Hofstadter's butterfly in moire superlattices: A fractal quantum Hall effect
电子通过空间周期性晶格势运动，形成由离散布洛赫带组成的量子化能谱。在二维空间中，电子在磁场中运动也会产生量子化的能谱，由高度简并的朗道能级组成。1976年，道格拉斯·霍夫施塔特从理论上考虑了这两个问题的交叉点，发现二维电子同时受到磁场和周期性静电势的作用，表现出自相似的递归能谱。这个复杂的光谱被称为霍夫施塔特蝴蝶，是由与两个量子化场相关的特征长度之间的微妙相互作用产生的，代表了物理学中最早发现的量子分形之一。在此后的几十年里，研究这种效应的实验尝试受到了调和两种长度尺度的困难的限制。典型的晶体系统（<1 nm周期性）需要不可能的大磁场来达到无序条件，而在人工工程结构（> 100 nm）中，相应的场太小而不能完全克服无序。在这里，我们证明了在双层石墨烯耦合到六方氮化硼中产生的莫尔超晶格提供了一个几乎理想尺寸的周期性调制，使前所未有的实验获得分形光谱。我们证实了与分形带隙相关的量子霍尔效应特征可用两个整数拓扑量子数来描述，并报告了它们递归结构的证据。在石墨烯中观察霍夫施塔特的光谱提供了进一步的机会，以调查在一个可调的内部自由度的系统中的分形能量景观的涌现行为。
2012-12-19 cond-mat.mes-hall
Probing the Hofstadter butterfly with the quantum oscillation of magnetization
我们已经开发了一种不同的量子转移矩阵方法，以准确地确定Hofstadter模型的热力学性质。该方法解决了其它方法难以解决的技术问题，使有限温度下热力学极限下Hofstadter模型的物理量计算成为可能。结果表明，对磁化强度的deHaas-vanAlphen（dHvA）振荡的量子修正具有Hofstadter蝶的能量结构.这种量子修正的测量可以在超晶格或冷原子系统上实现，可以明确地揭示Hofstadter分形能谱。
2015-07-07 cond-mat.mes-hall cond-mat.str-el
Approximate Hofstadter- and Kapit-Mueller-like parent Hamiltonians for Laughlin states on fractals
本研究针对分形晶格上的玻色子 Laughlin 态，利用逆方法构建了仅含在位势和双格点跃迁的近似母哈密顿量，发现其基态与模型态及准空穴波函数具有高重叠，并分析了小系统尺寸对编织性质的影响。
2023-06-29 cond-mat.dis-nn cond-mat.mes-hall cond-mat.str-el
Fractional fractal quantum Hall effect in graphene superlattices
Hofstadter能谱为研究强相互作用下的涌现拓扑序提供了一个独特的可调系统。然而，以前的实验仅限于低布洛赫带填充的平凡情况下，只有朗道能级指数起着重要的作用。在这里，我们报告测量高迁移率石墨烯超晶格的完整的单位细胞的霍夫施塔特光谱是可访问的。我们观察到传统的分数量子霍尔效应（QHE）态与分形Hofstadter谱相关的整数QHE态共存。在大磁场下，分数布洛赫填充指数下出现一系列新的态。这些分数布洛赫带QHE态是现有理论图片所没有预料到的，并指向一种新型的多体态。
2015-05-27 cond-mat.mes-hall
The Hofstadter Butterfly: Bridging Condensed Matter, Topology, and Number Theory
本文从几何与数论视角阐释霍夫施塔特蝴蝶分形的理论框架，揭示其通过整数斜率梯形与幺模矩阵连接拓扑量子化与经典数论结构。
2025-07-17 cond-mat.mes-hall nlin.CD
Driven Hofstadter Butterflies and Related Topological Invariants
本文研究了二维电子气的分形自相似谱--霍夫施塔特蝴蝶谱在外加单色光照射下的性质。这是通过将Floquet理论应用于蜂窝晶格上的紧束缚模型来实现的，该蜂窝晶格经受垂直磁场和线性或圆偏振光。它示出了如何变形的分形结构的光谱依赖于强度和偏振。由此，研究了振荡电场作用下Hofstadter蝴蝶的拓扑性质.一个彻底的数值分析，不仅陈数，但也$W_{3}$ -不变量给出了适当的洞察到这个驱动系统的拓扑结构。这包括一个直接的$W_3$ -计算的方法的基础上总结了截断Floquet哈密尔顿陈数的比较。
2019-09-13 cond-mat.mes-hall
Hofstadter Rules and Generalized Dimensions of the Spectrum of Harper's Equation
我们考虑了描述二维布洛赫电子在磁场中的Harper模型。对于通过单胞的无理通量，相应的能谱是一个具有多重分形性质的康托集。为了与最大和最小的分形维数的频谱哈珀方程的无理数，我们结合了一个改进版本的Hofstadter规则的半经典分析和隧道相空间中的结果。对于二次无理数$ω$和连分式展开$ω= [0;\overline{n}]$，最大分形维数作为$n$的函数表现出振荡行为，这可以用重整化流的结构来解释.由$\amin \sim {\rm const.} \ln n / n$给出了最小分维的渐近性质。由于广义维数与初始局域波包的反常扩散指数有关，我们的结果意味着高阶矩$< r^{q} >, q \to \infty$的时间演化对$n$的宇称是敏感的.
