的结果。“对于具有指定直径的图G，计算了其控制覆盖卵石（DCP）数的一个几乎尖锐界.对于直径为2的图，计算了图G的覆盖pebbling数与图G的DCP数之比的一个界。介绍了一种称为颠覆DCP的控制覆盖卵石，并讨论了初步结果。
Counterexamples to a Monotonicity Conjecture for the Threshold Pebbling Number
图卵石考虑的是将离散卵石的配置转换为图的顶点上的某些目标配置的问题，使用所谓的卵石移动。本文给出了Hurlbert等人关于卵石数与卵石阈值的单调性猜想的反例。
Cover pebbling cycles and certain graph products
一个图上的鹅卵石步骤包括从一个顶点移除两个鹅卵石，并将一个鹅卵石放置在相邻的顶点上。一个图称为cover pebbled，如果经过一系列pebbling步骤后，每个顶点上都有一个pebble。一个图的覆盖卵石数是指使得该图可以被覆盖卵石的最小卵石数，而不管卵石最初如何放置在图的顶点上。本文确定了圈的覆盖pebbling数，路与圈的有限积，路或圈与好图的积，其中好图包括树和完全图.在这个过程中，我们提供的证据支持一个肯定的答案，在一份文件中提出的问题，由坎迪夫，Crull等人。
On the singular pebbling number of a graph
本文提出图的奇异卵石数，刻画从任意至少 t 颗卵石构型向任意目标点移动并恰好留下一颗卵石所需的最小 t，并证明多数图中它等于卵石数，仅确定 K_1 与 K_2 为例外。
On Pebbling Graphs by their Blocks
图卵石博弈是一个在连通图G上进行的博弈。玩家以1美元一颗的价格购买鹅卵石，并将其交给对手，对手将其分配给G的顶点（称为配置）并选择目标顶点r。玩家可以通过从一个顶点拿走两个鹅卵石并将一个鹅卵石移动到相邻顶点来进行鹅卵石移动。如果玩家能把k个鹅卵石移到r，他就赢了。博弈的值（G，k），称为G的k-卵石数，是玩家保证获胜的最小成本。也就是说，它是卵石的最小正整数m，使得从大小为m的每个配置，可以将k个卵石移动到任何目标。本文利用图的块结构来研究pebbling数，给出了块完全图的精确pebbling数。我们还给出了直径为2的图的k-pebbling数的一个上界，这为进一步研究块直径不大于2的图的pebbling数奠定了基础.
Pebbling on Jahangir graphs
一个图$G$的鹅卵石数，$f(G)$，是最小的$p$，使得无论$p$鹅卵石被放置在$G$的顶点上，我们都可以通过一系列移动将鹅卵石移动到任何顶点，每次移动将两个鹅卵石从一个顶点移开，并将一个鹅卵石放置在相邻的顶点上。本文给出了$n$为偶数的Jahangir图$J_{n,m}$的pebbling数，即$m\geq8$ .
Optimal pebbling and rubbling of graphs with given diameter
图上的鹅卵石移动从一个顶点移除两个鹅卵石，并将一个鹅卵石添加到相邻的顶点。如果可以使用pebbling移动将pebble移动到某个顶点，则该顶点可以从pebble分布到达。最佳卵石数目$π_{opt}$是保证可到达任何顶点的$m$卵石的卵石分布所需的最小数目$m$。一个rubbling移动类似于一个卵石移动，但它可以删除两个卵石从两个不同的顶点。最佳揉化数$ρ_{opt}$的定义类似于最佳揉化数。本文利用距离$k$控制数给出了最优pebbling数和最优rubbling数的下界。利用这个界，我们证明了对于每个$k$，存在一个图$G$，其直径为$k$，使得$ρ_{opt}(G)=π_{opt}(G)=2^k$ .
