Spectral flow and global topology of the Hofstadter butterfly
研究了多带绝缘体的Hofstadter蝶的整体拓扑与其哈密顿量的拓扑不变量之间的关系。蝴蝶的全局拓扑，即，当磁场改变一个通量量子时，能隙的位移由当场被调谐时穿过间隙的能量本征态的谱流确定。我们发现，对于每个间隙，这个谱流等于间隙的拓扑不变量，即，穿过间隙的边缘模式的净数量。对于周期驱动系统，我们的结果适用于准能谱。在这种情况下，所有拟能之和的谱流直接给出了鲁维不变量。
2016-11-21 cond-mat.mes-hall
Graphene quantum dot on boron nitride: Dirac cone replica and Hofstadter butterfly
置于六方氮化硼上的石墨烯薄片在磁场存在下具有复杂的电子结构，这是由于与基底的范德华相互作用产生的六方莫尔电位。轻微的晶格失配引起周期性的超原胞势。区域折叠有望创造出原始狄拉克锥和霍夫施塔特蝴蝶的复制品。我们的大规模紧束缚模拟揭示了一个意想不到的共存的相对论和非相对论朗道能级结构。第零朗道水平及其相关的蝴蝶的存在下示出的狄拉克锥副本的发生是明确的签名。
2014-09-12 cond-mat.mes-hall
Floquet Hofstadter Butterfly on the Kagome and Triangular Lattices
在这项工作中，我们使用Floquet理论的影响，从理论上研究单色圆和线偏振光上的Hofstadter蝴蝶-由一个均匀的垂直磁场引起的--对于可果美和三角形晶格。在没有激光的情况下，蝴蝶具有关于磁通量$ϕ=1/4$反转对称和关于$ϕ=1/2$反射对称的分形结构。当系统暴露于外部激光时，我们发现圆偏振光通过打破通量$ϕ=1/2$处的镜面对称性而使蝴蝶变形。相比之下，线偏振光使原始蝴蝶变形，同时在通量$ϕ=1/2$处保持镜像对称。我们发现线偏振光和圆偏振光的反转对称性始终保持不变。对于线偏振光，霍夫施塔特蝶形取决于偏振方向。进一步，我们研究了在非共振区（激光频率大于带宽）激光对最低带的陈氏数的影响。对于圆偏振光，我们发现，低强度的激光不会改变陈数，但超过一个临界强度，陈数会发生变化。对于线偏振光，陈数取决于偏振方向。我们的工作突出了不同格上的周期性驱动的Hofstadter问题所期望的通用功能。
2018-08-06 cond-mat.mes-hall
Hofstadter butterfly and integer quantum Hall effect in three dimensions
对于磁场中的三维晶格，我们已经证明，沿第三方向的跳跃，通常倾向于涂抹出朗道量子化间隙，而可以产生类似于霍夫施塔特蝴蝶的分形能量谱时，通过将问题映射到二维找到的标准，由各向异性（准一维）系统满足。在3D中，磁场的角度起到2D中的场强度的作用，使得蝶形可以在小得多的场中发生。映射也使我们能够计算霍尔电导率，在Kohmoto-Halperin-Wu公式中的拓扑不变量，其中每个$σ_{xy}, σ_{zx}$被发现是量子化的。
2000-06-26 cond-mat.mes-hall
Integer quantum Hall effect and Hofstadter's butterfly spectra in three-dimensional metals in external periodic modulations
我们认为Hofstadter蝴蝶效应伴随着量子霍尔效应，这与Koshino {\it et al.} [Phys. Rev. Lett. {\bf 86}，1062（2001）]可以在完全不同的系统中实现--施加有弱外部周期性调制的3D金属（例如，声波）。也就是说，由于施加的磁场$\Vec{B}$，两个周期性势的影响干扰朗道量子化，通常导致分形能隙作为$\Vec{B}$的倾斜角的函数，计算伴随的量子化霍尔张量。这一现象源于这样一个事实，即虽然本系统与3D紧束缚系统具有不同的蝴蝶物理起源，但数学形式是非常等效的。
2003-12-04 cond-mat.mes-hall
Fractality of Hofstadter Butterfly in Specific Heat Oscillation
我们用最近发展起来的量子转移矩阵方法计算了Hofstadter模型的物理性质。我们发现固有的振荡特征，在比热，体现了分形结构的霍夫施塔特蝴蝶。我们还提出了实验方法，使用比热作为一种访问来检测霍夫施塔特蝴蝶。
2010-09-29 cond-mat.mes-hall cond-mat.str-el
A magnetic Hofstadter butterfly and its topologically quantized Hall conductance
计算了具有正方晶格对称性的二维周期性磁场调制下石墨烯中无质量狄拉克费米子的能谱。我们证明了该问题的平移对称性与Hofstadter或TKNN问题相似，并且在弱场极限下紧束缚能本征值方程确实由Harper Hofstadter哈密顿量给出.我们表明，由于其磁平移对称性的霍尔电导率可以被确定为一个拓扑不变，因此量子化。从而将量子霍尔效应的概念推广到磁调制的二维电子系统。最后，我们指出可能的实验系统，这可能会得到验证。
2018-08-02 cond-mat.mes-hall
Characterizing the Hofstadter butterfly's outline with Chern numbers
在这项工作中，我们报告的原始属性受到磁场的独立粒子强调存在的规则结构的能谱的轮廓。我们表明，这种分形曲线，著名的霍夫施塔特蝴蝶的轮廓，是与一个特定的序列的陈数，对应于量化的横向电导率。事实上，表征基本能带的拓扑不变量描绘了随着磁通量变化的连续阶梯。此外，每一个阶梯被标记的另一个陈数，测量下的位移的周期性电位的电荷传输。我们提出了这些性质的普适字符通过比较得到的结果为方形和蜂窝状的几何形状。
