Let K be a henselian valued field of characteristic 0. Then K admits a definable partition on each piece of which the leading term of a polynomial in one variable can be computed as a definable function of the leading term of a linear map. Two applications are given: first, a constructive quantifier elimination relative to the leading terms, suggesting a relative decision procedure; second, a presentation of every definable subset of K as the pullback of a definable set in the leading terms subjected to a linear translation.
对于具有有限关系签名τ的固定可数无限结构Γ，我们研究了如下计算问题：输入是无量词τ-公式_0，_1，.，定义关系R_0，R_1，.，R_n over Γ.问题是关系R_0是否是可由R_1，. R_n，即，可由一阶公式定义，该公式仅使用R_1，...，R_n，等式，合取，存在量化（禁止析取，否定和全称量化）。我们证明了这个问题的可判定性，所有的结构，有一个一阶定义在一个有序的齐次结构Δ有限的关系签名，其年龄是一个拉姆齐类，并确定了许多禁止的子结构。具有这种性质的结构Γ的例子有有理数的序、随机图、齐次泛偏序集、随机竞赛图、所有齐次泛C-关系等等。当我们用存在的正可定义性或存在的可定义性来代替原始的正可定义性时，我们也得到了问题的可判定性。我们的证明利用了普遍的代数和模型理论的概念，拉姆齐理论，以及最近的Ramsey类拓扑动力学的表征。
First Order Decidability and Definability of Integers in Infinite Algebraic Extensions of Rational Numbers
我们扩展了Videla和Fukuzaki的结果，在Q的无限代数扩张的大类中定义了代数整数，并将这些定义用于某些域以显示一阶不可判定性。我们还得到了分式域上整数环可定义的一个结构充分条件。特别是，我们证明了以下命题成立。(1)对于任何有理素数$q$和任何正有理整数$m$，代数整数在Q的任何伽罗瓦扩张中是可定义的，其中任何有限子扩张的次数不能被$q^{m}$整除。(2)给定一个素数$q$和一个整数$m>0$，代数整数可以在由任何集合$\{ξ_{p^{\ell}}| \ell \in \Z_{>0}, p \not=q {is any prime such that} q^{m +1}\not | (p-1)\}$生成的分圆扩张（及其任何子域）中定义。(3)Q的任意阿贝尔扩张的一阶理论都是不可判定的。我们还证明了在Q的无限代数扩张中的一个有理素数分裂的条件下，在所讨论的域上存在一条椭圆生成的椭圆曲线足以定义Z，并证明该域是不可判定的。
Existential fragments of theories of henselian valued fields
Université Paris Cité, Sorbonne Université, CNRS, IMJ-PRG（巴黎西岱大学，索邦大学，法国国家科学研究中心，IMJ-PRG）；Institut für Algebra, Technische Universität Dresden（德累斯顿工业大学代数研究所）
Universität Zürich（苏黎世大学）；Fachbereich Mathematik und Statistik, Universität Konstanz（康斯坦茨大学数学与统计系）；Institut für Interdisziplinäre Sprachevolutionswissenschaft, Universität Zürich（苏黎世大学跨学科语言进化科学研究所）