A linear optimization technique for graph pebbling
图卵石是一种网络模型，用于研究给定的离散卵石供应是否可以通过卵石移动满足给定的需求。在图的边缘上的卵石移动从一个端点取两个卵石，并将一个卵石放在另一个端点;另一个卵石在运输过程中丢失作为通行费。已经证明，决定一个供应是否能满足图上的需求是NP完全的。一个图的卵石数是最小的t，使得t个卵石的每一个供应都能满足一个卵石的每一个需求。判定pebbling数是否至多为k是n_2^P-完全的。在本文中，我们开发了一个工具，称为权函数引理，计算上界，有时精确值卵石数的协助下，线性最优化。有了这个工具，我们能够计算比以前的算法更大的图的卵石数，而且速度也更快。我们还获得了许多家庭的图形，在许多情况下，手，更简单，显着更短的证明比以前现有的参数（证书通常的大小最多的顶点数乘以最大程度），特别是对于高度对称的图形。在这里，我们将权函数引理应用到几个特定的图，包括Petersen，Lemke，第四弱Bruhat，Lemke平方，和两个随机图，以及一些无限的图族，如树，圈，圈的图幂，立方体，和一些广义Petersen和Coxeter图。这部分回答了Pachter等人的问题，通过计算周期的卵石指数到渐近小的范围内。可以想象，这种方法产生一个近似算法的图卵石。
Optimal pebbling number of graphs with given minimum degree
考虑连通图$G$上卵石的分布。卵石移动从一个顶点移除两个卵石，并将一个卵石放置到相邻的顶点。一个顶点在卵石分布下是可达的，如果它在应用一系列卵石移动后有一个卵石。最佳卵石数$π^*(G)$是我们可以以每个顶点可达的方式分布的卵石的最小数量。已知任何连通图的最优pebbling数至多为$\frac{4n}{δ+1}$，其中$δ$是图的最小度。我们通过证明平等是不可能达到的，并且这个界限是尖锐的，来加强这个界限。如果是$\operatorname{diam}(G)\geq 3$，那么我们进一步提高对$π^*(G)\leq\frac{3.75n}{δ+1}$的结合。另一方面，我们证明了对于任意大直径和任意$ε>0$，存在无穷多个图的最优pebbling数大于$\left(\frac{8}{3}-ε\right)\frac{n}{(δ+1)}$。
Pebbling on Graph Products and other Binary Graph Constructions
图上的卵石游戏是一个两人游戏，涉及重复地将卵石从一个顶点移动到另一个顶点，从第一个顶点移走另一个卵石。pebbling数$π(G)$是所需的最小pebbles数，以便无论pebbles的初始配置如何，pebbles都可以到达任何顶点。格雷厄姆指出，笛卡儿积$G \hspace{1mm}\square\hspace{1mm} H$的卵石数上界为$π(G) π(H)$。我们表明，$π(G\hspace{1mm}\square\hspace{1mm} H) \le 2π(G) π(H)$，更尖锐的是，$π(G \hspace{1mm}\square\hspace{1mm} H) \le (π(G)+|G|) π(H)$。此外，我们提供了类似的结果，其他图产品和图操作。
Pebbling in Dense Graphs
一个图的顶点上的pebbles配置是可解的，如果我们可以通过一系列pebbling步骤将pebbles放置在任何给定的根顶点上。图G的pebbling数是使pi（G）的pebbles的每一种配置都是可解的最小数。如果一个图的卵石数等于它的顶点数，则它是0类图。一个函数是一系列图的卵石阈值，如果一个随机选择的配置渐近更多的卵石几乎肯定是可解的，而一个渐近更少的卵石几乎肯定不是。本文证明了最小度至少为floor（n/2）的n ≥ 9个顶点的图是0类图，最小度至少为floor（m/2）+1的m ≥ 336个顶点的二部图也是0类图。这两个边界都是最好的。此外，我们还证明了当sqrt{n} << d时，最小度为d的图的pebbling阈值为O（n^{3/2}/d），当d与n成正比时，该阈值是紧的.
t-Pebbling and Extensions
图卵石移动是指通过卵石移动将离散卵石从图的顶点上的某些初始分布移动到各种目标分布的研究。一个卵石移动从一个顶点移走两个卵石，并将一个卵石放在它的一个邻居上（失去另一个作为通行费）。当t >= 1时，一个图的t-pebbling数是使从任意初始分布到任意顶点都有可能移动t个pebbles所需的最小pebbles数。给出了直径为2的图的t-pebbling数的最佳可能上界，证明了Curtis等人的一个猜想，在这个过程中。我们还给出了一个线性时间（在边数）算法的t-pebble这样的图，以及一个四次时间（在顶点数）算法来计算pebbling数这样的图，改进了最有名的结果Bekmetjev和Cusack。此外，我们表明，对于完全图，循环，树和立方体，我们可以允许目标是任何分布的t卵石，而不增加相应的t-pebbling数，我们猜想，这种行为适用于所有的图形。最后，我们研究了pebbling的分数形式和最优分数形式，证明了Hurlbert的分数pebbling数猜想，并利用线性最优化方法揭示了点传递图的最优分数pebbling数的结果.
