Differential calculi on finite groups
Leonardo Castellani
本文对有限群上的双共变微分演算作了简要的回顾，并介绍了它在群同态和积分方面的一些新进展。我们用非交换有限群S_3的例子来说明一般理论。
A brief review of bicovariant differential calculi on finite groups is given, with some new developments on diffeomorphisms and integration. We illustrate the general theory with the example of the nonabelian finite group S_3.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
We show that if two Hopf algebras are monoidally equivalent, then their categories of bicovariant differential calculi are equivalent. We then classify, for $q \in \mathbb{C}^*$ not a root of unity, the finite dimensional bicovariant differential calculi over the Hopf algebra $\mathcal{O}_q(SL_2)$. Using a monoidal equivalence between free orthogonal Hopf algebras and $\mathcal{O}_q(SL_2)$ for a given $q$, this leads us to the classification of finite dimensional bicovariant differential calculi over free orthogonal Hopf algebras.
Differential Calculi over Quantum Groups and Twisted Cyclic Cocycles
本文研究了复代数上的非交换微分演算理论的某些方面，特别是在S. L.沃罗诺维奇。我们的主要重点是扭分次迹和相关的扭循环上圈的理论。我们的主要结果之一是构造微分演算的一种新方法，使用扭曲的梯度迹。
Classification of Left-Covariant Differential Calculi on the Quantum Group $\SLq 2$
对于q的超越值，给出了量子群$\SLq 2$上维数小于4的所有左协变一阶微分演算的量子切空间.所有这样的微分演算$Γ$的确定和调查，其中左不变的微分一形式$ω(u^1_2)$，$ω(u^2_1)$和$ω(u^1_1-u^2_2)$生成$Γ$作为一个双模和普遍的高阶微分学具有相同的尺寸在经典的情况下。这些演算的重要性质（上同调空间，*-结构，braidings，广义李括号）进行检查。关键词：量子群，非对易微分学，量子切空间
A unitary orthosymplectic quantum supergroup is introduced. Two covariant differential calculi on the quantum superspace $SP_q^{1|2}$ are presented. The $h$-deformed symplectic superspaces via a contraction of the $q$-deformed symplectic superspaces are obtained. A new $h$-deformation of the Heisenberg superalgebra is given.
Quantum groups, differential calculi and the eigenvalues of the Laplacian
本文研究了紧量子群上S. L.意义下的 *-微分演算。沃罗诺维奇我们的主要结果是构造了一个与拉普拉斯算子交换的Hodge算子，导出了形式演算的一个相应的Hodge分解，以及对于Woronowicz的第一演算，Laplacian算子的特征值的计算
The Relations of Inner and Outer Differential Calculi on Quantum Groups
根据微分$d$的生成元$X$的性质，对量子群上的微分计算$(Gamma,d)$进行了分类.有，一方面微分caluli其中包含这个元素$X$在一个基础上-形式跨越$Gamma$，称为内部微分。另一方面，一个微分演算不包含其微分$d$的生成元$X$，因此它们被称为外微分演算。我们表明，这两个类的微分caluli，对于一个给定的量子群${\cal A}$，相关的同态，映射元素的一类元素的其他类。
In this work, we introduce the ${\mathbb Z}_3$-graded differential algebra, denoted by $Ω(\widetilde{\rm GL}_q(2))$, treated as the ${\mathbb Z}_3$-graded quantum de Rham complex of ${\mathbb Z}_3$-graded quantum group $\widetilde{\rm GL}_q(2)$. In this sense, we construct left-covariant differential calculi on the ${\mathbb Z}_3$-graded quantum group $\widetilde{\rm GL}_q(2)$.
On the Construction of Covariant Differential Calculi on Quantum Homogeneous Spaces
设A是余拟三角霍普夫代数，X是A的由矩阵余表示u的一行生成的子代数，或由矩阵余表示u的一行和逆表示u^c的一行生成的子代数.本文构造了量子群A上的左协变一阶微分演算，并描述了左量子空间X上相应的诱导演算。这些构造的主要工具是与u相关的L-泛函。将所得结果应用于量子齐性空间GL_q（N）/GL_q（N-1）.