1996-10-24 cond-mat.mes-hall
Acoustoelectric Probing of Fractal Energy Spectra in Graphene/hBN Moiré Superlattices
Fudan University（复旦大学）
利用声电输运技术，首次在石墨烯/六方氮化硼莫尔超晶格中观测到霍夫曼德蝴蝶，揭示了高阶分形磁布里渊态和对称破缺的陆德维斯能级。
2026-01-22 cond-mat.mes-hall
Hofstadter Butterfly in Graphene
本文是石墨烯中霍夫施塔特蝴蝶研究的短篇综述，介绍该现象的基础理论与非石墨烯体系实现，重点阐述三类石墨烯超晶格中实现分形霍夫施塔特谱的方法，尤其聚焦graphene-hBN与转角双层石墨烯的相关谱细节。
2022-06-27 cond-mat.mes-hall cond-mat.mtrl-sci
Particle-hole asymmetric ferromagnetism and spin textures in the triangular Hubbard-Hofstadter model
本研究利用DQMC和DMRG方法研究三角晶格Hubbard-Hofstadter模型的霍夫施塔特区域，发现粒子-空穴不对称的楔形铁磁相、特定填充因子的SU(2)量子霍尔铁磁性及强场下低自旋金属相，揭示了磁布洛赫能带中丰富的相互作用效应。
2024-03-01 cond-mat.mes-hall cond-mat.str-el
Optical properties of the Hofstadter butterfly in the Moiré superlattice
研究了磁场作用下双层扭曲石墨烯中Hofstadter蝴蝶的吸收光谱和选择规则。我们表明，吸收光谱具有自相似的递归模式，反映了分形性质的能量谱。我们发现，光学选择规则也具有嵌套的自相似结构，并且它是由不同层次的总和的总角动量守恒。
2014-01-10 cond-mat.mes-hall
Thermal Hofstadter Butterflies
Ohio University（俄亥俄大学）
研究通过热力学测量揭示了霍夫斯塔德蝴蝶的分形特性，发现电子熵和比热的自相似性及磁热振荡，为识别分形谱提供新方法。
2026-03-08 cond-mat.mes-hall cond-mat.stat-mech
Excitation Gap of Fractal Quantum Hall States in Graphene
在外加磁场和周期势的情况下，二维电子气的朗道能级谱在能谱中呈现出一种分形图案，这种分形图案被描述为霍夫施塔特蝴蝶。在这项工作中，我们开发了一个Hartree-Fock理论来处理在Hofstadter的蝴蝶状态的电子-电子相互作用在一个有限大小的石墨烯周期性的边界条件，其中我们包括自旋和谷自由度。然后，我们把蝴蝶态看作电子晶体，这样我们就可以在动量空间和无限样本中得到晶体的序参量。在无限样本中获得的激发间隙与有限尺寸研究中的激发间隙相当，并且与最近的实验观察结果一致。
2015-03-24 cond-mat.mes-hall
Hofstadter butterfly as Quantum phase diagram
霍夫施塔特蝴蝶被看作是一个量子相图与无限多个阶段，标记为他们的（整数）霍尔电导，和分形结构。我们描述了这个相图的各种属性：我们建立吉布斯相规则，计数每个阶段的组件的数量，并表征多相共存的集合。
2001-02-20 cond-mat.mes-hall math-ph math.MP
Hofstadter-Moiré Butterfly in Twisted Trilayer Graphene
研究镜像对称扭曲三层石墨烯的Hofstadter-Moiré分形能带，发现量子宇称霍尔态并揭示位移场诱导的零能态可作为相关拓扑态的候选。
2022-12-11 cond-mat.mes-hall
Multiple Flat Bands and Topological Hofstadter Butterfly in Twisted Bilayer Graphene Close to the Second Magic Angle
二维（2D）范德华（vdW）异质结构中的莫尔超晶格提供了一种设计电子带特性的有效方法。最近在扭曲双层石墨烯（tBLG）中发现了奇异量子相及其相互作用，使这种莫尔系统成为最著名的凝聚态平台之一（1-10）。迄今为止，对tBLG的研究主要集中在第一魔角θm1 ~ 1.1°处最低的两个平坦莫尔带，而对高阶莫尔带和魔角的研究还很少。在这里，我们报告了在tBLG中接近第二魔角θm2 ~ 0.5°的多个孤立的平坦莫尔带的观察结果，如果不考虑电子-选举相互作用，就无法解释。高磁场磁输运测量，我们进一步揭示了一个定性的新的，能量不受约束的霍夫施塔特蝴蝶光谱中，不断扩展的量子化朗道能级间隙跨越所有平凡的带隙。30个相连的霍夫施塔特蝴蝶有力地证明了多个莫尔带的拓扑非平凡纹理。总的来说，我们的工作提供了一个新的视角来理解量子相位tBLG和分形Hofstadter光谱的多个拓扑带。
2020-12-24 cond-mat.mes-hall cond-mat.str-el
Topological Map of the Hofstadter Butterfly and Van Hove Singularities
