Model theory of valued fields
Raf Cluckers
对值域的模型论的未来发展提出了建议。我们还总结了最近关于p-adic数的一些结果。
We give a proposal for future development of the model theory of valued fields. We also summarize some recent results on p-adic numbers.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Residue field domination in real closed valued fields
定义了值域的剩余域控制概念，推广了代数闭值域的稳定控制。证明了在纯域排序和几何排序中，一个实封闭的值域在值域群上都被剩余域内部的排序所支配。这些结果刻画了实封闭的值域（也包括代数封闭值域）中的分叉和双分叉.我们为推广这些结果到幂有界的$T$ -凸理论打下了基础。
Residue field domination in henselian valued fields of equicharacteristic zero
本文研究了具有等特征零的Henselian值域的Ax-Kochen/Ershov型控制问题.
Computable valued fields
本文研究了值域的可计算性理论性质，特别是代数闭值域和$p$ -代数闭值域。本文给出了一个与Hensel引理有关的值域上的有效性条件，该条件是将赋值推广到任意代数扩张的充要条件。我们证明了存在一个可计算的形式$p$ -adic域，它不嵌入到任何可计算的$p$ -adic闭包中，但我们给出了一个关于值群中的整除关系的有效性条件，该条件足以找到这样的嵌入.通过检验无限超越度的代数闭值域和$p$ -代数闭值域具有Mal'cev性质，证明了它们具有可计算维数$ω$ .
Residue field domination in some henselian valued fields
该研究将稳定支配与剩余域支配相关结果推广到带有界伽罗瓦群的等特征0亨泽尔赋值域，同时给出代数闭值域中域参数上型的稳定支配的等价刻画，推进了赋值域模型论研究。
Strongly minimal reducts of valued fields
证明了特征为0的代数闭值域的强极小非局部模约简若包含+，则该约简与其基础域是双可解的.
Model theoretic properties of metric valued fields
我们研究模型论属性的价值领域（配备了实值乘法赋值），被视为度量结构连续一阶逻辑。由于技术上的原因，我们倾向于不直接考虑赋值域$(K,|{\cdot}|)$，而是考虑相关的射影空间$K\bP^n$，作为有界度量结构。利用$MVF$理论证明了度量值域上的射影空间类是初等的，并且证明了射影空间$\bP^n$和$\bP^m$对每个$n,m \geq 1$都是双可解释的.理论$MVF$承认一个模型完备化$ACMVF$，代数闭度量值域的理论（具有非平凡赋值）。这个理论是严格稳定的（甚至在微扰下）。同样，我们表明，理论的实封闭度量值字段，$RCMVF$，是模型伴侣的理论，正式的实度量值字段，它是依赖的。
Tameness Properties in Multiplicative Valued Difference Fields with Lift and Section
该研究证明带剩余域提升映射的Pal乘性赋值差分域的相对量词消去，并将赋值域的NIP转移结果推广至NTP₂，得出这类域为NTP₂等价于值群与剩余域为NTP₂的结论。
Artin-Schreier extensions and combinatorial complexity in henselian valued fields
本文通过显式公式控制混合特征henselian值域的p-扩张，将NIP分类推广到NIPn语境，并证明NIPn henselian值域在NIP剩余域下是NIP的，同时讨论NTP2的驯良性。
One dimensional commutative groups definable in algebraically closed valued fields and in the pseudo-local fields
本文给出了代数闭赋值域与伪局部域中可定义的一维群的完整列表，精确到有限指数子群及有限子群的商。
Distality in valued fields and related structures
研究了值域及相关结构中远点扩张的存在性和远点性。特别地，我们刻画了一大类有序阿贝尔群的远端性，给出了henselian值域的AKE式刻画，并证明了域的某些扩展，例如，对数-指数跨系列的微分场，都是远端的。作为分析值域的一种新工具，我们对阿贝尔群的纯短正合列采用了相对量词消去法。
Unexpected imaginaries in valued fields with analytic structure
我们给出了一个例子，一个假想的定义在某些领域的分析结构，不能编码的“几何”排序，足以编码的所有questionaries在相应的代数设置。
Dp-minimal valued fields
我们证明了dp-极小值域是Henselian的，并且一个可定义V型拓扑的dp-极小域是实封闭的，代数封闭的或可定义非平凡的Henselian赋值.给出了无附加结构的dp-极小阿贝尔群和dp-极小序域的分类.