2009-01-28 cond-mat.mes-hall
Floquet engineering the Hofstadter butterfly in the square lattice and its effective Hamiltonian
本文利用Floquet理论研究了均匀垂直磁场作用下，单色圆偏振光和线偏振光对正方晶格中Hofstadter蝴蝶的影响。在没有激光的情况下，蝴蝶具有分形的、自相似的结构，即粒子-空穴对称性和关于磁通量$ϕ= 1/2$的反射对称性。这些对称性分别由子晶格和时间反演对称性保持。当系统暴露于圆偏振光时，通过打破粒子-空穴对称性和镜像对称性，平衡的原始霍夫萨德特蝴蝶变形，而关于能量$E=0$和磁通量$ϕ=1/2$的反转对称性被保留。我们的研究表明，圆偏振光同时破坏了亚晶格对称性和时间反演对称性。由于磁通量$ϕ$和$1-ϕ$处的哈密顿量通过子晶格变换连接，因此保持了反演对称性。在小通量区，我们研究了朗道能级以及圆偏振光对朗道能级的影响。相反，线偏振光通过破坏旋转对称性而保持子晶格和时间反转对称性，从而使原始霍夫斯塔德蝴蝶变形。进一步，我们研究了周期驱动对非共振区中Floquet拷贝最低带的Chern数的影响。我们发现强圆偏振光会改变陈氏数。对于线偏振光，陈氏数将不会改变，并且值保持与激光偏振方向无关。我们的工作突出了一般的功能预期的周期性驱动的Hofstadter问题的正方形格子，并提供了策略，工程的Hofstadter蝴蝶与激光。
2020-07-02 cond-mat.mes-hall
Chiral limits and effect of light on the Hofstadter butterfly in twisted bilayer graphene
研究了不同情况下磁场在扭曲双层石墨烯（TBG）中诱导的Hofstadter蝶。首先，我们研究了平衡的情况下，并确定层间跳跃的过程，是最关键的霍夫施塔特蝴蝶的外观。令人惊讶的是，对于霍夫施塔特蝴蝶的出现很重要的跳跃过程可以归类为AA堆叠类型-即等效子晶格之间的层间跳跃。这与AB/BA型跳跃形成对比，AB/BA型跳跃对于魔角TBG中的平坦带的出现是重要的，并且在[Phys. Rev. Lett. 122，106405（2019）]。我们还发现，如果AB型层间跳跃过程被关闭，所得到的模型是手性的，但不同于\cite{Tarnopolsky}中讨论的模型。因此，TBG有两个独立的手征极限-其中一个对于理解平坦带的形成很重要，另一个对于Hofstadter蝴蝶很重要。以此为动机，我们讨论了AA型跳跃与晶格弛豫效应相结合的作用，可以使个人朗道水平略难解决在实验设置比人们预期从非松弛晶格设置。最后，我们考虑了不同形式的光对蝴蝶分形结构的影响。特别是，我们研究了圆偏振光和纵向光的影响，从波导。当系统暴露于圆偏振光时，我们发现蝴蝶在能量$E=0$方面具有越来越明显的不对称性。这是由于引入了间隙项，该间隙项打破了上述两个手性极限的手征对称性。最后，我们研究了纵向光的效果，可以产生在波导的出口，在一个稍微简化的模型。在这里，我们发现...
2022-04-01 cond-mat.mes-hall
Unified approach to cyclotron and plasmon resonances in a periodic 2DEG hosting the Hofstadter butterfly
我们提出了一个库仑相互作用的二维GaAs电子气（2DEG）调制为横向超晶格的量子点受到外部垂直恒定磁场的回旋共振和各种磁等离子体激元模式的理论计算。我们使用基于Liouville-von Neumann方程的密度算子的实时激发方法，该方法可以超越线性响应，将所有感兴趣的纵向和横向集体模式的信息传递到相同的顺序。我们进行了广泛的分析共存的集体模式，由于横向限制和磁场为不同数量的电子在每个点。在2DEG的消失点调制的极限中，我们发现在激发光谱中的Hofstadter蝴蝶结构的迹象。
2021-12-15 cond-mat.mes-hall
Hofstadter butterfly and the quantum Hall effect in twisted double bilayer graphenes
研究了均匀磁场中扭曲双层石墨烯的能谱和量子霍尔效应。我们研究了两种不同的安排，AB-AB和AB-BA，不同的相对取向，但有非常相似的能带结构在没有磁场。对于每一个系统，我们计算的能量谱和量子化霍尔电导率在每个光谱间隙通过使用一个连续的哈密顿量，满足磁平移条件。结果表明，尽管AB-AB和AB-BA堆叠的零磁场能带结构非常相似，但它们的Hofstadter蝶形谱却有很大的不同; AB-AB堆叠的谱具有谷简并性，可以通过施加层间势不对称性来提升，而AB-BA堆叠的谱在任何情况下都没有这种简并性.我们从晶格对称性和能带拓扑的角度解释了这种差异的原因。
2020-05-13 cond-mat.mes-hall
Genesis of the Floquet Hofstadter butterfly
我们从理论上研究了在垂直磁场和圆偏振光照射下，石墨烯类样品（蜂窝晶格）的光谱。该系统的研究使用Floquet形式主义，并由此产生的霍夫施塔特频谱分析不同的制度的驱动频率。对于较低的频率，频谱的各种副本的共振导致拓扑间隙的复杂形成。在朗道水平制度，新的翅膀状的差距出现后，降低驱动频率，从而揭示了动态调谐的可能性形成的霍夫施塔特蝴蝶。在这种情况下，一个有效的模型可以分析得出，这使我们能够追溯的能级，表现出避免交叉，并最终导致带翼形状的间隙结构。在高频率下，我们发现，间隙开放的各种通量在$E=0$，并在增加驱动的振幅，间隙也关闭和重新打开在其他能量。这些差距的拓扑不变量的计算和由此产生的光谱阐明。我们建议实验实现的机会，并讨论在非驱动系统中的朗道级结构的相似之处。
2018-09-19 cond-mat.mes-hall