Threshold and Complexity Results for the Cover Pebbling Game
给定一个图的顶点上的卵石配置，卵石移动定义为从某个顶点移除两个卵石，并将一个卵石放置在相邻的顶点上。图的覆盖卵石数（cover pebbling number）是指通过一系列卵石移动，最终可以同时将卵石放置在每个顶点上所需的最小卵石数量，而不管卵石最初是如何分布的。我们确定了完全图的玻色-爱因斯坦和麦克斯韦-玻尔兹曼覆盖阈值。证明了覆盖卵石判定问题是NP完全的。
Thresholds for families of multisets, with an application to graph pebbling
在本文中，我们证明了两个多集类似的经典结果。我们证明了一个多集模拟Lovasz的版本的Kruskal-Katona定理和一个模拟的Bollobas-Bollason阈值的结果。作为推论，我们得到了任意图序列的卵石阈值的存在性。此外，我们改进了路径序列的“随机卵石”阈值的下限和上界。
Bilevel Programming for Pebbling Numbers of Lemke Graph Products
针对被认为可能是Graham猜想反例的Lemke图乘积，本文提出基于双层优化的pebbling数计算框架，在特定假设下证明其与猜想一致。
Cops and robbers pebbling in graphs
本文提出警卫与强盗推石游戏，研究其推石数及图类中的上界、下界和精确值，并探讨相关猜想与新问题。
Graph pebbling is a network optimization model for satisfying vertex demands with vertex supplies (called pebbles), with partial loss of pebbles in transit. The pebbling number of a demand in a graph is the smallest number for which every placement of that many supply pebbles satisfies the demand. The Target Conjecture (Herscovici-Hester-Hurlbert, 2009) posits that the largest pebbling number of a demand of fixed size $t$ occurs when the demand is entirely stacked on one vertex. This truth of this conjecture could be useful for attacking many open problems in graph pebbling, including the famo…
Conditions for Weighted Cover Pebbling of Graphs
在一个顶点上有一个卵石分布的图G中，一个卵石移动是从一个顶点移去两个卵石，并在相邻的一个顶点上增加一个卵石。G上的权函数是G的顶点上的非负整数值函数. G上的卵石分布覆盖一个权函数，如果存在一个卵石移动序列，该序列给出一个新的分布，其中每个顶点的卵石数量至少与其权值相同。本文给出了连通图G上pebbles分布覆盖给定权函数的一些必要条件和充分条件。作为推论，我们给出了一个简单的公式，表示一个权函数W和一个连通图G的“加权覆盖卵石数”，Crull等人定义为最小数m，使得G上的任何m个卵石的分布都是W的覆盖。此外，我们证明了一个覆盖卵石变种的格雷厄姆猜测卵石。
Generalization of the cover pebbling number on trees
一个图的pebbling移动是从一个顶点上去掉两个pebble，在相邻的顶点上加上一个pebble，图$G$的$t$ -pebbling数是使$t$ pebble可以移动到$G$上任意一个顶点上的最小pebble数，而不管pebble的初始分布.设$ω$是$V(G)$上的一个正函数，图$G$的$ω$ -覆盖卵石数是使所有$v\in V(G)$在$v$上至少有$ω(v)$卵石分布的最小卵石数.本文给出了非负函数$ω$的树的$ω$ -覆盖pebbling数，推广了树的$t$ -pebbling数和传统的加权覆盖pebbling数.
