Quantum Unique Ergodicity for maps on the torus
Lior Rosenzweig
当一个映射是经典唯一遍历的时候，它的量子化必然是量子唯一遍历的。本文给出了扰动Kronecker映射的量子唯一遍历性的例子，并给出了收敛速度的上界。
When a map is classically uniquely ergodic, it is expected that its quantization will posses quantum unique ergodicity. In this paper we give examples of Quantum Unique Ergodicity for the perturbed Kronecker map, and an upper bound for the rate of convergence.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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In this paper we study the stochastic quantization problem on the two dimensional torus and establish ergodicity for the solutions. Furthermore, we prove a characterization of the $Φ^4_2$ quantum field on the torus in terms of its density under translation. We also deduce that the $Φ^4_2$ quantum field on the torus is an extreme point in the set of all $L$-symmetrizing measures, where $L$ is the corresponding generator.
Arithmetic Quantum Unique Ergodicity for Symplectic Linear Maps of the Multidimensional Torus
我们期待的期望值的量化线性辛映射的多维环面和它们的分布在半经典极限。我们构建的超级疤痕，是稳定的算术对称的系统和本地化周围不变的流形。我们证明了这些超疤痕存在时，只有有各向同性的有理子空间，线性映射下不变。在没有疤痕的情况下，我们计算了去对称化系统的矩阵元的涨落方差，并对它们的极限分布提出了一个猜想。
We prove the ergodicity of the Wang--Swendsen--Kotecký (WSK) algorithm for the zero-temperature $q$-state Potts antiferromagnet on several classes of lattices on the torus. In particular, the WSK algorithm is ergodic for $q\ge 4$ on any quadrangulation of the torus of girth $\ge 4$. It is also ergodic for $q \ge 5$ (resp. $q \ge 3$) on any Eulerian triangulation of the torus such that one sublattice consists of degree-4 vertices while the other two sublattices induce a quadrangulation of girth $\ge 4$ (resp.~a bipartite quadrangulation) of the torus. These classes include many lattices of inte…
On quantum ergodicity for linear maps of the torus
我们证明了环面上线性双曲映射（“猫映射”）的量子遍历性的一个强版本。我们证明了存在一个密度为1的整数序列，使得当N沿该序列趋于无穷大时，在逆普朗克常数N处的量子传播子的所有本征函数都是均匀分布的。论证中的一个关键步骤是证明，对于模群中的双曲矩阵，存在一个密度为1的整数序列N，其模N的阶（或周期）略大于N的平方根。
Quantum ergodicity for a point scatterer on the three-dimensional torus
考虑标准三维平坦环面上的点散射体（拉普拉斯算子受δ势扰动）。与拉普拉斯算子的本征函数在该点处消失，该算子有一组新的扰动本征函数。在最近的一篇论文中，作者能够证明所有的扰动本征函数均匀分布在位形空间。本文证明了几乎所有的本征函数在相空间中是均匀分布的，即证明了扰动本征函数的子空间的量子遍历性。Kurlberg和Ueberschär最近证明了二维环面上点散射体的类似结果。
Quantum unique ergodicity for magnetic Laplacians on T^2
研究二维 torus 上磁 Laplacian 在高能情况下的量子唯一遍历性，即使经典流不满足遍历性条件。
In this series, we investigate quantum ergodicity at small scales for linear hyperbolic maps of the torus ("cat maps'"). In Part II of the series, we construct quasimodes that are quantum ergodic but are not equidistributed at the logarithmical scales.
In this series, we investigate quantum ergodicity at small scales for linear hyperbolic maps of the torus ("cat maps"). In Part I of the series, we prove quantum ergodicity at various scales. Let $N=1/h$, in which $h$ is the Planck constant. First, for all integers $N\in\mathbb{N}$, we show quantum ergodicity at logarithmical scales $|\log h|^{-α}$ for some $α>0$. Second, we show quantum ergodicity at polynomial scales $h^α$ for some $α>0$, in two special cases: $N\in S(\mathbb{N})$ of a full density subset $S(\mathbb{N})$ of integers and Hecke eigenbasis for all integers.
