Resolution of the piecewise smooth visible-invisible two-fold singularity in $\mathbb{R}^3$ using regularization and blowup
$\mathbb{R}^3$中分段光滑动力系统的二重奇异性一直是人们深入研究的课题。兴趣源于这样一个事实，即进入两重的轨迹与向前的非唯一性。关键问题是：我们如何在时间上继续前进？是否存在在所有候选者中区分开的轨道？我们解决这些问题，通过正规化的PWS动力系统的情况下，可见-不可见的双重。在这个框架内，我们考虑一个正则化函数的类外的索托马约尔和Teixera。然后，我们进行了严格的调查，使用几何奇异扰动理论和爆破。我们表明，确实有一个前进的轨道$U$，这是区别于所有可能的前进轨道离开两重。工作与正常形式的可见-不可见的两重，我们表明，吸引极限环可以获得（由于收缩向$U$），与全球回报机制组成后。我们提供了一些说明性的例子。
2018-09-27 math.DS
On resolving singularities of piecewise-smooth discontinuous vector fields via small perturbations
二重奇点是分段光滑向量场的不连续曲面上的一点，在该点处，向量场在两侧与曲面相切。由于双重相切，从双重的向前进化通常是模糊的。这是一个特别严重的问题，由一个非零的测量集的初始点的前向轨道达到的两个折叠。本文的目的是探讨扰动的向量场的概念，使向前的发展是明确的，并在有限的扰动的大小趋于零的扰动动力学特征。这个概念适用于两个维度中的两个折叠。三种形式的扰动：滞后，时间延迟和噪声，分别进行了分析。在每一种情况下，极限都导致了一种新的概率概念，即从双重进化向前进化。
2013-04-16 math.DS
Cyclicity of sliding cycles in regularizations of piecewise linear two-folds
Hasselt University（哈瑟尔特大学）；Technical University of Denmark（丹麦技术大学）；University of São Paulo (USP)（圣保罗大学）；Universidade de Brasília（巴西利亚大学）
本文研究分段线性双折叠正则化中滑动环的环数，通过慢散度积分零点与辅助系统极限环的关联，证明环数以二为界，并给出可见折叠存在两个极限环的充要条件。
2026-09-17 math.DS
The regularized visible fold revisited
平面可见褶皱是分片光滑系统中的一个简单奇点。在本文中，我们考虑奇异摄动系统，限制到这种分段光滑分支的奇异扰动参数$ε\rightarrow 0$。或者，这些奇异摄动系统可以被认为是其分段对应物的正则化。该文件的主要贡献是演示使用连续的爆破变换在这种情况下，使我们能够获得详细的信息，在非常一般的假设下的过渡映射附近的折叠。我们应用这些信息来证明，第一次，存在一个局部唯一的鞍结分支的情况下，极限环，在奇异极限$ε\rightarrow 0$，放牧的不连续集。我们将这一结果应用到一个质量弹簧系统的运动带所描述的Stribeck型摩擦定律。
2020-06-17 math.DS
Birth of isolated nested cylinders and limit cycles in 3D piecewise smooth vector fields with symmetry
我们的出发点是一个三维分段光滑向量场定义在两个区域，并提出了一个共享的折叠曲线的两个光滑向量场考虑。此外，这些光滑的向量场相对于折叠曲线是对称的，从而产生了连续的嵌套拓扑圆柱体，使得这些圆柱体的每个正交部分由中心填充。首先我们证明了所考虑的规范形代表了一整类分片光滑向量场。然后对初始模型进行扰动，得到包含中心的$\mathcal{L}$不变平面。初始模型的第二次扰动也被认为是为了获得完全$k$孤立的圆柱填充的周期轨道。最后，加入前两个分支，我们能够展示一个模型，保持对称性相对于折叠曲线，并有确切的$k.\mathcal{L}$极限环。
2017-02-04 math.DS
On 3-parameter families of piecewise smooth vector fields in the plane
研究了分片光滑平面动力系统在典型奇点附近的局部分歧问题。研究了一类非$-$光滑向量场的三参数族，并给出了三维分歧图。我们的主要结果通过3个参数的变化描述了所谓的折叠尖点奇异性的展开。
2012-07-26 math.DS
