Local bifurcations in a class of piecewise-smooth Filippov systems with a nonregular switching curve via a nonlinear double regularization process
Universidade Estadual Paulista Julio de Mesquita Filho（圣保罗州立大学）；Universidade de São Paulo（圣保罗大学）；Universitat Autònoma de Barcelona（巴塞罗那自治大学）
本文通过非线性双正则化过程研究一类具有非规则切换曲线的分段光滑Filippov系统中局部分岔的保持与变化
2026-02-04 math.DS
Singularly Perturbed Boundary-Focus Bifurcations
我们考虑光滑系统作为$ε\to 0$限制到具有边界焦点（BF）分岔的分段光滑（PWS）系统。在得到一个合适的局部规范形后，我们利用几何奇异扰动理论和爆破理论研究了含$0 < ε\ll 1$的光滑系统的动力学行为。我们发现，在PWS系统中的BF分支的类型决定的$ε-$依赖域收缩为零的$ε\to 0$，确定超临界Andronov-Hopf分支在一种情况下，和超临界Bogdanov-Takens分支在其他两种情况下的光滑系统的分支结构。我们还表明，PWS周期与BF分叉持续作为松弛周期的光滑系统，并证明存在一个家庭的稳定极限环连接的松弛周期内的$ε-$依赖域上述定期周期。我们的结果被应用到模型高斯捕食-食饵相互作用和机械振动受到摩擦。
2021-03-19 math.DS
A Compendium of Hopf-Like Bifurcations in Piecewise-Smooth Dynamical Systems
这封信概述了20个几何机制，其中极限环是本地创建的二维分段光滑系统的常微分方程。这些包括混合系统、Filippov系统和连续系统的边界平衡分叉，以及由折叠和添加滞后或时滞产生的极限环。的极限环的振幅和周期的标度律进行比较（经典）的霍普夫分岔。
2018-04-30 math.DS
Periodic Solutions of a Singularly Perturbed Delay Differential Equation With Two State-Dependent Delays
研究了奇摄动状态依赖时滞微分方程（DDE）的周期轨道及其分支，当周期轨道的轮廓在奇异极限处包含跳跃间断时，系统的周期轨道及其分支.引入了一种基于可能不连续极限解的连续参数化的奇异解的定义。这减少了建设的限制配置文件的代数问题。详细研究了一个两状态依赖时滞微分方程的模型，构造了每个周期具有一个和两个局部极大值的周期奇异解。这些奇异解存在的参数上的条件的一个完整的表征有利于调查的分叉结构的奇异情况下，揭示折叠和可能的尖点分叉。利用复杂的边值技术数值计算了扰动参数接近零时的状态依赖型DDE的分岔图。这证实了在奇异情况下构造的解和分支在扰动参数为非零时持续存在，从而表明使用我们的奇异解定义构造的解是有用的，并且与奇摄动问题相关。折叠和尖点分叉被发现非常接近的参数值预测的奇异解理论，我们还发现倍周期分岔以及周期轨道与两个以上的局部极大值每个周期，并解释了对齐的折叠不同的分歧分支。
2015-06-10 math.DS
Shrinking Point Bifurcations of Resonance Tongues for Piecewise-Smooth, Continuous Maps
共振舌是参数空间的锁模区域，其中出现稳定的周期解;它们通常出现在例如Neimark-Sacker分叉附近。对于分段光滑的连续映射，这些舌头在双参数分叉图中通常具有独特的透镜链（或香肠）形状。我们给出了一类“旋转”周期解的符号描述，显示透镜链结构的一般$N$维映射。然后，我们展开余维2，收缩点分叉，其中舌头的宽度为零。一些余维一分叉曲线从收缩点发出，我们确定那些形成舌头的边界。
2008-09-20 math.DS
Complex oscillatory patterns near singular Hopf bifurcation in a two time-scale ecosystem