Quantum ergodicity for graphs related to interval maps
我们利用Pakonski等人（J. Phys. A，v. 34，9303-9317（2001））提出的方法证明了一类图的量子遍历性。我们取区间上的L^2函数作为观测量。证明是基于量子方差的一个主要的周期轨道展开。具体来说，给定一个一维的，勒贝格测度保持映射的区间，我们考虑一个日益完善的序列的分区的区间。对于这个序列，我们关联一个序列的图，其有向边对应于分区的元素，并且在其上经典动力学近似于对应于映射的Perron Frobenius算子。我们证明了，除了可能的密度为0的连续性，量子图的本征态均匀分布在大图的极限。对于一个较小的类的观测量，我们还表明，叶戈罗夫属性，经典和量子演化之间的对应关系的半经典极限，持有的量子图形的问题。
Upper bounds on the rate of quantum ergodicity
研究了具有遍历经典极限的量子系统本征函数的半经典行为。根据量子遍历性定理，几乎所有这些本征函数在弱意义上都是等分布的。当经典系统以一定速率遍历时，我们给出了量子遍历速率的$\abs{\ln\hbar}^{-1}$阶上界的一个简单推导。此外，当经典系统是弱混合时，我们得到了一个类似的跃迁振幅的界。这两个结果概括了以前的Zelditch。然后将结果推广到环面上的几类量子化映射，得到了扰动猫映射的对数速率和抛物映射的尖锐代数速率。
From a dynamical viewpoint, basic phase transitions of statistical mechanics can be regarded as a breaking of ergodicity. While many random models exhibiting such transitions at the thermodynamics limit exist, finite-dimensional examples with deterministic dynamics on a chaotic attractor are rare, if at all existent. Here, the dynamics of a family of $N$ coupled expanding circle maps is investigated in a parameter regime where absolutely continuous invariant measures are known to exist. At first, empirical evidence is given of symmetry breaking of the ergodic components upon increase of the co…
A new Kempe invariant and the (non)-ergodicity of the Wang-Swendsen-Kotecky algorithm
我们证明了对于闭定向曲面的三色三角剖分类，四色模12的度在Kempe变换下是不变的。利用这个一般性结果证明了：对于环面的所有三角剖分T（3L，3 M），当3<= L <= M时，至少存在两个Kempe等价类.这个结果特别意味着零温四态Potts反铁磁体在环面三角剖分T（3L，3 M）上的Wang-Swendsen-Kotecky算法不是遍历的。
Slow Divergence and Unique Ergodicity
Masur表明，一个Teichmuller测地线是经常性的模空间的封闭黎曼曲面必然是由二次微分与唯一遍历垂直叶理。在本文中，我们证明了一个发散的Teichmuller测地线满足一定的慢发散率也必然是由一个二次微分唯一遍历垂直叶理。作为应用，我们给出了分支于两点的平坦环面的任意双覆盖中非遍历方向集的完全刻画的证明。
Quantum unique ergodicity for parabolic maps
研究了环面的量子化遍历映射的遍历性质。已知这些满足量子遍历性：对于几乎所有的本征态，量子可观测量的期望值收敛到经典相空间平均值，相对于相应的经典可观测量的刘维尔测度。本征态可能存在的任何异常双折射是一个重要的问题，到目前为止，在任何例子中都没有解决。不存在例外的连续性被称为量子唯一遍历性（quantum unique ergodicity，QUE）。我们提出的第一个例子的地图，满足QUE：无理斜平移的两个环面，抛物类似物阿诺德的猫地图。这些映射是经典的唯一遍历的，不是混合的。关键的一步是找到一个符合量子-经典对应原理的量子化配方。除了证明这些地图的QUE，我们也给结果的收敛速度相空间平均。我们给出的上限，我们表明是最优的。我们构造这些地图的收敛速度是任意慢的特殊的例子。
Quantum Ergodicity for Point Scatterers on Arithmetic Tori
我们证明了一个类似的Shnirelman，Zelditch和Colin de Verdiere的量子遍历定理的情况下，没有潜在的经典遍历。我们考虑的系统是Laplacian与三角洲潜力的平方环面。有两种类型的波函数：旧的本征函数的拉普拉斯算子，这是不受散射体，和新的本征函数具有对数奇异性的散射体的位置。证明了新特征函数的全密度子序列在相空间中均匀分布。我们的估计是统一的耦合参数，特别是等分布举行的弱和强耦合量子化的点散射。
On quantum ergodicity for higher dimensional cat maps
本文证明高维遍历猫映射在密度为一的逆 Planck 常数序列上本征函数均匀分布，并借助加性组合学与张量积结构工具拓展二维结果。
On quantum ergodicity for higher dimensional cat maps modulo prime powers
本文针对模整数 $N$ 的高维辛矩阵线性映射量子遍历性模型，利用线性递推序列指数和的界，显式构造了具有幂次偏差节省的模数 $N$ 序列，解决了以往结果无法显式构造“好”模数的问题。
Quantum mixing for eigenfunctions of rational polygons in configuration space
本文扩展了有理多边形本征函数的均匀分布结果至非对角元，还给出2-环面相同结果的另一证明，依托方向台球流的弱混合性开展研究。
The Higher-Dimensional Rudnick-Kurlberg Conjecture
本文证明了多维Berry-Hannay模型的{ \it Hecke量子唯一遍历猜想}。二维环面上的量子力学模型。这个结果推广了\cite{GH3}中给出的{ \it Rudnick-Kurlberg猜想}在二维环面上的证明.
