量子遍历性与混合
Quantum Ergodicity and Mixing
摘要：
这是一篇为《数学物理百科全书》撰写的关于标题中主题的临时文章。
英文摘要：
This is an expository article for the Encyclopedia of Mathematical Physics on the subject in the title.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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遍历性、混合和KAM
Ergodicity, mixing and KAM
本文综述了受有界随机力扰动的非线性抛物型偏微分方程混合问题的最新研究进展。
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$\mathbf Z^d$中类East过程的混合时间和局部指数遍历性
Mixing time and local exponential ergodicity of the East-like process in $\mathbf Z^d$
East过程是一种众所周知的可逆线性自旋链，它代表了一类具有约束的相互作用粒子系统的原型，这些约束模拟了真实玻璃的动力学。本文考虑了d维格点上East过程的一个推广，并在失平衡行为方面取得了新的进展。特别地，我们证明了一种形式的（局部）指数遍历时，初始分布是远离平稳的，我们证明了混合时间在一个有限的盒子里线性增长的一侧的盒子。
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量子遍历速率的上界
Upper bounds on the rate of quantum ergodicity
研究了具有遍历经典极限的量子系统本征函数的半经典行为。根据量子遍历性定理，几乎所有这些本征函数在弱意义上都是等分布的。当经典系统以一定速率遍历时，我们给出了量子遍历速率的$\abs{\ln\hbar}^{-1}$阶上界的一个简单推导。此外，当经典系统是弱混合时，我们得到了一个类似的跃迁振幅的界。这两个结果概括了以前的Zelditch。然后将结果推广到环面上的几类量子化映射，得到了扰动猫映射的对数速率和抛物映射的尖锐代数速率。
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海森堡绘景下矩阵乘积态的动力学：投影性、遍历性与混合性
Dynamics of Matrix Product States in the Heisenberg Picture: Projectivity, Ergodicity, and Mixing
本文在海森堡绘景下研究矩阵乘积态，将其分为投影型与非投影型，并利用 Markov-Dobrushin 不等式建立无限体积态条件，提出遍历与混合 MPS，深化了 MPS 的数学基础及其在纠缠、相变和量子动力学中的应用理解。
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时间为量子群的动力系统与量子遍历性
Dynamical systems where time is a quantum group and quantum ergodicity
我们定义动力系统，其中时间是一个量子群。对引入的非对易（或量子）时间动力系统给出了量子遍历性的定义，并讨论了例子。
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围绕量子遍历性
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我们讨论了Shnirelman的量子遍历定理，给出了一个大纲的证明和概述的一些最近的发展在数学量子混沌。
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截面的量子通量与量子遍历性
Quantum Flux and Quantum Ergodicity for Cross Sections
本文定义量子通量范数，证明量子遍历本征函数在余维1子流形上的限制仍具量子遍历性，并与已知结果比较，进一步给出复化解析情形下的微局部类比。
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环面上映射的量子唯一遍历性
Quantum Unique Ergodicity for maps on the torus
当一个映射是经典唯一遍历的时候，它的量子化必然是量子唯一遍历的。本文给出了扰动Kronecker映射的量子唯一遍历性的例子，并给出了收敛速度的上界。
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无背散射量子图的量子遍历性
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我们给出了$d$ -正则图的量子方差的估计与边界散射矩阵，禁止后向散射量子化。对于家庭的图是扩展器，有几个短周期，我们的估计导致这些家庭的图的量子遍历性。我们的证明是基于一个统一的控制相关联的随机游走的债券的图形。我们表明，最近的建设Ramanujan图，渐近几乎肯定，随机$d$ -正则图，满足必要条件，得出结论，量子遍历。
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位形空间中有理多边形本征函数的量子混合
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本文扩展了有理多边形本征函数的均匀分布结果至非对角元，还给出2-环面相同结果的另一证明，依托方向台球流的弱混合性开展研究。
