Canard Cycles and Poincaré Index of Non-Smooth Vector Fields on the Plane
本文研究平面上非光滑向量场的闭轨道。对一类非光滑向量场，给出了鸭类解存在的充要条件。利用正则化方法证明了奇异扰动问题的鸭式环是奇异轨道，而奇异摄动问题是一列极限环的极限周期集。此外，我们推广了非光滑向量场的Poincaré指数。
2010-05-17 math.DS
Counting periodic orbits of vector fields over smooth closed manifolds
研究光滑闭流形上向量场周期轨道的计数问题。通过添加鬼轨道，将非定常周期轨道空间扩展为一个完备空间，鬼轨道是对向量场零点的修饰。与任何紧凑和开放的子集$Γ$的模空间的周期和鬼轨道，我们定义了一个整数权重。当向量场沿路径运动时，$Γ$在一个紧凑的和开放的家庭中变形，我们证明了权函数保持不变。我们还给出了一些例子和计算，说明我们的主要定理的应用。
2020-12-03 math.DG math.DS math.GT
An asymptotically stable cusp-fold singularity in 3D piecewise smooth vector fields
本文研究了由两个区域组成的$R^3$上分片光滑向量场的一个典型奇异性。在我们的研究对象，尖点-折叠奇点，我们考虑同时发生的尖点奇点的一个向量场和折叠奇点的另一个。我们展示了一个规范形式，提出了在分段光滑向量场搜索的最重要的属性之一：渐近稳定性。
2013-06-06 math.DS
Dynamics of planar vector fields near a non-smooth equilibrium
本文对平面分段光滑向量场进行了定性和几何分析，该向量场由两个由直线$y=0$分开的光滑向量场组成，并作为一个非退化平衡点共享原点.在$Σ$ -等价意义下，我们给出了线性化的充分条件，并给出了这些可线性化的向量场的相图和标准形。这个条件很难削弱，因为当这个条件不满足时，存在着不可线性化的向量场。对于扰动，当原点仍然是两个光滑向量场在扰动下的平衡点时，建立了局部$Σ$ -结构稳定性的一个充要条件。与此相反，我们证明了对本文所研究的任何分片光滑向量场，都存在从原点分支出的极限环，并且存在某些分片光滑向量场，使得对任何正整数$m$，都存在一个扰动，其极限环恰好从原点分支出$m$.这里$m$可能是无穷大。
2020-07-26 math.DS
Some apects of thermodinamic formalism of piecewise of smooth vector fields
在本文中，我们研究了热力学形式主义的一些方面，更具体地说，拓扑压力，因此，拓扑熵分段光滑向量场，使用拓扑共轭与移位映射和Perron- Frobenius算子。研究了熵与豪斯多夫维数之间的关系。
2022-11-07 math.DS
Smooth Gevrey normal forms of vector fields near a fixed point
研究了光滑向量场在一个不动点邻域中的芽，该不动点在该点上具有双曲线性部分。众所周知，无论是光滑线性化问题还是规范形问题，“小因子”都是不可见的。我们证明，这是完全不同的光滑Gevrey范畴。证明了具有双曲线性部分的光滑$\al$ -Gevrey向量场的芽允许光滑$\be$ -Gevrey变换到光滑$\be$ -Gevrey规范形. Gevrey阶$\be$取决于小因子累积到$0$的速率。我们证明了一个形式上可线性化的Gevrey光滑芽的线性部分满足Brjuno的小因子条件，可以线性化在同一Gevrey类。
2014-01-08 math.DS
Consecutive shifts along orbits of vector fields
设$M$是一个光滑（$C^{\infty}$）流形，$F_1,...,F_n$是$M$上生成相应流$Φ_1,...,Φ_n$的向量场，$α_1,...,α_{n}:M\to \mathbb{R}$是光滑函数.本文给出了向量场$f:M\to M$和光滑函数$$f(x)= Φ_n (... (Φ_2 (Φ_1 (x,α_1(x)), α_2(x)), ..., α_n(x)).$$使$f$为局部单同态的一个充要条件。证明了这个条件对于相应的向量场和函数的同时置换是不变的。