Imaginaries in separably closed valued fields
我们表明，可分离闭值域的有限不完善度（无论是与Escuda函数或交换Hasse导子）消除几何语言中的不确定性。然后，我们使用这种分类的可解释集研究这些结构中的稳定主导类型。证明了有限不完备度的可分离闭值域是亚稳定的，且稳定控制型空间是严格可预定义的。
Equivalence of Valued Fields with Valuation Preserving Automorphism
我们通过削弱Belair，Macintyre和Scanlon对剩余差域的假设，改进了他们关于赋值域保持自同构的结果。在等特征零情形下，我们还确定了剩余差域和值群上的诱导结构。
The Ax-Kochen-Ershov principles via the higher valued hyperfield
本文利用高阶值超域研究有限分歧亨塞尔赋值域的模型论，证明了多个阿克斯-科琴-埃尔绍夫定理，并由此推导出完全理论与存在性理论可判定性的转移。
NIP henselian valued fields
证明了任何驯服的Hensel值域理论是NIP的当且仅当它的剩余域理论和它的值域群理论是NIP的。证明了若$(K,v)$是剩余特征$\mathrm{char}(Kv)=p$的Hensel值域，且在$p>0$情形下$K^\times/(K^\times)^p$是有限的，则$(K,v)$是NIP当且仅当$Kv$是NIP且$v$是大致驯服的.
Interpretable fields in real closed valued fields and some expansions
设$\mathcal M=\langle K;O\rangle$是一个实封闭的值域，$k$是它的剩余域.我们证明了$\mathcal M$中的每个可解释域都定义同构于$K$、$K(\sqrt{-1})$、$k$或$k(\sqrt{-1})$。当$K$是$T$的一个模型，$T$是一个实封闭的域的o-极小幂有界扩张，$O$是一个$T$ -凸子环时，同样的结果也成立.证明是直接的，并没有利用已知的结果消除值域中的矩阵。
A short note on groups in separably closed valued Fields
本文证明了在有限不完全度的可分离闭值中具有可定义泛域的群可以嵌入到在其代数闭包中可定义的群中。
Imaginaries and invariant types in existentially closed valued differential fields
我们回答两个开放的问题模型论的价值微分场介绍了斯坎伦。我们表明，他们消除了Haskell，Hrushovski和Macpherson介绍的几何语言中的二义性，他们有不变的扩展属性。这两个结果遵循一个抽象的标准，可定义的类型在丰富的代数闭值领域的密度。最后，我们证明了这个理论是亚稳态的。
A characterization of pseudo complete finitely ramified valued fields through a Hahn-like construction
本文在连续统假设下，通过Cohen域上的类Hahn构造，表征了特定基数值群的混合特征有限分歧ω-伪完全赋值域，推广了Ax、Kochen的相关经典结果。
The domination monoid in henselian valued fields
本文研究亨泽尔赋值模型论中各类结构的支配幺半群，在一般设定下建立Ax-Kochen-Ershov型归约，并对具体情形给出完整计算。
Quantifier Elimination for Valued Fields Equipped with an Automorphism
我们提供公理化和相对量词消除价值领域配备了自同构，在剩余特征零。类似的结果是已知的强假设之间的相互作用的自同构和估值。我们删除这些假设，并提供一般处理。作为结果，我们得到一个公理化的transseries领域（作为一个价值领域的自同构）配备了自同构发送f（x）的f（x+1）。
Quantifier elimination on some pseudo-algebraically closed valued fields
除了环语言的分裂系数的函数符号、相对$p$坐标函数的函数符号和赋值的除法谓词之外，伪代数闭非平凡值域的某些理论还允许量词消去。它还表明，在同一语言的伪代数封闭的非平凡值字段的一个给定的指数的不完善的理论不承认量词消除，由于伽罗瓦理论的障碍。