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猫映射中的小尺度量子遍历性。I
Small scale quantum ergodicity in cat maps. I
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猫映射中的小尺度量子遍历性。II。在几何尺度上非均匀分布的准模
Small scale quantum ergodicity in cat maps. II. Quasimodes that are not equidistributed at the logarithmical scales
在这个系列中，我们研究了环面的线性双曲映射（“猫映射”）在小尺度下的量子遍历性。在系列的第二部分，我们构建准模是量子遍历，但不是均匀分布的几何尺度。
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半经典分析、几何表示与量子遍历性
Semiclassical analysis, geometric representation and quantum ergodicity
本文结合半经典与几何量子化方法，证明了特定幺正平坦丛高频特征截面的均匀分布性质，推进了量子遍历性研究。
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Baker映射的量子方差和遍历性
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我们证明了一个叶戈罗夫定理，或量子经典的对应，量化面包师的地图，有效的到Ehrfest时间。这产生了一个对数上限的量子方差的衰减，并作为一个推论，一个量子遍历定理，这个地图。
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在随机时间受随机力扰动的复Ginzburg-Landau方程的多项式混合
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图的量子遍历性的最新结果及进一步研究
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我们概述了一些最近的证明量子遍历的大型图，并给出新的应用程序的背景下，不规则图。我们还讨论了一些剩余的问题。
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C* 动力系统的量子遍历性
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量子遍历性与半经典伪微分算子的分析
Quantum Ergodicity and the Analysis of Semiclassical Pseudodifferential Operators
这篇本科生论文关注的是发展微分几何和半经典分析的工具，以理解Schnirelman（1974），Zelditch（1987）和Colin de Verdière（1985）的量子遍历性定理以及Rudnick和Sarnak（1994）的量子唯一遍历性猜想。前者指出，在任何具有负曲率或遍历测地线流的黎曼流形上，拉普拉斯-贝尔特拉米算子的本征函数在密度为1的相空间中均匀分布。在相同的假设下，后者指出，本征函数在相空间中的哈密顿量的纤维上诱导出一系列Wigner概率测度，并且这些测度在弱-* 拓扑中收敛到一致的Liouville测度。如果是真的，猜想意味着这样的本征函数均匀分布在高本征值极限没有特殊的“疤痕”模式。这在物理上意味着混沌哈密顿系统的最精细的细节永远不能反映它们的量子力学行为，即使在半经典极限下也是如此。本论文的主要贡献是将量子遍历性和量子唯一遍历性问题置于初等解析和几何的框架中。除了提出和总结许多重要的证明，如科林·德·维迪埃的量子遍历定理的证明，我们进行图形模拟某些台球流和conventiorily讨论几个主题的量子混沌研究。
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自旋为1/2的Pauli Hamilton算子的量子遍历性
Quantum ergodicity for Pauli Hamiltonians with spin 1/2
对于自旋为1/2的非相对论量子粒子，证明了量子遍历性，它表示量子哈密顿量本征态中几乎所有观测量的期望值都半经典收敛于相应的经典微正则平均.结果表明，量子遍历性成立，如果一个合适的组合的经典平移动力学和自旋动力学沿轨道的平移运动是遍历的。
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二维 torus 上磁 Laplacian 的量子唯一遍历性
Quantum unique ergodicity for magnetic Laplacians on T^2
University of Copenhagen（哥本哈根大学）
研究二维 torus 上磁 Laplacian 在高能情况下的量子唯一遍历性，即使经典流不满足遍历性条件。
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SL_2（Z）\H的量子唯一遍历性
Quantum unique ergodicity for SL_2(Z)\H
我们消除了模群的大本征值的Hecke-Maass形式的“质量逃逸”的可能性。结合Lindenstrauss的工作，建立了Rudnick和Sarnak关于模曲面SL_2（Z）\H的量子唯一遍历性猜想.