Probing miniband structure and Hofstadter butterfly in gated graphene superlattices via magnetotransport
本研究通过量子输运建模，在门控石墨烯超晶格中探测微能带结构，并验证横向磁聚焦技术与Hofstadter蝴蝶光谱的适用性。
2023-09-10 cond-mat.mes-hall
Probing the Hofstadter butterfly with the quantum oscillation of magnetization
我们已经开发了一种不同的量子转移矩阵方法，以准确地确定Hofstadter模型的热力学性质。该方法解决了其它方法难以解决的技术问题，使有限温度下热力学极限下Hofstadter模型的物理量计算成为可能。结果表明，对磁化强度的deHaas-vanAlphen（dHvA）振荡的量子修正具有Hofstadter蝶的能量结构.这种量子修正的测量可以在超晶格或冷原子系统上实现，可以明确地揭示Hofstadter分形能谱。
2015-07-07 cond-mat.mes-hall cond-mat.str-el
Floquet Hofstadter butterfly in trilayer graphene with a twisted top layer
利用圆偏振光（CPL）和波导中的纵向光，研究了单扭三层石墨烯（TLG）中产生的磁场Hofstadter蝶。我们发现，单扭TLG在平衡态有两个不同的手征极限，蝴蝶的中心分支分裂成两个精确的简并组件。霍夫施塔特蝴蝶似乎更容易辨认。我们还发现，CPL导致一个大的间隙开放的霍夫施塔特蝴蝶能谱的中心分支和朗道能级之间，具有明显的不对称性对应的能量$E = 0$。我们指出，对于右手CPL，中心带向下移动，与左手CPL形成鲜明对比，在那里，中心带向上移动。最后，我们研究了纵向偏振光的影响，这源于一个波导。有趣的是，我们观察到Hofstadter蝴蝶能谱的手征对称性在小驱动强度下被打破，并在大驱动强度下恢复，与在扭曲双层石墨烯中观察到的相反。
2022-12-21 cond-mat.mes-hall quant-ph
Effects of large disorder on the Hofstadter butterfly
受最近的实验的启发，在大的横向磁场中放置的周期性调制的二维电子系统，我们研究的无序和周期势的影响之间的相互作用在整数量子霍尔制度。特别是，我们研究的情况下，无序大于周期性调制，但都足够小，朗道能级混合是可以忽略不计的。在这个极限下，自洽玻恩近似是不够的。我们进行了大量的数值计算，以了解最低朗道水平的相关物理，如波函数的频谱和性质（局部或扩展）。根据我们的研究结果，我们提出了一个定性的解释最近发现的新功能在运输测量。
2004-01-02 cond-mat.mes-hall
Hofstadter butterfly of a quasicrystal
研究了垂直磁场中二维准周期Rauzy镶嵌紧束缚哈密顿量的能谱。这个被称为霍夫施塔特蝴蝶的光谱显示了一个非常丰富的体隙模式，由四个整数标记，而不是周期性系统的两个。为了提取真正的准周期性质的相位子翻转无序的作用也进行了研究。这种几何无序被发现只保留主量子霍尔间隙。
2016-11-29 cond-mat.mes-hall cond-mat.other
Massive Dirac fermions and Hofstadter butterfly in a van der Waals heterostructure
范德华异质结构包括通过堆叠原子级薄的平面晶体形成的一类新的人工材料。在这里，我们展示了能带结构工程的范德华异质结构组成的单层石墨烯薄片耦合到旋转对齐的六方氮化硼基板。空间变化的层间原子登记导致碳亚晶格对称性的局部破坏和石墨烯中的长程莫尔超晶格势。短波长和长波长效应之间的这种相互作用导致由孤立的超晶格迷你带描述的能带结构和在电荷中性处的出乎意料的大带隙，这两者都可以通过改变层间对准来调谐。磁电容测量揭示了以前未观察到的分数量子霍尔态，反映了大量的狄拉克色散，结果从打破亚晶格对称性。在超高场下，由于在非整数填充因子下出现了Hofstadter蝴蝶，在非整数填充因子下观察到整数电导平台。
2013-03-27 cond-mat.mes-hall
Realization of Hofstadter's butterfly and a one-way edge mode in a polaritonic system
我们提出了一个方案，以产生一个人工的规范场的中性玻色子系统，表示为微柱排列成一个正方形的晶格中的极化激元。微柱的两个极化之间的分裂打破了时间反转对称性（TRS），并导致腔之间的有效的相位相关跳跃。这可以允许在基元上设计非零通量，对应于人工磁场。改变相位，我们观察到一个特征霍夫施塔特的蝴蝶图案和外观的手性边缘状态的有限尺寸的结构。对于长寿命的极化激元，我们表明，在边缘的波包的传播是强大的对无序。此外，由于固有的驱动耗散性质的极化激元晶格，我们发现该系统可以表现出拓扑激光，最近发现的有源环形腔阵列。研究结果为在中性自旋系统中实现人工磁场提供了一种静态的方法，避免了参数的周期性调制或强自旋轨道相互作用。最终，所描述的系统可以允许对缺陷鲁棒的高功率拓扑单模激光。
2018-08-14 cond-mat.mes-hall
Topological phases of the dimerized Hofstadter butterfly
在这项工作中，我们研究了在外部磁场的存在下，二聚正方形晶格的拓扑相。晶格跳跃振幅的二聚化模式可以在一定分数填充下诱导Hofstadter谱中的一系列体能隙开口，从而产生各种拓扑相。特别是，我们表明，在$\frac{1}{2}$ -填充拓扑四极绝缘体相的四极矩量化到$\frac{e}{2}$和相关的角落本地化的中间间隙状态存在于一定的参数制度的所有磁通量。在$\frac{1}{4}$填充时，系统可以容纳阻塞的原子极限相或陈氏绝缘体相。对于那些在填充低于$\frac{1}{4}$的配置缺口，系统是在各种非零陈数的陈绝缘体相。在整个相图中，该模型同时存在体阻和边界阻拓扑相变。