霍夫施塔特蝴蝶是一种具有高度复杂的嵌套间隙集的量子分形，其中每个间隙代表量子霍尔态，其量子化电导率由称为陈数的拓扑不变量表征。在这里，我们获得了简单的规则，以确定在蝴蝶分形的所有尺度的陈数，并奠定了一个非常详细的拓扑图的蝴蝶。我们的研究揭示了一组临界点的存在，每个临界点对应于一个宏观湮灭的有序模式的积极和消极的陈省身，出现在蝴蝶的精细结构。这样的拓扑崩溃与范霍夫奇点，存在于每个带中心的蝴蝶景观。因此，我们关联到范霍夫异常的拓扑字符。最后，我们表明，这种精细结构的微扰下放大，诱导量子相变到更高的陈省身状态的系统。
2015-10-08 cond-mat.mes-hall cond-mat.other
Correlated Hofstadter Spectrum and Flavor Phase Diagram in Magic Angle Graphene
在魔角扭曲双层石墨烯（MATBG）中，莫尔超晶格势产生了支持大量多体量子相的窄电子带1。在垂直磁场的存在下，莫尔条纹和磁长度尺度之间的相互作用导致分形霍夫施塔特子带的出现，进一步丰富。在这个强相关的Hofstadter平台，多个实验已经确定了间隙的拓扑和相关的状态，但很少有人知道他们之间的相变在干预可压缩制度。在这里，使用扫描单电子晶体管显微镜测量局部电子可压缩性，我们同时揭示了对称性破缺的陈绝缘体（CI）的新颖序列，并解决了具有不同拓扑量子数和自旋/谷味的竞争状态之间的急剧相变。占领。我们的测量提供了一个完整的实验映射的能量谱和热力学相图的相互作用的霍夫施塔特子带在MATBG。此外，我们观察到完全解除的第零朗道能级（zLLs）的简并与水平交叉，表明莫尔谷分裂。我们提出了一个统一的味道极化机制来理解复杂的相互作用的拓扑结构，相互作用，对称性破缺的密度和应用磁场在这个系统中的函数。
2021-07-30 cond-mat.mes-hall cond-mat.str-el
Hofstadter's Butterfly and Langlands Duality
本文从朗兰兹纲领出发，利用量子群表达量子霍尔系统的哈密顿量，并通过量子群的朗兰兹对偶解释霍夫施塔特蝴蝶的分形结构，提出“量子朗兰兹对偶”的概念。
2017-07-27 cond-mat.mes-hall hep-th math-ph
Spectral diagrams of Hofstadter type for the Bloch electron in three dimensions
本文分析了均匀磁场中布洛赫电子精确三维哈密顿量的通量-能量图和角-能量图。的依赖关系的结构图上的方向的字段，几何的布拉维晶格和原子的数量在一个基本的细胞被认为是。数值证据表明，角能量图可能有一个分形结构，即使在立方晶格的情况下。结果表明，忽略朗道带的耦合会显著改变图的形状。
2003-06-16 cond-mat.mes-hall
Polaritonic Hofstadter Butterfly and Cavity-Control of the Quantized Hall Conductance
在以前的工作[物理。123，047202（2019）]引入了称为量子电动力学布洛赫（QED-Bloch）理论的几何不变框架，用于描述均匀磁场中的周期性材料，并在光学极限中与量子化光子场强耦合。对于这样的系统，我们表明，QED-Bloch理论预测的分形极化激元谱的存在作为腔耦合强度的函数。此外，对于作为相对磁通量的函数的能谱，我们发现太赫兹腔可以修改标准的霍夫斯塔德蝴蝶。在没有量子化光子场的情况下，QED-Bloch理论捕捉到了著名的Hofstadter蝴蝶分形谱，并可用于描述强磁场中的二维材料，具有重要的实验意义。作为进一步的应用，我们考虑了腔约束下的朗道能级，并表明腔改变了量子化的霍尔电导，霍尔平台被修改为$σ_{xy}=e^2ν/h(1+η^2)$的光-物质耦合$η$。大多数上述现象应该是实验上可访问的，并讨论了相应的影响。
2022-05-19 cond-mat.mes-hall quant-ph
Characterizing the Hofstadter butterfly's outline with Chern numbers
在这项工作中，我们报告的原始属性受到磁场的独立粒子强调存在的规则结构的能谱的轮廓。我们表明，这种分形曲线，著名的霍夫施塔特蝴蝶的轮廓，是与一个特定的序列的陈数，对应于量化的横向电导率。事实上，表征基本能带的拓扑不变量描绘了随着磁通量变化的连续阶梯。此外，每一个阶梯被标记的另一个陈数，测量下的位移的周期性电位的电荷传输。我们提出了这些性质的普适字符通过比较得到的结果为方形和蜂窝状的几何形状。
2009-01-28 cond-mat.mes-hall
Hofstadter butterfly and integer quantum Hall effect in three dimensions
对于磁场中的三维晶格，我们已经证明，沿第三方向的跳跃，通常倾向于涂抹出朗道量子化间隙，而可以产生类似于霍夫施塔特蝴蝶的分形能量谱时，通过将问题映射到二维找到的标准，由各向异性（准一维）系统满足。在3D中，磁场的角度起到2D中的场强度的作用，使得蝶形可以在小得多的场中发生。映射也使我们能够计算霍尔电导率，在Kohmoto-Halperin-Wu公式中的拓扑不变量，其中每个$σ_{xy}, σ_{zx}$被发现是量子化的。
2000-06-26 cond-mat.mes-hall
Bosonic Hofstadter butterflies in synthetic antiferromagnetic patterns
从理论上研究了在合成规范场反铁磁模式中玻色子的霍夫施塔特蝶的出现。我们报告一个具体的紧束缚模型的人工反铁磁结构，将最近和下一个最近的邻居隧道，并允许形成的分形谱，即使与消失的规范场通量通过晶格。该模型适用于方形和蜂窝状晶格。提出了波导连接微谐振腔晶格的可能实验实现。最后，蝴蝶的结构进行了分析的不同点的磁布里渊区的铁磁和反铁磁图案。