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自旋粒子的量子和经典遍历性
Quantum and classical ergodicity of spinning particles
利用Wigner-Weyl演算给出了具有任意自旋的Pauli Hamilton算子的量子遍历性。相应的经典相空间是平移自由度相空间与双球面相空间的直积。在这个乘积空间中，我们引入了平移运动和经典自旋进动的组合。在乘积流遍历的条件下证明了量子遍历性。
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双曲平面乘积的量子遍历性
Quantum Ergodicity for products of hyperbolic planes
对于单位切丛上具有遍历的测地线流的流形，量子遍历定理意味着几乎所有的拉普拉斯本征函数在本征值趋于无穷大时成为等分布的。对于一个局部对称空间，其泛覆盖是几个上半平面的乘积，测地线流具有运动常数，因此它不是遍历的。然而，它是遍历时，仅限于由这些常数定义的子流形。根据，我们表明，几乎所有的特征函数成为均匀分布在这些子流形。
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orbifolds上的经典遍历性和量子遍历性
Classical and quantum ergodicity on orbifolds
我们将Shnirelman、Colin de Verdière和Zelditch关于量子遍历性的经典结果推广到轨道折叠，证明了对于紧致轨道折叠X上的任何正的一阶自伴椭圆伪微分算子P，且具有正的主象征p，p的Hamilton流的遍历性蕴涵着算子P的量子遍历性。我们还证明了负的紧黎曼轨道上的测地流的遍历性。截面曲率
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随机加权Sobolev不等式及其在量子遍历中的应用
Random weighted Sobolev inequalities and application to quantum ergodicity
这篇论文是Poiret-Robert-Eschann（2013）的延续，我们研究了一种基于调和势的拉普拉斯算子的随机化方法。在这里，我们扩展我们以前的结果的情况下，任何多项式和限制潜在的$V$ $\mathbb{R}^d$。我们构造措施，浓度型假设下，在支持下，我们证明最佳加权Sobolev估计$\mathbb{R}^d$。这种构造依赖于对非紧位形空间中的谱函数的精确估计。然后，我们证明了随机量子遍历性的结果没有特定的经典动力学假设。最后证明了埃尔米特函数的几乎所有基都是量子唯一遍历的。
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次黎曼拉普拉斯算子的量子遍历性和量子极限
Quantum ergodicity and quantum limits for sub-Riemannian Laplacians
本文是\cite{CHT-I}的一个会议录版本，在其中我们陈述了三维切触流形上的一个量子遍历定理，并建立了量子极限的一些性质。我们考虑一个次黎曼（sR）度量上的一个紧凑的三维流形定向接触分布。存在接触形式的特权选择，与相关的Reeb向量场和与Popp测度一致的正则体积形式。我们的状态QE定理的特征函数的任何相关的SR拉普拉斯算子，假设Reeb流是遍历的。极限测度由归一化正则接触测度给出。据我们所知，这是通常的Schnirelman定理的第一次推广到亚椭圆算子。我们还提供了QL的分解结果，它是有效的，没有任何遍历性假设。我们解释的主要步骤的证明，我们讨论可能的扩展到其他SR几何。
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大等边量子图的量子遍历性
Quantum ergodicity for large equilateral quantum graphs
考虑一列有限正则图（GN）在Benjamini-Schramm意义下收敛到无限正则树.我们研究了边长相等、Kirchhoff条件（可能有非零耦合常数$α$）和边上有对称势U的诱导量子图.我们证明了在无限量子树具有绝对连续谱的谱区中，收敛量子图的本征函数满足量子遍历性定理。在$α$ = 0和U = 0的情况下，极限测度是边缘上的一致测度。一般来说，它有一个显式的解析密度。最后证明了一个包含积分算子的更强的量子遍历性定理，其目的是研究本征函数关联。
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图量子遍历性条件的必要性及与无限图的笛卡尔积
The necessity of conditions for graph quantum ergodicity and Cartesian products with an infinite graph
Anantharaman和Le Masson证明了一个图族的邻接算子的任何本征基族都是量子遍历的（一种非定域化的形式），假设图满足扩张和高围长的条件。在本文中，我们证明了这两个条件本身都不足以使量子遍历性成为必然。我们还表明，有条件的膨胀和特定的放松的高围长约束，目前在以后的论文量子遍历是不够的。我们这样做是通过证明新的性质的笛卡尔积的两个图，其中一个是无限的。
