Dynamical Noncommutative Spheres
Andrzej Sitarz
我们引入一族非对易的4-球面，使得瞬子投影有它的第一个Chern类平凡：$ch_1(e) = B χ+ b ξ$。我们为它们构造了一个四维循环，并明确计算了瞬子投影的Chern-Connes配对。
We introduce a family of noncommutative 4-spheres, such that the instanton projector has its first Chern class trivial: $ch_1(e) = B χ+ b ξ$. We construct for them a 4-dimensional cycle and calculate explicitly the Chern-Connes paring for the instanton projector.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Principal fibrations over noncommutative spheres
我们给出了非对易四球面作为$SU(2)$ -主丛的底空间的例子，非对易七球面作为全空间。四球面的非交换坐标代数由在$SU(2)$作用下不变的投影的元素生成。我们给出条件的组件的Connes-Chern字符的投影消失，但第二（顶部）之一。后者则是一个非零的Hochschild循环，扮演着非对易四球的体积形式的角色。
On the Gauss-Chern-Bonnet theorem for the noncommutative 4-sphere
在伪黎曼演算的框架下构造了非对易4-球面上的一个微分学，证明了对于圆度量的共形扰动类中的每一个度量，都存在唯一的度量无挠联络.此外，我们找到了对应于向量场空间的投射模的一个局部化，这使得我们能够为非交换的4-球面建立一个Gauss-Chern-Bonnet型定理。
More noncommutative 4-spheres
介绍了非交换4-球面的新例子。
Noncommutative Chern-Simons theory on the quantum 3-sphere $S^3_θ$
考虑$θ$变形的量子三球$S^3_θ$，从谱的观点研究其Chern-Simons理论.我们首先在$S^3_θ$上构造一个谱三元组作为$S^3 $上Dirac几何的推广。由于Dirac算子的选择不是唯一的，我们给出了$S^3_θ$上与标准圆度量有关的两个更自然的谱三元组.然后我们计算了Chern-Simons作用量对三个谱三元组的作用量，结果表明它不是拓扑不变量，也就是说，它依赖于Dirac算子的选择。
Non-commutative 4-spheres based on all Podleś 2-spheres and beyond
描述了一类广泛的非对易空间，包括基于所有量子2-球的4-球和矩阵量子群的悬置。对于每个这样的空间，构造一个非交换的向量丛。这概括和澄清各种最近的建设非交换4-领域。
Coverings, correspondences, and noncommutative geometry
我们构建了一个添加剂的范畴，其中的对象是嵌入图中的3-球面和态射的几何对应3-流形实现以不同的方式作为分支覆盖的3-球面，分支覆盖配边。我们认为动力系统从相关的卷积代数赋予时间演化定义的基础几何。我们描述的相关性，我们的建设的问题，在非交换几何的谱对应。
Curvature and geometric modules of noncommutative spheres and tori
当被认为是欧几里得空间的子流形时，圆球和克利福德环面的黎曼几何可以用包含嵌入坐标的泊松代数式来表示，中心对象是投影算子，将周围空间中的切向量投影到子流形的切空间上。本文指出这些投影算子存在非交换的类似物，这意味着非交换切空间作为特殊的投射模的一个非常自然的定义.这些模带有一个从欧几里得空间导出的联系，我们计算它的数量曲率。
From Noncommutative Sphere to Nonrelativistic Spin
球上的重参数化不变动力学，由角动量坐标参数化，代表了非对易理论的一个例子。它可以根据Berezin-Marinov公式量化，用泡利矩阵代替坐标。根据这个方案，我们提出了两个不使用格拉斯曼变量描述自旋的半经典模型。第一个模型是正则量子化下的泡利方程。第二个模型产生的狄拉克方程的非相对论性的限制意味着正确的电子自旋磁矩的值。
Riemannian curvature of the noncommutative 3-sphere
为了研究经典（伪）黎曼流形的微积分在多大程度上可以推广到非交换情形，我们引入了非交换代数上的伪黎曼模演算.在这个框架中，可以证明列维-奇维塔定理的一个类似物，即对于一个给定的（度量）模，最多存在一个无挠和度量的连接，满足实度量演算的要求。此外，相应的曲率算子具有与经典黎曼曲率相同的对称性。作为我们的主要激励的例子，我们考虑一个伪黎曼演算的非交换3-球，并明确确定的挠自由和度量连接，以及曲率算子连同其数量曲率。