Regularizations of two-fold bifurcations in planar piecewise smooth systems using blow up
利用Blowup方法研究了平面分段光滑（PWS）动力系统中余维1二重奇点的正则化问题。我们重点研究了PWS系统中可能出现的奇异鸭翼、伪均衡和极限环。利用Sotomayor和Teixeira \cite{Sotomayor96}的正则化方法，我们严格地证明了奇异鸭翼是如何持续存在的，以及在正则化系统中伪平衡点的分支与平衡点的分支之间的关系.我们还表明，PWS极限环连接到正则化的Hopf分支。此外，我们展示了如何正则化可以创建另一种类型的极限环，似乎不存在于原来的PWS系统。对于这两种类型的极限环，我们表明，产生周期轨道的Hopf分支的临界性强烈依赖于精确形式的正则化。最后，我们分析的极限环的正则化的周期轨道的局部唯一的家庭和连接，如果可能的话，到极限环的PWS系统。我们用数值模拟说明了我们的分析，并展示了正则化系统如何发生鸭式爆炸现象。
2015-07-24 math.DS
Symmetric Limit Cycles in 3D Piecewise Linear Systems with Visible-visible Two-Fold Singularity
Institute of Mathematics and Statistics of Federal University of Goiás（戈亚斯联邦大学数学与统计学院）；São Paulo State University (UNESP)（圣保罗州立大学）
本文研究三维分段线性系统中可见-可见二重奇点的对称极限环，通过Darboux积分理论和Weierstrass定理证明了大振幅对称极限环的存在性。
2026-04-28 math.DS
Global classification of oscillatory dynamics in symmetric zero-divergence 3D piecewise-linear Filippov systems with a visible--visible two-fold
本文对一类对称零散度三维分段线性Filippov系统，在可见-可见双折点情形下，给出了振荡动力学的全局分类，证明了简单周期穿越环的唯一性、稳定性及扰动下的持续性。
2026-10-01 math.DS
Generic Singularities of 3D Piecewise Smooth Dynamical Systems
本文的目的是提供一个讨论目前的研究方向，涉及典型的奇异性的三维非光滑向量场。一个简短的调查已知的结果。本文的主要目的是以最基本的形式描述褶皱-褶皱奇点的动力学特征，并给出其局部结构稳定性（或不稳定性）的完整而详细的证明。此外，折叠-折叠奇点的所有拓扑型的类都具有内在的特征。这种证明基本上遵循首先从一些线奠定了科伦坡，加西亚，杰弗里，特谢拉和其他人，其次提供了一个严格的数学处理下明确和清晰的假设和坚实的论点。应该强调的是，几何-拓扑方法使我们对T-奇点周围的动力学有了完全的数学理解。这种方法适用于一般分歧理论的应用。值得一提的是，在更高的维度上，对这一主题的理解仍然很少。
2017-02-02 math.DS
Canard cycles of non-linearly regularized piecewise smooth vector fields
本文研究非线性正则化分段光滑系统的鸭形极限环，通过慢散度积分零点给出判据，构造二次正则化产生任意多个极限环，并证明躲避层鸭形环的鞍结分岔。
2025-06-22 math.DS
Study of periodic orbits in periodic perturbations of planar reversible Filippov systems having a two-fold cycle
研究了一类由可逆分段光滑微分系统的非自治周期扰动得到的平面Filippov系统周期解的存在性。假设未扰动系统是一个简单的二重循环，其特征是一个封闭的轨迹连接一个可见的二重奇点。证明了在一定的一般条件下，摄动系统存在滑动周期解和交叉周期解。为了得到我们的结果，Melnikov的想法一起应用的工具，从几何奇异扰动理论。最后，研究了扰动的分段哈密顿模型。
2020-06-12 math.DS
Generic bifurcation of certain piecewise smooth vector fields
本文给出了由向量场控制的二维分段光滑动力系统的分岔结果。研究了一类非光滑向量场的一般三参数族，并给出了分歧图。我们的主要结果描述了所谓的共振$Fold-Saddle$奇异性的展开。