2020-08-17 cond-mat.mes-hall cond-mat.quant-gas quant-ph
Emergence of massless Dirac fermions in graphene's Hofstadter butterfly at switches of the quantum Hall phase connectivity
由六方晶体衬底上的石墨烯的莫尔超晶格诱导的磁性迷你带（霍夫斯塔德蝴蝶）的分形谱已知表现出带隙的狄拉克锥。我们发现，间隙可以通过稍微错位的基板，产生一个层次的锥形奇点（狄拉克点）的能带结构在合理的值Phi =（p/q）（h/e）的磁通量每个超晶胞。每个狄拉克点都表示量子霍尔相图连通分量中拓扑量子数的转换。模型计算揭示了尺度不变的电导率σ = 2qe^2 / pi h，以及在这些连通性开关处与无质量狄拉克费米子相关的克莱因隧穿。
2014-01-17 cond-mat.mes-hall
Integer quantum Hall effect and Hofstadter's butterfly spectra in three-dimensional metals in external periodic modulations
我们认为Hofstadter蝴蝶效应伴随着量子霍尔效应，这与Koshino {\it et al.} [Phys. Rev. Lett. {\bf 86}，1062（2001）]可以在完全不同的系统中实现--施加有弱外部周期性调制的3D金属（例如，声波）。也就是说，由于施加的磁场$\Vec{B}$，两个周期性势的影响干扰朗道量子化，通常导致分形能隙作为$\Vec{B}$的倾斜角的函数，计算伴随的量子化霍尔张量。这一现象源于这样一个事实，即虽然本系统与3D紧束缚系统具有不同的蝴蝶物理起源，但数学形式是非常等效的。
2003-12-04 cond-mat.mes-hall
Revealing Hofstadter Spectrum for Graphene in a Periodic Potential
我们计算了当电子在均匀垂直磁场中通过周期性静电势时石墨烯单层的能带。我们清楚地表明，在合理的低磁场的能带的量子分形性质。我们目前的结果作为波数和磁通量的函数的能带通过所产生的莫尔超晶格的单位细胞。研究了强散射势引起的赝自旋耦合和朗道轨道混合效应。在低磁场下，当朗道轨道远大于调制周期时，朗道能级仅略微加宽。在极高磁场下也观察到该特征。计算了态密度，发现它和能带一样具有显著的自相似性。我们估计，对于10nm的调制周期，在B <2T处出现Hofstadter蝶形的区域。
2014-03-25 cond-mat.mes-hall
Phase Diagram for the Hofstadter butterfly and integer quantum Hall effect in three dimensions
我们给出了一个霍夫施塔特蝴蝶（分形能谱磁场），我们已经证明，特别是在我们以前的工作中出现在三维（3D）系统的角度。(i)我们首先得到了三维各向异性晶体中出现Hofstadter蝶形谱的转移能和磁场参数空间上的“相图”。(ii)我们表明，外部磁场的方向可以是任意的有3D蝴蝶。(iii)我们表明，蝴蝶是超出了半经典的描述。(iv)如果我们对蝴蝶采用更高的朗道能级，则代表性有机金属所需的磁场估计是适度的（$\sim 40$ T）。(v)我们给出了一种更简单的方法来推导表示量子霍尔数的拓扑不变量（即，3D中的两个霍尔电导率，$σ_{xy}, σ_{zx}$，单位为$e^2/h$）。
2001-10-10 cond-mat.mes-hall
Universality of Hofstadter butterflies on hyperbolic lattices
受最近在超导波导和电路中实现双曲晶格的实验突破的启发，我们计算了规则双曲平铺上的Hofstadter蝶形。通过利用大双曲晶格周期边界条件，我们得到了真正的双曲体谱，是不受边界状态的贡献。我们的研究结果表明，蝴蝶频谱与大扩展间隙区域占主导地位，其形状是普遍确定的基本瓦片的边缘数，而分形结构是在这样一个非欧几里德的情况下丢失。我们解释了这些有趣的功能是如何与双曲空间中的朗道能级的性质，以及它们是如何被实验验证的。
2022-02-17 cond-mat.mes-hall cond-mat.other cond-mat.stat-mech
Perpendicular electric field drives Chern transitions and layer polarization changes in Hofstadter bands
莫尔超晶格工程师的能带特性，并使观察霍夫施塔特蝴蝶的分形能谱。最近，小角度莫尔条纹系统中的平带所承载的相关电子物理一直处于前景。然而，在单粒子框架内的莫尔带拓扑结构的影响很少进行实验探索。一个突出的问题是理解能带拓扑对霍夫施塔特物理的影响，这不需要电子相关。我们的工作实验研究了使用扭曲双层石墨烯（TDBG）的Hofstadter制度中的陈省身状态切换，它提供了电场可调的拓扑带，不同于扭曲双层石墨烯。在这里，我们表明，非平凡的拓扑结构反映在霍夫施塔特光谱，特别是通过显示一个级联的霍夫施塔特间隙，切换他们的陈数顺序，而变化的垂直电场。我们的实验和理论计算表明，在这个系统中的电荷极化变化伴随着拓扑转变的关键作用。在少层扭曲系统中，层极化可能对系统的拓扑态起重要作用。此外，我们的工作建立TDBG作为一个新的Hofstadter平台与非平凡的磁电耦合。