Automating Weight Function Generation in Graph Pebbling
本研究提出一种基于混合整数线性规划的计算框架，可自动生成树策略权函数以证明任意图的pebbling数上界，并在第4弱Bruhat图和Lemke方图上验证了该框架的有效性。
Improved Pebbling Bounds
考虑一个由分布在$n$阶连通图的顶点上的卵石构成的结构。一个pebbling步骤包括从一个给定的顶点移除两个pebble，并将一个pebble放置在相邻的顶点上。一个图上的鹅卵石分布称为可解的，如果它可以使用一系列鹅卵石步骤将鹅卵石放置在任何给定的顶点上。一个图的pebbling数，记为$f(G)$，是使$G$上的每个$f(G)$ pebbles的配置都是可解的最小pebbles数。我们得到了几个一般的pebbling数的上界，改进了以前的结果。
Modified Linear Programming and Class 0 Bounds for Graph Pebbling
给定连通图$G$的顶点上的pebbles的配置，\emph{pebbling move}从某个顶点移除两个pebbles并将一个pebbles放置在相邻的顶点上。图$G$的\emph{pebbling number}是最小整数$k$，使得对于$G$上的每个顶点$v$和$k$ pebble的每个配置，存在将至少一个pebble放置在$v$上的pebble移动序列。首先，我们改进了Hurlbert的结果，他引入了一种线性最优化技术来解决图卵石问题。特别是，我们使用一组不同的权重函数，基于比树更一般的图。我们应用这个新的想法，从Hurlbert的文件中的一些图，给他们的卵石数的改进的界限。其次，我们研究了具有较少边的0类图的结构。我们证明了每个$n$ -顶点0类图至少有$\frac53n - \frac{11}3$边.这反驳了Blasiak等人的一个猜想。对于直径为2的图，我们将这个下界加强到$2n - 5$，这是最好的可能。进一步，我们刻画了该界成立的图的等价性，并将其推广到直径为2的无割点图，得到了一个等价的界。
Applying Hurlbert's Linear Optimization Technique to Establish Bounds on Pebbling Numbers
本文应用Hurlbert线性优化技术，通过权函数和优化方法推导特定图族pebbling数的upper bounds，为图论中pebbling数的理解做出贡献。
Pebbling in Split Graphs
图卵石是一种网络最优化模型，用于传输在传输过程中消耗的离散资源：两个卵石穿过一条边的移动消耗其中一个卵石。一个图的卵石数是指从它的顶点上的任意t个卵石的初始配置中，可以通过这样的卵石步骤将一个卵石放置在任意给定的目标顶点上的最少卵石数t。已知判定一个特定图上的给定配置是否能达到指定目标是NP-完全的，即使对于直径为2的图也是如此，而判定卵石数是否有一个指定的上界是NP-2^P-完全的.另一方面，对于许多图族，有计算卵石数的公式或多项式算法;例如，完全图，路的乘积（包括立方体），树，圈，直径为2的图，等等。此外，具有最小pebbling数的图被称为0类，许多作者研究了哪些图是0类，以及什么图的性质保证它，但没有看到任何特征。在本文中，我们研究了一类重要的直径为3的弦图，称为分裂图，图的顶点集可以划分成一个团和一个独立集。给出了分裂图的卵石数的计算公式，并给出了一个O（n^β）时间的算法，其中β=2ω/（ω+1）\cong 1.41，ω \cong 2.376是矩阵乘法的指数.此外，我们确定所有最小度至少为3的分裂图都是0类。
Girth, Pebbling, and Grid Thresholds
本文回答了Hurlbert提出的关于高围长图的卵石化问题。具体地说，我们证明了，对于每一个g有一个0类图的围长至少g。证明使用所谓的Erdos建设，并采用最近的结果证明了Czygrinow，Hurlbert，Kierstead和Trotter。我们还使用Czygrinow等人的结果证明了Graham的卵石积猜想对稠密图成立。最后，我们考虑推广的格雷厄姆猜想的阈值的图序列，并找到合理的紧边界上的卵石阈值的序列的d维网格，验证一个重要的实例的推广。
Pebbling and Optimal Pebbling in Graphs
给定图G的顶点上的卵石分布，{ \it卵石移动}从一个顶点取两个卵石，并将一个卵石放在相邻的顶点上。{ \it pebbling number} n（G）是最小的k，使得对于每个k个pebbles的分布和每个顶点r，有可能将pebbles移动到r。{ \it最优pebbling数} n_{OPT}（G）是使k个pebbles的某种分布允许到达每个顶点的最小k。我们给出了关于路、圈、树和超立方体的这些参数的先验结果的简短证明，一个新的计算树上的G_（OPT）的线性时间算法，以及关于G_（OPT）的新结果。若G是连通n-顶点图，则G_{OPT}（G）\le \ceiling{2n/3}，路与圈相等.若\bf{G}是最小度为k的n-点连通图族，则2.4 \le PDMATHABMQ_{OPT}（G）\frac{k+1}{n} \le 4当k>15且k是3的倍数时.最后，当G是最小度为k且围长至少为2 t +1的连通n-顶点图时，证明了G的\le为4^tn/（（k-1）^t+4^t）.当t=2时，最后一个界的更精确的形式是n_{OPT}（G）\le 16 n/（k^2+17）。
