The normal zeta function of the free class two nilpotent group on four generators
Pirita Maria Paajanen
我们明确地计算了四个生成元上自由类二幂零群的正规zeta函数。这是赫希长度十的
We calculate explicitly the normal zeta function of the free class two nilpotent group on four generators. This has Hirsch length ten.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Functional equations for local normal zeta functions of nilpotent groups
本文给出了无挠2-幂零群的局部正规zeta函数的显式表达式，并给出了相应的Pfronan超曲面上的条件，这些条件一般由具有小中心和足够大的Abelianization的群所满足.我们展示了如何函数方程的两种类型的zeta函数-韦伊zeta函数与代数品种和zeta函数的代数群介绍了Igusa -匹配给一个函数方程的本地正常zeta函数的群体。对于一类2-幂零群幂零群（Grenham群），我们给出了显式公式并导出了函数方程，从而证实了du Sautoy的定理.
We prove that the subgroup zeta function and the normal zeta function of a finitely generated virtually nilpotent group are finite sums of Euler products of cone integrals over $\mathbb{Q}$ and we deduce from this that they have rational abscissa of convergence and some meromorphic continuation. We also define Mal'cev completions of a finitely generated virtually nilpotent group and we prove that the subgroup growth and the normal subgroup growth of the latter are invariants of its $\mathbb{Q}$-Mal'cev completion.
We introduce and study multivariate zeta functions enumerating subrepresentations of integral quiver representations. For nilpotent such representations defined over number fields, we exhibit a homogeneity condition that we prove to be sufficient for local functional equations of the generic Euler factors of these zeta functions. This generalizes and unifies previous work on submodule zeta functions including, specifically, ideal zeta functions of nilpotent (Lie) rings and their graded analogues.
Local functional equations for submodule zeta functions associated to nilpotent algebras of endomorphisms
给出了数域上自同态的幂零代数的子模zeta函数的一般局部函数方程的一个充分判据。这使我们，特别是，证明各种代数上的这种函数方程的理想zeta函数的幂零李格。通过Mal'cev对应，这些结果有关于zeta函数枚举任意类的生成幂零群中有限指数的正规子群的推论，特别是任意类的生成自由幂零群.
We produce explicit formulae for various ideal zeta functions associated to the members of an infinite family of class-$2$-nilpotent Lie rings, introduced in [1], in terms of Igusa functions. As corollaries we obtain information about analytic properties of global ideal zeta functions, local functional equations, topological, reduced, and graded ideal zeta functions, as well as representation zeta functions for the unipotent group schemes associated to the Lie rings in question.
A family of class-2 nilpotent groups, their automorphisms and pro-isomorphic zeta functions
一个广义生成的幂零群$Γ$的准同构zeta函数是一个Dirichlet生成函数，它枚举了有限指数子群，其准有限完备化与$Γ$的准有限完备化同构。这样的zeta函数可以表示为在与$Γ$相关联的代数自同构群的$p$-adic点上的$p$-adic积分的欧拉积。这样，它们就与局部域上代数群的经典zeta函数密切相关。我们描述了一类自然的$2$类幂零群的代数自同构群，这些群可以看作是奇Hirsch长度的$D^*$ -群的推广.一般的$D^*$ -群，即具有中心Hirsch长度$2$的“不可分解”的无挠类- $2$幂零群，被Grunewald和Segal分类为可分解的。我们计算的本地亲同构的zeta函数，我们的群体，并获得，特别是，明确的公式与$D^*$ -奇数Hirsch长度的群的本地亲同构zeta函数。从这些，我们推导出本地函数方程，为全球zeta函数，我们描述了收敛的横坐标，并找到亚纯连续。证明了二类幂零群的准同构zeta函数的收敛横坐标谱包含无穷多个聚点。例如，确定了奇Hirsch长度的$D^*$ -群的前同构zeta函数的全局收敛横坐标，并得到了聚点$6$ .