Covariant first order differential calculus on quantum projective spaces
研究了量子复射影空间CP_q^{N-1}上的协变一阶微分演算，CP_q^{N-1}是量子群SU_q（N）的量子齐性空间.由此，给出了量子齐性空间上协变一阶微分学的一个更好的研究例子。由于复射影空间是Vaksman和Soibelman引入的量子球面S_q^{2N-1}的子代数，我们还得到了两个密切相关的量子空间上的协变微分学之间关系的一个例子。结合两种方法得到CP_q^{N-1}上的协变一阶微分演算：1. S_q^{2N-1}的协变一阶微分演算的限制; 2.使用表示论的方法，在适当的约束下对结石进行分类。主要结果是：在三种合理的维数约束下，CP_q^{N-1}上的协变一阶微分演算是存在的，并且（当N >= 6时）是唯一确定的.这是一个明显的区别相比，量子球的情况下，存在几个参数系列的演算。对于其中两种约束设置，通过对S_q^{2N-1}上的演算和量子群SU_q（N）上的演算的限制，得到了CP_q^{N-1}上的协变一阶演算.
Differential Calculus on Quantum Complex Grassmann Manifolds I: Construction
研究了量子复Grassmann流形上的协变一阶微分学.它是由一个Pusz-Woronowicz类型的参数，限制到接近经典Kaehler微分的演算下，存在正好两个这样的演算的齐次坐标环。利用复化和局部化方法导出了量子Grassmann流形上的协变一阶微分演算。它表明，这些微分演算的行为在许多方面作为他们的经典同行。作为例子，构造了重言丛的q-变形陈特征标。关键词：量子群，量子空间，量子格拉斯曼流形，微分学
Commutator Representations of Differential Calculi on the Quantum Group SU_q(2)
设（Γ，d）是量子群SU_q（2）上的3D演算或D_{\pm}演算.本文描述了O（SU_q（2））的一个 *-表示π和一个对称算子F在表示空间上的所有对（π，F），该表示空间满足关于其定义域的一个技术条件，使得存在一个一阶微分演算的同态，该同态将dx映射到交换子[iF，π（x）]中，x为\in O（SU_q（2））.作为应用，给出了Podles量子2-球面S^2_{qc}（c=0）上的2维左协变演算的换位子表示。
Differential calculi on quantum principal bundles in the Durdevic approach
本论文研究非交换几何中量子主丛上的Durdevic微分演算理论，采用Hopf代数方法，扩展该理论并在非交换2-环面、量子Hopf纤维化及交叉积代数上给出显式实现。
Classification of bicovariant differential calculi on the Jordanian quantum groups GL_{g,h}(2) and SL_{h}(2) and quantum Lie algebras
我们对Jordan量子群GL_{h,g}（2）上的所有四维一阶双协变演算和Jordan量子群SL_{h}（2）上的所有三维一阶双协变演算进行了分类.在这两种情况下，我们假设双协变双模是由量子群生成元的微分生成的左模。我们发现在GL_{h,g}（2）上存在3个1-参数的四维双协变一阶演算，并且在SL_{h}（2）上存在一个唯一的三维双协变演算.这个三维演算可以通过对GL_{h,g}（2）上的三个四维演算族中的任何一个进行类经典化约而得到。详细的高阶演算和量子李代数的所有演算。从SL_{h}（2）上的双协变演算得到的量子李代数被证明与我们作为约旦泛包络代数U_{h}（sl（2））中的ad-子模得到的量子李代数同构，并且还通过考虑变形伴随模的两个副本的张量积的分解得到。我们还得到了这个量子李代数的量子Killing形式。
Construction of Covariant Differential Calculi on Quantum Homogeneous Spaces
给出了量子齐性空间上协变微分演算的一种构造方法。假设量子齐性空间的函数代数X是余拟三角霍普夫代数H的左余理想，且包含H上任意一个元素在X中的矩阵的双边逆矩阵的系数.该方法是基于偏导数。对于Podles的量子球和由于Noumi，Dijkhuizen和Sugitani的对称空间的量子化，该构造产生了量子群上的标准双协变演算的子演算。
Examples of twisted cyclic cocycles from covariant differential calculi
对于两个协变微分 *-演算，与体积形式相联系的扭循环上圈表示为某个自伴算子F和基础 *-代数的某个 *-表示$ρ$的算子[F，ρ（x）].