2022-12-19 cond-mat.mes-hall cond-mat.mtrl-sci
From the Hofstadter to the Fibonacci butterfly
我们表明，电子光谱的紧束缚哈密顿量定义在准周期链与现场潜在的斐波那契序列，可以得到作为一个叠加的哈珀潜力。哈珀方程的电子光谱是一个分形集，称为霍夫施塔特蝴蝶。在这里，我们表明，是可以构建一个类似的蝴蝶的斐波那契潜力只是通过添加谐波的哈珀潜力。因此，斐波那契情形的倒易空间中的方程具有在傅立叶分量之间具有长程相互作用的链的形式。然后，我们探讨了这两个光谱之间的转换，特别是能隙的起源，由于在倒易空间的潜力的组件的分析计算。我们还计算了一些本地化的性质，通过找到每个潜在的相关。
2006-10-06 cond-mat.dis-nn cond-mat.mes-hall
Fractal Topology of Majorana Bound States in Superconducting Quasicrystals
School of Physics, Tyndall Avenue, Bristol, BS8 1TL, United Kingdom（布里斯托大学物理学院）
研究揭示超导准晶体中马约拉纳束缚态的分形拓扑特性，通过分析发现其相变具有分形结构，并揭示了准晶体性和超导配对之间的竞争对稳定性的影响。
2026-02-02 cond-mat.mes-hall
Zero-energy modes and valley asymmetry in the Hofstadter spectrum of bilayer graphene van der Waals heterostructures with hBN
我们调查的双层石墨烯（BLG）和六方氮化硼（hBN）组成的异质结构的磁性微带的数值对角化的两个带的哈密顿量，描述在存在的莫尔电位的BLG中的电子。由于莫尔势的反转对称性破缺特性，谱的谷对称性被破缺，但尽管如此，BLG中的零能量朗道能级仍然存在，尽管简并度降低。此外，我们推导出有效的模型的低能量功能的磁迷你带，并证明了二次狄拉克点的外观在价带，我们证实了数值模拟。然后，我们分析了在载流子密度和磁场变化的情况下，分形能谱中的单粒子隙如何产生一系列不可压缩态。
2016-03-07 cond-mat.mes-hall
Floquet Hofstadter Butterfly on the Kagome and Triangular Lattices
在这项工作中，我们使用Floquet理论的影响，从理论上研究单色圆和线偏振光上的Hofstadter蝴蝶-由一个均匀的垂直磁场引起的--对于可果美和三角形晶格。在没有激光的情况下，蝴蝶具有关于磁通量$ϕ=1/4$反转对称和关于$ϕ=1/2$反射对称的分形结构。当系统暴露于外部激光时，我们发现圆偏振光通过打破通量$ϕ=1/2$处的镜面对称性而使蝴蝶变形。相比之下，线偏振光使原始蝴蝶变形，同时在通量$ϕ=1/2$处保持镜像对称。我们发现线偏振光和圆偏振光的反转对称性始终保持不变。对于线偏振光，霍夫施塔特蝶形取决于偏振方向。进一步，我们研究了在非共振区（激光频率大于带宽）激光对最低带的陈氏数的影响。对于圆偏振光，我们发现，低强度的激光不会改变陈数，但超过一个临界强度，陈数会发生变化。对于线偏振光，陈数取决于偏振方向。我们的工作突出了不同格上的周期性驱动的Hofstadter问题所期望的通用功能。
2018-08-06 cond-mat.mes-hall
Fractal Butterflies of Dirac Fermions in Monolayer and Bilayer graphene
我们提出了一个概述的理论理解霍夫施塔特蝴蝶在单层和双层石墨烯。在简要介绍了过去在传统半导体系统中的工作之后，我们讨论了单层和双层石墨烯的新的电子性质，这些性质有助于实验检测能谱的分形性质。我们讨论了石墨烯中莫尔条纹的理论背景。这种模式是决定蝴蝶结构的关键。我们还讨论了电子-电子相互作用在石墨烯蝴蝶图案中的作用。最后，我们讨论了蝴蝶搜索的未来前景，特别是相互作用的狄拉克费米子。
2014-08-19 cond-mat.mes-hall
Fractal spectrum in twisted bilayer optical lattice
本研究受磁场中晶格平移对称性变化与扭转双层晶格莫尔效应的相似性启发，计算扭曲双层光学晶格的能带结构，发现几何莫尔效应可诱导分形谱，其可映射为含长程跃迁的广义Hofstadter模型，还给出了谱结构的数值证据与计算算法。
2024-04-12 cond-mat.mes-hall cond-mat.quant-gas quant-ph
Entanglement Spectra and Entanglement Thermodynamics of Hofstadter Bilayers
我们研究了垂直磁场中二维正方晶格上的Hofstadter双层，即耦合跳跃模型。在追踪出的层之一，我们发现一个明确的表达所产生的纠缠谱的能量本征值的底层单层系统。对于强耦合层，纠缠哈密顿量与单层系统的能量哈密顿量成正比。然而，比例因子不能被解释为逆热力学温度，而是代表一个唯象温标。我们推导出一个明确的关系，这是在密切类似的经典热力学的标准结果的两个温度标度。在消失温度的极限下，熵和内能等热力学量接近基态值，但随磁通量的变化呈现分形结构。
2013-04-16 cond-mat.mes-hall cond-mat.stat-mech quant-ph