2021-07-28 cond-mat.mes-hall
Hofstadter Butterfly in Graphene
本文是石墨烯中霍夫施塔特蝴蝶研究的短篇综述，介绍该现象的基础理论与非石墨烯体系实现，重点阐述三类石墨烯超晶格中实现分形霍夫施塔特谱的方法，尤其聚焦graphene-hBN与转角双层石墨烯的相关谱细节。
2022-06-27 cond-mat.mes-hall cond-mat.mtrl-sci
Hofstadter butterfly as Quantum phase diagram
霍夫施塔特蝴蝶被看作是一个量子相图与无限多个阶段，标记为他们的（整数）霍尔电导，和分形结构。我们描述了这个相图的各种属性：我们建立吉布斯相规则，计数每个阶段的组件的数量，并表征多相共存的集合。
2001-02-20 cond-mat.mes-hall math-ph math.MP
A covering property of Hofstadter's butterfly
基于对Harper算子的频谱的彻底的数值分析，其描述了，例如，二维晶格上的电子在垂直于晶格平面的磁场作用下，我们作出如下猜想：对于算子的不可逆性参数σ的任何值，其谱都可以被σ的每个有理逼近的谱带通过具有共同上界的因子拉伸后所覆盖。我们证明了这个猜想有以下重要的后果：对于所有无理值的sigma谱是（i）一个零测度Cantor集，并有（ii）一个Hausdorff维数小于或等于1/2。我们建议，我们的数值方法可能是一个指南，找到一个严格的证明这些结果。
1998-06-30 cond-mat.mes-hall
Topological Map of the Hofstadter Butterfly and Van Hove Singularities
霍夫施塔特蝴蝶是一种具有高度复杂的嵌套间隙集的量子分形，其中每个间隙代表量子霍尔态，其量子化电导率由称为陈数的拓扑不变量表征。在这里，我们获得了简单的规则，以确定在蝴蝶分形的所有尺度的陈数，并奠定了一个非常详细的拓扑图的蝴蝶。我们的研究揭示了一组临界点的存在，每个临界点对应于一个宏观湮灭的有序模式的积极和消极的陈省身，出现在蝴蝶的精细结构。这样的拓扑崩溃与范霍夫奇点，存在于每个带中心的蝴蝶景观。因此，我们关联到范霍夫异常的拓扑字符。最后，我们表明，这种精细结构的微扰下放大，诱导量子相变到更高的陈省身状态的系统。
2015-10-08 cond-mat.mes-hall cond-mat.other
Killing the Hofstadter butterfly, one bond at a time
当受到垂直磁场作用时，正方形晶格中的电子带形成霍夫斯塔德蝴蝶图案。我们研究了这种模式的演变作为一个功能的键渗流障碍（删除或稀释晶格键）。随着移除的键的浓度增加，蝴蝶图案被平滑地抽取。然而，在这个抽取过程中，频带发展出有趣的特性和特征。例如，在高无序极限下，即使大多数状态都是局域化的，一些蝴蝶状图案仍然存在。我们还分析了，在低的无序限制，渗流波函数（使用反参与比）和带隙的频谱的效果。我们通过分析小簇和有限大小的环来解释并提供我们结果中许多关键特征背后的原因。此外，我们还研究了键稀释对横向电导率（$σ_{xy}$）的影响。我们表明，从清洁的限制，增加无序减少$σ_{xy}$为零，即使渗流的强度小于经典的渗流阈值。这表明，该系统经历了从整数量子霍尔态到局域安德森绝缘体超过键稀释的临界值的直接转变。我们进一步发现，靠近带边的能带比带中心的能带对无序更稳定。为了得到这些结果，我们使用耦合矩阵方法来计算无序系统的陈数。我们指出这些结果的相关性，在磁振荡签名。
2017-01-21 cond-mat.mes-hall
Hofstadter-Moiré Butterfly in Twisted Trilayer Graphene
研究镜像对称扭曲三层石墨烯的Hofstadter-Moiré分形能带，发现量子宇称霍尔态并揭示位移场诱导的零能态可作为相关拓扑态的候选。
2022-12-11 cond-mat.mes-hall
How Landau caterpillars turn into Hofstadter butterflies by tuning the periodic potential strength
University of Geneva（日内瓦大学）；Leiden University（莱顿大学）
本文通过调节周期势强度，将朗道能级与霍夫施塔特蝴蝶能谱联系，识别出拓扑相变，所得蝴蝶能谱与磁通φ>1的霍夫施塔特蝴蝶拓扑不同，其Wannier化方法可用于大磁场下的多体计算。
2026-09-02 cond-mat.mes-hall
Topological phases, edge modes, and the Hofstadter butterfly in coupled Su-Schrieffer-Heeger systems
受最近Su-Schrieffer-Heeger（SSH）链拓扑边态实验结果的启发，我们从理论上研究了由两条SSH链构成的梯形系统。我们发现，阶梯主机丰富的相图和相关的边缘模式结构决定的选择链间和链内耦合。也就是说，我们表现出三个不同的物理制度：一个拓扑托管本地化的零能量边缘模式，拓扑平凡的阶段没有边缘模式结构，和制度让人想起一个弱的拓扑绝缘体具有类似于“双SSH”建设的未受保护的边缘模式。在拓扑阶段，SSH阶梯系统作为一个类似的Kitaev链，这是已知的支持本地化马约拉纳费米子端模式，具有相同的空间波函数配置文件对应于狄拉克费米子模式的SSH阶梯的束缚态的区别。此外，耦合的不均匀性会对梯形系统的拓扑相图产生剧烈的影响。特别是准周期变化的链间耦合，相图再现霍夫施塔特的蝴蝶图案。因此，我们确定SSH梯形系统作为实验观察这种分形结构的潜在候选人。