Cartan calculi on the quantum superplane
给出了广义量子超平面上的Cartan演算。为此，通过引入内导子和李导子，推广了扩展量子超平面上的非对易微分学。
Bicovariant Differential Calculi and Cross Products on Braided Hopf Algebras
本文研究了辫子范畴中Hopf代数$H$上的Hopf双模和交叉模.它们分别是辫状双协变微分演算及其不变向量场的关键，也是辫状Hopf代数叉积构造的关键。我们证明了Hopf双模和交叉模的概念是等价的。将Radford-Majid准则推广到辫子情形，证明了Hopf代数$H$上的双代数叉积可以用$H$ -交叉模双代数精确刻画.研究了辫子阿贝尔范畴中的（双协变）微分演算理论，并利用一阶双协变微分演算构造了$\NN_0$ -分次双协变微分演算.这些对象被证明是具有普遍双代数性质的编织$\NN_0$ -分级范畴的Hopf代数微分演算。
Left-Covariant Differential Calculi on SL_q(2) and SL_q(3)
本文研究了量子群$SL_q(N)$上的$N^2-1$维左协变微分演算，其中量子李代数的生成元零化量子迹。这样，我们得到了$SL_q(2)$上的一个区别演算（对应于Woronowicz在$SU_q(2)$上的三维演算）和$SL_q(3)$上的两个区别演算，使得高阶演算分别给出$SL(2)$和$SL(3)$上的常微分，在极限$q\rightarrow 1$ .详细介绍并开发了$SL_q(3)$上的两个新的微分演算。
Spin Geometry on Quantum Groups via Covariant Differential Calculi
设A是一个具有对极S的余半单Hopf *-代数，$Γ$是A上的一阶左协变微分 *-演算，使得$Γ$是自对偶的，并且在Hopf代数自同构S^2下不变。引入量子Clifford代数$\Cl(Γ,σ,g)$，它作用于Woronowicz的外代数$Γ^\wedge$ . $\Cl(Γ,σ,g)$的极小左理想是A-双模，称为旋量模。研究了非对称旋量模。$Γ$上线性左联络的通常概念被推广到量子Clifford代数和旋量模。定义了相应的Dirac算子和联络Laplacian算子。对于量子群SL_q（2）及其双协变的$4D_\pm$演算，我们详细地研究了这些概念.给出了Bochner定理的一个推广。确定了给定旋量模上的所有不变微分算子。计算了Dirac算子的本征值。关键词：量子群，协变微分学，自旋几何
Differential Calculus on Quantum Complex Grassmann Manifolds II: Classification
对于量子群的某些右余理想子代数上的微分演算，引入了量子切空间的概念。推广了Woronowicz的一个结果，建立了量子切空间和协变一阶微分演算之间的一一对应.这个结果被用来分类微分演算量子格拉斯曼流形。事实证明，在低维的特殊情况下，恰好存在一个这样的演算的经典维数2 r（N-r）。关键词：量子群，量子空间，量子格拉斯曼流形，微分学
Differential calculi on quantum Minkowski space
构造了n维量子Minkowski空间协变关于Kappa-Poincar 'e群的左作用量的微分，并证明了其唯一性.
