环面上线性映射的量子遍历性

关于模素数幂的高维猫映射的量子遍历性

On quantum ergodicity for higher dimensional cat maps modulo prime powers

本文针对模整数 $N$ 的高维辛矩阵线性映射量子遍历性模型，利用线性递推序列指数和的界，显式构造了具有幂次偏差节省的模数 $N$ 序列，解决了以往结果无法显式构造“好”模数的问题。

高维Rudnick-Kurlberg猜想

The Higher-Dimensional Rudnick-Kurlberg Conjecture

本文证明了多维Berry-Hannay模型的{ \it Hecke量子唯一遍历猜想}。二维环面上的量子力学模型。这个结果推广了\cite{GH3}中给出的{ \it Rudnick-Kurlberg猜想}在二维环面上的证明.

具有简单谱的量子映射的疤痕

Scarring for Quantum Maps with Simple Spectrum

我们以前介绍了一个家庭的辛映射的环面，其量化展览疤痕不变的余各向同性子流形。本说明的目的是表明，与其他例子相比，量子唯一遍历性的失败归因于光谱中的高多重性，对于这些例子，光谱是（一般）简单的。

Hecke理论与环面线性映射量子化的等分布

Hecke theory and equidistribution for the quantization of linear maps of the torus

研究了环面的量子化线性双曲自同构（“猫映射”）的本征函数的半经典极限。对于普朗克常数的某些值，量子化映射的谱具有大的简并性。我们在这篇论文中的第一个目标是表明，这些简并耦合到量子对称性的存在。在状态空间上有一个幺正算子的交换群，它与量子化映射交换，因此作用在它的本征空间上。我们称之为“Hecke算子”，类似于模曲面的设置。我们把量子化映射和所有Hecke算子的本征态称为“Hecke本征函数”。我们的第二个目标是研究Hecke本征函数的半经典极限。我们将证明它们相对于Liouville测度是等分布的，即在这些本征态中量子可观测量的期望值收敛于可观测量的经典相空间平均。

复代数$n$ --环面的幂映射与子簇

Power maps and subvarieties of the complex algebraic $n$--torus

给定复代数环面${\mathbb G}_{\rm m}^n$的一个由全次数至多为$d$的多项式定义的子簇$V$和一个幂映射$ϕ: {\mathbb G}_{\rm m}^n \to {\mathbb G}_{\rm m}^n$，前向轨道${\mathcal O}_ϕ({\bf x})$属于$V$的点${\bf x}$构成它的{ \em稳定}子簇$S(V,ϕ)$ .本文的主要结果提供了一个上限$T=T(n,d,ϕ)$的迭代次数的功率图$ϕ$ "切断“的点$V$不属于$S$。

Equations and character sums with matrix powers, Kloosterman sums over small subgroups and quantum ergodicity

We obtain a nontrivial bound on the number of solutions to the equation $$ A^{x_1} + \ldots + A^{x_ν} = A^{x_{ν+1}} + \ldots + A^{x_{2ν}}, \quad 1 \le x_1, \ldots,x_{2ν} \le τ, $$ with a fixed $n\times n$ matrix $A$ over a finite field $\mathbb F_q$ of $q$ elements of multiplicative order $τ$. We give applications of our result to obtaining a new bound of additive character sums with a matrix exponential function, which is nontrivial beyond the square-root threshold. For $n=2$ this equation has been considered by Kurlberg and Rudnick (2001) (for $ν=2$) and Bourgain (2005) (for large $ν$) in th…