Principal fibrations from noncommutative spheres
我们构造了非对易主纤维化S_θ^7 \to S_θ^4，它是经典SU（2）Hopf纤维化在四球面上的变形.我们将SU（2）的不可约表示所对应的非对易向量丛实现为共等变映射的模，并构造了相应的投影。利用Connes-Moscovici局部指数公式计算了系数在配丛中的Dirac算子的指数.代数包含$A(S_θ^4) \into A(S_θ^7)$是一个非平凡量子主丛的例子。
Hopf fibration and monopole connection over the contact quantum spheres
本文研究了Omori，Maeda，Miyazaki和Yoshioka提出的量子化接触球的非交换几何.特别是它被证明，这些领域形成一个非交换的霍普夫纤维化的意义上的霍普夫-伽罗瓦扩展。构造了强连通，并计算了描述所有强连通荷的投射模的投射子.
The Noncommutative Topology of Anti-Self-Dual Gauge Fields
利用$C^*$ -代数和Hilbert模的技巧，研究了非对易欧氏四球$S^4_σ$上的瞬子规范场族的参数化空间的拓扑.通过对经典球$S^4$上瞬子的ADHM构造进行变形，得到了量子球上自然地由非对易拓扑空间参数化的瞬子族.利用$S^4_σ$的内规范理论，我们发现只要选择适当的内规范，就可以恢复一个经典的参数空间.
A Note on Gluing Dirac Type Operators on a Mirror Quantum Two-Sphere
本文的目的是引入一类算子，我们称之为量子狄拉克型算子的非对易球，从非对易磁盘的副本，受到适当的局部边界条件的胶合结构。我们证明了所得到的算子具有紧预解式，因此它们是椭圆算子。
Noncommutative Spheres and Instantons
我们报告最近的一些工作变形的空间，特别是变形的领域，描述两类的例子。第一类的例子包括与所谓的$θ$ -变形，这是介绍了一个简单的分析，在循环的$(b,B)$ -复杂的循环同源的周期相关的非交换流形。这些例子具有非平凡的全局特征，并且可以被赋予非交换流形的结构，根据谱三元组$(\ca, \ch, D)$。特别地，非对易球面$S^{N}_θ$是通常球面几何的等谱变形。对于相应的谱三元组$(\cinf(S^{N}_θ), \ch, D)$，旋量的Hilbert空间$\ch= L^2(S^{N},\cs)$和Dirac算子$D$都是交换$N$维球面$S^{N}$上的常用空间，只有代数及其在$\ch$上的作用是变形的.第二类的例子是由所谓的量子球$S^{N}_q$，这是量子正交和量子酉群的均匀空间。对于这些领域，有一个完整的描述$K$ -理论，在非平凡的自伴幂等元（投影）和酉，和$K$ -同调，在非平凡的Fredholm模，以及相应的陈字符在循环同调和上同调。
Curvature, area and Gauss-Bonnet formula of the Moyal sphere
本文利用共形度量和矩阵基计算Moyal球面的标量曲率、面积与总曲率积分，证明其满足Gauss–Bonnet公式，并推广到双参数广义形变情形。
Phases in noncommutative quantum mechanics on (pseudo)sphere
本文比较了球上的非对易量子力学（NCQM）和伪球（Lobachevsky平面，或$AdS_2$）上的NCQM在恒定磁场$B$存在下的谱离散部分与平面NCQM.我们表明，（伪）球形NCQM有一个“临界点”，在那里系统成为有效的一维，和两个不同的“相”，其中的平面系统的相位起源，指定的符号的参数$κ=1-Bθ$。（伪）球形NCQM的“临界点”对应于常规平面NCQM的$κ\to\infty $点，并且对应于所谓的“外来”平面NCQM的“临界点”$κ=0$，具有（可交换的）磁场的辛耦合。
New Algorithm and Phase Diagram of Noncommutative Phi**4 on the Fuzzy Sphere
我们提出了一种新的算法来模拟模糊球上的非对易φ 4理论，该算法基于：i）将标量场耦合到U（1）规范场，使得在对易极限N \longrightarrow \infty中，两个模解耦，我们只剩下球上的纯标量φ 4，ii）通过U（N）酉矩阵对角化标量场，然后从配分函数中积分出酉群。因此，标量扇区中的自由度从N^2减少到标量场的N个本征值，而U（1）规范场的动力学由D=3的杨-米尔斯矩阵模型和迈尔斯项给出。作为应用，我们用小的N值直到N=10和大量的统计量，重建了模糊球上非对易φ 4理论的相图，包括三相点.