2018-04-10 cond-mat.mes-hall
Hofstadter's butterfly in moire superlattices: A fractal quantum Hall effect
电子通过空间周期性晶格势运动，形成由离散布洛赫带组成的量子化能谱。在二维空间中，电子在磁场中运动也会产生量子化的能谱，由高度简并的朗道能级组成。1976年，道格拉斯·霍夫施塔特从理论上考虑了这两个问题的交叉点，发现二维电子同时受到磁场和周期性静电势的作用，表现出自相似的递归能谱。这个复杂的光谱被称为霍夫施塔特蝴蝶，是由与两个量子化场相关的特征长度之间的微妙相互作用产生的，代表了物理学中最早发现的量子分形之一。在此后的几十年里，研究这种效应的实验尝试受到了调和两种长度尺度的困难的限制。典型的晶体系统（<1 nm周期性）需要不可能的大磁场来达到无序条件，而在人工工程结构（> 100 nm）中，相应的场太小而不能完全克服无序。在这里，我们证明了在双层石墨烯耦合到六方氮化硼中产生的莫尔超晶格提供了一个几乎理想尺寸的周期性调制，使前所未有的实验获得分形光谱。我们证实了与分形带隙相关的量子霍尔效应特征可用两个整数拓扑量子数来描述，并报告了它们递归结构的证据。在石墨烯中观察霍夫施塔特的光谱提供了进一步的机会，以调查在一个可调的内部自由度的系统中的分形能量景观的涌现行为。
2012-12-19 cond-mat.mes-hall
Hofstadter butterflies of carbon nanotubes: Pseudofractality of the magnetoelectronic spectrum
垂直磁场中二维正方形晶格的电子光谱被称为霍夫施塔特蝴蝶[Hofstadter，Phys. Rev. B 14，2239（1976）。]。我们已经计算出准一维类似物的霍夫施塔特蝴蝶碳纳米管（CNT）。对于单壁CNT的情况，通过石墨烯倒易晶格中的区域折叠来实现平行于管轴的磁场是简单的。我们还研究了垂直的磁场，与平行的情况下，导致一个更丰富的，伪分形谱。此外，我们已经调查了磁场刺穿双壁碳纳米管，并发现强烈的签名的壁间相互作用所产生的霍夫施塔特蝴蝶光谱，这可以理解的帮助下，一个极小模型。在所有垂直磁场谱中普遍存在的是在特定能量和磁场值处存在尖点突变。解决沿管圆周的状态密度允许识别的蛇状态已经预测的非均匀磁场在二维电子气。一个解析模型的磁谱的电子在一个圆柱形表面上被用来解释的一些结果。
2006-10-24 cond-mat.mes-hall
Hofstadter's Butterfly and Langlands Duality
本文从朗兰兹纲领出发，利用量子群表达量子霍尔系统的哈密顿量，并通过量子群的朗兰兹对偶解释霍夫施塔特蝴蝶的分形结构，提出“量子朗兰兹对偶”的概念。
2017-07-27 cond-mat.mes-hall hep-th math-ph
Two-dimensional Bloch electrons in perpendicular magnetic fields: an exact calculation of the Hofstadter butterfly spectrum
二维独立电子在周期性势和均匀垂直磁场作用下的问题揭示了令人惊讶的丰富物理学，如被称为霍夫施塔特蝴蝶的分形能谱所体现的那样。迄今为止，它已经解决了使用各种近似植根于强势或强场的限制情况。在这里，我们报告的单粒子薛定谔方程的全谱计算没有进一步的近似。我们的方法是准确的，数值精度，任何潜在的和均匀的场强的组合。我们首先研究的情况下，对应于强潜在的限制，并比较准确的结果，一个霍夫施塔特模型的预测。然后，我们继续分析的分形谱的演变从朗道类近自由电子系统的Hofstadter紧束缚极限通过调整调制电位的幅度。
2013-03-08 cond-mat.mes-hall cond-mat.str-el
Hofstadter butterfly for a finite correlated system
研究了一个二维有限系统在外加磁场作用下的动力学行为。我们讨论了能谱如何依赖于系统的大小，边界条件和库仑排斥。一方面，利用这些结果，我们提出了纳米系统的输运性质的场依赖性。特别是，我们证明了这些属性取决于系统是否由偶数或奇数的网站。另一方面，在有限系统得到的精确结果的基础上，我们研究了Hofstadter蝴蝶是否对强电子相关具有鲁棒性。我们表明，足够强的库仑排斥哈伯德间隙减小时，磁场增加。
2007-03-22 cond-mat.mes-hall cond-mat.str-el
The Landau Level of Fragile Topology
我们研究了扭曲双层石墨烯（TBG）的Hofstadter蝴蝶和Landau能级。我们发现，非平凡的脆弱的拓扑结构的最低的两个带附近的电荷中性点，使他们的霍夫斯塔德蝴蝶一般与更高的频带连接，关闭之间的差距，在一定的磁通量每单位电池的第一和第二导（价）带。我们还开发了一个动量空间的方法来计算TBG霍夫斯塔德蝴蝶，从中我们确定了三个阶段，最低的两个波段和较高的波段的霍夫斯塔德蝴蝶连接在不同的方式。我们表明，这导致$ν=4$朗道风扇之间的交叉从电荷中性点和零场带隙在一个通量每个莫尔单位电池，这对应于磁场$25θ^2$ T（扭转角$θ$度）。这提供了脆弱拓扑的实验可测试的特征。在一般情况下，我们希望它是一个通用的功能，霍夫施塔特蝴蝶的拓扑带与霍夫施塔特光谱的其他带。我们进一步表明，TBG带理论与塞曼分裂是最可观的分裂可能会导致朗道风扇在电荷中性点和半填充附近的魔角，我们预测他们的变化下的面内磁场。
2020-04-29 cond-mat.mes-hall
Hofstadter butterfly and Floquet topological insulators in minimally twisted bilayer graphene