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一类非一般系统的量子遍历性
Quantum ergodicity for a class of non-generic systems
我们研究量子系统的动力学所产生的哈密顿有剩余的简并在其频谱和共振在其能隙的量子正常典型性和遍历性属性。这样的系统可以被认为是非典型的，在这个意义上，简并，这通常是对称性的标志，自然打破了典型的系统，由于随机扰动。特别是，我们证明了一个版本的冯诺依曼的量子遍历定理，修改后的条件需要举行，以具有正常的典型性和遍历性。结果表明，谱的简并性并不显著地改变定理的条件，而共振的存在对于阻碍遍历性更占主导地位。
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谱离域扩展量子图的量子遍历性
Quantum ergodicity for expanding quantum graphs in the regime of spectral delocalization
我们考虑一个有限量子图序列，它具有很少的圈，使得它们在Benjamini-Schramm意义下收敛到一个随机的无限量子树。我们假设这些量子树在$I$的某个区间上是光谱离域的，在这个意义上，它们在$I$中的光谱是纯绝对连续的，并且它们的格林函数在实轴附近得到很好的控制。我们进一步假设离散图的基本序列是扩展的。我们推导出一个量子遍历性结果，表明本征值位于$I$中的本征函数是空间离域的。
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大规模Schreier图上的量子混合
Quantum mixing on large Schreier graphs
Aix-Marseille Université（艾克斯-马赛大学）；CNRS & Université Paris-Saclay（法国国家科学研究中心与巴黎萨克雷大学）；Science Division, New York University Abu Dhabi（阿布扎比纽约大学理学院）
本文研究了大规模Schreier图的量子混合性，证明了在特定条件下量子遍历性和混合性成立，并引入了新的数学框架。
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$L^p$范数、节点集和量子遍历性
$L^p$ norms, nodal sets, and quantum ergodicity
对于小范围的$p>2$，我们改进了负曲流形上拉普拉斯算子的特征函数的$L^p$界.我们的改进是由幂对数的全密度序列的特征函数。我们还得到改进的节点集的大小。我们的证明是基于量子遍历性的独立利益，这适用于家庭的符号支持球的半径以对数率收缩。
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算术环面上点散射体的量子遍历性
Quantum Ergodicity for Point Scatterers on Arithmetic Tori
我们证明了一个类似的Shnirelman，Zelditch和Colin de Verdiere的量子遍历定理的情况下，没有潜在的经典遍历。我们考虑的系统是Laplacian与三角洲潜力的平方环面。有两种类型的波函数：旧的本征函数的拉普拉斯算子，这是不受散射体，和新的本征函数具有对数奇异性的散射体的位置。证明了新特征函数的全密度子序列在相空间中均匀分布。我们的估计是统一的耦合参数，特别是等分布举行的弱和强耦合量子化的点散射。
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正则大图的量子遍历性
Quantum ergodicity on large regular graphs
我们提出了一个版本的量子遍历定理的大型正则图的固定价。这是“大多数”本征函数的离域性。我们考虑具有少量短圈的扩展图（例如随机大正则图）。我们的方法模仿流形上量子遍历性的证明：它使用正则树上的微局部分析。
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关于量子遍历性的注记
Remarks on quantum ergodicity
证明了无边界光滑紧致黎曼流形上量子遍历定理的一个推广形式。我们应用它来证明一些渐近性质的典型特征函数的拉普拉斯算子的几何情况下，刘维测度是不是（或不知道是）遍历分布。
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球面上的量子遍历性与平均算子
Quantum Ergodicity and Averaging Operators on the Sphere
我们证明了量子遍历某些规范正交基的$L^2(\mathbb{S}^2)$，由联合特征函数的拉普拉斯算子上$\mathbb{S}^2$和离散平均运营商在一个有限集的旋转，产生一个自由群。如果另外的旋转是代数的，我们给出了这个结果的量化版本。所用的方法也给出了大正则图量子遍历性的一个新的简化证明。