Moduli space and structure of noncommutative 3-spheres
分析了非对易3-球面的模空间和结构。我们发展了二次代数的中心二次型的概念，并证明了一个一般的代数结果，它大大地改进了从二次代数到与特征簇相关联的叉积代数的经典同态，并得到了更丰富的叉积.它允许控制对合二次代数上的$C^\ast$ -范数，并在所需的一般性中构造微分学。用酉么模对称矩阵的对称空间中点对的等价类来刻划非交换3-球面的模空间。将模空间的标度叶理标识为SO（6）的虚表示特征的梯度流。它的通轨是椭圆曲线实部的连通分量，椭圆曲线构成一个共有8个点的双二次曲线网。我们表明，一般这些曲线是相同的特征品种相关联的二次代数。然后，我们应用中心二次型的一般理论，证明了非交换3-球面允许一个自然的分歧覆盖$π$由一个非交换的3维nilmanifold。这就产生了微分学。然后，我们计算的分歧覆盖$π$的雅可比矩阵配对的直接图像的基本类的非交换的3-维零流形的陈特征标的定义酉和获得的答案作为产品的周期（椭圆积分）由一个有理函数.
On the Noncommutative Geometry of Twisted Spheres
我们描述了扭曲变形的非对易几何方面，特别是Connes和Landi [8]以及Connes和Dubois Violette [7]中的球面，通过使用这些空间上的微分和积分学，这些空间在它们相应的量子对称群的作用下是协变的。我们从多参数变形的正交群和相关的平面和领域。我们表明，只有在扭曲的限制，这些多参数变形的协变微积分的平面上给出了一个有意义的微积分的领域上的商程序。在这种演算中，外部代数具有与经典代数相同的维数。我们开发的Haar功能领域，并使用它来定义一个积分的形式。在扭曲极限（不同于一般的多参数情况下）的哈尔功能是一个跟踪，因此我们得到一个循环的代数。在平面上的形式空间上构造了 *-Hodge算子，然后在球面上通过商构造了 *-Hodge算子。我们将我们的结果应用于偶数球面，并计算了这个循环的特征（即循环2n-上循环）与[7]中定义的瞬子投影之间的Chern-Connes配对。
Non commutative finite dimensional manifolds II. Moduli space and structure of non commutative 3-spheres
本文详细证明了我们关于模空间和非交换3-球面结构的结果。我们开发的概念，中心二次型的二次代数，和一般理论，建立了一个桥梁之间的非交换微分几何和它的纯代数对应。它允许构造从对合二次代数到C*-代数的态射，C *-代数由特征簇和与中心二次型相关联的埃尔米特线丛构造。我们应用一般理论的情况下，非交换的3-球，并表明，上述态射对应于一个自然的分歧覆盖的非交换的3维nilmanifold。然后，我们计算分歧覆盖的雅可比矩阵，并将答案作为（椭圆积分的）周期与有理函数的乘积。本文描述了非交换3-球面的实模空间和复模空间，将实模空间与三维射影空间的根根系联系起来，将复模空间与三维双有理三次自同构的轨道联系起来.我们对代数进行了分类，并建立了它们之间的对偶关系。
Examples of noncommutative instantons
这些笔记旨在对最近关于空间变形和空间上向量丛的变形的工作进行教学介绍，这些工作在数学和物理学中都是相关的，特别是空间和瞬子丛。我们首先描述了复曲面非对易流形（也称为等谱形变），并详细介绍了复曲面四球上的规范理论。这包括一个杨-米尔斯作用泛函与相关的运动方程和自对偶方程。我们构造了SU（2）丛上一类特殊的瞬子解，并适当地利用了扭曲共形对称性。在第二部分中，我们通过在不同于环面的球面上构造一个量子群SU_q（2）丛，描述了经典四球上瞬子丛的一种不同变形。
Quantum dynamical semigroups generated by noncommutative unbounded elliptic operators