High-order fractal states in graphene superlattices
石墨烯超晶格显示出高温量子振荡，这是由于在高磁场中周期性地出现离域布洛赫态，使得通量量子的单位分数穿透超晶格晶胞。在这些条件下，半经典电子轨迹又变直，类似于零磁场的情况。在这里，我们报告的磁输运测量，揭示了第二，第三和第四阶磁布洛赫态在高电子密度和温度高于100 K。这些状态的重复产生了一种与霍夫施塔特蝴蝶的起源密切相关的分形图案。分形态的层次结构由磁微带的宽度决定，与我们的能带结构计算定性一致。
2018-04-25 cond-mat.mes-hall
Fractal energy gaps and topological invariants in hBN/Graphene/hBN double moiré systems
我们计算了石墨烯夹在六方氮化硼中间的准周期双云纹系统的电子结构，并确定了能隙的拓扑不变量。我们发现，电子光谱包含了一些minigaps，他们表现出递归分形结构类似于霍夫施塔特蝴蝶时，绘制对扭转角。每个能隙都可以用一组整数来表征，这些整数与动量空间中的一个区域相关联。相应的区域被几何解释为准布里渊区，它是由多个复合周期的布拉格平面包围的多边形，并且可以由弱势极限下的平波投影唯一地指定。
2021-05-11 cond-mat.mes-hall
Probing miniband structure and Hofstadter butterfly in gated graphene superlattices via magnetotransport
本研究通过量子输运建模，在门控石墨烯超晶格中探测微能带结构，并验证横向磁聚焦技术与Hofstadter蝴蝶光谱的适用性。
2023-09-10 cond-mat.mes-hall
Self-similar occurrence of massless Dirac particles in graphene under magnetic field
晶格结构的周期性和回旋运动的周期性之间的复杂相互作用产生了一个众所周知的能量本征值的自相似分形结构，称为霍夫施塔特蝴蝶，对于在磁场下在晶格中运动的电子。从$n=0$朗道能级演化而来，霍夫斯塔德蝴蝶的中心带特别有趣，因为它可能是解开石墨烯中观察到的分数量子霍尔效应之谜的关键。虽然整个霍夫施塔特蝴蝶在原则上可以通过数值求解哈珀方程获得，但弱场极限，最相关的实验，是棘手的，因为事实上，需要对角化的哈密顿矩阵的大小，发散。在本文中，我们开发了一个有效的哈密顿方法，可以用来提供一个准确的分析描述的中心霍夫斯塔德带在弱场制度。在这项工作中获得的最重要的发现之一是，无质量狄拉克粒子总是存在于中心Hofstadter带内，无论磁通量可能变得多么小。换句话说，由于晶格效应使其带宽变宽，$n=0$朗道能级在其内部包含无质量的狄拉克粒子。事实上，通过仔细分析中心Hofstadter带的自相似递归模式，我们得出结论，无质量狄拉克粒子应该出现在任意磁场下。作为一个推论，中央霍夫施塔特带也包含一个递归朗道能级的自相似结构与这种无质量的狄拉克粒子。为了评估在中心霍夫施塔特带内观测无质量狄拉克粒子的实验可行性，我们计算了中心霍夫施塔特带的宽度作为弱场区磁场的函数。
2012-09-11 cond-mat.mes-hall
Non-Abelian Generalizations of the Hofstadter model: Spin-orbit-coupled Butterfly Pairs
Hofstadter模型以其分形蝴蝶谱而闻名，它描述了垂直磁场下的二维电子，这引起了整数量子霍尔效应。受最近实验[Science，365，1021（2019）]中非阿贝尔规范场的实空间构建块的启发，我们引入并理论研究了Hofstadter模型的两个非阿贝尔推广。每个模型描述两对霍夫施塔特蝴蝶的自旋轨道耦合。与可以在朗道规范场和对称规范场中等价研究的原始Hofstadter模型相比，由于规范场的非对易性，相应的非阿贝尔推广表现出不同的谱。我们得到了真正的（必要和充分的）非阿贝尔条件的两个模型从任意循环算子的交换性。在零能量下，模型是无间隙的，并且宿主Weyl和Dirac点受到内部和晶体对称性的保护。双（8倍），三（12倍）和四极（16倍）狄拉克点也出现，特别是在非阿贝尔势的相等跳跃相位。在其他填充物处，模型的间隙相产生$\mathbb{Z}_2$拓扑绝缘体。最后，我们讨论了在光子平台上实验实现模型的可能方案。
2020-09-07 cond-mat.mes-hall cond-mat.quant-gas physics.optics
Non-Hermitian Quantum Fractals
本文提出在无外部磁场下，树状晶格耦合Hatano-Nelson模型中涌现非厄米量子分形，证明其能谱与波函数的自相似性源于迭代晶格与非厄米性的相互作用，为非厄米系统量子分形研究开辟新途径。
2024-08-14 cond-mat.mes-hall
How Landau caterpillars turn into Hofstadter butterflies by tuning the periodic potential strength
University of Geneva（日内瓦大学）；Leiden University（莱顿大学）
本文通过调节周期势强度，将朗道能级与霍夫施塔特蝴蝶能谱联系，识别出拓扑相变，所得蝴蝶能谱与磁通φ>1的霍夫施塔特蝴蝶拓扑不同，其Wannier化方法可用于大磁场下的多体计算。
2026-09-02 cond-mat.mes-hall