Burden in Henselian Valued Fields
在Ax-Kochen-Ershov原理的精神下，我们证明了在某些情况下，Hensel值域的负担可以根据它的剩余域的负担和它的值群的负担来计算。要做到这一点，我们首先看到这样一个字段的负担等于其RV排序的负担。这些结果是Chernikov和Simon工作的概括。
$T$-convexly valued o-minimal fields are definably spherically complete
通过引用arXiv:2404.07646(2)的结果证明$T$-凸值o-极小域的可定义球面完备性，否定了[1]中问题1.1对赋值域某些扩张的肯定性。
Grothendieck rings of \mathbb{Z}-valued fields
本文在逻辑语言和K上的一些条件下证明了整数域K的Grothendieck环的平凡性。我们构造了一个从平面K^2到其自身减去一个点的可定义双射。当我们专门研究具有有限剩余域的局部域时，我们构造了一个从赋值环到其自身减去一个点的可定义的双射。
Relative model completeness of henselian valued fields with finite ramification and various value groups
针对混合特征有限分歧 Hensel 赋值域，本文在两类值群条件下构造单类语言，证明其理论相对于模型完全的剩余域理论具有模型完全性。
On Model Theory of Valued Vector Spaces
与值域类似，我们通过证明下至骨架、下至值域和基域的传递原理，研究了具有可变基域的值向量空间的模型论性质。例如，我们给出了一个公式，该公式根据其基字段和其值集的负担来计算其负担。为了做到这一点，我们研究这些转移原则的上下文中的词典产品的结构。
Extension bases in Henselian valued fields
该研究针对剩余特征为零的亨泽尔赋值域，给出参数集成为扩张基的若干充分条件，突破了以往仅关注极大完全参数集的局限，还证明了p进数域超积的虚扩张中分叉与划分一致。
Strongly minimal group relics of algebraically closed valued fields
该研究针对代数闭值域（ACVF）的归约结构，证明了扩张加法群$(K,+)$或乘法群$(K^*,\cdot)$的归约满足齐尔伯三分法，推进了模型论中强极小结构分类的相关研究。
Quantifier elimination and minimality conditions in algebraically closed valued fields
在Hrushovski-Kazhdan积分理论中引入了Basarab-Kuhlmann风格的语言L_RV。代数闭值域的理论ACVF用这种语言表述，允许量词消去。本文利用值域理论中的一些著名事实，给出了这一事实的一个直接证明。我们还表明，ACVF的两个扩展，一个部分的整个RV排序和其他部分的剩余域，承认量词消除。此后，我们表明，在某些极小条件，这三个理论是不同的几何。
Burden of henselian valued fields in the Denef-Pas language
在Ax-Kochen/Ershov原理的启发下，大量关于Hensel值域的问题被证明可以归结为关于值域群和剩余域的类似问题.本文研究了三排序Denef-Pas语言中Hensel值域的负担问题。如果$T$是容许相对量词消去的Hensel值域理论（在任何特征中），我们证明了$T$的负担等于它的值群和剩余域的负担之和.因此，$T$是NTP ${}_2$当且仅当它的剩余域和值组是;对于语句“$T$是强的”和“$T$具有有限的负担”也是如此。"
An Approximate AKE Principle for Metric Valued Fields
本文基于连续逻辑研究度量值域，提出在投影线上的一种近似AKE原理，描述了等价性与余域和值群的关系，并证明了度量值差域在任意特征下无模型伴。
Stably embedded submodels of Henselian valued fields