2005-10-28 math.DG math.DS
Stability and cyclicity of polycycles in non-smooth planar vector fields
该研究将光滑平面向量场多循环的稳定性与极限环分岔结论推广至 Filippov 非光滑系统，给出多循环稳定判据及不同条件下极限环数量的上下界。
2023-06-06 math.DS
Fold-Saddle Bifurcation in Non-Smooth Vector Fields on the Plane
本文给出了由向量场控制的二维分段光滑动力系统的分岔结果。研究了一类非光滑向量场的通有三参数族，并给出了它的分支图。我们的主要结果描述了所谓的折叠鞍奇点的展开。
2010-07-20 math.DS math.GM
Characterization of Exact Lumpability for Vector Fields on Smooth Manifolds
刻画了光滑流形上光滑向量场的精确集块性。我们从四个不同的角度推导了可集块性的充要条件，从而简化和推广了欧几里得空间文献中存在的各种结果.我们引入了一个部分连接的拉回丛，这是相关的Bott连接和行为像一个李衍生物。集总条件是用集总映射的微分、其关于连接的共变导数以及它们各自的核来表示的。最后给出了一些例子来说明这一理论。
2016-07-06 math.DG math.DS math.OC
Birth of isolated nested cylinders and limit cycles in 3D piecewise smooth vector fields with symmetry
我们的出发点是一个三维分段光滑向量场定义在两个区域，并提出了一个共享的折叠曲线的两个光滑向量场考虑。此外，这些光滑的向量场相对于折叠曲线是对称的，从而产生了连续的嵌套拓扑圆柱体，使得这些圆柱体的每个正交部分由中心填充。首先我们证明了所考虑的规范形代表了一整类分片光滑向量场。然后对初始模型进行扰动，得到包含中心的$\mathcal{L}$不变平面。初始模型的第二次扰动也被认为是为了获得完全$k$孤立的圆柱填充的周期轨道。最后，加入前两个分支，我们能够展示一个模型，保持对称性相对于折叠曲线，并有确切的$k.\mathcal{L}$极限环。
2017-02-04 math.DS
On non-smooth vector fields having a torus or a sphere as the sliding manifold
本文考虑非光滑向量场$Z=(X,Y)$，其中$X,Y$是三维线性向量场，$Z$的不连续流形$Σ$是通常的嵌入环面或原点酉球面.通过考虑$Σ$上的$X,Y$是非弹性的，我们假设$Σ$是一个带切线的滑动（稳定/不稳定）流形.在每一种情况下，我们研究了向量场$Z$与$Σ$的相切，并描述了在$Σ$上滑动向量场的轨迹的行为：它们基本上是封闭的。
2012-07-02 math.DS
There exist transitive piecewise smooth vector fields on $\mathbb{S}^2$ but not robustly transitive
众所周知，光滑（或连续）向量场在球面$§^2$上不能拓扑传递。另一方面，分段光滑的向量场甚至可以在$§^2$上呈现非平凡的递归。因此，本文证明了$§^2$上拓扑传递的分段光滑向量场的存在性，见定理\ref{teorema-principal} .我们还证明了传递性发生在被称为{ \it滑动区域}和{ \it逃逸区域}的相图的某些特定部分的存在下。更确切地说，定理\ref{main:transitivity}指出，在传递性的存在下，轨迹必须通过切点在滑动区域和逃逸区域之间交换。另外，我们证明了$§^2$上的每个传递分片光滑向量场既不是鲁棒传递的，也不是结构稳定的，见定理\ref{main:no-transitive}。我们完成了证明定理\ref{main:general}解决一般紧凑的二维流形上的非鲁棒性。