研究了一类两个捕食者在显式干扰竞争下争夺共同猎物的生态模型。通过适当的尺度变换，该模型被描述为一个具有一个快变量（食饵动力学）和两个慢变量（捕食者动力学）的奇异摄动系统。该模型表现出各种丰富和有趣的动力学，包括但不限于混合模式振荡（MMO），其特征在于串联的小振幅和大振幅振荡，弛豫振荡和半平凡的平衡态和共存振荡状态之间的双稳态。两个分支如fold-Hopf分支和广义Hopf分支的余维存在性使得系统更加吸引人。更有趣的是，在{ \emph{singular Hopf} }分岔附近，当系统分别接近超临界Hopf分岔产生的周期吸引子或半平凡平衡态时，观察到混沌MMO或弛豫振荡形式的持久瞬态动力学.在生态系统经历政权转变之前，这种短暂的动态可能会持续数百或数千代。在这个模型中出现的具有不同类型的不规则振荡的种群周期的时间序列源于生物学的现实特征，即，由捕食者之间的种内竞争的变化。为了解释这些振荡，我们使用分叉分析和方法从{ \emph{geometric singular perturbation theory} }。
2020-03-31 math.DS
Bifurcation control and universal unfolding for Hopf-zero singularities with leading solenoidal terms
本文引入了非线性奇异系统的普适渐近开折规范形。接下来，我们提出了一种方法来找到一个参数奇异系统的参数，他们发挥的作用，普遍的开折参数。这些参数有效地影响系统的局部动态。我们提出了一个系统的方法来定位这些参数的局部分叉。在这里，我们应用所提出的方法对霍普夫零奇点的前几个低程度的条款是不可压缩的。在这个方向上，我们得到了新的轨道和参数的正常形式的结果，这样的家庭通过假设一个非零的二次条件。此外，我们给出了一个截断的普遍渐近展开规范形，并证明了两个最一般的子族的相关振幅系统的稳态分支的有限决定性。分析了平衡点的局部分支、极限环和不变环面的二次Hopf分支。结果成功地实现和验证使用Maple。利用所提出的方法，我们设计了一个有效的多参数二次型状态反馈控制器的三维中心流形上的奇异系统的两个虚不可控模式。我们说明了我们的程序如何系统地识别的区别（通用展开）参数，推导出估计的过渡品种，这些参数，并定位本地的主要和次要的平衡点，极限环和不变环面的分叉。这种方法对于工程问题中局部分岔控制的有效非线性反馈控制器（单输入或多输入）的设计是有用的。
2016-02-24 math.DS
Resonance near Border-Collision Bifurcations in Piecewise-Smooth, Continuous Maps
由分段光滑连续映射的边界碰撞分叉形成的锁模区域（共振舌）通常表现出独特的香肠状几何形状，其夹点称为“收缩点”。在本文中，我们扩展了分段线性情况的展开[{ \em Nonlinearity}，22（5）：1123-1144，2009]，以显示收缩点如何被非线性破坏。对于$N$维映射，我们得到了这个收缩点分支的余维3开折。我们表明，破坏的收缩点一般发生的鞍结分叉，平滑的香肠的一个边界，在其他边界留下一个扭结的曲线的创建。
2010-02-11 math.DS
Symbolic local bifurcation analysis of scalar smooth maps
当映射受到小扰动时，光滑映射的局部零点结构可能发生质的变化。这些变化可能包括零的出生和/或死亡。定性性质被定义为一个适当的等价关系的不变性。零结构发生质的变化称为分岔，该映射称为奇点。奇点的局部分歧分析在奇点理论中得到了广泛的研究，并发展了许多强有力的代数工具。然而，没有任何符号计算机图书馆用于此目的。我们适当地概括了一些强大的工具，从代数几何正确实施的结果从奇点理论。我们提供了一些必要的标准，以及严格的证据，有效的和认知的计算机实现。因此，我们开发了一个Maple最终用户友好的库，命名为奇点，一个有效的和完整的局部分歧分析的实零点的标量光滑映射。我们还为Singularity编写了一个全面的用户指南。Singularity的主要特征被简要地说明了，并给出了一些例子。
2018-04-12 math.DS
Box dimension of unit-time map near nilpotent singularity of planar vector field