Let $\mathbf{G}$ be a unipotent group scheme defined in terms of a nilpotent Lie lattice over the ring $\mathcal{O}$ of integers of a number field. We consider bivariate zeta functions of groups of the form $\mathbf{G}(\mathcal{O})$ encoding, respectively, the numbers of isomorphism classes of irreducible complex representations of finite dimensions and the numbers of conjugacy classes of congruence quotients of the associated groups. We show that the domains of convergence and meromorphic continuation of these zeta functions of groups $\mathbf{G}(\mathcal{O})$ are independent of the number fi…
Representation zeta functions of some nilpotent groups associated to prehomogeneous vector spaces
本文计算了数域上整数环上与幂幺群模式相关的一类非生成幂零群的表示zeta函数。这些组计划定义的李格，其演示文稿是仿照某些预齐次向量空间。我们的方法是基于评估$\mathfrak{p}$ -进积分与一定的秩品种的矩阵的线性型。
Representation zeta functions of nilpotent groups and generating functions for Weyl groups of type B
研究了数域整数环上无挠生成幂零群的表示zeta函数，这些零群是幂幺群概型的有理点.利用Kirillov轨道方法和p-adic积分，证明了这些zeta函数的Euler积的几乎所有局部因子的合理性和函数方程。进一步给出了由三个无限群概型族得到的2-幂零群幂零群的zeta戴德金ζ函数的显式表达式，推广了积分Heisenberg群.作为一个直接的推论，我们得到精确的渐近这些群体的代表性增长，其zeta函数的关键分析性质，如亚纯连续。我们用B型有限外尔群的生成函数来表示这些zeta函数的局部因子。这使我们能够建立一个公式的联合分布的三个功能，或'南极洲'，对这样的外尔群。最后，我们比较我们的显式公式与p-adic积分的相对不变式的三个无限族的预齐次向量空间。
Let $L$ be a nilpotent algebra of class two over a compact discrete valuation ring $A$ of characteristic zero or of sufficiently large positive characteristic. Let $q$ be the residue cardinality of $A$. The ideal zeta function of $L$ is a Dirichlet series enumerating finite-index ideals of $L$. We prove that there is a rational function in $q$, $q^m$, $q^{-s}$, and $q^{-ms}$ giving the ideal zeta function of the amalgamation of $m$ copies of $L$ over the derived subring, for every $m \geq 1$, up to an explicit factor. More generally, we prove this for the zeta functions of nilpotent quiver rep…
Let $N$ be a finitely generated nilpotent group. The subgroup zeta function $ζ_N^{\leq}(s)$ and the normal zeta function $ζ_N^\lhd(s)$ of $N$ are Dirichlet series enumerating the finite index subgroups or the finite index normal subgroups of $N$. We present results about their abscissae of convergence $α_N^\leq$ and $α_N^\lhd$, also known as the degrees of polynomial subgroup growth and polynomial normal subgroup growth of $N$, respectively. We first prove some upper bounds for the functions $N\mapsto α_N^\leq$ and $N\mapstoα_N^\lhd$ when restricted to the class of torsion-free nilpotent group…
Uniform analytic properties of representation zeta functions of finitely generated nilpotent groups
设$G$是一个无挠生成的幂零群. $G$的表示zeta函数$ζ_G(s)$列举了$G$的有限维不可约复表示的扭曲类。证明了$ζ_G(s)$具有有理收敛横坐标$a(G)$，并且可以亚纯地延拓到$a(G)$的左边，并且在$\{s\in\mathbb{C} \mid \textrm{Re}(s) = a(G)\}$线上，除了在$s=a(G)$上的极点外，该延拓函数是全纯的.一个Tauberian定理产生一个精确的渐近结果的表示增长的$G$的位置和顺序的极点。我们得到这些结果作为一个更一般的结果建立一致的分析性质的表示zeta函数的生成幂零群的形式$\mathbf{G}(\mathcal{O})$，其中$\mathbf{G}$是一个幂零群计划定义的幂零李格环$\mathcal{O}$的整数字段。这使我们能够显示，特别是，横坐标的收敛的代表zeta功能的这些群体和他们的极点阶是不变量的$\mathbf{G}$，独立的$\mathcal{O}$。
Zeta functions of groups and enumeration in Bruhat-Tits buildings
本文介绍了一种新的方法来计算无挠生成的幂零群幂零群的局部正规zeta函数。它基于Sl_n（Q_p）的Bruhat-Tits建筑中的顶点计数。它使我们能够给明确的计算类2与小中心的群体，并推导出当地的函数方程。例子包括非均匀正常zeta函数的公式。
Geometric structure of class two nilpotent groups and subgroup growth
本文给出了第二类幂零群的正规zeta函数的一个显式表达式，其对应的Pfronan超曲面是光滑的.特别是，我们展示了如何当地的zeta函数依赖于计数模p有理点的相关品种，我们描述了品种，可以出现在这样的分解。作为推论，我们也建立明确的结果，在这些群体的多项式多项式的次数子群增长，我们研究了这个zeta函数的极点的行为。在一定的几何条件下，我们还证实了这些函数满足一个函数方程。