2021-01-28 math.DS
Existence of periodic orbits for piecewise-smooth vector fields with sliding region via Conley theory
Conley理论为保证半动力系统的孤立邻域中周期轨线的存在性提供了一个工具。我们证明了定义在三维闭流形中的分段光滑向量场$Z=(X, Y)$所产生的正轨线产生一个半动力系统。因此，我们已经建立了一个半流，使我们能够应用经典的康利理论。此外，我们利用它来保证这类分段光滑向量场中周期轨道的存在性。
2021-07-27 math.DS
On 3-parameter families of piecewise smooth vector fields in the plane
研究了分片光滑平面动力系统在典型奇点附近的局部分歧问题。研究了一类非$-$光滑向量场的三参数族，并给出了三维分歧图。我们的主要结果通过3个参数的变化描述了所谓的折叠尖点奇异性的展开。
2012-07-26 math.DS
Symbolic dynamics of planar piecewise smooth vector fields
近年来，关于分段光滑向量场（简称PSVF）的理论得到了很大的发展。实际上，所得到的许多结果对于光滑向量场并没有类似的结果。例如，平面PSVF的混沌，这是不可能的光滑的。这些差异是由通过一点的轨迹的非唯一性产生的。受一维离散动力系统可以产生混沌行为这一经典事实的启发，我们构造了移位映射与PSVF之间的共轭。通过所获得的结果和所采用的技术，一个新的角度对PSVF的研究被带到光，通过已经建立的离散动态系统的结果，我们将能够获得结果PSVF。
2021-12-03 math.DS
Strongly mixing smooth planar vector field without asymptotic directions
我们使用一个复合泊松点过程的基础上的Voronoi型镶嵌构造一个多项式混合平稳随机光滑平面向量场有界非负分量，使概率为1，没有相关的积分曲线具有渐近方向。
2022-11-15 math.DS math.PR
Homoclinic Theorems for piecewise smooth vector fields
IBILCE–UNESP（伊比拉塞特学院 - 圣保罗州立大学）；IFTM（米纳斯吉拉斯联邦技术学院）
研究分段光滑向量场，通过扩展相关定理，证明若T - 周期向量场有横截同宿点，其时间 - T映射与伯努利移位共轭，进而证明该向量场混沌，此为相关理论在分段光滑向量场领域的扩展。
2026-07-13 math.DS
Chaotic Planar Piecewise Smooth Vector Fields With Non Trivial Minimal Sets
本文讨论了平面分段光滑向量场理论中的混沌行为和极小性问题。观察到了非确定性混沌的发生，并引入了可定向极小的概念。研究了混沌系统中极小性与可定向极小性之间的关系，并观察到混沌系统中存在新的非平凡极小集。该方法是几何的，涉及非光滑系统的普通技术。
2014-04-02 math.DS
Integrability and adapted complex structures to smooth vector fields on the plane
黎曼曲面上的奇异复解析向量场具有若干几何性质（奇异意味着极点和本质奇点是可容许的）。本文描述了奇异复解析向量场$\mathbb{X}$与光滑向量场$X$之间的关系。我们的逼近路线研究三个可积性的概念，真正的光滑向量场$X$与奇异的平面或球面上。第一个概念与柯西-黎曼方程有关，我们说一个向量场$X$允许一个适应的复结构$J$，如果在具有这个复结构的平面上存在一个奇异的复解析向量场$X$，使得$X$是$\mathbb{X}$的实部。$X$的第二个可积性概念是首次积分$f$的存在性，该第一积分是光滑的并且在$X$的奇点之外具有非零微分。第三个概念是，$X$允许在其奇点之外的全局流盒映射，即向量场$X$是平凡水平向量场的提升，在同形下。我们研究这三个概念之间的关系。拓扑障碍（本地和全球）的三个可积性的概念进行了说明。利用正则不变域构造了奇异复解析向量场X.