2021-02-11 math.DS
A Compendium of Hopf-Like Bifurcations in Piecewise-Smooth Dynamical Systems
这封信概述了20个几何机制，其中极限环是本地创建的二维分段光滑系统的常微分方程。这些包括混合系统、Filippov系统和连续系统的边界平衡分叉，以及由折叠和添加滞后或时滞产生的极限环。的极限环的振幅和周期的标度律进行比较（经典）的霍普夫分岔。
2018-04-30 math.DS
The number of limit cycles of piecewise linear Liénard systems
Central South University（中南大学）；Shanghai Jiao Tong University（上海交通大学）
本研究针对分段线性Liénard系统的极限环数目猜想，验证了Tonnelier猜想的下界部分，给出含混合折点与跳跃点时的极限环数目结果，并完成系统无穷远动力学分类。
2026-08-21 math.DS
Fold singularities of nonsmooth and slow-fast dynamical systems -- equivalence through regularization
二重奇异性在我们理解分段光滑动力系统的唯一性和稳定性中起着重要的作用。当一个向量场在某个超曲面上不连续时，它可以从一侧或另一侧与该曲面相切，而两侧相切会产生双重奇点。局部流与（光滑）慢-快系统中所谓的{ \it折叠奇点}有着表面上的相似之处，这些奇点出现在慢不变流形的吸引和排斥分支的交叉点处，这在鸭翼和混合模式振荡的局部研究中很重要。在这里，我们表明，这两个奇点密切相关。当分段光滑系统中的不连续性在二重奇点处被正则化（平滑）时，所得到的系统可以映射到折叠奇点上。结果是不明显的，因为它需要存在的非线性或“隐藏”的条款在不连续性，这原来是必要的结构稳定性的正则化（或平滑）的不连续性，必要的映射到折叠的奇异性。
2015-06-02 math.DS
Fold singularities of nonsmooth and slow-fast dynamical systems -- equivalence by the hidden dynamics approach
{ \it二重奇异性}在我们理解分段光滑动力系统的唯一性和稳定性方面起了重要作用。当一个向量场在某个超曲面上不连续时，它可以从一侧或另一侧与该曲面相切，而两侧相切会产生双重奇点。这产生的流动与（光滑）慢-快系统中的所谓{ \it折叠奇点}有着表面上的相似之处，后者出现在缓慢不变流形的吸引和排斥分支的交叉点上，在鸭翼和混合模式振荡的局部研究中很重要。在这里，我们表明，这两个奇点密切相关。当分段光滑系统中的不连续性在二重奇点处被爆破或平滑时，所得到的系统可以映射到折叠奇点上。然而，结果并不明显，因为它需要在不连续处存在非线性或“隐藏”项，这对于爆破（或平滑）的结构稳定性是必要的，并且对于映射到折叠奇点是必要的。
2015-06-02 math.DS
On the use of blow up to study regularizations of singularities of piecewise smooth dynamical systems in $\mathbb{R}^3$
本文在Krupa和Szmolyan的\cite{krupa_extending_2001}公式中，利用Dumortier和Dumarie的\cite{dumortier_1991,dumortier_1993,dumortier_1996}的爆破方法，研究了分段光滑动力系统\cite{filippov1988differential}在$\mathbb R^3$中奇异性的正则化.使用Sotomayor和Teixeira \cite{Sotomayor96}的正则化方法，首先我们通过考虑折线的情况来证明我们的方法的能力。我们以一种简单的方式快速恢复Bonet和Seara \cite{reves_regularization_2014}的一个主要结果。然后，对于二重奇异性，我们证明了正则化系统仅在滑动区域不包括奇异鸭翼的完整扇区的情况下完全保留分段光滑系统中奇异鸭翼的特征。特别地，我们证明了每一个局部唯一的主奇异鸭持续正则化扰动。对于一个部门的主要奇异鸭的情况下，我们表明，正则化系统包含鸭，提供了一定的非共振条件成立。最后，我们提供了数值证据的存在，二次鸭近共振。
2014-12-16 math.DS