We consider coincidence Reidemeister zeta functions for tame endomorphism pairs of nilpotent groups of finite rank, shedding new light on the subject by means of profinite completion techniques. In particular, we provide a closed formula for coincidence Reidemeister numbers for iterations of endomorphism pairs of torsion-free nilpotent groups of finite rank, based on a weak commutativity condition, which derives from simultaneous triangularisability on abelian sections. Furthermore, we present results in support of a Pólya-Carlson dichotomy between rationality and a natural boundary for the an…
The subgroup zeta function and the normal zeta function of a finitely generated virtually nilpotent group can be expressed as finite sums of Dirichlet series admitting Euler product factorization. We compute these series except for a finite number of local factors when the group is virtually nilpotent of Hirsch length 3. We deduce that they can be meromorphically continued to the whole complex plane and that they satisfy local functional equations. The complete computation (with no exception of local factors) is presented for those groups that are also torsion-free, that is, for the 3-dimensio…
A nilpotent group without local functional equations for pro-isomorphic subgroups
无挠群生成的幂零群G的准同构zeta函数枚举有限指数子群H使得H和G有同构的准有限完备化.它承认欧拉积分解，由有理素数索引。我们构造了无挠群生成的幂零群G的第一个例子，使得它的准同构zeta函数的局部Euler因子不满足函数方程。群G的幂零性等级为4，Hirsch长度为25。它是通过Malcev对应从具有适当代数自同构群Aut（L）的Z-Lie格L得到的。
We consider pro-isomorphic zeta functions of the groups $Γ(\mathcal{O}_K)$, where $Γ$ is a unipotent group scheme defined over $\mathbb{Z}$ and $K$ varies over all number fields. Under certain conditions, we show that these functions have a fine Euler decomposition with factors indexed by primes $\mathfrak{p}$ of $K$ and depending only on the structure of $Γ$, the degree $[K : \mathbb{Q}]$, and the cardinality of the residue field $\mathcal{O}_K / \mathfrak{p}$. We show that the factors satisfy a certain uniform rationality and study their dependence on $[K : \mathbb{Q}]$. Explicit computation…
Let p be a prime number. We give the explicit structure of 2- nilpotent multiplier for each finite 2-generator p-group of class two. Moreover, 2-capable groups in that class are characterized.
Computing topological zeta functions of groups, algebras, and modules, II
在我们以前的工作（arXiv：1405.5711）的基础上，我们开发了计算幂零群，非结合代数和模的拓扑zeta函数的第一个实用算法。虽然我们以前依赖于非简并假设，但这里开发的理论使我们能够在各种有趣的情况下克服这些限制。
Enumerating graded ideals in graded rings associated to free nilpotent Lie rings
本文对所有$c\leq2$和$(c,d)\in\{(3,3),(3,2),(4,2)\}$计算了与幂零类$c$的自由$d$ -生成元Lie环$\mathfrak{f}_{c,d}$相关联的分次Lie环中的分次理想的zeta函数.我们应用我们的计算来获得有关$\mathfrak{p}$ -进，减少和拓扑zeta函数的信息，特别是有关他们的程度和一些特殊的价值观。
Restriction estimates for the free two step nilpotent group on three generators
设$G$是三个生成元上的自由二步幂零李群，$L$是其上的一个次拉普拉斯算子，我们计算了$L$的谱分解，并证明了由此分解产生的算子具有Tomas-Stein型估计.
Normal subgroup growth in free class-2-nilpotent groups
设$F_{2,d}$表示$d$生成元上的自由2类幂零群.我们计算了正规zeta函数$ζ^\triangleleft_{F_{2,d}}(s)$，证明了它们满足局部函数方程，并确定了它们的收敛横坐标和极点阶。
Subgroup growth in free class-$2$-nilpotent groups
本研究提出计算任意生成元数的自由2类幂零群局部子群zeta函数的有效程序，得到d=4时的显式公式、d∈{4,5}时的拓扑子群zeta函数，还给出两类子代数zeta函数的相关结果，部分证实了T. Rossmann的猜想。
Enumerating finite class-2-nilpotent groups on 2 generators
通过给出g（n，2，2）n^{-s}的Dirichlet生成函数\sum_{n=1}^\的显式公式，计算了由至多2个生成元生成的至多2类n阶幂零群的个数g（n，2，2）.