2022-06-11 math.DS
Entropy and Gurevich Pressure for piecewise smooth vector fields
本文通过建立分段光滑向量场轨迹与单边移位空间的拓扑共轭，计算了非光滑向量场的Gurevich压力和熵，并用Lyapunov函数估计混合时间，还将无穷远处拓扑熵与逃逸回复点集的Hausdorff维数联系起来。
2024-10-04 math.DS
Poincaré-Hopf Theorem for Filippov vector fields on 2-dimensional compact manifolds
本文提出涵盖伪平衡点与切向奇点的新指数定义，证明带光滑切换流形的二维紧流形上 Filippov 向量场满足 Poincaré-Hopf 定理，并推导 Hairy Ball 定理变体。
2024-09-16 math.DG math.DS
Weakly mixing smooth planar vector field without asymptotic directions
我们构造了一个平面光滑的弱混合平稳随机向量场，使得在概率为1的情况下，这个向量场产生的流没有渐近方向.此外，对于所有单独的轨迹，部分限制方向的集合与跨越正象限的方向一致。一个修正的例子表明，时空弱混合正速度场中的粒子不一定具有渐近平均速度。
2018-08-16 math.DS math.PR
Smooth structure on the moduli space of instantons of a generic vector field
本文简要介绍与 Stefan Haller 的合作工作，刻画了一般光滑向量场中可能破裂瞬子空间及不稳定流形完备化上的带角光滑流形结构，主要结果见定理 1.4。
2024-12-28 math.DS math.GT
The Orbit Space Approach for Piecewise Smooth Vector Fields
本文借鉴自同态的逆极限分析技术，为分段光滑向量场构建轨道空间理论，并证明文献中的bean模型与sphere模型在该轨道空间中具有传递性。
2025-10-05 math.DS
Attractivity, degeneracy and codimension of a typical singularity in 3D piecewise smooth vector fields
我们解决的问题，了解$3D$分段光滑向量场的典型奇异点周围的动力学。考虑$3D$中的模型$Z_0$，该模型呈现T-奇异性，并且以以下方式获得其动力学的完整图像：\textit{(i)} $Z_0$具有由周期轨道填充的不变平面$π_0$（这意味着约束$Z_0 |_{π_0}$是奇点周围的中心），\textit{(ii)} $Z_0$的所有轨迹都收敛到表面$π_0$，并且这样的吸引以非常不寻常和令人惊奇的方式发生，\textit{(iii)}给定任意整数PDMATHAMT则PDMATHAMN可以由PDMATHAMP-不变分段光滑向量场$Z_{\varepsilon}$来近似，使得约束$Z_{\varepsilon} |_{π_0}$恰好具有PDMATHAMW-双曲极限环，当$k=0$，\textit{(v)}，$Z_0$在所有$3D$分段光滑向量场的集合中具有无穷余维时，原点可以被选为$Z_{\varepsilon}$的渐近稳定平衡点.
2015-08-03 math.DS
Piecewise Smooth Dynamical Systems Regularized by Convolution
IBILCE–UNESP（巴西州立大学圣若泽杜里奥普雷图分校）；IRIMAS–UHA（阿尔萨斯大学）
本文提出通过卷积正则化分段光滑动力系统的方法，通过吹胀操作将问题转化为光滑向量场的研究，揭示了分段常数向量场中可能存在的非预期动力学现象。
2026-11-10 math.DS
Common zeroes of families of smooth vector fields on surfaces
设Y和X表示空边界的可能非紧曲面上的C^k向量场，k >0.假设Y跟踪X，如果它生成的动力系统局部置换X的积分曲线。设K是X的局部极大紧零点集。定理设X在K处的Poincar 'e-Hopf指数非零，且X在K的每一点处的k-jet非平凡。如果g是跟踪X的C^k向量场的超可解李代数，则g的元素在K中有一个公共零点。应用吸引子和变换群。
2015-06-06 math.DS
Slow-fast normal forms arising from piecewise smooth vector fields