Entropy of quantum limits for symplectic linear maps of the multidimensional torus
在二维环面的线性辛映射A的情况下，半经典测度是与高能量子态序列相关联的A不变概率测度。我们的主要结果是一个明确的下界的熵的任何半经典测度的一个给定的量化矩阵A在Sp（2d，Z）。特别地，我们的结果意味着如果A在单位圆外有本征值，则A的闭轨道不能携带半经典测度。
Discrete Mixed Quantization for Cat Maps
本文提出一种结合半经典分析与量子猫映射的混合量子化方法，用于图向量丛，并应用于研究Kesten--McKay定律和量子遍历性。
Proof of the Ergodic Hypothesis for Typical Hard Ball Systems
本文研究了尺寸为$L$，$ν\ge3$的平面环面$\Bbb T_L^ν=\Bbb R^ν/L\cdot\Bbb Z^ν$中质量为$m_1,...,m_N$，半径为$r$的$N$（$\ge2$）硬球系统.我们证明了遍历性（实际上，Bernoulli混合性质），这样的系统几乎每一个选择$(m_1,...,m_N; L)$的外部几何参数。这个定理补充了我以前的结果，证明了相同的，几乎肯定遍历的情况下$ν=2$。该证明的方法主要是动态几何的，而本方法本质上是代数的。
Scarring for Quantum Maps with Simple Spectrum
我们以前介绍了一个家庭的辛映射的环面，其量化展览疤痕不变的余各向同性子流形。本说明的目的是表明，与其他例子相比，量子唯一遍历性的失败归因于光谱中的高多重性，对于这些例子，光谱是（一般）简单的。
Quantisations of piecewise affine maps on the torus and their quantum limits
对于一般的量子系统，本征函数的半经典行为与基础经典系统的遍历性质的关系是很难理解的。本征态的维格纳函数弱收敛于经典系统的不变测度，即所谓的量子极限，人们希望了解哪些不变测度可以以这种方式出现，从而对本征函数的半经典行为进行分类。我们介绍了一类地图上的环面的量子化，我们可以了解一套非常详细的量子极限。特别地，我们可以构造以奇异遍历测度作为量子极限的遍历映射的例子，以及以绝对连续遍历测度的任意凸组合作为量子极限的非遍历映射的例子。我们量化的映射是通过切割和堆叠获得的。
Motivated by a model presented by S. Gudder, we study a quantum generalization of Markov chains and discuss the relation between these maps and open quantum random walks, a class of quantum channels described by S. Attal et al. We consider processes which are nonhomogeneous in time, i.e., at each time step, a possibly distinct evolution kernel. Inspired by a spectral technique described by L. Saloff-Coste and J. Zúñiga, we define a notion of ergodicity for nonhomogeneous quantum Markov chains and describe a criterion for ergodicity of such objects in terms of singular values. As a consequence …
Ergodicity of the 2D Navier-Stokes Equations with Degenerate Stochastic Forcing
研究了退化噪声驱动下环面上的随机二维Navier-斯托克斯方程。我们刻画了该模型的最小闭不变子空间，并证明了该子空间的动力学是遍历的。特别是，我们的结果产生一个纯粹的几何表征一类噪声的方程是遍历$Ł^2_0(\TT^2)$。与以前的作品不同，这个类是独立的粘度和强度的噪音。我们的分析的两个主要工具是\textit{asymptotic strong Feller}属性，在这项工作中介绍，和一个近似的分部积分法公式。第一，当结合一个弱类型的不可约性，以确保动态遍历。第二个是用来表明，第一个持有下的H{<$} rmander型条件。这需要一些有趣的非适应性随机分析。