Topological phases, edge modes, and the Hofstadter butterfly in coupled Su-Schrieffer-Heeger systems
受最近Su-Schrieffer-Heeger（SSH）链拓扑边态实验结果的启发，我们从理论上研究了由两条SSH链构成的梯形系统。我们发现，阶梯主机丰富的相图和相关的边缘模式结构决定的选择链间和链内耦合。也就是说，我们表现出三个不同的物理制度：一个拓扑托管本地化的零能量边缘模式，拓扑平凡的阶段没有边缘模式结构，和制度让人想起一个弱的拓扑绝缘体具有类似于“双SSH”建设的未受保护的边缘模式。在拓扑阶段，SSH阶梯系统作为一个类似的Kitaev链，这是已知的支持本地化马约拉纳费米子端模式，具有相同的空间波函数配置文件对应于狄拉克费米子模式的SSH阶梯的束缚态的区别。此外，耦合的不均匀性会对梯形系统的拓扑相图产生剧烈的影响。特别是准周期变化的链间耦合，相图再现霍夫施塔特的蝴蝶图案。因此，我们确定SSH梯形系统作为实验观察这种分形结构的潜在候选人。
2018-04-10 cond-mat.mes-hall
Hofstadter-Toda spectral duality and quantum groups
本文探讨了Hofstadter模型与相对论性Toda格子之间的谱对偶性及其与量子群Langlands对偶性的联系，并利用三对角矩阵谱对偶性和初等量子群表示理论，建立了用初等对称多项式和Chebyshev多项式参数化Hofstadter模型能谱的公式。
2024-07-18 cond-mat.mes-hall cond-mat.stat-mech hep-th
Robustness of chiral edge modes in fractal-like-lattices below two dimensions: A case study
二维量子霍尔系统最显著的特征之一是手征边缘模。它们的存在是体边界对应的结果，它们的稳定性保证了横向电导的量子化。在这项工作中，我们研究了两个微观模型，Hofstadter晶格模型和扩展版本的Halfman的陈氏绝缘体。这两种模型都在二维空间中拥有量子霍尔相位。我们将它们转移到一个和两个之间的维度分形的晶格实现，并研究其边缘状态的存在性和鲁棒性。我们的主要观察结果是，相反，他们的二维对应，有没有在分形边缘模式的普遍行为。相反，它们的存在和稳定性严重依赖于模型的细节和分形的晶格实现。
2021-07-20 cond-mat.mes-hall
Floquet engineering the Hofstadter butterfly in the square lattice and its effective Hamiltonian
本文利用Floquet理论研究了均匀垂直磁场作用下，单色圆偏振光和线偏振光对正方晶格中Hofstadter蝴蝶的影响。在没有激光的情况下，蝴蝶具有分形的、自相似的结构，即粒子-空穴对称性和关于磁通量$ϕ= 1/2$的反射对称性。这些对称性分别由子晶格和时间反演对称性保持。当系统暴露于圆偏振光时，通过打破粒子-空穴对称性和镜像对称性，平衡的原始霍夫萨德特蝴蝶变形，而关于能量$E=0$和磁通量$ϕ=1/2$的反转对称性被保留。我们的研究表明，圆偏振光同时破坏了亚晶格对称性和时间反演对称性。由于磁通量$ϕ$和$1-ϕ$处的哈密顿量通过子晶格变换连接，因此保持了反演对称性。在小通量区，我们研究了朗道能级以及圆偏振光对朗道能级的影响。相反，线偏振光通过破坏旋转对称性而保持子晶格和时间反转对称性，从而使原始霍夫斯塔德蝴蝶变形。进一步，我们研究了周期驱动对非共振区中Floquet拷贝最低带的Chern数的影响。我们发现强圆偏振光会改变陈氏数。对于线偏振光，陈氏数将不会改变，并且值保持与激光偏振方向无关。我们的工作突出了一般的功能预期的周期性驱动的Hofstadter问题的正方形格子，并提供了策略，工程的Hofstadter蝴蝶与激光。
2020-07-02 cond-mat.mes-hall
Chiral limits and effect of light on the Hofstadter butterfly in twisted bilayer graphene
研究了不同情况下磁场在扭曲双层石墨烯（TBG）中诱导的Hofstadter蝶。首先，我们研究了平衡的情况下，并确定层间跳跃的过程，是最关键的霍夫施塔特蝴蝶的外观。令人惊讶的是，对于霍夫施塔特蝴蝶的出现很重要的跳跃过程可以归类为AA堆叠类型-即等效子晶格之间的层间跳跃。这与AB/BA型跳跃形成对比，AB/BA型跳跃对于魔角TBG中的平坦带的出现是重要的，并且在[Phys. Rev. Lett. 122，106405（2019）]。我们还发现，如果AB型层间跳跃过程被关闭，所得到的模型是手性的，但不同于\cite{Tarnopolsky}中讨论的模型。因此，TBG有两个独立的手征极限-其中一个对于理解平坦带的形成很重要，另一个对于Hofstadter蝴蝶很重要。以此为动机，我们讨论了AA型跳跃与晶格弛豫效应相结合的作用，可以使个人朗道水平略难解决在实验设置比人们预期从非松弛晶格设置。最后，我们考虑了不同形式的光对蝴蝶分形结构的影响。特别是，我们研究了圆偏振光和纵向光的影响，从波导。当系统暴露于圆偏振光时，我们发现蝴蝶在能量$E=0$方面具有越来越明显的不对称性。这是由于引入了间隙项，该间隙项打破了上述两个手性极限的手征对称性。最后，我们研究了纵向光的效果，可以产生在波导的出口，在一个稍微简化的模型。在这里，我们发现...