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Dirac-Hamilton算子的半经典时间演化和量子遍历性
Semiclassical time evolution and quantum ergodicity for Dirac-Hamiltonians
在Weyl演算的框架内，我们建立了一个量子经典对应的时间演化的观测量所产生的Dirac-Hamilton。这包括粒子和反粒子的半经典分离。然后，我们证明了量子遍历的条件下，经典的相对论平移运动和相对论自旋进动的斜积是遍历的狄拉克-哈密顿算子。
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离散时间量子行走中的遍历性
Ergodicity in discrete-time quantum walks
Science Division, New York University Abu Dhabi（纽约大学阿布扎比分校科学学部）
本文研究了离散时间量子行走的遍历性，发现一维情况下单位算子的绝对连续谱与位置空间的动力学等分布完全等价，并在高维情况下提出'无重复图'谱性质作为全遍历和部分遍历的判据。
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大型图的量子遍历性
Quantum ergodicity on large graphs
我们给出了三种不同的证明Anantharaman-Le Masson的主要结果，建立量子遍历性-一种形式的离域-的特征函数的Laplacian在大型正则图的固定度。这三个证明比原来的证明短得多，彼此之间有很大的不同，我们觉得四个证明中的每一个都对这个问题有不同的解释。本文的目标是找到一个可以适用于数学物理中其他模型的证明，例如大正则图上的Anderson模型，带权边的正则图，或者可能的非正则图的某些模型。
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关于全纯量子唯一遍历性的注记
A Note on Holomorphic Quantum Unique Ergodicity
本文给出了上半平面上全纯整权模形式的量子唯一遍历性猜想的一个新证明。证明只需要对Ramanujan猜想和移位卷积问题的部分结果。此外，证明适用于更广泛的一类尖点形式以外的Hecke特征形。我们还证明了一些有趣的推论，特别是对莱默猜想的非零的傅里叶系数。
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广义Wigner矩阵的局部量子唯一遍历性中的涨落
Fluctuations in local quantum unique ergodicity for generalized Wigner matrices
本文证明广义Wigner矩阵在任意能级上特征向量质量分布收敛于高斯分布，并利用四点去相关估计和bootstrap论证建立了量子唯一遍历性与量子弱混合界。
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$\u210d^d$上Dirichlet截断算子的量子遍历性
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本文证明了$\u210d^d$上邻接矩阵Dirichlet截断的量子遍历性，并推广到有限程观测和周期至多为二的周期Schrödinger算子，部分回答了McKenzie和Sabri提出的问题。
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${\rm SL}_d(\mathbb{R})/{\rm SO}(d)$紧子在Benjamini-Schramm极限下的量子遍历性
Quantum Ergodicity for compact quotients of ${\rm SL}_d(\mathbb{R})/{\rm SO}(d)$ in the Benjamini-Schramm limit
研究了谱参数在固定窗内的${\rm SL}_d(\mathbb{R})/{\rm SO}(d)$，$d\ge 3$的紧导数的Benjamini-Schramm收敛序列的Maass型的极限行为.我们证明了一种形式的量子遍历性在这方面的水平推广的结果Le Masson和Sahlsten到更高的秩的情况。
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三维环面上点散射体的量子遍历性
Quantum ergodicity for a point scatterer on the three-dimensional torus
考虑标准三维平坦环面上的点散射体（拉普拉斯算子受δ势扰动）。与拉普拉斯算子的本征函数在该点处消失，该算子有一组新的扰动本征函数。在最近的一篇论文中，作者能够证明所有的扰动本征函数均匀分布在位形空间。本文证明了几乎所有的本征函数在相空间中是均匀分布的，即证明了扰动本征函数的子空间的量子遍历性。Kurlberg和Ueberschär最近证明了二维环面上点散射体的类似结果。