On pro-isomorphic zeta functions of $D^*$-groups of even Hirsch length
本研究针对偶Hirsch长度的$\u211a$-不可分解$D^*$-群，刻画其李格自同构群，确定$t^2$、$t^3$对应群的局部pro-同构zeta函数，提出函数方程对称因子的猜想，并将部分结果推广至两类无限幂零群族。
Computing topological zeta functions of groups, algebras, and modules, I
我们开发的技术计算zeta函数与幂零群，不一定是结合代数，和模块，以及Igusa型zeta函数。在我们的方法的核心在于一个显式的凸几何公式的一类$p$ -adic积分的非退化条件下，相关的牛顿多面体。我们的技术被证明是特别有用的拓扑zeta函数与代数的计算，从而在第一次系统的调查，其性质。
Counting subgroups in a family of nilpotent semi-direct products
本文计算了$$G_n=<x_1,...,x_n,y_1,...,y_{n-1}|[x_i,x_n]=y_i, 1\leq i\leq n-1, \text{all other $[,]$ trivial}>$$型群的幂零半直积的子群zeta函数，并导出了局部函数方程。
On the structure of some one-generator nilpotent braces
该研究刻画了单元素生成的幂零左 brace 的结构，为理解此类代数对象提供了详细结果。
Enumerating submodules invariant under an endomorphism
本文研究数域的（$S$ -）整数环上的Zeta函数，其中Zeta函数枚举的子模在有限生成模的自同态下是不变的.特别地，我们计算了包含戴德金ζ函数的显式公式，并建立了这些泽塔函数在复平面上的亚纯延拓.作为应用，我们证明了极大类幂零李代数的理想zeta函数具有收敛横坐标$2$ .
Zeta functions of groups - singular Pfaffians
第二类无挠幂零群$G$的局部正规zeta函数依赖于与在$G$中取算子所诱导的双线性型相关联的Pfronan超曲面的几何。非齐次齐次的zeta函数的最小例子来自于与之相关的Pfronan超曲面是平面曲线的群。在本文中，我们研究的群体的Pfizzan定义奇异曲线，说明当地正常zeta函数确实可以调用所有的Pfizzan退化轨迹。
We prove that the theory of the $p$-adics ${\mathbb Q}_p$ admits elimination of imaginaries provided we add a sort for ${\rm GL}_n({\mathbb Q}_p)/{\rm GL}_n({\mathbb Z}_p)$ for each $n$. We also prove that the elimination of imaginaries is uniform in $p$. Using $p$-adic and motivic integration, we deduce the uniform rationality of certain formal zeta functions arising from definable equivalence relations. This also yields analogous results for definable equivalence relations over local fields of positive characteristic. The appendix contains an alternative proof, using cell decomposition, of t…
Maximal abelian normal subgroups in Nilpotent groups of class 2
幂零群N中的极大交换正规子群A是自中心的.这使得它们在决定幂零群的结构中扮演了重要的角色。例如，如果A是有限的，那么N也是有限的。在第二类自由幂零群中，这样的群总是中心的循环扩张。然而，这在任意的二阶生成的类二幂零群中不一定成立。我们证明了三个生成元幂零群违反这个条件是很容易找到的，但是当有四个或更多的生成元时，某些条件必须成立。
Analytic properties of zeta functions and subgroup growth
在本文中，我们介绍了一些新的方法来理解的解析行为的zeta函数的一组。然后，我们可以将这些知识与适当的Tauberian定理相结合，推导出关于幂零群中子群增长的结果。为了说明我们的结果，我们引入以下符号。设α为实数，N为非负整数，定义s_N ^α（G）= sum_{n=1} ^Na_n（G）/n ^α.主要定理：设G是一个非线性生成的幂零无限群。(1)证明了Re_G（s）的收敛横坐标α（G）是一个有理数，并且当δ> 0时，Re_G（s）可以亚纯延拓到Re（s）> α（G）-δ.除了在s = α（G）处的极点外，连续函数在\Re（s）=（α）G上是全纯的. (2)存在一个非负整数b（G）和一些实数c，c '使得对N \rightarrow \infty，s_{N}（G）~cN ^{α（G）}（\log N）^{b（G）} s_{N} ^{α（G）}（G）~c'（\log N）^{b（G）+1}.