本文研究了$$\dot{z} = Z(z) = \dfrac{1 + \operatorname{sgn}(F)}{2}X(z) + \dfrac{1 - \operatorname{sgn}(F)}{2}Y(z),$$形式的分段光滑微分系统，其中$F: \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$是一个正则值为0的光滑映射.我们考虑由$$\dot{z}= Z_{\varepsilon}(z) = \dfrac{1 + φ(F/\varepsilon)}{2}X(z) +\dfrac{1 - φ(F /\varepsilon)}{2}Y(z),$$给出的向量场$Z$的线性正则化，其中$φ$是一个转移函数（不一定是单调的），以及转移函数是单调的向量场$Z$的非线性正则化.众所周知，正则化系统是一个慢-快系统。本文的主要贡献是研究的慢-快系统，所产生的（线性或非线性）正则化的典型奇点。我们开发了一种算法来构建合适的转移函数，我们应用这些想法，以创建慢-快奇点从规范形式的分段光滑向量场。我们提出了转移函数的例子，正规化后的PSVF规范形式，产生正常双曲线，折叠，跨临界，和干草叉奇点。
2022-05-04 math.DS
On resolving singularities of piecewise-smooth discontinuous vector fields via small perturbations
二重奇点是分段光滑向量场的不连续曲面上的一点，在该点处，向量场在两侧与曲面相切。由于双重相切，从双重的向前进化通常是模糊的。这是一个特别严重的问题，由一个非零的测量集的初始点的前向轨道达到的两个折叠。本文的目的是探讨扰动的向量场的概念，使向前的发展是明确的，并在有限的扰动的大小趋于零的扰动动力学特征。这个概念适用于两个维度中的两个折叠。三种形式的扰动：滞后，时间延迟和噪声，分别进行了分析。在每一种情况下，极限都导致了一种新的概率概念，即从双重进化向前进化。
2013-04-16 math.DS
Bifurcation of limit cycles from a non-smooth perturbation of a two-dimensional isochronous cylinder
检测非光滑向量场中极限环的产生是近年来动力系统理论和应用科学中的一个重要问题。研究了$\mathbb{R}^{3}$中二维向量场等距柱面上周期轨道的连续性的极限环分支。该方法包括非光滑向量场的正则化过程和基于Malkin分支函数的$C^{0}$扰动方法。这些结果提供了通过光滑和非光滑扰动获得圆柱出现极限环的充分条件，并首次说明了基于Malkin分支函数的一种新方法的实现.此外，还研究了与光滑扰动相比，非光滑扰动分支出的极限环个数的问题。总之，所得结果对$\mathbb{R}^{3}$中的非光滑向量场的极限环有了更好的认识，并明确了一种通过对余维为1的欧氏流形进行非光滑扰动来获得极限环的方法.
2014-04-09 math.DS
Integration of vector fields on smooth and holomorphic supermanifolds
给出了实超流形上任意光滑向量场（不一定是齐次的）流的存在性和唯一性的一个新的完备证明，并将这些结果推广到复超流形上全纯向量场的情形.此外，我们讨论了与超向量场相关的局部作用，并给出了几个例子和应用，例如，任意有限维李群的指数态射的构造。在第二个版本中，我们纠正了错别字，数字和其他小问题的呈现。我们在第3节和第4节中添加了参考文献。更多的细节在第4节的（4.2）部分给出，处理李群的指数态射。值得注意的是，我们现在给出两个结构的向量场导致的指数态射，我们证明了它的完整性，此外，我们刻画的指数态射的李群的指数映射从超点到给定的李群。
2012-12-29 math-ph math.CV math.DG
About the Shadowing Theorem for piecewise smooth vector fields with sliding motion
Universidade Estadual Paulista UNESP（圣保罗州立大学）；Departamento de Matemática, Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas, Universidade Estadual Paulista UNESP（圣保罗州立大学生物科学、文学与理学院数学系）
针对分段光滑向量场，在适当假设下证明了一个影子引理，并推广到捕捉该框架特有的现象。
2026-06-18 math.DS
Local bifurcations in a class of piecewise-smooth Filippov systems with a nonregular switching curve via a nonlinear double regularization process
Universidade Estadual Paulista Julio de Mesquita Filho（圣保罗州立大学）；Universidade de São Paulo（圣保罗大学）；Universitat Autònoma de Barcelona（巴塞罗那自治大学）