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正则图上Anderson模型的量子遍历性
Quantum ergodicity for the Anderson model on regular graphs
证明了正则树（Bethe格）上Anderson模型的一个离域性结果.当无序较弱时，已知光谱的大部分是a.s.纯粹绝对连续的，动力学传输是弹道的。在这项工作中，我们证明，在这样的AC制度，本征函数也是离域的空间，在这个意义上说，如果我们考虑一系列的正则图收敛到正规树，那么本征函数成为渐近均匀分布。精确的结果是量子遍历定理。
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特征向量矩流与局域量子唯一遍历性
The Eigenvector Moment Flow and local Quantum Unique Ergodicity
我们证明了广义Wigner矩阵的特征向量的分布在体域和边域都是普适的。这包括局部量子唯一遍历性和本征向量项的渐近正态性的概率版本。证明依赖于分析Dyson布朗运动下的特征向量流。关键的新想法是：（1）引入了随机环境中的多粒子随机游动--特征向量矩流，（2）基于最大值原理对该流的正则性进行了有效的估计，（3）最优有限传播速度对具有很高概率的特征向量矩流成立。
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Wigner矩阵量子遍历性中的正规涨落
Normal fluctuation in quantum ergodicity for Wigner matrices
考虑一般确定性矩阵关于$N\times N$ Wigner矩阵的特征向量的二次型，证明了在大$N$极限下，它对每个本体特征向量都有高斯涨落.该证明是受[Marcinek，Yau 2020]启发的戴森布朗运动的能量方法和我们最近的多预解式局部定律[Cipolloni，Erdos，Schröder 2020]的组合。
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周期图算子的Bloch簇与量子遍历性
Bloch varieties and quantum ergodicity for periodic graph operators
对于周期图算子，我们建立了基于Bloch簇的谱带函数重叠判定准则。一个标准指出，对于一个大的周期图算子族，Bloch簇的不可约性意味着谱带函数没有非平凡的周期。这特别表明，谱带函数的离散周期薛定谔运营商$\mathbb{Z}^d$没有非平凡的时期，回答了一个问题所提出的麦肯齐和萨布里[量子遍历周期图。arXiv预印本arXiv：2208.12685（2022）]。
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图的量子遍历性：从谱到空间的非定域化
Quantum Ergodicity on Graphs : from Spectral to Spatial Delocalization
我们证明了一个量子遍历定理的大型图，薛定谔算子的本征函数在一个非常一般的设置。我们考虑一个序列的有限图赋予离散薛定谔算子，假设有一个局部弱极限。我们假设我们的图有几个短回路，换句话说，极限模型是一个随机的有根树赋予一个随机离散薛定谔算子。我们表明，绝对连续的频谱的无限模型，加强了良好的控制的时刻的格林函数，意味着“量子遍历”，一种形式的空间离域的本征函数的有限图形近似的树。这粗略地说，本征函数在相空间中变得均匀分布。我们的结果特别适用于图收敛到安德森模型在一个正常的树，在制度的扩展状态研究克莱因和Aizenman-Warzel。
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非齐次量子马尔可夫链与遍历性概念
Nonhomogeneous quantum Markov chains and a notion of ergodicity
受S. Gudder，我们研究了马尔可夫链的量子推广，并讨论了这些映射与S. Attal等人，我们考虑在时间上非齐次的过程，即，在每一个时间步，一个可能不同的进化核。受L. Saloff-Coste和J. Zúñiga，我们定义了非齐次量子马尔可夫链的遍历性概念，并描述了奇异值的遍历性准则。因此，我们得到一个量子版本的经典概率结果有关的列（或行）的随机矩阵的迭代有限，不可约，非周期马尔可夫链引起的行为。我们也能够把这里提出的遍历性与非交换$L^1$ -空间文献中已知的弱遍历性和一致遍历性的概念联系起来。
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量子马尔可夫半群的迹距离遍历性
Trace distance ergodicity for quantum Markov semigroups
本文提出基于Lindblad生成元谱分解的判据，用于量化量子马尔可夫半群到稳态的迹距离遍历性，并应用于玻色子/费米子Ornstein-Uhlenbeck半群及半单李代数参数化的半群族。