Q-tensor square of finitely generated nilpotent groups, q >= 0
推广到群$G$的$q-$张量平方$G \otimes^q G$，$q$为非负整数，得到了R. D. Blyth，F. Fumagalli和M. Morigi关于非阿贝尔张量平方$G \otimes G$（$q = 0$）。这些结果被应用到计算的$G \otimes^q G$的非生成的幂零群$G$，特别是有限秩的自由幂零群。它们也推广到M. Bacon关于非交换张量平方$G \otimes G$的生成元的最小个数的上界，当$G$是类2的$n-$生成元幂零群时.本文最后计算了自由$n-$生成元幂零群$n \geq 2$的$q-$张量平方，对所有$q \geq 0.$，这表明当$q > 1.$
Let $G$ be a finitely generate nilpotent class-2 torsion-free group. We study how the zeta function enumerating normal subgroups of G varies on residue classes. In particular, we show that for small such $G$ of Hirsch length less than or equal to 7, the normal zeta functions are generically always rational functions on residue classes. We then show that there are examples of groups with Hirsch length 8 whose normal zeta function is not a rational function on residue classes. We observe the connection to Higman's PORC conjecture.
Coloured shuffle compatibility, Hadamard products, and ask zeta functions
本文提出一种显式方法，利用着色洗牌兼容性计算有理生成函数的Hadamard积组合公式，从而推广Gessel和Zhuang的工作并应用于ask zeta函数及幂零群计数zeta函数。
Functional equations for zeta functions of groups and rings
我们介绍了一种新的方法来计算各种zeta函数与群和环的显式公式。这些公式的具体形式使我们能够推导出局部函数方程。更确切地说，我们证明了当地的函数方程的子环zeta函数与环，子群，共轭和代表zeta函数的生成，无挠幂零（或$\T$ -）群，和正常zeta函数的$\T$ -群的类2。特别地，我们解决了\cite [第5节]{duSG/06}中提出的两个问题。我们推导出我们的定理从“蓝图的结果”某些$p$进积分的推广工作Denef和其他Igusa的局部zeta函数。Malcev对应和Kirillov型理论开发的Howe被用来“线性化”的问题计数子群和陈述$\T$ -群，分别。
Univariate and bivariate zeta functions of unipotent group schemes of type $G$
本文计算了一类由G型幂幺群概型推广而来的无挠幂零群的表示与类计数zeta函数，通过特殊化双变量zeta函数得到单变量结果，并推导出B型Weyl群上的联合分布公式。
On the Automorphism Tower of Free Nilpotent Groups
本文研究了自由幂零群的自同构塔。我们研究自同构塔的主要工具是把每个群作为格嵌入到某个李群中。利用已知的刚性结果，离散群的自同构群可以嵌入到李群的自同构群中。这使我能够提升对自由幂零李代数的导子塔的描述，从而获得关于自由幂零群的自同构塔的信息。本文的主要结果是：自由幂零群$Γ(n,d)$在$n$生成元和幂零类$d$上的自同构塔，经过多次迭代后稳定。如果幂零类与生成元的数量相比很小，则自同构塔的高度至多为3。
Random walks on nilpotent groups driven by measures supported on powers of generators
本文研究了广义幂零群上测度的大族$μ_{S,a}$的卷积幂的衰减。这里，$S=(s_1,...,s_k)$是群元素的生成$k$元组，而$a= (α_1,...,α_k)$是区间$(0,2)$中实数的$k$元组.对称度量$μ_{S,a}$由$S^*=\{s_i^{m}, 1\le i\le k,\,m\in \mathbb Z\}$支持，并给出与$$(1+m)^{-α_i-1}$$到$s_i^{\pm m}$，$i=1,...,k,$ $m\in \mathbb N$成比例的概率。当$n$趋于无穷大时，我们确定了返回概率$μ_{S,a}^{(n)}(e)$的行为。这种行为以某种微妙的方式取决于$k$元组$a$和生成元$s_i$在较低中心序列$G_{j}=[G_{j-1},G]$ $G_1=G$中的位置之间的相互作用。
We prove a dichotomy between rationality and a natural boundary for the analytic behavior of the Reidemeister zeta function for automorphisms of non-finitely generated torsion abelian groups and for endomorphisms of groups $\mathbb Z_p^d,$ where $\mathbb Z_p$ the group of p-adic integers. As a consequence, we obtain a dichotomy for the Reidemeister zeta function of a continuous map of a topological space with fundamental group that is non-finitely generated torsion abelian group. We also prove the rationality of the coincidence Reidemeister zeta function for tame endomorphisms pairs of finitel…