我们从理论上研究了最小扭曲双层石墨烯（mTBLG）中三角形网络模型的霍夫施塔特蝴蝶。能带结构表现出能量的周期性，模仿Floquet系统。蝶形图提供了模型参数的指纹，并揭示了隐藏的带拓扑。在强磁场中，我们建立了mTBLG实现低能量Floquet拓扑绝缘体（FTIs）进行零陈数，而主机手征边缘状态的散装差距。我们通过分析Hofstadter蝴蝶中的非平凡谱流来识别FTI，并通过明确计算手性边缘态来识别FTI。我们的理论铺平了道路，一个有效的实际实现的FTIs在平衡固态系统。
2020-08-19 cond-mat.mes-hall cond-mat.mtrl-sci cond-mat.stat-mech
From the Hofstadter to the Fibonacci butterfly
我们表明，电子光谱的紧束缚哈密顿量定义在准周期链与现场潜在的斐波那契序列，可以得到作为一个叠加的哈珀潜力。哈珀方程的电子光谱是一个分形集，称为霍夫施塔特蝴蝶。在这里，我们表明，是可以构建一个类似的蝴蝶的斐波那契潜力只是通过添加谐波的哈珀潜力。因此，斐波那契情形的倒易空间中的方程具有在傅立叶分量之间具有长程相互作用的链的形式。然后，我们探讨了这两个光谱之间的转换，特别是能隙的起源，由于在倒易空间的潜力的组件的分析计算。我们还计算了一些本地化的性质，通过找到每个潜在的相关。
2006-10-06 cond-mat.dis-nn cond-mat.mes-hall
On Hofstadter butterfly spectrum: Chern-Simons theory, subband gap mapping, IQHE and FQHE labelling
磁场以几种方式影响布洛赫能带结构。首先，它打破布洛赫带磁子带或朗道能级加宽到磁布洛赫带。在能量标度的中心部分中的子带的所得组与整数量子霍尔效应（IQHE）相关联。然后在高场下，它分别改变剩余的最低和最高子带的积分态密度，这可以与分数量子霍尔效应（Fractional Quantum Hall Effect，简称FWHE）相关联。在这里，我们采用麦克斯韦陈-西蒙斯规范理论制定的子带隙映射算法，并构建蝴蝶轮廓的霍夫施塔特频谱。确定了频谱中负责IQHE的两个区域。在非常高的磁场的最高和最低的子带的影响，分别由磁场引起的重组的集成状态密度在每个子带。两个子带中的每一个的所得变换负责所述CQHE。因此，在能量尺度的中心区域，由间隙映射定义的子带的主要组负责IQHE。传达磁谱的迭代性质的最高和最低子带的精细结构是由磁场对每个相应子带中的积分态密度进行分级缩放和重构的结果，并且负责磁谱的精细结构。
2021-10-16 cond-mat.mes-hall
Three-dimensional non-Abelian generalizations of the Hofstadter model: spin-orbit-coupled butterfly trios
本文从理论上介绍和研究了一个三维非阿贝尔规范势线性变化的Hofstadter模型。该模型可以解释为三个霍夫斯塔德蝴蝶对之间的自旋轨道耦合，因为每个笛卡尔表面（$xy$，$yz$，或$zx$）的模型减少到一个二维的非阿贝尔霍夫斯塔德问题。通过计算任意循环算子之间围绕所有轴的交换性，我们得到了其真正的（充分必要的）非阿贝尔条件，即三个跳变相位中至少有两个既不为0也不为$π$ .在不同的规范场选择下，无论是阿贝尔还是非阿贝尔区域，模型中的弱和强拓扑绝缘相都被识别出来。
2021-06-17 cond-mat.mes-hall cond-mat.quant-gas physics.optics
Quantized heat flow in the Hofstadter butterfly
Université Paris-Saclay（巴黎萨克雷大学）；CEA（法国原子能和替代能源委员会）；CNRS（法国国家科学研究中心）；SPEC（物质与环境研究实验室）；Laboratoire de Physique de l’Ecole normale supérieure（巴黎高等师范学院物理实验室）；ENS（巴黎高等师范学院）；Université PSL（巴黎文理研究大学）；Sorbonne Université（索邦大学）；Université Paris Cité（巴黎西岱大学）；CryoHEMT（CryoHEMT公司）；Centre de Nanosciences et de Nanotechnologies (C2N)（纳米科学与技术中心）；Research Center for Electronic and Optical Materials, National Institute for Materials Science（国立材料研究所电子与光学材料研究中心）；Research Center for Materials Nanoarchitectonics, National Institute for Materials Science（国立材料研究所材料纳米架构研究中心）
研究揭示霍夫斯泰特蝴蝶中存在由拓扑不变量决定的量化热流，证实了热传输量化的普遍性及其与拓扑结构的紧密联系。
2026-01-09 cond-mat.mes-hall cond-mat.mtrl-sci
Quantum transport across normal-superlattice-normal graphene junctions: Fabry-Pérot interference, Hofstadter butterfly, and supersnake states
National Cheng Kung University（國立成功大學）；AGH University（AGH科學技術大學）；National Formosa University（國立虎尾科技大學）；University of Regensburg（雷根斯堡大學）
本研究模拟门定义的石墨烯超晶格结，发现法布里-珀罗干涉、霍夫施塔特蝴蝶谱及新型超蛇态，证明该结是承载多种输运机制的多功能平台。