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无限台球中的局域化：量子遍历性与经典遍历性的比较
Localization in infinite billiards: a comparison between quantum and classical ergodicity
考虑在正$x$ -半轴、正$y$ -半轴和$f(x) = (x+1)^{-α}$、$α\in (1,2]$的图所包围的第一象限中的非紧台球。虽然Schnirelman定理成立，但位置$x$的量子平均在任何本征态上都是有限的，而经典遍历性要求$x$的经典时间平均是无界的。
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变形Wigner矩阵的特征向量分布和量子唯一遍历性
Eigenvectors distribution and quantum unique ergodicity for deformed Wigner matrices
我们分析了介观，平均场扰动的对角矩阵在大部分的频谱特征向量的分布。我们的结果适用于一个广义的$N\times N$ Rosenzweig-Porter模型。我们证明了特征向量项是渐近高斯与特定的方差，将它们定位到一个小的，明确的频谱的一部分。对于良好扩展的初始频谱，该方差分布普遍遵循重尾柯西分布。在光滑项的情况下，我们还得到了量子唯一遍历性的一个强形式，作为本征向量概率质量上的压倒性概率界。证明依赖于该模型的先验局部定律和特征向量矩流。
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大超曲面上的量子混沌性对于局部和伪局部算子
Quantum Ergodicity on large hyperbolic surfaces for local and pseudolocal operators
Collège de France（法兰西公学院）；Institut de Recherche Mathématique Avancée (IRMA)（斯特拉斯堡高等数学研究所）
本研究在超曲面上证明了量子混沌性，针对局部和伪局部算子，通过注入半径下界和谱间隙条件，证明量子方差消失，扩展了标量算子结果。
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环面上线性映射的量子遍历性
On quantum ergodicity for linear maps of the torus
我们证明了环面上线性双曲映射（“猫映射”）的量子遍历性的一个强版本。我们证明了存在一个密度为1的整数序列，使得当N沿该序列趋于无穷大时，在逆普朗克常数N处的量子传播子的所有本征函数都是均匀分布的。论证中的一个关键步骤是证明，对于模群中的双曲矩阵，存在一个密度为1的整数序列N，其模N的阶（或周期）略大于N的平方根。
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量子混合与双曲面的Benjamini-Schramm收敛
Quantum Mixing and Benjamini-Schramm Convergence of Hyperbolic Surfaces
Aalto University（阿尔托大学）
研究双曲紧致表面和乘法观测算子，建立大尺度量子混合定理的类比，补充了Le Masson和Sahlsten的大尺度量子遍历定理，不依赖球平均算子或Nevo的遍历定理。
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双曲曲面的谱收敛与量子遍历性
Spectral convergence of hyperbolic surfaces and quantum ergodicity
该研究将Plancherel收敛推广到有限面积双曲曲面，建立其量子遍历性定理，涵盖退化情形，为退化双曲曲面的量子遍历性提供自然谱框架。
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抛物映射的量子唯一遍历性
Quantum unique ergodicity for parabolic maps
研究了环面的量子化遍历映射的遍历性质。已知这些满足量子遍历性：对于几乎所有的本征态，量子可观测量的期望值收敛到经典相空间平均值，相对于相应的经典可观测量的刘维尔测度。本征态可能存在的任何异常双折射是一个重要的问题，到目前为止，在任何例子中都没有解决。不存在例外的连续性被称为量子唯一遍历性（quantum unique ergodicity，QUE）。我们提出的第一个例子的地图，满足QUE：无理斜平移的两个环面，抛物类似物阿诺德的猫地图。这些映射是经典的唯一遍历的，不是混合的。关键的一步是找到一个符合量子-经典对应原理的量子化配方。除了证明这些地图的QUE，我们也给结果的收敛速度相空间平均。我们给出的上限，我们表明是最优的。我们构造这些地图的收敛速度是任意慢的特殊的例子。
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