The Melnikov method and subharmonic orbits in a piecewise smooth system
在这项工作中，我们考虑了一个二维分段光滑系统，定义在两个域分开的开关流形$x=0$。我们假设存在一个分段定义的连续哈密顿量，它是系统的第一积分。我们还假设系统在原点有一个不可见的折叠-折叠，在$x=0$的两侧有两个连接双曲临界点的异宿轨道。最后，我们假设这些异宿连接封闭的区域是完全覆盖的周期轨道周围的起源，其周期单调增加，因为他们接近异宿连接。当考虑一个非自治的（$T$ -周期性）哈密顿扰动的振幅$\varepsilon$，使用的影响地图，我们严格证明，对于每一个$n$和$m$互素和$\varepsilon>0$足够小，存在一个$nT$ -周期轨道影响$2m$倍的开关流形在每个周期，如果一个修改的次谐波Melnikov函数具有一个简单的零。我们还证明了，如果轨道是不连续的，当他们穿过$x=0$，然后所有这些轨道存在，如果相对于这个跳跃的幅度$\varepsilon>0$的相对大小足够大。我们也得到了异宿联络分裂的类似条件。
2012-01-26 math.DS
On three-parameter families of Filippov systems -- the fold-saddle singularity
本文给出了二维分段光滑向量场的分支问题的一些结果。特别地，我们考虑了Filippov系统的余维三折叠鞍奇点的通有开折，其中边界鞍和折叠重合，并给出了分支图。
2012-10-29 math.DS
The number of limit cycles for regularized piecewise polynomial systems is unbounded
本文将De Maesschalck，Dumortier和Dumorsarie的慢-快系统中的慢发散积分推广到光滑系统中，并将其限制在分段光滑系统上，如$ε\rightarrow 0$ .在慢-快系统中，慢发散积分是发散沿鸭式圈关于慢时间的积分，它在获得平面多项式系统的极限环的上、上界方面非常有用.在本文中，我们的慢发散积分的基础上积分沿广义鸭式周期的分段光滑的二重分岔（类型可见-不可见称为$VI_3$）。我们利用这个框架证明了正则化分段光滑多项式系统的极限环的个数是无界的。
2022-10-13 math.DS
Fold-Saddle Bifurcation in Non-Smooth Vector Fields on the Plane
本文给出了由向量场控制的二维分段光滑动力系统的分岔结果。研究了一类非光滑向量场的通有三参数族，并给出了它的分支图。我们的主要结果描述了所谓的折叠鞍奇点的展开。
2010-07-20 math.DS math.GM
Slow divergence integral in regularized piecewise smooth systems
该研究定义了正则平面分段光滑系统中沿滑动段的慢发散积分，证明其光滑等价不变性，并将其应用于VI₃型可见-不可见二重折叠模型，关联Minkowski维数与滑动极限环数目。
2023-10-10 math.DS
Slow-fast normal forms arising from piecewise smooth vector fields
本文研究了$$\dot{z} = Z(z) = \dfrac{1 + \operatorname{sgn}(F)}{2}X(z) + \dfrac{1 - \operatorname{sgn}(F)}{2}Y(z),$$形式的分段光滑微分系统，其中$F: \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$是一个正则值为0的光滑映射.我们考虑由$$\dot{z}= Z_{\varepsilon}(z) = \dfrac{1 + φ(F/\varepsilon)}{2}X(z) +\dfrac{1 - φ(F /\varepsilon)}{2}Y(z),$$给出的向量场$Z$的线性正则化，其中$φ$是一个转移函数（不一定是单调的），以及转移函数是单调的向量场$Z$的非线性正则化.众所周知，正则化系统是一个慢-快系统。本文的主要贡献是研究的慢-快系统，所产生的（线性或非线性）正则化的典型奇点。我们开发了一种算法来构建合适的转移函数，我们应用这些想法，以创建慢-快奇点从规范形式的分段光滑向量场。我们提出了转移函数的例子，正规化后的PSVF规范形式，产生正常双曲线，折叠，跨临界，和干草叉奇点。
2022-05-04 math.DS
Fast phase randomisation via two-folds