2026-09-18 cond-mat.mes-hall
Multiple Flat Bands and Topological Hofstadter Butterfly in Twisted Bilayer Graphene Close to the Second Magic Angle
二维（2D）范德华（vdW）异质结构中的莫尔超晶格提供了一种设计电子带特性的有效方法。最近在扭曲双层石墨烯（tBLG）中发现了奇异量子相及其相互作用，使这种莫尔系统成为最著名的凝聚态平台之一（1-10）。迄今为止，对tBLG的研究主要集中在第一魔角θm1 ~ 1.1°处最低的两个平坦莫尔带，而对高阶莫尔带和魔角的研究还很少。在这里，我们报告了在tBLG中接近第二魔角θm2 ~ 0.5°的多个孤立的平坦莫尔带的观察结果，如果不考虑电子-选举相互作用，就无法解释。高磁场磁输运测量，我们进一步揭示了一个定性的新的，能量不受约束的霍夫施塔特蝴蝶光谱中，不断扩展的量子化朗道能级间隙跨越所有平凡的带隙。30个相连的霍夫施塔特蝴蝶有力地证明了多个莫尔带的拓扑非平凡纹理。总的来说，我们的工作提供了一个新的视角来理解量子相位tBLG和分形Hofstadter光谱的多个拓扑带。
2020-12-24 cond-mat.mes-hall cond-mat.str-el
Open Momentum Space Method for Hofstadter Butterfly and the Quantized Lorentz Susceptibility
我们发展了一个通用的$\mathbf{k}\cdot \mathbf{p}$开放动量空间方法来计算连续介质（Moiré）模型和紧束缚模型的Hofstadter蝶形，其中准动量直接用Landau能级（LL）算符代替.通过采取LL截止（和连续介质模型的倒易晶格截止），得到具有带隙谱流的霍夫斯塔德蝶。对于连续介质模型，例如扭曲双层石墨烯的莫尔模型，我们的方法给出了稀疏的哈密顿量，使其比现有方法更有效。Hofstadter带隙中的谱流可以理解为动量空间边界上的边缘态，由此可以确定满足丢番图方程的带隙$ν$的两个整数（$t_ν,s_ν$）。也可以去除频谱流以获得清晰的霍夫斯塔德蝶形。虽然$t_ν$被称为陈数，但我们的理论将$s_ν$识别为动量空间的对偶陈数，其对应于量子化的洛伦兹磁化率$γ_{xy}=eBs_ν$。
2021-04-23 cond-mat.mes-hall math-ph math.MP
The Hofstadter Butterfly: Bridging Condensed Matter, Topology, and Number Theory
本文从几何与数论视角阐释霍夫施塔特蝴蝶分形的理论框架，揭示其通过整数斜率梯形与幺模矩阵连接拓扑量子化与经典数论结构。
2025-07-17 cond-mat.mes-hall nlin.CD
Polaritonic Hofstadter Butterfly and Cavity-Control of the Quantized Hall Conductance
在以前的工作[物理。123，047202（2019）]引入了称为量子电动力学布洛赫（QED-Bloch）理论的几何不变框架，用于描述均匀磁场中的周期性材料，并在光学极限中与量子化光子场强耦合。对于这样的系统，我们表明，QED-Bloch理论预测的分形极化激元谱的存在作为腔耦合强度的函数。此外，对于作为相对磁通量的函数的能谱，我们发现太赫兹腔可以修改标准的霍夫斯塔德蝴蝶。在没有量子化光子场的情况下，QED-Bloch理论捕捉到了著名的Hofstadter蝴蝶分形谱，并可用于描述强磁场中的二维材料，具有重要的实验意义。作为进一步的应用，我们考虑了腔约束下的朗道能级，并表明腔改变了量子化的霍尔电导，霍尔平台被修改为$σ_{xy}=e^2ν/h(1+η^2)$的光-物质耦合$η$。大多数上述现象应该是实验上可访问的，并讨论了相应的影响。
2022-05-19 cond-mat.mes-hall quant-ph
Driven Hofstadter Butterflies and Related Topological Invariants
本文研究了二维电子气的分形自相似谱--霍夫施塔特蝴蝶谱在外加单色光照射下的性质。这是通过将Floquet理论应用于蜂窝晶格上的紧束缚模型来实现的，该蜂窝晶格经受垂直磁场和线性或圆偏振光。它示出了如何变形的分形结构的光谱依赖于强度和偏振。由此，研究了振荡电场作用下Hofstadter蝴蝶的拓扑性质.一个彻底的数值分析，不仅陈数，但也$W_{3}$ -不变量给出了适当的洞察到这个驱动系统的拓扑结构。这包括一个直接的$W_3$ -计算的方法的基础上总结了截断Floquet哈密尔顿陈数的比较。
2019-09-13 cond-mat.mes-hall
Transport statistics and thermoelectric performance of Hofstadters butterfly
Helmholtz-Zentrum Dresden-Rossendorf（德累斯顿-罗森多夫亥姆霍兹中心）
本研究利用非平衡格林函数分析磁场下方格点阵电子的输运，发现拓扑保护边界模式导致宽频透射平台，可用于构建稳健电流标准、时钟和热电装置。
2026-09-21 cond-mat.mes-hall cond-mat.stat-mech
Towards full instanton trans-series in Hofstadter's butterfly
本文结合复苏程序与精确WKB分析，为Harper-Hofstadter模型在通量ϕ=2π/Q下构建完整能量跨级数，揭示其与5d SYM中Wilson圈的联系，并以高精度数值验证，同时探讨蝴蝶自相似性与Rammal-Wilkinson公式的完备化。
2024-09-19 cond-mat.mes-hall hep-th math-ph