A note on the existence of the Reidemeister zeta function on groups
本文研究群上Reidemeister zeta函数的存在性问题，指出其定义要求所有迭代自同态的Reidemeister数有限，证明无挠几乎多循环群上该函数为有理函数，并给出有限生成无挠幂零群自同构情形的部分存在性结果。
This is the second of two papers introducing and investigating two bivariate zeta functions associated to unipotent group schemes over rings of integers of number fields. In the first part, we proved some of their properties such as rationality and functional equations. Here, we calculate such bivariate zeta functions of three infinite families of nilpotent groups of class 2 generalising the Heisenberg group of three by three unitriangular matrices over rings of integers of number fields. The local factors of these zeta functions are also expressed in terms of sums over finite hyperoctahedral …
On finite groups whose Sylow subgroups have a bounded number of generators
设G是有限非幂零群，使得G的每个Sylow子群至多由d个元生成，且p是除|G|的最大素数.我们证明了G有一个非幂零像G/N，使得N是特征的，且其指数由一个函数d和p有界.这个结果将被用来证明G的弗拉蒂尼子群的指数是有界的.对于可解群，我们将给出明确的上界.
Knapsack problem for nilpotent groups
本文证明了对于幂零类2的任何群，如果导出子群的生成元（无挠）的个数至少为322，则背包问题（KP）是不可判定的。这一结果加上如果KP对一个子群不可判定则它对整个群不可判定的事实，使得我们可以把我们的结果推广到某些类的多环群、线性群和高幂零类的幂零群幂零群.
Pro-isomorphic zeta functions of some $D^\ast$ Lie lattices of even rank
本文计算由不可约非线性整系数多项式参数化、对应 Grunewald–Segal 群族的偶数秩二类幂零 Lie 格在几乎所有素数处的局部亲同构 ζeta 函数，并用满足变量反演函数方程的组合有理函数族表达结果。
Irreducible representations of a family of groups of maximal nilpotency class I: the non-exceptional case
我们用构造性的方法得到了一类具有极大幂零类的n-生成幂零群Mn的p-局部表示zeta函数.对于与所有素数p < n互质的表示维数，我们通过定义这些表示的矩阵的标准式来构造Mn的所有不可约表示，并且在考虑扭曲和同构之后，计算这些扭曲同构以获得我们的p-局部zeta函数。
Some Inequalities for Nilpotent Multipliers of Powerful $p$-Groups
本文给出了幂p-群的c-幂零乘子（关于至多为$c \geq 1$类的幂零群簇的Baer不变量）的阶、指数和生成元个数的不等式.我们的结果推广了Lubotzky和Mann $^{,}$的一些结果（Journal of Algebra，105（1987），484-505.）到幂零乘数同时，我们给出了一些具体的例子，证明了所得结果的严密性，改进了已有的一些不等式。
Some Inequalities for Nilpotent Multipliers of Finite Groups
本文给出了有限群，特别是有限$p$ -群的$c$ -幂零乘子（关于至多为$c \geq 1$类的幂零群簇的Baer不变量）的阶、指数和生成元个数的不等式.我们的结果推广了M. R.琼斯和核磁共振莫卧儿此外，我们表明，我们的结果改进了以前的一些不等式。
Certain locally nilpotent varieties of groups
设$c\geq 0$，$d\geq 2$为整数，$\mathcal{N}_c^{(d)}$为群簇，其中每个$d$ -生成子群至多为$c$类幂零. N.D. Gupta提出了这个问题，对于$c$和$d$的什么值，$\mathcal{N}_c^{(d)}$是局部幂零的？证明了若$c\leq 2^d+2^{d-1}-3$，则簇$\mathcal{N}_c^{(d)}$是局部幂零的，并将Gupta关于$\mathcal{N}_c^{(d)}$中周期群的问题归结为该簇中的素幂有限指数群.