A Class of Bicovariant Differential Calculi on Hopf Algebras
我们引入了一个大类的双共变微分演算的任何量子群$A$，与$Ad$不变元素。例如，$SL_q(2)$上的变形的微量元素恢复了Woronowicz的$4D_\pm$演算。更一般地说，我们得到了一个序列的微分演算在每个量子群$A(R)$，基于相应的辫子群$B(R)$的理论。这里$R$是QYBE的任意正则解。
Classification of Bicovariant Differential Calculi
证明了可分解半单量子群上的双共变一阶微分演算与量子群包络代数的不可约表示$V$是1-1对应的.构造了相应的演算，其维数为$dim V^2$。对有限群代数$C G$上的微分演算进行了分类，并证明了它们与不可约表示$V$和$C P^{dim V -1}$中连续参数组成的对是对应的.它们具有维度$dim V$。对于经典李群，我们得到了非标准演算的无限族。给出了双协变演算及其量子切空间的一般构造。
Commutator Representations of Covariant Differential Calculi on Quantum Groups
设（G，d）是 *-代数A上的一阶微分 *-演算.我们称A在希尔伯特空间的稠密域D上的一个 *-表示π和D上的一个对称算子F的一对（π，F）给出G的一个换位子表示，如果存在一个线性映射t：G -> L（D）使得t（adb）=π（a）i[F，π（b）]，a，b在A中.其中，证明了紧致量子群Hopf *-代数A的每个左协变 *-演算G都有一个忠实的交换子表示.对于A上的一类双共变 *-演算，存在一个交换子表示使得F是量子切空间的中心元的象.若A是实超越q的量子群SL_q（n+1），O_q（n），Sp_q（2n）之一的紧形式的Hopf *-代数，则此交换子表示是忠实的.关键词：量子群;非对易几何;微分学
Differential Calculi on the Quantum Group $SU_q(2)$ and Global $U(1)$-covariance
利用基于全局$ U(1) $ -协方差的方法研究了量子群$SU_q(2)$上的三维左协变微分演算.利用微分算子构造了可能的$q $ -李代数的显式表示.一个规范协变微分代数是唯一确定的。得到了相应的$q$ -李代数的非标准Leibnitz规则.
Differential calculi on noncommutative bundles
引入一类非交换丛。为了建立这一范畴的几何学，我们在这些丛上构造了合适的非交换微分演算，并研究了它们的基本性质。此外，我们定义的概念，一个连接相对于微分，并考虑问题的存在性和唯一性。最后，将这些构造应用于余拟三角Hopf代数上的非交换丛的基本例子.
The contraction of $SU_μ(2)$ and its differential structures to $E_κ(2)$
E（2）群的变形双重覆盖记为$\tilde{E}_κ(2)$，它是由$SU_μ(2)$收缩得到的.然后使用收缩过程产生微分微积分的新示例：$\tilde{E}_κ(2)$和变形欧几里得群$E_κ(2)$上的3D左协变微积分以及$\tilde{E}_κ(2)$上的两个不同的4D双协变微积分，它们对应于参考文献中描述的$E_κ(2)$上的一个4D双协变微积分。\cite{b14}。
First-Order Differential Calculi Over Multi-Braided Quantum Groups
建立了多辫量子群上的一阶微分方程。与标准理论类似，引入并研究了左/右协变和双协变微分结构。进一步研究了反足协变演算。给出了多辫子量子群上的 *-结构的概念，并特别分析了左协变 *-协变演算的结构。一个特别注意的是给予微分演算协变相对于相关的辫子系统的行动。特别是它示出的左/右辫子协方差出现的左/右协方差相对于组动作的结果。标准理论的所有基本结果的辫子对应物被发现。
Differential calculus on Hopf--Galois extension via the Durdević braiding
本文研究了通过Durdević编织和所选垂直理想生成的主余子代数的一阶微分学，证明了其存在性，并展示了通用垂直映射和连接1形式在合适兼容条件下自然降级到商微分学。
Quantum Double and Differential Calculi
我们证明了Woronowicz定义的双协变双模与Drinfeld量子二重表示是一一对应的。然后，我们证明了一个微分相关联的双共变双模的维数n连接到一个特定的（n+1）-维表示的双重的存在。给出了非拟三角量子群E_q（2）上的双协变微分的一个例子.构造研究的Hochschild上同调和1-上循环之间的对应关系被证明。强调了量子群和有限群上的演算与李群的区别。
All bicovariant differential calculi on Glq(3,C) and SLq(3,C)