Fractional disclination charge and discrete shift in the Hofstadter butterfly
在晶体对称性的存在下，物质的拓扑相获得了大量的不变量，导致非平凡的量子化响应。在这里，我们研究了一个特殊的不变量，离散移位$\mathscr{S}$，为正方形晶格霍夫斯塔德模型的自由费米子。在存在$M$折叠旋转对称性和电荷守恒的情况下，$\mathscr{S}$与$\mathbb{Z}_M$分类相关。$\mathscr{S}$对（i）束缚在晶格向错上的部分电荷，以及（ii）具有额外的、对称插入的磁通量的基态的角动量给出了量化的贡献。$\mathscr{S}$形成了自己的“霍夫斯塔德蝴蝶”，我们对其进行了数值计算，改进了霍夫斯塔德模型的常用相图。我们提出了一个经验公式$\mathscr{S}$的密度和通量每格元的霍夫斯塔德带，我们推导出一些一般的约束。我们发现，频带具有相同的陈数可能有不同的值的$\mathscr{S}$，虽然奇数和偶数陈数频带总是有半整数和整数值的$\mathscr{S}$分别。
2022-12-31 cond-mat.mes-hall cond-mat.str-el quant-ph
Self-similar occurrence of massless Dirac particles in graphene under magnetic field
晶格结构的周期性和回旋运动的周期性之间的复杂相互作用产生了一个众所周知的能量本征值的自相似分形结构，称为霍夫施塔特蝴蝶，对于在磁场下在晶格中运动的电子。从$n=0$朗道能级演化而来，霍夫斯塔德蝴蝶的中心带特别有趣，因为它可能是解开石墨烯中观察到的分数量子霍尔效应之谜的关键。虽然整个霍夫施塔特蝴蝶在原则上可以通过数值求解哈珀方程获得，但弱场极限，最相关的实验，是棘手的，因为事实上，需要对角化的哈密顿矩阵的大小，发散。在本文中，我们开发了一个有效的哈密顿方法，可以用来提供一个准确的分析描述的中心霍夫斯塔德带在弱场制度。在这项工作中获得的最重要的发现之一是，无质量狄拉克粒子总是存在于中心Hofstadter带内，无论磁通量可能变得多么小。换句话说，由于晶格效应使其带宽变宽，$n=0$朗道能级在其内部包含无质量的狄拉克粒子。事实上，通过仔细分析中心Hofstadter带的自相似递归模式，我们得出结论，无质量狄拉克粒子应该出现在任意磁场下。作为一个推论，中央霍夫施塔特带也包含一个递归朗道能级的自相似结构与这种无质量的狄拉克粒子。为了评估在中心霍夫施塔特带内观测无质量狄拉克粒子的实验可行性，我们计算了中心霍夫施塔特带的宽度作为弱场区磁场的函数。
2012-09-11 cond-mat.mes-hall
Hofstadter's Butterfly in Quantum Geometry
我们指出，最近用局部Calabi-Yau几何的精细拓扑不变量给出的哈密顿量$H=e^{x}+e^{-x}+e^{p}+e^{-p}$的谱问题的解析解，与均匀磁场作用下二维非相互作用电子在周期势场中运动有着密切的关系.特别是，我们发现，量子A-周期，确定的能量本征值和卡-丘模量之间的关系，可以明确地发现时，量子参数$q=e^{i\hbar}$是一个根的单位，它的分支切割给出了霍夫施塔特的蝴蝶，它的虚部计数的霍夫施塔特哈密顿量的状态数。模的双重运算，即交换$\hbar$和$4π^2/\hbar$起着重要的作用。
2016-07-06 cond-mat.mes-hall cond-mat.stat-mech hep-th
QCD in magnetic fields: from Hofstadter's butterfly to the phase diagram
我重新审视的问题，一个带电粒子的二维晶格沉浸在一个恒定的（电）磁场，并讨论能谱-霍夫施塔特的蝴蝶-从一个新的，量子场论的角度。特别是，我指出，有一个复杂的相互作用之间的a）在低磁通量的蝴蝶结构，b）在QED的渐近自由的缺乏和c）在零温度下的磁场的夸克凝聚的增强。我继续讨论的响应QCD凝聚在非零温度下的磁场在四个时空的维度，提出了由此产生的相图，并比较它的低能量模型的预测。
2014-10-29 cond-mat.mes-hall hep-lat hep-ph
Non-Abelian Generalizations of the Hofstadter model: Spin-orbit-coupled Butterfly Pairs
Hofstadter模型以其分形蝴蝶谱而闻名，它描述了垂直磁场下的二维电子，这引起了整数量子霍尔效应。受最近实验[Science，365，1021（2019）]中非阿贝尔规范场的实空间构建块的启发，我们引入并理论研究了Hofstadter模型的两个非阿贝尔推广。每个模型描述两对霍夫施塔特蝴蝶的自旋轨道耦合。与可以在朗道规范场和对称规范场中等价研究的原始Hofstadter模型相比，由于规范场的非对易性，相应的非阿贝尔推广表现出不同的谱。我们得到了真正的（必要和充分的）非阿贝尔条件的两个模型从任意循环算子的交换性。在零能量下，模型是无间隙的，并且宿主Weyl和Dirac点受到内部和晶体对称性的保护。双（8倍），三（12倍）和四极（16倍）狄拉克点也出现，特别是在非阿贝尔势的相等跳跃相位。在其他填充物处，模型的间隙相产生$\mathbb{Z}_2$拓扑绝缘体。最后，我们讨论了在光子平台上实验实现模型的可能方案。
2020-09-07 cond-mat.mes-hall cond-mat.quant-gas physics.optics
Magnetic Hofstadter cascade in a twisted semiconductor homobilayer
本研究通过扭曲WSe2同质双层的局部热力学测量，揭示了磁性Hofstadter级联相变，实现了自旋分辨的Hofstadter谱提取，并厘清了材料与莫尔效应对关联基态的作用。
2024-12-29 cond-mat.mes-hall