A central limit theorem for connected components of random coverings of manifolds with nilpotent fundamental groups
本文研究了当基本群为 nilpotent 时随机覆盖连通分支数量的中心极限定理，结合 du Sautoy 和 Grunewald 的子群增长 zeta 函数理论及 Delange 的 Wiener-Ikehara 定理推广。
Uniformity and Functional Equations for Local Zeta Functions of $\mathfrak{K}$-Split Algebraic Groups
本文研究了定义在$\mathfrak{K}$上的代数群$\mathcal{G}$的局部zeta函数，以及$\mathbb{Q}$的有限扩张$\mathfrak{K}$的忠实$\mathfrak{K}$ -有理表示$ρ$.这些由$\mathfrak{p}$上的积分给出-$\mathcal{G}$的adic点由$ρ$确定，对于$\mathfrak{K}$的素数$\mathfrak{p}$。证明了对于所有幂幺根满足某种提升性质的$\mathfrak{K}$ -分裂群，局部zeta函数几乎是一致的.如果$\mathcal{G}$是还原的，则自动满足此属性。我们提供了一个进一步的标准方面的不变量的$\mathcal{G}$和$ρ$，保证当地zeta函数满足函数方程的几乎所有素数的$\mathfrak{K}$。我们通过使用Iwahori和Matsumoto [IM]的$\mathfrak{p}$ -adic Bruhat分解将zeta函数表示为与多面体锥的格点上的生成函数的$\mathcal{G}$相关联的Weyl群$W$上的加权和来获得这些结果。函数方程反映了外尔群的对称性和组合对象的相互作用之间的相互作用。我们构建家庭的群体表示违反我们的第二个结构标准，其局部zeta函数不满足函数方程。我们的工作推广了Igusa [Igu]和du Sautoy和Lubotzky [dSL]的结果，并对生成…
Zeta functions of $\mathbb{F}_p$-Lie algebras and finite $p$-groups
本文提出计算 $\mathbb{F}_p$-李代数 zeta 函数的通用蓝图方法，获得新例子的显式公式，并通过 Lazard 对应为指数 $p$ 的有限 $p$-群提供子群计数，探讨其与有限 $p$-群研究的联系。
Positive laws on generators in powerful pro-p groups
若G是满足某个律v=1的幂p群，且G可由满足某个正律的有限宽正规子集T生成，则证明了G是幂零的.此外，G的幂零类可以根据素数p、G的生成元个数、律v=1、T的宽度和正律的次数有界。这个结果的主要兴趣是应用于动词子群：如果G是p-adic解析pro-p群，其中一个词w的所有值都满足正律，并且如果动词子群w（G）是幂的，则w（G）是幂零的。
The free nilpotent group $G_{m,n}$ of class $m$ and rank $n$ is the free object on $n$ generators in the category of nilpotent groups of class at most $m$. We show that $G_{m,n}$ can be recovered from its reduced group $C^*$-algebra, in the sense that if $H$ is any group such that $C^*_r(H)$ is isomorphic to $C^*_r(G_{m,n})$, then $H$ must be isomorphic to $G_{m,n}$.
Coarse length can be unbounded in 3-step nilpotent Lie groups
本文针对3步幂零单连通李群，给出了一个例子证明给定生成元中的“$\mathbb{R}$-字”无法被等长且方向改变次数有界的$\mathbb{R}$-字替代，表明其粗长度可以无界。
The twisted conjugacy problem for pairs of endomorphisms in nilpotent groups
构造了一个算法，当给出一个显式表示的一个非线性生成的幂零群$G,$决定任何一对自同态$φ, ψ: G \to G$和任何一对元素$u, v \in G,$是否方程$(xφ)u = v (xψ)$有一个解决方案$x \in G.$因此，它表明该问题的标题是可判定的.我们还提出了一个算法，产生一个有限集的生成子的所有元素$u \in G$（均衡器）$Eq_{φ, ψ}(G) \leq G$，使$u φ= u ψ.$
The action of a nilpotent group on its horofunction boundary has finite orbits
研究了具有有限生成集S的幂零群G在其次函数边界上的作用.我们表明，有一个有限的轨道相关联的多面体的每一个方面，通过投影S到无限分量的阿贝尔G。我们还证明了这些是唯一的有限轨道的Busemann点。最后，我们详细研究了海森堡群及其通常的生成元。
The Reidemeister and the Nielsen numbers: growth rate, asymptotic behavior, dynamical zeta functions and the Gauss congruences
本文从动力学角度研究Reidemeister和Nielsen数序列的增长速率、渐进行为及高斯同余，证明了相关ζ函数的有理性和序列的生长特性。
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