我们展示了一个转移原则的财产，实现在一个给定的基本扩展的所有类型是可定义的。它可以表述为：Hensel值域稳定嵌入初等扩张当且仅当它的值群稳定嵌入对应的扩张，它的剩余域稳定嵌入对应的扩张，并且值域的扩张满足一定的代数条件.例如，我们证明了Hahn域$\mathbb{R}((\mathbb{Z}))$上的所有类型都是可定义的。类似地，Witt环$W(\mathbb{F}_p^{\text{alg}})$的商域上的所有类型都是可定义的。这扩展了工作的Cubides和德隆和Cubides和叶。
A ganzstellensatz for semi-algebraic sets in real closed valued fields
设$(K,ν)$是一个实封闭的值域，$S\subseteq K^n$是一个可定义的开半代数集.我们得到了$S$上OVF-积分有理函数的一个代数特征。我们应用现有的模型理论的框架来证明ganzstellensätze，并需要控制半部分和它们的关系的顺序。（与Noa Lavi合作）
Valued difference fields and NTP2
我们证明了作用在特征为0的代数闭值域上的非标准弗罗贝尼乌斯自同构的理论是NTP 2。更一般地说，在收缩以及在等距的情况下，我们证明了一个sigma-henselian值的差域的equicharteristic 0是NTP 2，提供的剩余差域和值组（作为一个有序的差组）是NTP 2。
Convexly orderable groups and valued fields
我们考虑模型理论的概念，凸有序性，它严格符合VC-极小和DP-极小的概念之间。然而，在某些类别的代数理论，我们表明，凸有序性和VC-极小是等价的，并使用这给一个完整的分类VC-极小理论的序群和阿贝尔群。字段的后果也被认为是，包括一个必要条件的理论值字段拟VC最小。例如，p-adics不是quasi-VC-minimal。
Spherically complete models of Hensel minimal valued fields
本文证明了有限分歧Henselian赋值域的Hensel极小扩张具有球完备的即时初等扩张，所用工具为$0$-hmix-极小性。
Forking in valued fields and related structures
本论文研究赋值域及其约化结构中的分叉问题，为正则有序阿贝尔群建立几何描述，证明纯短正合序列扩张的Ax-Kochen-Ershov原理，并给出Henselian赋值域参数集成为扩张基的充分条件。
Globally valued function fields: existential closure
这些笔记构成了一个联合研究项目的一部分，该项目涉及具有许多估值的领域的逻辑，并通过产品公式连接。我们定义这样的结构并将它们命名为{ \em全局值字段}（GVF）。本文的主要目的是证明{ \em，$k(t)^{alg}$上的规范GVF结构是存在闭的}。这可以被理解为说，一个变种{ \em与一个杰出的曲线类}是一个很好的近似公式的语言GVF，以同样的方式，一个变种是接近一个公式的理论ACF的代数闭域。
Model Completeness for Henselian Fields with finite ramification valued in a $Z$-Group
证明了特征为零的具有有限分支的Hensel值域的值群为$Z$ -群的Hensel值域的理论在环语言中是模型完备的，如果其剩余域的理论在环语言中是模型完备的.我们应用这一点来证明，每一个无限代数扩张的领域的$p$进数$\Bbb Q_p$有限分歧是模型完整的语言环。为此，我们给出了具有准循环绝对伽罗瓦群的完备伪代数闭域理论模型完备的一个充要条件。
Valued Modules over Skew Polynomial Rings 2
在第一篇文章之后，我们继续研究$[K;\vfi]$形式的扭曲多项式环上的超模，其中$\vfi$是$K$的环自同态。主要的动机来自于值差域理论（包括特征$p>0$值域，它具有Frobenius自同态）.我们介绍的模块类，我们称之为，仿射极大和剩余可分，我们证明（相对）量词消除的结果。Ax-Kochen \& Erhov型定理如下。作为一个应用，我们公理化，作为一个值模块，任何代数闭值域$(\mathbb{F}_{p^n}(t)^{alg})_{n\in \mathbb{N}}$，固定特征$p>0$，每个配备了态射$x\mapsto x^{p^n}$和$t$ -进赋值的超积。
NIPn CHIPS
本文给出了值域类具有NIPn转移的一般条件，并将NIPn-Hensel值域的Anscombe-Jahnke分类推广到NIPn-Hensel值域.