确定了量子群GLq（3，C）上的所有双共变一阶微分演算.有两种不同的单参数结石家族。借助于GLq（3，C）的R-矩阵，可以用适当的1-形式基来表示对易关系。一些演算在SLq（3，C）和GLq（3，C）的实形式上诱导出双共变微分演算。对于一般变形参数q，SLq（3，C）上有六个演算，SUq（3）上只有两个。SLq（3，C）上双协变演算的经典极限q->1不是SL（3，C）上的普通演算.人们得到了它的变形，其中涉及Cartan-Killing度量。
Differential Calculi on Quantum Spaces determined by Automorphisms
如果结合代数上的微分学的1-形式的双模是1-维双模的直和，则与代数的自同构的关系出现。这发生在一些熟悉的量子空间演算中。
Covariant first order differential calculus on quantum Euclidean spheres
研究量子球S_q^{N-1}上的协变微分学，量子球S_q^{N-1}是具有量子群O_q（N）相互作用的量子齐性空间。第一部分的文件是专门为一阶微分学。证明了一个分类结果，即当N ≥ 6时，S_q^{N-1}上存在两个协变的一阶微分演算，它们满足分类约束，即1-形式的双模由S_q^{N-1}的生成元的微分生成为自由左模.对于3<=N<=5，两种结石也都存在。同样的演算可以使用Hermisson介绍的方法来构造。当N=3时，所得结果与Apel和Schmüdgen关于Podles球的已知结果一致.在第二部分，高阶微分学和对称性的处理。给出了推广两个一阶微积分之一的泛高阶微积分的两种形式的关系。发现了一个“辫子”同态，讨论了微分形式阶的上界的存在性。
Quantum matrix ball: differential and integral calculi
在我们的工作q-alg/9703005中，我们引入了有界对称域的q-模拟。给出其中最简单的，工程q-alg/9603012和math.QA/9803110宣布了描述函数代数，微分和积分演算的关系。本文给出了这些结果的证明。
Differential Calculi of Poincare-Birkhoff-Witt type on Universal Enveloping Algebras
定义了李代数g的泛包络代数上的Poincare-Birkhoff-Witt型微分演算。这个定义与g中所选的基无关。解释了g的自同构的作用。证明了半单李代数上不存在Poincare-Birkhoff-Witt型微分。给出了gl_n、Abel李代数、Heisenberg代数、Witt代数和维拉索罗代数的例子。完全处理的是2维可解李代数，和3维海森堡代数。
Given a tame differential calculus over a noncommutative algebra $\mathcal{A}$ and an $\mathcal{A}$-bilinear pseudo-Riemannian metric $g_0,$ consider the conformal deformation $ g = k. g_0, $ $k$ being an invertible element of $\mathcal{A}.$We prove that there exists a unique connection $\nabla$ on the bimodule of one-forms of the differential calculus which is torsionless and compatible with $g.$ We derive a concrete formula connecting $\nabla$ and the Levi-Civita connection for the pseudo-Riemannian metric $g_0.$ As an application, we compute the Ricci and scalar curvature for a general conf…
Classification of Bicovariant Differential Calculi on the Quantum Groups $SL_q(n+1)$ and $Sp_q(2n)$
对于$q$的超越值，对量子群$SL_q(n+1)$和$Sp_q(2n)$的坐标Hopf代数上的所有双共变一阶微分演算进行了分类.证明了不可约双共变一阶演算由量子群的不可约共表示和复数$ζ$确定，使得对于$SL_q(n+1)$为$ζ^{n+1}=1$，对于$Sp_q(2n)$为$ζ^2=1$.任何双共变演算都是内演算，其量子李代数由中心元生成。主要的技术成分是一个结果的Hopf代数$R(G_q)^0$为任意单李代数。