Pebbling in Semi-2-Trees
图卵石是一种网络模型，用于传输在运输过程中消耗的离散资源。判定特定图上的给定配置是否可以达到指定目标是${\sf NP}$ -完全的，即使对于直径为2的图也是如此，并且判定卵石数是否具有规定的上界是$Π_2^{\sf P}$ -完全的。最近，我们证明了分裂图的pebbling数可以在多项式时间内计算。本文提出了寻找其它多项式类的程序，从大树宽、小直径的情况（如分裂图）转移到小树宽、大直径的情况，继续研究弦图的重要子类$k$ -树。特别是，我们提供了一个公式，可以在多项式时间内计算，任何半2-树的卵石数，下降害羞的结果为全类的2-树。
Herscovici Conjecture on Pebbling
本文研究连通图上的石子铺设问题，探讨 $t$-石子铺设数的计算、$2t$-石子铺设性质及 Herscovici 猜想在全图上的情形。
The Pi-Pebbling Function
最近的研究在图卵石化引入了覆盖卵石化数的概念。根据同样的思想，我们开发了一个更一般的pebbling函数Pi（G，t，P）。这测量了保证它们在G上的任何分布都可以通过pebbling移动转换为在t个目标顶点上具有pebbles的分布所需的pebbles的最小数量。此外，函数的P部分给出了改变从一个顶点到另一个顶点需要多少pebble的能力。的PI卵石功能的发展，以及它的确切价值的几个家庭的图。
Lollipop and Cubic Weight Functions for Graph Pebbling
本文通过为四维立方体构造非树权重函数改进图 pebbling 数上界方法，提出 n 维立方体权重函数猜想，并为棒棒糖图变体构造有效权重函数。
Non-split Domination Cover Pebbling Number for Some Class of Middle Graphs
该研究围绕图论中的非分裂控制覆盖铺砌数展开，明确相关定义，推导基础结论，证明非分裂控制数的NP完全性，最终确定若干类中间图的非分裂控制覆盖铺砌数。
On the Pebbling Threshold Spectrum
一个图的顶点上的pebbles配置是可解的，如果我们可以通过一系列pebbling步骤将pebbles放置在任何给定的根顶点上。一个函数是一系列图的卵石阈值，如果一个随机选择的配置渐近更多的卵石几乎肯定是可解的，而一个渐近更少的卵石几乎肯定不是。在本文中，我们证明了图序列的pebbling阈值的谱跨越从n^{1/2}到n的整个范围。这回答了齐格诺、伊顿、赫尔伯特和凯尔的一个问题。在n以上的光谱是什么样的仍然是未知的。
The pebbling threshold spectrum and paths
给定一个图的顶点上的卵石分布，假设我们可以卵石一个顶点，如果一个卵石在经过一些移动序列后留在它上面，每个移动从某个顶点拿走两个卵石，并将一个放在相邻的顶点上。一个分布是可解的，如果所有的顶点都是pebblable的;一个图序列的pebbling阈值，粗略地说，是在序列中的一个图上具有该数量的pebbles的广义过程的随机分布从几乎从不可解变为几乎总是可解的pebbles的总数。我们证明了任何严格递增阶数的连通图序列都有一定的卵石化阈值$Ω(\sqrt{n})$和$O(2^{\sqrt{2 \log_2 n}} n/\sqrt{\log_2 n})$，并且可以构造出这样一个连通图序列，它在这些边界之间具有任意所需的卵石化阈值. (Here，$n$是序列中图的阶。）它遵循的路径序列，其中，改善早期的估计，我们表明有卵石阈值$Θ(2^{\sqrt{\log_2 n}} n/\sqrt{\log_2 n})$，不具有最大可能卵石阈值。
Target Pebbling in Trees
本文提出了一种多项式时间算法，用于计算任意树T上所有分布D的翻转数，并刻画了不满足D的最大尺寸配置。
An application of graph pebbling to zero-sum sequences in abelian groups
一个有限群G的元素序列称为零和序列，如果它和G的单位元。零和序列的研究有着悠久的历史，在数论和群论中有着重要的应用。在1989年Kleitman和Lemke，并独立钟，证明了加强数论猜想的鄂尔多斯和Lemke。然后，Kleitman和Lemke为有限群做了更一般的代数，加强了零和序列的要求。本文在阿贝尔群的情形下证明了他们的猜想。也就是说，我们用图卵石法证明了：对于有限阿贝尔群G的每个|G|元素序列（g_k）_{k=1}^{ |G| }，存在一个非空子序列（g_k）_{k in K}，使得sum_{k in K} g_k= 0_G，且sum_{k in K} 1/ |g_k| \le 1，其中|g|是G中元素g的阶.
