Optimal pebbling number of graphs with given minimum degree
考虑连通图$G$上卵石的分布。卵石移动从一个顶点移除两个卵石，并将一个卵石放置到相邻的顶点。一个顶点在卵石分布下是可达的，如果它在应用一系列卵石移动后有一个卵石。最佳卵石数$π^*(G)$是我们可以以每个顶点可达的方式分布的卵石的最小数量。已知任何连通图的最优pebbling数至多为$\frac{4n}{δ+1}$，其中$δ$是图的最小度。我们通过证明平等是不可能达到的，并且这个界限是尖锐的，来加强这个界限。如果是$\operatorname{diam}(G)\geq 3$，那么我们进一步提高对$π^*(G)\leq\frac{3.75n}{δ+1}$的结合。另一方面，我们证明了对于任意大直径和任意$ε>0$，存在无穷多个图的最优pebbling数大于$\left(\frac{8}{3}-ε\right)\frac{n}{(δ+1)}$。
2018-04-10 math.CO
Optimal pebbling number of the square grid
图上的鹅卵石移动从一个顶点移除两个鹅卵石，并将一个鹅卵石添加到相邻的顶点。如果可以使用pebbling移动将pebble移动到某个顶点，则该顶点可以从pebble分布到达。最优卵石数$π_{opt}$是保证m个卵石的卵石分布所需的最小数m，从该卵石分布可以到达任何顶点。关于正方形网格图$P_n\square P_m$的最优pebbling数，已有多篇文献进行了研究.在本文中，我们提出了一个新的方法，利用最近的一些想法，给一个下界的$π_{opt}$。我们应用这种技术来证明，$π_{opt}(P_n\square P_m)\geq \frac{2}{13}nm$。我们的方法也给了$π_{opt}(P_n)=π_{opt}(C_n)=\left\lceil\frac{2n}{3}\right\rceil$一个新的证明。
2020-02-24 math.CO
$2$-Restricted Optimal Pebbling Number of Some Graphs
本文研究满足区分数为2且半径至多为2的树及某些化学重要图（如烷烃）的2-限制最优鹅卵石数，并枚举相应最优配置。
2025-01-06 math.CO
Pebbling and Optimal Pebbling in Graphs
给定图G的顶点上的卵石分布，{ \it卵石移动}从一个顶点取两个卵石，并将一个卵石放在相邻的顶点上。{ \it pebbling number} n（G）是最小的k，使得对于每个k个pebbles的分布和每个顶点r，有可能将pebbles移动到r。{ \it最优pebbling数} n_{OPT}（G）是使k个pebbles的某种分布允许到达每个顶点的最小k。我们给出了关于路、圈、树和超立方体的这些参数的先验结果的简短证明，一个新的计算树上的G_（OPT）的线性时间算法，以及关于G_（OPT）的新结果。若G是连通n-顶点图，则G_{OPT}（G）\le \ceiling{2n/3}，路与圈相等.若\bf{G}是最小度为k的n-点连通图族，则2.4 \le PDMATHABMQ_{OPT}（G）\frac{k+1}{n} \le 4当k>15且k是3的倍数时.最后，当G是最小度为k且围长至少为2 t +1的连通n-顶点图时，证明了G的\le为4^tn/（（k-1）^t+4^t）.当t=2时，最后一个界的更精确的形式是n_{OPT}（G）\le 16 n/（k^2+17）。
2005-10-28 math.CO
More on the $2$-restricted optimal pebbling number
本文解决了 $\pi_2^*(G)=5$ 连通图刻画的开放问题，改进 $n$ 阶树上界，并研究网格图及 corona、邻域 corona 的该参数。
2023-08-18 math.CO
Constructions for the optimal pebbling of grids
在[C. Xue、山核桃C.耶格尔：最优卵石分布在网格、图和组合学上]作者猜想，如果一个无限正方形网格的每个顶点都是卵石分布可达的，那么这个分布的覆盖率至多是$3.25$。首先，我们提出了这样的分布覆盖率$3.5$，反驳了猜想。上述论文的作者还声称证明了任何卵石分布的覆盖率至多为$6.75$。这个证明有一些错误。我们提出了几个有趣的卵石分布，这个证明似乎没有涵盖，并强调了这个主题的其他一些困难。
2017-04-06 math.CO
Critical Pebbling Numbers of Graphs
定义了连通图$G$的三个新的pebbling参数：$r$ -，$g$-和$u$ -临界pebbling数.与pebbling数、最优pebbling数、顶点数$n$和图的直径$d$一起，这产生7个图参数。我们确定这些参数之间的关系。我们研究了$r$ -临界pebbling数的性质，并区分了贪婪图、节俭图和$r$ -临界pebbling数为$2^d$的图.