We propose a sheaf-theoretic approach to the theory of differential calculi on quantum principal bundles over non-affine bases. After recalling the affine case we define differential calculi on sheaves of comodule algebras as sheaves of covariant bimodules together with a morphism of sheaves -- the differential -- such that the Leibniz rule and surjectivity hold locally. The main class of examples is given by covariant calculi over quantum flag manifolds, which we provide via an explicit Ore extension construction. In a second step we introduce principal covariant calculi by requiring a local …
The consistent reduction of the differential calculus on the quantum group $GL_{q}(2,C)$ to the differential calculi on its subgroups and $σ$-models on the quantum group manifolds $SL_{q}(2,R)$, $SL_{q}(2,R)/U_{h}(1)$, $C{q}(2|0)$ and infinitesimal transformations
利用自然约化的性质，得到了量子群及其子群上二阶左微分演算的显式构造：量子群$GL_q(2,C)$上的微分运算必须包含量子子群$SL_q(2,C)$上的三维微分运算、下三角矩阵和上三角矩阵的Borel子群$B_{L}^{(2)}(C)$、$B_{U}^{(2)}(C)$上的微分运算，在量子子群$U_{q}(2)$，$SU_{q}(2)$，$Sp_{q}(2,C)$，$Sp_{q}(2)$，$T_{q}(2,C)$，$B_{L}(C)$，$B_{U}(C)$，$U_{q}(1)$，$Z_{-}^{(2)}(C)$，$Z_{+}^{(2)}(C)$及其实形式上.左微分的经典极限（$q\to 1$）是非变形微分。$SL_{q}(2,C)$的Borel子群$B_{L}(C)$、$B_{U}(C)$上的微分演算与量子平面$C_q(2|0)$上Wess-Zumino微分的两个解一致。研究了二维Minkovski空间上具有$SL_{q}(2,R)$量子群对称性的WZNW模型和具有${SL_{q}(2,R)/U_{p}(1)}$、$C_{q}(2|0)$量子群对称性的$σ$模型的自发破缺对称性.讨论了量子群流形上的拉格朗日形式。得到了$SL_{q}(2,R)$群流形上的变分法。得到了$C_{q}(2|0)$ { $σ$ }-模型的经典解。
Implications of the Hopf algebra properties of noncommutative differential calculi
我们定义了一个非交换代数的四个基本对象内的微分量子群：功能，1-形式，李导数和内导，作为交叉产品与Woronowicz的（微分）代数的功能和形式的代数。这个定义适当地考虑了Woronowicz演算的Hopf代数结构。它也提供了一个直接的证明嘉当恒等式。
Differential Calculi on Some Quantum Prehomogeneous Vector Spaces
本文主要研究量子有界对称域理论中的二次代数上的微分演算。我们证明了在量子情况下，k-形式的分次向量空间的齐次分量的维数与经典情况相同。这个结果对于量子矩阵是众所周知的。本文所研究的二次代数是交换抛物型准齐次向量空间上多项式代数的q-模拟。这使我们能够证明德拉姆复形同构于广义Bernstein-Gelfand-Gelfand分解的量子类似物的对偶。
We equip a family of algebras whose noncommutativity is of Lie type with a derivation based differential calculus obtained, upon suitably using both inner and outer derivations, as a reduction of a redundant calculus over the Moyal four dimensional space.
Coordinate Calculi on Associative Algebras
在\cite{BKO}中引入了一阶坐标微分的最优代数的新概念。一些相关的例子表明。研究了最优代数上的二次恒等式和二次代数上的演算。提出了一种量子德拉姆复形的正则构造方法。建立了杨-巴克斯特方程的各种推广与微积分之间的关系。
Differential Calculi and Linear Connections
给出了一种在给定的非交换结合代数上定义任意数量的微分演算的方法。作为一个例子，研究了广义量子平面。研究发现，1-形式的模结构与其上的度量无挠联络之间存在着强的相关性，但不是一一对应的，在交换极限下，度量无挠联络仍然是1-形式的代数结构的影子.