In this paper, we extend the ideas of graph pebbling to oriented graphs and find a classification for all graphs with fully traversable pebbling assignments that are isomorphic to their assignment graph. We then give some cases in which a graph with a non-fully traversable pebbling assignment is isomorphic to its assignment graph.
On the Relative Strength of Pebbling and Resolution
在过去的十年里，在证明复杂性的背景下，人们对卵石博弈的兴趣又恢复了。Pebbling已经被证明是一个有用的工具，用于研究基于分辨率的证明系统，比较不同子系统的强度，显示证明空间的界限，并建立大小空间的权衡。典型的方法是将图上的卵石博弈编码为CNF公式，然后认为这个公式的证明必须继承底层图的卵石性质（的各个方面）。不幸的是，这里使用的缩减并不严格。要通过pebbling模拟分辨率证明，需要非确定性黑白pebbling的全部强度，而分辨率仅已知能够模拟确定性黑色pebbling。因此，为了得到强有力的结果，需要找到特定的图族，这些图族要么对黑色和黑白卵石具有基本相同的性质（一般来说根本不成立），要么在分辨率上允许模拟黑白卵石。本文有助于这两种方法。首先，我们设计了一个限制形式的黑白卵石，可以模拟的分辨率，并表明，有图形的家庭，这种限制卵石可以渐近优于黑色卵石。这证明了，也许有点出乎意料，分辨率可以严格击败黑色的鹅卵石，特别是在[Ben-Sasson和Nordstrom 2008]中鹅卵石公式的空间下限是紧的。其次，我们提出了一个多功能的参数化图形家庭基本上相同的属性为黑色和黑白卵石，这使得尖锐的同时权衡黑色和黑白卵石的各种参数设置。我们的两个贡献都有助于获得基于分辨率的证明系统的时空权衡结果[Ben-Sasson and Nordstrom 2009]。
On the pebbling numbers of Flower, Blanuša, and Watkins snarks
本文研究 snarks 图的 pebbling 数，给出 Flower、Blanuša 和 Watkins snarks 的首批相关结果，填补此前仅 Petersen 图被正确确定的空白。
The Pebbling Threshold of the Square of Cliques
给定图上卵石的初始配置，可以沿着边成对地移动卵石，代价是移动其中一个卵石，目的是到达指定的目标顶点。一个图的卵石数是最小的卵石数，使得这么多卵石的每个配置都可以到达任何选定的目标。一个图序列的卵石阈值大致是卵石的数量，使得几乎每个（分别）。几乎没有）配置的渐近更多（分别.更少）鹅卵石可以达到任何选定的目标。在本文中，我们发现卵石阈值的序列的平方集团，提高了早期的结果波义耳和验证一个重要的例子的概率版本的格雷厄姆的产品猜想。
$2$-Restricted Optimal Pebbling Number of Some Graphs
本文研究满足区分数为2且半径至多为2的树及某些化学重要图（如烷烃）的2-限制最优鹅卵石数，并枚举相应最优配置。
A Note on Graph Pebbling
我们说一个图G是0类，如果它的卵石数正好等于它的顶点数。对一个正整数d，设k（d）表示最小正整数，使得每一个直径不超过d且连通度至少为k（d）的图G都是0类图.函数k的存在性由Clarke、Hochberg和Hurlbert证明，他们证明了如果函数k存在，那么它必须满足k（d）=Ω（2^d/d）。本文证明了k存在且满足k（d）=O（2^{2d}）.我们也应用这个结果来提高0类属性的随机图阈值的上界。