本文通过非线性双正则化过程研究一类具有非规则切换曲线的分段光滑Filippov系统中局部分岔的保持与变化
2026-02-04 math.DS
A Piecewise Smooth $λ$-Lemma
本文为分段光滑向量场与映射扩展了 $λ$ 引理，通过研究穿越轨道上时间-T-映射的正则性，证明其既是同胚也是分段光滑微分同胚。
2025-07-15 math.DS
A technical note on the arithmetic cone of smooth periodic vector fields
Faculty of Mathematics. University of Science and Technology Houari Boumediene（哈瓦里·布麦迪恩科技大学数学学院）
研究具有无限谱的光滑场强旋转性质失效问题，通过表明原始证明的收缩论证适用于满足特定条件的场，揭示反例违反条件，找到阻止收缩方法扩展到有限谱设置外的障碍。
2026-07-21 math.DS
Limit cycles of piecewise smooth vector fields on torus with non-regular switching manifold
本文研究二维环面上分段光滑向量场的交叉极限环最大数量，基于n次多项式首次积分假设，运用代数曲线相交方法获得精确上界，并构造实例证明其最优性。
2025-08-12 math.DS
Reparametrizations of vector fields and their shift maps
设$M$是光滑流形，$F$是$M$上的光滑向量场，$F_t$是$F$的局部流.用$Sh(F)$表示具有以下形式的光滑映射$h:M\to M$的空间：$h(x) = F_{f(x)}(x)$，其中$f:M\to\mathbb{R}$在$M$上的所有光滑函数上运行，这些光滑函数可以被代入流$F_t$而不是时间。这个空间经常与保持$F$轨道的同构群的单位分量重合。本文证明了$Sh(F)$在$F$的重新参数化和前推下不发生变化。作为应用，证明了无非闭轨道的向量场$F$可以重新参数化，从而在$M$上诱导圆作用当且仅当存在光滑函数$f:M\to (0,+\infty)$，使得对于$M$的每个非奇异点$x$，值$f(x)$是$x$关于$F$的周期的整数倍.
2015-12-24 math.DS
Bifurcation of periodic orbits by perturbing $n$-dimensional piecewise smooth differential systems with two switching planes
本文考虑具有两个切换平面的分段光滑可积微分系统的一般摄动问题。首先，当未扰动系统具有一族周期轨道时，导出了一阶Melnikov向量函数，该函数可用于研究周期环分叉出的周期轨道的个数。然后，利用所得到的Melnikov向量函数，得到了具体的$n$维分段光滑微分系统周期轨道个数的一个上界.
2020-02-25 math.DS
Limit cycles for some families of smooth and non-smooth planar systems
本文利用Brouwer度平均方法，研究了一类线性中心受连续齐次向量场之和扰动的平面系统的极限环个数的下界.我们的结果可以应用到模型的光滑性是失去了对集$Σ=\{xy=0\}$。我们还应用它们提出了一个变种的希尔伯特第16问题，其中的目标是绑定的极限环的数量方面的单项式的一个家庭的多项式向量场，而不是这样做的程度。
2020-08-18 math.DS
Vector Fields with the Oriented Shadowing Property
给出了光滑闭流形上具有定向跟踪性质的光滑向量场集合的$\Cone$ -内部（$\Int^1(\OrientSh)$）的刻画。引入了一类结构不稳定的向量场的特殊类$\Bb$。证明了$\Int^1(\OrientSh\setminus\Bb)$集与结构稳定的向量场集一致。给出属于$\Int^1(\OrientSh)$的类$\Bb$的字段的示例。书目：18种。
2010-10-16 math.DS
Smooth invariant densities for random switching on the torus
我们考虑一个随机动力系统，它是由二维环面上的两个光滑向量场所产生的流之间的切换所得到的，其中随机切换是按照一个泊松过程发生的.假设驱动向量场在环面的所有点上都是相互横截的，并且每个驱动向量场都允许光滑不变密度且没有周期轨道，我们证明了对于每个切换率，切换系统也具有光滑不变密度。我们的方法是基于一个分部积分法公式的启发Malliavin演算技术。
2018-03-21 math.DS math.PR