Hodge and Laplace-Beltrami Operators for Bicovariant Differential Calculi on Quantum Groups
对于量子矩阵群上的双共变微分演算，给出了度量张量、Hodge算子、余微分和Laplace-Beltrami算子等经典概念在任意k-形式下的推广.在一定的技术假设下，证明了Woronowicz的左不变微分形式的外代数要么包含唯一的极大次形式，要么是无穷维的。利用Hecke代数的Jucys-Murphy元计算了霍普夫代数O（SLq（N））的Laplace-Beltrami算子的特征值.
Differential Calculus on Quantum Spheres
本文研究量子球S_q^2N-1上的协变微分学。证明了协变一阶微分演算的两个分类结果。作为描述量子球的非交换几何的重要一步，建立了一个协变微分学的框架，包括一个由因式分解得到的特殊一阶微积分、高阶微积分和对称性概念。
Cohomological Properties of Differential Calculi on Hopf Algebras
在这份报告中，我们给出了一个内在的治疗结果，我们在以前的工作连接微分演算的Hopf代数的德林费尔德双。首先，我们恢复，bicovariant双模是在一个对应的德林费尔德双重表示，然后我们介绍了Hochschild上同调的代数的功能和讨论的主要结果，说明每个微分相关联的1-cocycle满足一个额外的不变性条件，就自然行动。定义一个Hochschild上同调的双重，上述不变性成为一个条件，相对于包络代数组成的双重，必须添加到1-上循环关系。
Universal Enveloping Algebra and Differential Calculi on Orthogonal q-groups
我们回顾了多参数量子群$ISO_{q,r}(N)$作为$SO_{q,r}(N+2) $的投影的构造，并证明了它是$SO_{q,r}(N)$上的一个双协变双模。给出了泛包络代数$U_{q,r}(iso(N))$作为$ISO_{q,r}(N)$的一个Hopf子代数，并证明了它是$U_{q,r}(so(N))$上的一个双协变双模.给出了$U_{q,r}(iso(N))$的R-矩阵形式，并证明了配对$U_{q,r}(iso(N))\leftrightarrow ISO_{q,r}(N)$ .我们分析了$U_{q,r}(iso(N))$中定义$ISO_{q,r}(N)$上的双协变微分演算的子空间。
We prove that all quantum irreducible flag manifolds admit Kähler structures, as defined by Ó Buachalla. In order to show this result, we also prove that the differential calculi defined by Heckenberger and Kolb are differential *-calculi in a natural way.
Classification of Differential Calculi on U_q(b+), Classical Limits, and Duality
本文给出了量子包络代数U_q（b+）上的双共变一阶微分演算的一个完全分类，并将U_q（b+）看作量子函数代数C_q（B+）.这里，b+是sl_2的Borel子代数。我们在经典极限q->1中做同样的事情，并在有限维情况下获得一一对应。事实证明，分类本质上是由有限的正整数的子集。我们从对偶的观点出发，即用"函数代数" U（b+）和"包络代数" C（B+）来研究经典极限.在这种情况下，有更多的微分演算比来自q变形的设置。作为应用，我们给出了kappa-Minkowski空间的自然内蕴四维微积分和相应的形式积分。
Differential Calculus in Braided Abelian Categories
研究辫状非交换微分几何。特别是，我们调查的理论（bicovariant）微分演算编织阿贝尔范畴。利用前人关于辫范畴中交叉模和Hopf双模的结果，构造了辫Hopf代数上的高阶双共变微分演算.这些分级对象被证明是编织的微分Hopf代数具有普遍的双代数性质。文章特别扩展Woronowicz的结果（bicovariant）微分演算的编织非交换的情况下。
Canonical differential calculi via functorial geometrization
本文研究了如何通过函子几何化在单调加法单子范畴中建立规范微分计算，推广了微分计算的扩展方法，同时推广了德雷厄姆复形、凯勒微分和关联代数的通用微分计算。