2022-04-01 cond-mat.mes-hall
High-field Josephson effect enabled by a moiré Hofstadter spectrum
Ludwig-Maximilians-Universität（路德维希-马克西米利安大学）；Munich Center for Quantum Science and Technology (MCQST)（慕尼黑量子科学与技术中心）；Nanomaterials and Nanotechnology Research Center (CINN-CSIC), Universidad de Oviedo (UO)（阿斯图里亚斯大学纳米材料与纳米技术研究中心（CINN-CSIC））；Yale University（耶鲁大学）；Aalto University（阿尔托大学）；National Institute for Materials Science（国立材料研究所）
研究利用莫尔工程化石墨烯约瑟夫森结克服磁场对超导干涉测量的限制，通过弹道石墨烯/hBN结实现相位相干安德列夫输运，展示高场约瑟夫森干涉，为高场超导干涉测量建立新平台。
2026-07-14 cond-mat.mes-hall cond-mat.supr-con quant-ph
Entanglement spectrum of fermionic bilayer honeycomb lattice: Hofstadter butterfly
我们对非相互作用费米子双层蜂窝晶格的能量谱和纠缠谱进行了解析研究，在能谱中存在三角形翘曲，在位能差和均匀磁场。利用单粒子关联函数，给出了层-层纠缠哈密顿量的显式表示，其谱为纠缠谱。我们证明了在没有三角弯曲的情况下，在零能差处，纠缠谱与单层的能谱之间建立了精确的对应关系，这意味着纠缠谱很好地反映了双层的边缘态性质.我们还发现，三角翘曲打破了这样一个完美的对应关系，然而，在$Γ$ -K方向的六角布里渊区，他们的行为是显着相同的特定相关的跳跃参数。当在位能量差存在时，纠缠谱的对称性被打破，从而打开了一个间接的纠缠能隙。我们还研究了在三角形翘曲和在位能差存在的情况下，垂直磁场对双层膜的能量和纠缠谱的影响。我们证明了纠缠谱随磁通量的变化具有自相似的分形结构，即已知的霍夫施塔特蝴蝶。我们的研究结果还表明，现场的能量差异导致从霍夫施塔特蝴蝶的过渡到一个树状的图片。
2016-05-28 cond-mat.mes-hall cond-mat.stat-mech quant-ph
Quantized heat flow in the Hofstadter butterfly
Université Paris-Saclay（巴黎萨克雷大学）；CEA（法国原子能和替代能源委员会）；CNRS（法国国家科学研究中心）；SPEC（物质与环境研究实验室）；Laboratoire de Physique de l’Ecole normale supérieure（巴黎高等师范学院物理实验室）；ENS（巴黎高等师范学院）；Université PSL（巴黎文理研究大学）；Sorbonne Université（索邦大学）；Université Paris Cité（巴黎西岱大学）；CryoHEMT（CryoHEMT公司）；Centre de Nanosciences et de Nanotechnologies (C2N)（纳米科学与技术中心）；Research Center for Electronic and Optical Materials, National Institute for Materials Science（国立材料研究所电子与光学材料研究中心）；Research Center for Materials Nanoarchitectonics, National Institute for Materials Science（国立材料研究所材料纳米架构研究中心）
研究揭示霍夫斯泰特蝴蝶中存在由拓扑不变量决定的量化热流，证实了热传输量化的普遍性及其与拓扑结构的紧密联系。
2026-01-09 cond-mat.mes-hall cond-mat.mtrl-sci
Comments on the Fractal Energy Spectrum of Honeycomb Lattice with Defects
研究了垂直磁场作用下含有各种缺陷或杂质的蜂窝晶格的能谱。我们使用紧束缚哈密顿量，包括与最近的邻居的相互作用，并调查其能量结构的两个不同的选择点缺陷或杂质。在第一种情况下，我们固定一个由8个晶格点组成的晶胞，并在最多2个点缺陷的存在下测量能量本征值。然后，它原来的分形能量结构的存在，称为霍夫施塔特的蝴蝶，取决于缺陷对的选择。在第二种情况下，我们扩展了包含单点缺陷和多达32个晶格点的晶胞的大小。在这些情况下确实出现了分形结构，并且在$E=0$ eV线中存在一个鲁棒的无带隙点，而不依赖于晶胞的大小和晶格的形状。因此，我们保留了一只不朽的蝴蝶，因为这样一个鲁棒点对应于蝴蝶的中心。因此，我们预测，在图中的蝴蝶的存在是等价的分形。
2018-05-15 cond-mat.mes-hall
Moire Butterflies
晶格电子在外部磁场中的霍夫施塔特蝴蝶光谱模式产生了物理学中一些最迷人的图像。在这里，我们探讨的磁电子光谱系统的莫尔空间图案，集中在扭曲的双层石墨烯的情况下。由于长周期的空间图案准确地形成在小的扭转角，分形蝴蝶谱和相关的磁输运和磁机械异常出现在可访问的磁场强度。
2011-01-13 cond-mat.mes-hall