Harmonic band theory: rigidity of non-zero degree harmonic maps from 2-torus to complex projective space
研究非零度调和映射的刚性，通过全纯嵌入与完备线性系统关联的holomorphic嵌入构造，证明其刚性，并扩展到无特殊超振荡点的全纯嵌入，附加对Fubini-Study辛形式拉回的假设。
Ergodic and synthetic Koopman analyses of cat maps onto classical 2-tori
研究猫映射的柯波曼理论分析，推导全 торus 上的柯波曼模分析公式及其分解，探讨四种猫映射的谱特性。
Torus Actions on Moduli Spaces of Super Stable Maps of Genus Zero
本研究在零亏格固定树型的超J-全纯曲线等三类模空间上构造了光滑$\u2102^*$-作用并保证约化空间环面不变，还给出固定点法丛的显式描述，明确了构造的核心步骤。
Continuous Limit of Discrete Sawtooth Maps and its Algebraic Framework
本文研究了2-环面上锯齿映射离散逼近中对数时标的存在性。所使用的技术是由量子力学相似性提出的，并且基于环面上的特定类别的状态，其满足量子相干态的典型动力学局部化特性。
Super Gromov-Witten Invariants via torus localization
本文提出通过环面局部化定义超级 Gromov-Witten 不变量，绕开超几何相交理论，证明其满足推广的 Kontsevich-Manin 公理，并给出射影空间亏格零不变量的计算方法与显式数值。
The adiabatic limit of wave map flow on a two torus
研究了Lorentzian域R x Sigma上的两球值波映射流，其中Sigma是任意平坦的两环面。在小初速度的限制下，考虑了初值与全纯映射Sigma -> S^2的模空间相切的Cauchy问题.证明了在此极限下，波映射在全纯映射的模空间中关于L^2度量在精确意义下收敛到测地线。这建立了，在一个严格的设置，一个长期存在的非正式猜想沃德。
Proof of the Kurlberg-Rudnick Rate Conjecture
本文证明了二维环面上的量子力学模型Berry-Hannay的{ \it Hecke量子唯一遍历猜想}。这个猜想在Z.鲁德尼克的讲座在MSRI，伯克利，1999年和ECM，巴塞罗那，2000年。
Dynamical quantum ergodicity from energy level statistics
本文提出量子循环遍历性的严格定义，通过能量本征态的离散傅里叶变换构造基，将量子遍历性与能级统计关联，并推广到无理流等系统，为量子混沌提供新框架。
Exponential mixing and log h time scales in quantized hyperbolic maps on the torus
研究了在\hbar趋于0，t趋于\infty的同时极限下，初始相干态和位置本征态在量子化双曲环面自同构和量子化Baker映射下演化的Husimi和Wigner分布的行为.我们展示了指数混合的基本动力学表现在这些数量的时间尺度上的对数\hbar。相干态的相空间分布，在这些动力学中的任一种下演化，被示出为在\hbar趋于0的极限中在环面上均匀分布，对于时间t，|\log \hbar|/（2γ）和|\log| \hbar|其中γ是经典系统的Lyapounov指数。时间短于|\log \hbar|/（2γ）时，它们仍然集中在相干态中心的经典轨迹上。演化位置本征态的相空间分布的行为，另一方面，是不一样的量化的自同构的面包师映射。在第一种情况下，如果t随着\hbar变为0而变为\infty，并且只要t短于|\log \hbar|/γ。在第二种情况下，它们在所有这些时间都保持在演化的初始位置上。
Macroscopic limits of chaotic eigenfunctions
本文综述了紧致黎曼流形上高能本征函数与测地流动力学的关系，涵盖量子遍历定理、量子唯一遍历猜想、熵界及质量下界，并探讨量子猫映射模型带来的挑战。
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