We present an overview of the theoretical understanding of Hofstadter butterflies in monolayer and bilayer graphene. After a brief introduction on the past work in conventional semiconductor systems, we discuss the novel electronic properties of monolayer and bilayer graphene that helped to detect experimentally the fractal nature of the energy spectrum. We have discussed the theoretical background on the Moiré pattern in graphene. This pattern was crucial in determining the butterfly structure. We have also touched upon the role of electron-electron interaction in the butterfly pattern in graphene. We conclude by discussing the future prospects of butterfly search, especially for interacting Dirac fermions.
Ring-localized states, radial aperiodicity and quantum butterflies on a Cayley tree
我们提出了一种分析方法，基于一个真正的空间抽取计划，提取准确的特征值的宏观大的一组固定的本地化激发的凯莱树分形网络。在一个紧密结合的计划，我们利用上述方法来仔细检查网络的确定性变形的效果，首先通过最近邻跳变积分值的分层分布，然后通过径向Aubry Andre Harper准周期调制。随着世代指数的增加，膨胀的无环树结构主机将本征态固定在从最外层环扩散到样本大部分的外围站点上，类似于森林火灾的蔓延，照亮了一组可预测的站点，并使其余的站点未被点燃。可以精确地设计振幅包络的穿透深度。准周期调制产生迄今未报道的量子蝴蝶，这已被进一步研究通过计算本征态的参与比的倒数，和多重分形分析。最后讨论了该方案对光子分形波导网络的适用性。
Chiral limits and effect of light on the Hofstadter butterfly in twisted bilayer graphene
研究了不同情况下磁场在扭曲双层石墨烯（TBG）中诱导的Hofstadter蝶。首先，我们研究了平衡的情况下，并确定层间跳跃的过程，是最关键的霍夫施塔特蝴蝶的外观。令人惊讶的是，对于霍夫施塔特蝴蝶的出现很重要的跳跃过程可以归类为AA堆叠类型-即等效子晶格之间的层间跳跃。这与AB/BA型跳跃形成对比，AB/BA型跳跃对于魔角TBG中的平坦带的出现是重要的，并且在[Phys. Rev. Lett. 122，106405（2019）]。我们还发现，如果AB型层间跳跃过程被关闭，所得到的模型是手性的，但不同于\cite{Tarnopolsky}中讨论的模型。因此，TBG有两个独立的手征极限-其中一个对于理解平坦带的形成很重要，另一个对于Hofstadter蝴蝶很重要。以此为动机，我们讨论了AA型跳跃与晶格弛豫效应相结合的作用，可以使个人朗道水平略难解决在实验设置比人们预期从非松弛晶格设置。最后，我们考虑了不同形式的光对蝴蝶分形结构的影响。特别是，我们研究了圆偏振光和纵向光的影响，从波导。当系统暴露于圆偏振光时，我们发现蝴蝶在能量$E=0$方面具有越来越明显的不对称性。这是由于引入了间隙项，该间隙项打破了上述两个手性极限的手征对称性。最后，我们研究了纵向光的效果，可以产生在波导的出口，在一个稍微简化的模型。在这里，我们发现...