研究了由非对易无界椭圆算子生成的量子动力学半群，它们可以写成Lindblad型无界生成元。在适当的条件下，我们首先构造生成元的极小量子动力学半群，然后利用Chebotarev和Fagnola的保守性充分条件证明该半群是保守的。
Noncommutative products of Euclidean spaces
给出了欧几里得空间的非交换积的坐标代数的自然族。这些坐标代数是与满足杨-巴克斯特方程的对合R-矩阵相关的二次坐标代数。因此，他们享有良好的性能列表，是定期的有限的全球范围内。值得注意的是，我们有八维非交换的欧几里得空间，它们表现得特别好，是由二维球面参数化的变形。商包括非交换的七球以及非交换的“四元数环面”。有不变性的作用$SU(2) \times SU(2)$在平行的作用$U(1) \times U(1)$上的“复杂的”非交换环面，允许一个建设四元数环面非交换流形。其他类别的解决方案是不相交的经典情况。
Quantum Spheres for OSp_q(1/2)
利用量子超群OSpq（1/2）的余表示，给出了构造在其余作用下的非对易协变空间的一般方法.特别地，一个单参数家庭的协变代数，这可能被解释为非交换超球，被构造。观察到超球嵌入到OSpq（1/2）代数中是可能的.这种实现承认无穷小表征一拉Koornwinder。超球的协变振子实现。
Dequantization of Noncommutative Spaces and Dynamical Noncommutative Geometry
去量子化构造的纯数学根源是对非对易空间上的预层所需的层化的追求。矩空间被构造为一个交换空间，通过一个stringwise构造，逼近作为动力学空间出现的非交换空间。其主要结果是纯数学的，即在非对易空间上的某些层的非对易茎可以被识别为在矩空间的对易几何（拓扑）上与之相关的某些层的茎。这可以被看作是变形-量子化思想的（部分）逆，但实际上具有层的茎的更精确的行为。该方法的基础上，最低限度的公理必须改写连续性原则方面的偏序（非交换拓扑）排他，导致出现的对象，如字符串和（M-）膜。此外，谱族和观测量可以作为非交换拓扑上的分离滤子来定义和研究！我们强调的关系，伪的地方和广义赋值理论。最后，我们暗示了一个新的“空间”概念，它是一个非交换拓扑的动力学系统，具有相同的交换阴影（四维空间--如果你愿意的话，也可以是时间）和可变（但同构）的矩空间，对于特殊的选择，它可以被认为是一个高维的膜--空间。
Families of Monads and Instantons from a Noncommutative ADHM Construction
我们给出了球面S^4上具有任意拓扑荷的SU（2）瞬子的ADHM构造的θ-变形形式。经典的瞬子规范场构造从合适的单子数据，我们表明，在变形的情况下，单子集本身是一个非交换空间。我们用这些单子在变形球面S^4_θ上构造了SU（2）瞬子的非对易“族”。我们还计算了每个族的拓扑荷。最后，我们讨论这意味着什么，这样的家庭是规范等效的。
Noncommutative instantons from twisted conformal symmetries
在非对易四球$S_θ^4$上构造了一个拓扑荷为-1的规范非等价SU（2）瞬子的五参数族.这些瞬子是规范泛函的临界点，并且满足关于$S_θ^4$上形式的Hodge星算子的自对偶方程。它们是通过作用于与球面上的非对易瞬子丛正则相关的基本瞬子上的扭曲共形对称而获得的。通过指数定理得到了这个家庭的完备性参数。模空间的“切空间”的维度被计算为扭曲狄拉克算子的指数，结果等于5，这是一个能够经受变形的数字。
Schrodinger Oscillator and its Thermal Properties in a Dynamical Noncommutative Space
研究二维薛定谔振荡器在动态非对易空间的情况，用微扰理论求能量本征值和本征向量，分析相关影响，还通过配分函数探索热性质，给出数值结果。