二重是分段光滑向量场的不连续曲面上的一个奇点，在该点处，向量场在两侧与不连续曲面相切。如果一个轨道在稳定到规则的周期运动之前通过一个不可见的二重（也称为特谢拉奇点），那么该运动的相位不能从初始条件确定，并且在存在小噪声的情况下，大量样本解的渐近相位是高度随机的。在本文中，我们展示了如何的概率分布的渐近相位依赖于全球的非线性动力学。我们还展示了如何通过应用一个简单的不连续控制律，产生一个看不见的双重平滑振荡器的相位可以随机化。我们建议，这样的控制律可以用来descruise振荡器的集合，这种方式的相位随机化是快速相比，现有的方法（使用不动点作为相位奇点），因为没有放缓的动力学附近的两倍。
2015-07-21 math.DS
Dynamic tipping and cyclic folds, in a one-dimensional non-smooth dynamical system linked to climate models
研究一维非光滑动力系统（如Stommel-Box气候模型）在非光滑折叠分岔附近的临界行为，发现其临界速率更快且变化非单调，对气候系统临界预测具有重要意义。
2023-05-17 math.DS
The necessity of the sausage-string structure for mode-locking regions of piecewise-linear maps
本文利用周期解符号行程的组合性质证明，分段线性连续映射中锁模解的边界碰撞分岔必为非光滑折叠，从而解释Arnold舌的香肠串结构，并将结论推广到不稳定解及无不变圆情形。
2023-12-06 math.DS nlin.CD
Twenty Hopf-like bifurcations in piecewise-smooth dynamical systems
对于许多物理系统，从稳态解到持续的小振幅振荡的过渡对应于Hopf分岔。然而，对于涉及冲击、阈值、开关或其他突发事件的系统，这种转变可以以根本不同的方式实现。本文综述了20个具有状态依赖切换规则的二维常微分方程系统的“类霍普夫”分支。这些分岔包括边界平衡分岔、平衡点或折叠点的碰撞或稳定性的改变以及由滞后或时滞产生的极限环。在每种情况下，一个稳定的解决方案改变稳定性和可能的形式，并发出一个极限环。每个分支定量分析的一般设置：我们确定的数量，支配的发病，临界性和通用性的分歧，并确定所产生的极限环的周期和振幅的标度律。基于庞加莱映射的渐近展开，提供了完整的推导。其中许多是新的，以前只对分段线性系做过。分叉整理和比较，使动态观测可以匹配的几何机制负责创建一个极限环。结果与冲击振荡器，继电器控制，自动平衡控制，捕食系统，海洋环流，和McKean和Wilson-Cowan神经元模型。
2019-05-03 math.DS
Seasonal Forcing Dominated Dynamics of a piecewise smooth Ghil-Zaliapin-Thompson ENSO model
本文提出了一个分段光滑的 GZT 模型以解析处理 ENSO 动力学，显式构造了周期一轨道解并确定了其存在的参数区域，通过 Floquet 乘子分析了稳定性与分岔，发现大延迟下发生环面分岔而小延迟下发生折叠分岔，解析结果与数值延拓高度吻合。
2025-10-31 math.DS
On the mixing properties of piecewise expanding maps under composition with permutations
本文研究了分段光滑区间映射$f$的混合性质，当它的定义域被分成$N$个相等的子区间，并且$f$由这些子区间的置换组成时，它的混合性质受到的影响.详细研究了整数$m \geq 2$的拉伸和折叠映射$f(x)=mx \bmod 1$的情况。我们给出了一个组合描述的那些排列$σ$的$σ\circ f$仍然（拓扑）混合，并表明，这种排列的比例往往$1$作为$N \to \infty$。然后，我们调查的混合率的$σ\circ f$（测量的模的第二大本征值的转移算子）。在连续时间扩散系统的情况下，我们表明，组合物与置换不能提高混合率的$f$，但通常使它更糟。在对$m$和$N$的一些温和假设下，我们获得了最差混合率的精确值，因为$σ$在所有排列中都是变化的;这可以任意接近于$1$作为$N \to \infty$（$m$固定）。我们说明了第二大特征值的几何分布在复平面上的小$m$和$N$，并提出了一个猜想，关于他们的位置一般。最后，我们给出了其他区间映射$f$的组合与置换产生不同的行为比，从拉伸和折叠地图的例子。
2015-12-06 math.CO math.DS math.GR