Globally valued fields: foundations
该研究为全局赋值域建立基础理论，证明其在无界连续逻辑下可公理化，建立了各类结构数据的对应关系，得到与Chen和Moriwaki定义的阿德勒曲线相关的表示定理。
On some NIP Fragments of Fields
本文研究了某些字段理论中的NIP公式集，证明了分离闭赋值域的NIP性质，并探讨了Henselian赋值域与残余域、赋值群的NIP性质之间的关系。
Relative decidability and definability in henselian valued fields
设K是特征为0的Hensel值域。则K容许在每一片上有一个可定义的划分，其中一元一元多项式的首项可以作为线性映射的首项的可定义函数来计算。给出了两个应用：首先，一个建设性的量词消除相对于首项，建议一个相对的决策过程; 2第二，每个可定义的子集的K作为一个可定义的集合在首项进行线性平移的拉回表示。
On the proof of elimination of imaginaries in algebraically closed valued fields
我们给出了一个简化的证明，消除在ACVF中（在几何排序中），基于Hrushovski的想法。这个证明避免了Haskell、Hrushovski和Macpherson在原始证明中出现的许多技术问题。
Valued modules over skew polynomial rings 1
引入了一个值模的概念，它适用于研究具有正特征的值域。在此基础上，我们建立了一个关于值模语言的Henselianity的鲁棒性理论，并证明了Ax-KochenErshov型结果。
Uniformly defining valuation rings in Henselian valued fields with finite or pseudo-finite residue fields
我们用环语言定义了Q_p中的Z_p和F_p（（t））中的F_p[[t]]，该定义对所有$p$和这些域的所有有限域扩展以及许多其他Henselian值域都一致适用。这个公式在环语言中可以被认为是存在-普遍的，而事实上在麦金太尔语言的一种修改中也是存在的。进一步证明了在环的语言中，对于给定的Henselian值域的所有有限扩张的赋值环，不存在由存在公式给出的统一定义，也不存在由泛公式给出的统一定义.对于Q_p的任意固定有限扩张，给出了定义赋值环的环语言存在公式和环语言泛公式.
Restricted analytic valued fields with partial exponentiation
本文研究带受限解析函数和赋值环上部分指数函数的非阿基米德有序赋值域的一阶理论，证明其具有模型完全性，并证明任何模型都可嵌入到部分指数函数扩张为完全指数函数的模型中。
On separable pairs of fields and beautiful pairs of separably closed valued fields
本文研究亨泽尔赋值域的优美对，证明具任意亏格的非平凡赋值可分闭域存在满足特定公理的优美对，且该类对满足优美性传递，还得到Keisler经典结果的可分类似结论。
Special transformations in algebraically closed valued fields
我们提出了两个三个主要步骤中的建设motivic整合，即一个同态之间的Grothendieck半群是与一个一阶理论的代数闭值领域，在基本工作的Hrushovski和Kazhdan。我们将注意力限制在ACVF_S（0，0）形式的V-极小理论的一个简单的主要子类上，即在L_RV语言中由（VF，Gamma）生成的子结构S展开的纯特征$0$的代数闭值域的理论。这个子类的主要优点是语法的存在。它使我们能够简化的论点与许多不同的技术细节，同时遵循赫鲁绍夫斯基-卡日丹理论的主要步骤。
Notes on extremal and tame valued fields
本文将\cite{[AKP]}中极值域的刻画推广到具有完美剩余域的混合特征值域缺失的情形。这导致了一个完整的特征驯服值领域是极值。证明的关键是一个关于混合特征驯服值域的模型论结果。进一步证明了在有限$p$度的极值域上，所有可加多项式的象都具有最优逼近性质.这一事实可以用来改进有限域上的洛朗级数场的初等理论的\cite{[K1]}中提出的公理系统。最后，我们给出了一些例子来说明当我们试图刻画具有不完美剩余域的极值域时所面临的问题。为此，我们描述了几种方法来构建极值字段，特别是，我们表明，在每一个$\aleph_1$饱和值字段的估值是一个组成的秩1的极值估值。