2015-01-17 math.CO
A new lower bound on the pebbling number of the grid
图上的pebbling移动由从顶点移除$2$ pebbles和将$1$ pebbles添加到相邻顶点之一组成。一个顶点被称为可达的，如果我们可以把$1$卵石后，一系列的移动。一个图的最优卵石数是使得存在一个$m$卵石分布使得每个顶点可达的最小数$m$。对于正方形网格$n \times m$的情况，Gyamari，Katona和Papp最近表明，其最佳卵石数至少为$\frac{2}{13}nm \approx 0.1538nm$，至多为$\frac{2}{7}nm +O(n+m) \approx 0.2857nm$。我们改进的下界$\frac{5092}{28593}nm +O(m+n) \approx 0.1781nm$。
2021-11-25 math.CO
The Exact Growth Rate of Space-Optimal Reversible Pebbling on Chains
本文确定了链上空间最优可逆鹅卵石游戏的时间指数精确值，并证明该增长率作为极限存在且满足变分公式，统一适用于任意链长的最小空间完整计算。
2026-09-15 cs.CC math.CO
Restricted optimal pebbling is NP-hard
考虑一个图上卵石的分布。卵石移动从一个顶点移除两个卵石，并将一个卵石放置在相邻的顶点。一个顶点在卵石分布下是可达的，如果它在应用一系列卵石移动后有一个卵石。一个卵石分布是可解的，如果每个顶点在它下面都是可达的。卵石分布的大小是卵石的总数。最优卵石数$π^*(G)$是最小可解分布的大小。$t$限制卵石分布在每个顶点处放置最多$t$卵石。$t$限制的最优卵石数$π_t^*(G)$是最小可解$t$限制卵石分布的大小。证明了判定$π^*_2(G)\leq k$是否为NP完全问题。证明了$π_t^*(G)=π^*(G)$若$δ(G)\geq \frac{2|V(G)|}{3}-1$，并给出了满足$δ(H)\approx \frac{1}{2}|V(H)|$但不满足$π_t^*(H)\neqπ^*(H)$的图的无穷多个图，其中$δ$表示最小度.
2023-01-24 cs.CC math.CO
t-Pebbling and Extensions
图卵石移动是指通过卵石移动将离散卵石从图的顶点上的某些初始分布移动到各种目标分布的研究。一个卵石移动从一个顶点移走两个卵石，并将一个卵石放在它的一个邻居上（失去另一个作为通行费）。当t >= 1时，一个图的t-pebbling数是使从任意初始分布到任意顶点都有可能移动t个pebbles所需的最小pebbles数。给出了直径为2的图的t-pebbling数的最佳可能上界，证明了Curtis等人的一个猜想，在这个过程中。我们还给出了一个线性时间（在边数）算法的t-pebble这样的图，以及一个四次时间（在顶点数）算法来计算pebbling数这样的图，改进了最有名的结果Bekmetjev和Cusack。此外，我们表明，对于完全图，循环，树和立方体，我们可以允许目标是任何分布的t卵石，而不增加相应的t-pebbling数，我们猜想，这种行为适用于所有的图形。最后，我们研究了pebbling的分数形式和最优分数形式，证明了Hurlbert的分数pebbling数猜想，并利用线性最优化方法揭示了点传递图的最优分数pebbling数的结果.
2011-03-22 cs.DM math.CO
The Optimal Rubbling Number of Ladders, Prisms and Möbius-ladders
图上的鹅卵石移动在一个顶点上删除两个鹅卵石，并在相邻的顶点上添加一个鹅卵石。碎石是卵石的一个版本，其中允许额外的移动。在这个新移动中，在与顶点$u$相邻的顶点$v$和$w$处各移除一个卵石，并且在顶点$u$处添加额外的卵石。如果可以使用rubbling移动将pebble移动到某个顶点，则该顶点可以从pebble分布到达。最优的rubbling数是保证$m$卵石的卵石分布所需的最小数$m$，从该卵石分布可以到达任何顶点。我们确定了阶梯（$P_n\square P_2$），棱柱（$C_n\square P_2$）和Möblus阶梯的最佳揉擦数。
2016-01-09 math.CO
A note on the optimal rubbling in ladders and prisms
图G上的一个卵石移动是指从一个顶点移去两个卵石，并在相邻的一个顶点上放置一个卵石。Rubbling是pebbling的一个版本，其中允许额外的移动，也称为严格rubbling移动。在这个新的移动中，从u和v的顶点w附近各移除一个pebble，并在w上添加一个pebble。图G的最优rubbling数是最小的数m，使得一个卵石可以通过一系列的rubbling移动从m个卵石的卵石分布移动到每个给定的顶点。本文给出了确定圈的rubbling数和路、圈、梯、棱柱和梯形的最佳rubbling数的简短证明。
2019-09-04 math.CO
Rubbling and Optimal Rubbling of Graphs