Elements of noncommutative differential geometry of ${\mathbb Z}$-graded generalized Weyl algebras ${\mathcal A}(p;q)$ over the ring of polynomials in two variables and their zero-degree subalgebras ${\mathcal B}(p;q)$, which themselves are generalized Weyl algebras over the ring of polynomials in one variable, are discussed. In particular, three classes of skew derivations of ${\mathcal A}(p;q)$ are constructed, and three-dimensional first-order differential calculi induced by these derivations are described. The associated integrals are computed and it is shown that the dimension of the inte…
Duflo--Kontsevich-type isomorphisms for Tamarkin--Tsygan calculi of dg manifolds
该研究为dg流形建立了Duflo--Kontsevich型定理，通过特定映射实现两类演算的同构，证实了相关上同调层面的猜想。
On Braided Differential Calculi and Quantum G-structures
该研究在辫子幺正范畴发展微分演算理论，结合双积构造协变smash积微分演算，引入量子G-结构并以实例说明，为量子几何提供新理论框架。
Quantum Orthogonal Planes: ISO_{q,r}(N) and SO_{q,r}(N) -- Bicovariant Calculi and Differential Geometry on Quantum Minkowski Space
我们在任意维N的多参数量子正交平面上构造微分演算。这些演算在完全非齐次（多参数）量子群ISO_{q,r}（N）的作用下是双协变的，并且包含双参数化。如果我们只要求在量子正交群SO_{q,r}（N）下的双协方差，那么q平面上的微积分可以用它的坐标x^a，微分dx^a和偏导数\partial_a来表示，而不需要进行简化，从而将已知的结果推广到多参数情况。利用导致签名（n+1，m）（m = n-1，n，n+1）的实形式，我们在多参数量子空间上找到了ISO_{q,r}（n+1，m）和SO_{q,r}（n+1，m）双协变演算.详细讨论了量子Minkowski空间ISO_{q,r}（3，1）/ SO_{q,r}（3，1）的特殊情况。共轭偏导数\partial_a * 可以表示为\partial_a的线性组合。这允许相空间的变形，其中不需要额外的算子（除了x^a和p_a）。
Remarks on quantum differential operators
q-微分方程的各个方面进行检查的背景下，量子群和空间，微分微积分，零曲率，和Lax-Sato层次。有许多明确的公式和例子，以及一些调查材料。
We study covariant derivatives on a class of centered bimodules $\mathcal{E}$ over an algebra A. We begin by identifying a $\mathbb{Z} ( A ) $-submodule $ \mathcal{X} ( A ) $ which can be viewed as the analogue of vector fields in this context; $ \mathcal{X} ( A ) $ is proven to be a Lie algebra. Connections on $\mathcal{E}$ are in one to one correspondence with covariant derivatives on $ \mathcal{X} ( A ). $ We recover the classical formulas of torsion and metric compatibility of a connection in the covariant derivative form. As a result, a Koszul formula for the Levi-Civita connection is als…
Covariant Differential and Integral Calculi for Lattice (l,q)-deformed Fields
利用Hecke $\hat R$ -矩阵，给出了格点$(l,q)$ -变形$n$ -分量玻色子场和格拉斯曼场的定义.这里，$l$是两个任意格点中这些场的“值”的对易关系的变形参数，$q$是$n$ -分量$q$ -玻色子或$q$ -格拉斯曼变量的变形参数。在Wess-Zumino方法的非交换微分学的框架下，确定了这些领域的微分和导数之间的交换关系。提出了格点$n$分量$(l,q)$ -Grassmann场Berezin积分的$SL_q(n,C)$ -不变推广.我们表明，该领域的高斯泛函积分表示通过$(l,q)$变形对应的Pfidian。
Equivariant quantizations of the positive nilradical and covariant differential calculi
本文研究了正nilradical的等变量子化，并利用其构造量子旗流形上的协变微分计算。
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