On the hyperfields associated to valued fields
人们可以以自然的方式将值域与值超域的逆系统$(\mathcal{H}_i)_{i \in I}$相关联。我们调查时，相反，这样一个系统产生的价值领域。首先，我们推广了Krasner的一个结果，证明了某些系统的逆极限是严格值超域。其次，我们描述了一个Hahn型构造，它从严格值超域产生一个Henselian值域。此外，我们提供了一个公理化的严格值的超域的理论，在一个语言组成的两个二元函数符号$\oplus$和$\cdot$和两个常数符号$\textbf{0}$和$\textbf{1}$。
Construction of a valued field whose valuation ring is definable but neither $\exists\forall\exists$ nor $ \forall\exists\forall$-definable in the language of rings
本文构造了一个赋值域，其赋值环在环语言中可由无参数公式定义，但无法用$\exists\forall\exists$或$\forall\exists\forall$公式定义。
Approximation by $O$-minimal sets in power-bounded $T$-convex valued fields
我们表明，对于某一大类的功率有界的$o$ -最小$\mathcal{L}_T$ -理论$T$的领域的指数是无限维的向量空间上的有理数，任何可定义的集合在一个$T$ -凸值字段$(\mathcal{R}, \mathfrak{O})$是在一个精确的意义上的限制家庭的$\mathcal{L}_T$ -可定义的集合索引的剩余领域。或者，在主流的模型论语言中，这表示如果$(\mathcal{R}', \mathfrak{O}')$是$(\mathcal{R}, \mathfrak{O})$的基本子结构，并且如果$\mathfrak{O}$的剩余域包含相对于$\mathfrak{O}'$的剩余域无穷小的元素，则在$(\mathcal{R}', \mathfrak{O}')$中可定义的任何集合$A \subseteq (\mathcal{R}')^m$是在$\mathcal{R}$中可定义的集合的迹。
Residually Dominated Groups in Henselian Valued Fields of Equicharacteristic Zero
研究零特征Henselian赋值域中残余主导群的定义、性质及其与稳定主导群的关系，通过群同态和代数特征化方法揭示其结构和普遍性。
Automorphisms of valued fields: amalgamation and existential closedness
本文研究了赋值域的自同构性质，证明了在特定条件下同构问题的可解性及存在闭对象的刻画，并探讨了相关理论的逻辑性质。
Imaginaries and definable types in algebraically closed valued fields
这篇课文是基于2009年秋季希伯来大学的一堂名为{ \em模型论的伯科维奇空间}的课的笔记，并保留了课堂笔记的味道。它包括一个博览会的材料从\cite{hhmcrelle}，\cite{hhm}和\cite{HL}，关于可定义类型的模型完成理论的价值领域，和分类的想象排序。后者给出了一个新的证明，可定义的类型，而不是不变的类型的基础上，和概念的{ \em通用reparametrization}。我也试图带出关系到几何的\cite{HL} -稳定主导的可定义类型作为模型理论的化身的一个伯科维奇点。
Tensor products of valued fields
我们给出了一个简短的论点，为什么在$K \otimes_k L$上的张量积赋值是乘法时，$k$是一个代数闭值域和$K$和$L$是值的扩展（所有的值都在$\bR$）。当$k$上的赋值是非平凡的时，我们使用$ACVF$（代数闭（非平凡）赋值域的理论）具有量词消去的事实。
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