Spin-Hall effect with quantum group symmetry
在非对易4球上构造了一个自旋-霍尔效应模型，该模型具有同位旋自由度（来自非对易瞬子）和量子正交群下的不变性。相应的表示理论允许显式对角化的哈密顿量和构造的基态，有整数和分数的激发。类似的模型也存在于高维的非对易球面和非对易射影空间中。
Deformed Noncommutative Tori
我们回顾一个非交换代数的建设有关的一个参数家庭（变形）领域和环面，并表明，在环面的情况下，*-代数可以完成成C*-代数同构的标准非交换环面。由于前者是在矩阵（或模糊）几何的背景下构建的，它提供了一个重要的联系，非交换几何的框架，并开辟了一个具体的方法来研究非交换环面的变形。此外，我们展示了如何著名的模糊球和模糊环面可以得到变形代数的有限维表示的形式标度极限，和他们的投射模一起描述的常曲率的连接。
Dynamical noncommutative quantum mechanics
我们研究了动力学非对易空间中的一些基本而有趣的量子力学系统，其中空-空对易关系是位置相关的。据观察，在这里介绍的动力学非对易空间中的基本对象是弦。我们表明，斯塔克效应可以用来确定是否空间的非对易性是动力学或非动力学。与非动力学情形不同，在这个动力学空间中似乎有一个基本能量$\dfrac{τ\hbar^{2}}{m}$。}
Moduli spaces of noncommutative instantons: gauging away noncommutative parameters
利用辫状幺半范畴范畴中的非交换几何理论，改进了变形球面S^4_θ上任意电荷的非交换瞬子族的构造.我们制定了一个概念的非交换参数空间的家庭的瞬子，我们探讨这意味着什么，这样的家庭是规范等价的，以及如何删除规范参数使用非交换商建设。虽然参数空间是一个先验的非交换的，我们表明，人们总是可以恢复一个经典的参数空间通过适当的选择规范变换。
Dynamical Noncommutative Graphene
我们在一个二维非对易动力学空间中研究了恒定磁场作用下的石墨烯。该模型求解采用摄动理论和二阶摄动。计算了系统的能级，得到了相应的本征态。对于所有情况，能量移动取决于动力学非对易参数τ。利用能量测量的精确性，我们给出了非对易性参数τ的一个上界.此外，我们研究了系统在零温度极限和极端相对论情况下的一些热力学量，这揭示了交换空间和动力学非交换空间之间有趣的差异。
Noncommutative Riemann Surfaces
我们引入紧Riemann曲面$Σ$的C-代数作为$Σ$上光滑函数的Poisson代数的非交换类似物。这些代数的表示产生了矩阵代数序列，对于这些矩阵代数序列，矩阵算子收敛于泊松括号，如$N\to\infty$。对于一类特殊的表面，很好地插入之间的领域和环面，我们完全特征（即使是中间奇异表面）的所有有限维表示相应的C-代数。
Noncommutative families of instantons
构造了典型群SL（2，H）和Sp（2）的$θ$ -变形.通过与非对易四球$S^4_θ$上的基本瞬子相互作用，构造了一类电荷为1的非对易瞬子。该族由$SL_θ(2,H)$与$Sp_θ(2)$的量子商参数化。
Dirac equation, hydrogen atom spectrum and the Lamb shift in dynamical noncommutative spaces
在动力学非对易空间（DNCS或τ-空间）中导出了氢原子的相对论性哈密顿量.利用该哈密顿量计算了基态的能移以及[2 P]_（1/2），[2S]_（1/2）能级。在所有情况下，能量移动依赖于动力学非对易参数τ。利用能量测量的准确性，我们得到了τ的上界。我们还研究了DNCS中的Lamb移位。由于空间的动力学非对易性，[2 P]_（1/2）和[2S]_（1/2）两个能级都受到了修正，这与非动力学非对易空间（NDNCS或θ-空间）中[2S]_（1/2）能级不受修正不同。