Pebbling on Directed Graphs with Fixed Diameter
卵石是一种在图上玩的游戏。单个玩家被给予图和卵石的配置，并且可以通过从一个顶点移除2个卵石并将一个卵石放置在相邻顶点以最终使一个卵石到达预定顶点来进行卵石移动。卵石数量$π(G)$是卵石的最小数量，无论其确切配置如何，玩家都可以使用卵石移动使卵石到达任何预定的顶点。先前的工作已经将$π(G)$与$G$的直径相关联。Clarke、Hochberg和Hurlbert证明了$n$顶点上直径为2的每个连通无向图都有$π(G) = n$，除非它属于一个特殊的图族，由那些可以以特定方式构造的图组成;在这种情况下，$π(G) = n +1$。通过推广Chan和Godbole的一个结果，Postle证明了对于直径为$d$的图，$π(G) \le n 2^{\lceil \frac{d}{2} \rceil} (1+o_n(1))$ .在这篇文章中，我们继续这项研究有关卵石和直径的重点是有向图。这导致了一些令人惊讶的结果。首先，我们证明了在有向有向图$G$中（在这个意义上，如果$i \to j$，那么我们就不能有$j \to i$），如果$G$的直径为2，则确实是$π(G) = n$或$n + 1$，如果$π(G) = n+1$，则有向图具有非常特殊的结构。在直径为2的一般有向图的情况下（即，如果$i \to j$，我们可能有也可能没有弧$j \to i$），我们证明了$π(G)$可以和$\frac…
Pebbling on $C_{4k+3}\times G$ and $M(C_{2n})\times G$
一个图$G$的鹅卵石数，$f(G)$，是最小的$p$，使得无论$p$鹅卵石被放置在$G$的顶点上，我们都可以通过一系列移动将鹅卵石移动到任何顶点，每次移动将两个鹅卵石从一个顶点移开，并将一个鹅卵石放置在相邻的顶点上。证明了对所有图$G$和$H$，$f(G\times H)\leq f(G)f(H)$ .如果图$G$满足奇二卵石性质，我们将证明$f(C_{4k+3}\times G)\leq f(C_{4k+3})f(G)$和$f(M(C_{2n})\times G)\leq f(M(C_{2n}))f(G)$，其中$C_{4k+3}$是$4k+3$阶的奇圈，$M(C_{2n})$是偶圈$C_{2n}$的中间图.
Computing Bounds on Product-Graph Pebbling Numbers
给定一个pebble分布到图的顶点，pebbling移动从一个顶点移除两个pebble，并将一个pebble放在相邻的顶点上。卵石数$π(G)$是最小的数，使得对于$π(G)$卵石到$G$的顶点的任何分布以及$G$的根顶点$r$的选择，存在将卵石放置在$r$上的卵石移动序列。计算$π(G)$可证明是困难的，并且最近用于界定$π(G)$的方法已被证明在计算上难以处理，即使对于中等大小的图。Graham证明了$π(G ~\square~ H) \leq π(G) π(H)$，其中$G ~\square~ H$是$G$和$H$的笛卡尔积（1989）。虽然这个猜想已经在特定的图族中得到了验证，但一般来说它仍然是开放的。本研究结合了重点开发一个计算上易于处理，基于IP的方法产生良好的界限$π(G ~\square~ H)$，以阐明格雷厄姆的conjecture.We的目标提供计算结果的各种笛卡尔积图，包括一些已知的满足格雷厄姆的猜想和一些不。我们的方法导致了一个相当大的改进最知名的界$π(L ~\square~ L)$，其中$L$是Lemke图，和$L ~\square~ L$是最小的已知潜在的反例格雷厄姆猜想。
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