图上的鹅卵石移动在一个顶点上删除两个鹅卵石，并在相邻的顶点上添加一个鹅卵石。碎石是卵石的一个版本，其中允许额外的移动。在这个新的移动中，一个卵石在顶点v和w上与顶点u相邻的地方被移除，一个额外的卵石在顶点u上被添加。如果可以使用rubbling移动将pebble移动到某个顶点，则该顶点可以从pebble分布到达。图的rubbling数是保证从m个pebbles的任何pebbles分布中可以到达任何顶点所需的最小数m。最优的rubbling数是保证m个pebble的pebble分布所需的最小数m，其中任何顶点都是可达的。本文确定了几类含圈图的Rubbling数和最优Rubbling数。
2007-07-28 math.CO
Bounds on the Rubbling and Optimal Rubbling Numbers of Graphs
图上的鹅卵石移动在一个顶点上删除两个鹅卵石，并在相邻的顶点上添加一个鹅卵石。碎石是卵石的一个版本，其中允许额外的移动。在这个新移动中，在与顶点$u$相邻的顶点$v$和$w$处各移除一个卵石，并且在顶点$u$处添加额外的卵石。如果可以使用rubbling移动将pebble移动到某个顶点，则该顶点可以从pebble分布到达。rubbling数是保证从$m$ pebble的任何pebble分布可到达任何顶点所需的最小数$m$。最优的rubbling数是保证$m$卵石的卵石分布所需的最小数$m$，从该卵石分布可以到达任何顶点。我们给出了边界的rubbling和最佳rubbling数。特别地，我们找到了$n$ -顶点直径$d$图的揉乱数的一个上界，并估计了直径为2的图的最大揉乱数。我们还给出了最优碎石数的一个精确上界，以及关于直径的精确上界和下界。
2010-09-27 math.CO
Pebbling Meets Coloring: Reversible Pebble Game On Trees
可逆卵石博弈是一个在有根DAG上进行的组合博弈。这个博弈是由Bennett（1989）引入的，其动机是设计空间有效的可逆算法。最近，Chan（2013）证明了任何DAG的可逆卵石博弈数与其Dymond-Tompa卵石数和Raz-McKenzie卵石数相同。作为我们的主要结果，我们表明，对于任何有根有向树T，其可逆卵石博弈数总是仅比T的底层无向树U的边秩着色数多一个。已知给定一个DAG G作为输入，确定其可逆卵石博弈数是PSPACE困难的。我们的结果意味着树的可逆卵石博弈数可以在多项式时间内计算。我们还解决的问题，找到所需的步骤数，以最佳卵石各种家庭的树木。众所周知，树可以以$n^{O(\log(n))}$步骤被pebble化，其中$n$是树中节点的数量。利用可逆卵石博弈和Dymond-Tompa卵石博弈（Chan，2013）之间的等价性，我们证明了完全二叉树可以在$n^{O(\log\log(n))}$步骤中被卵石化，这是对$n^{O(\log(n))}$的朴素上界的实质性改进。完整的二叉树是否能以多项式（以$n$为单位）的步数被pebbled仍然是一个未知数。为此，我们表明，几乎最优（即，对于任何常数$ε> 0$，在因子$(1 + ε)$内）完全二叉树的遍历可以以多项式数目的步骤完成。我们还显示了一个时间-空间权衡可逆卵石家庭的有界度树的分治方法：对于任何常数$ε> 0$，这样的…
2016-04-19 cs.CC cs.DM math.CO
Improved Upper Bounds on the Pebbling Numbers of the Blanuša Snarks
本文基于Hurlbert的权重函数引理，通过线性规划优化，将Blanuša蛇B₁和B₂的堆叠数上界分别改进至28和29，并重新验证了下界。
2026-05-14 math.CO
Tight Staircase Bounds for Cyclic Subsets below Dirac's Threshold
ECOPRO, Institute for Basic Science（基础科学研究所 ECOPRO）；School of Mathematics and Statistics, Zhengzhou University（郑州大学数学与统计学院）；School of Mathematics, Nanjing University（南京大学数学系）
研究狄拉克阈值以下正则图中循环子集数量的渐近下界，通过确定紧密阶梯界得出\(\operatorname{Cyc}(G)\geq (q - o(1))2^{n/q}\)，还证明了狄拉克边界处的最优指数率，揭示了最优指数率随\(d\)的变化规律。
2026-07-08 math.CO
Graph pegging numbers
在图钉住中，我们将图的每个顶点视为一个孔，可以将一个钉放入其中，允许类似于棋盘格的“钉住移动”。基于图卵石化问题的研究，我们引入了两个钉住量。图的钉住数（或称最优钉住数）是指对于图中每个（或称某些）分布的钉住数，任何顶点都可以通过一系列钉住移动到达的最小钉住数。本文证明了钉住的几个基本性质，并分析了几类图的钉住数和最优钉住数，包括路、圈、与完全图的乘积、超立方体和小直径图。
2008-04-07 math.CO
Cluster-Graph Edit Distance: Optimal Explicit Embeddings, Metric Proxies, and Complexity
该研究针对簇图的商编辑距离，推导其度量代理、多尺度嵌入与复杂性，提出相关模型与算法，证明其强NP完全性等计算性质，改进了欧氏失真上界。
2026-08-24 cs.CC cs.DS math.CO