Energy cutoff, effective theories, noncommutativity, fuzzyness: the case of O(D)-covariant fuzzy spheres
将量子理论投影到能量低于截止值$\overline{E}$的状态的希尔伯特子空间上，可能会导致具有修改的可观测量的有效理论，包括非对易空间（时间）。在原空间（时间）$M$的子流形$N$上加一个极小值非常尖锐的约束势阱$V$，可以使$N$上的非对易量子理论降维。特别是在这里，我们简要报告我们的应用程序的领域$S^d\subset\mathbb{R}^D$的半径$r=1$（$D=d\!+\!1>1$）：使$\overline{E}$和深度的井取决于（和发散）$Λ\in\mathbb{N}$，我们得到新的模糊球$S^d_Λ$协变下的{ \it全}正交群$O(D)$ ;的坐标的转换器只取决于角动量，如在斯奈德非对易空间。围绕$d=1,2$，我们还讨论了测不准关系、态的局域化、空间坐标的对角化以及相干态的构造。当$Λ\to\infty$时，希尔伯特空间维数发散，即$S^d_Λ\to S^d$，我们在$S^d$上恢复了普通的量子力学。这些模型可能对量子场论、量子引力或凝聚态物理学中的有效模型有启发意义。
Wasserstein distance between noncommutative dynamical systems
该研究针对冯·诺依曼代数上的广义动力系统空间，提出一类二次Wasserstein距离，分析其对称与非对称情形，并结合约化动力学给出示例。
The Quantum Spheres and their Embedding into Quantum Minkowski Space-Time
我们在非对易物理学的背景下重铸Podles球，表明它们可以被视为沿着量子闵可夫斯基时空的不同区域的时间坐标的切片。研究了量子球态在${\cal SO}_{q}(3)$群左作用下的变换，得到了变换后的希尔伯特空间态在正交子空间上的分解，表现出量子球态的周期性.
A Variational Formulation of Symplectic Noncommutative Mechanics
非对易物理学的标准知识是使用动力学系统的一阶变分描述来探测空间非对易性及其在相空间动力学中的后果。由于最终目标是理解固有的空间非对易性，我们基于我们以前工作的结果[14]，提出了位形空间中非对易动力系统的变分原理。我们希望这种位形空间的变分形式能有助于阐明经典和量子非对易空间的某些整体性质和动力学性质的定义。
Moduli Spaces of Instantons on Toric Noncommutative Manifolds
本文研究复曲面非对易流形$M_θ$上U（n）规范理论的解析性质。本文分析了四维流形$M_θ$上U（2）向量丛上的自对偶Yang-Mills方程解的模空间，证明了每个这样的模空间要么是空的，要么是一个光滑的Hausdorff流形，其维数是我们明确计算的.在四球$S^4_θ$的特殊情况下，我们发现具有固定第二陈数$k$的U（2）瞬子的模空间是维数为$8k-3$的光滑流形.
A Remark on Topological Charges over the Fuzzy Sphere
确定了Fuzzy球面上两个投射模的Chern特征标，并计算了相应的拓扑荷（Chern数）。与交换极限相比，这些结果是由三个坐标的非交换结构引起的修正。
The Moyal Sphere
我们构造了一个家庭的常曲率度量的Moyal平面上，并计算每个人的高斯-Bonnet项。它们产生于标准正交标架方法中度量的共形重标度。我们找到了一个特解，它对应于Fubini-Study度量，并使Moyal代数具有非交换球面的几何。
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