通过单位时间映射将离散和连续动力系统联系起来，在分歧理论中具有重要的作用。最近，它也被用于分叉的分形分析。利用规范形研究了平面向量场幂零非单值奇点附近单位时间映射的分形性质。我们对幂零奇点感兴趣是因为它们是非双曲的，而且我们知道在非双曲奇点附近盒维数是非平凡的。研究了单位时间映射在歧点的分离面上产生的离散轨道，得到了这些轨道的盒维数。盒维数的结果将使用Bogdanov-Takens分支和幂零鞍分支的例子详细说明。本文的研究也推广到了幂零奇点的正规形在无穷远处的适当奇点。此外，我们还研究了鞍点在无穷远点奇点附近的规范形的单位时间映射。
2012-05-25 math.DS
A Note On Application Of Singular Rescaling
该研究以奇异重标度为工具，为已有的若干分岔结果提供了更简短的证明，属于分岔理论相关的研究注记。
2024-04-13 math.DS
Non-smooth saddle-node bifurcations II: dimensions of strange attractors
研究了拟周期强迫区间映射非光滑鞍结分岔中奇异非混沌吸引子的几何和拓扑性质。通过解释的吸引子作为限制对象的迭代的连续曲线和控制后者的几何形状，我们确定其Hausdorff和盒计数维数，并表明，这些采取不同的值。此外，同样的方法可以描述的吸引子的拓扑结构，并证明其极小。
2014-12-19 math.DS
Bifurcation Analysis of 3D Filippov Systems around Cusp-Fold Singularities
本文研究了3D Filippov系统在cusp-fold奇点附近的局部动力学，分析了不可见cusp-fold奇点的穿越动力学与分岔特性，并完成了升压变换器系统的双参数分岔集。
2025-07-14 math.DS
Stable and unstable spatially-periodic canards created in singular subcritical Turing bifurcations in the Brusselator system
本文研究Brusselator系统奇异亚临界Turing分岔中的空间周期canard解，揭示其多尺度结构与分岔特性，明确折叠奇点的canard是亚临界分岔的新选择机制。
2025-09-05 math.DS
Bifurcation of limit cycles from a non-smooth perturbation of a two-dimensional isochronous cylinder
检测非光滑向量场中极限环的产生是近年来动力系统理论和应用科学中的一个重要问题。研究了$\mathbb{R}^{3}$中二维向量场等距柱面上周期轨道的连续性的极限环分支。该方法包括非光滑向量场的正则化过程和基于Malkin分支函数的$C^{0}$扰动方法。这些结果提供了通过光滑和非光滑扰动获得圆柱出现极限环的充分条件，并首次说明了基于Malkin分支函数的一种新方法的实现.此外，还研究了与光滑扰动相比，非光滑扰动分支出的极限环个数的问题。总之，所得结果对$\mathbb{R}^{3}$中的非光滑向量场的极限环有了更好的认识，并明确了一种通过对余维为1的欧氏流形进行非光滑扰动来获得极限环的方法.
2014-04-09 math.DS
Perturbation of a Nonsmooth Supercritical Hopf Bifurcation
物理模型的非光滑公式很常见，特别是在气候建模中。然而，在许多这些模型中，这种建模选择几乎没有理由，并且没有数学迹象表明非光滑系统中的结果行为与类似光滑系统中出现的行为一致。我探讨这个问题，通过分析一个特定的气候例子中的光滑和非光滑的Hopf分岔之间的关系。证明了在一个极限参数的微小变化下，非光滑分岔对光滑分岔的扰动。
2016-01-28 math.DS
Normal form for singular Bautin bifurcation in a slow-fast system with Holling type III functional response
本文针对第一Lyapunov系数为零的情形，研究带弱Allee效应和Holling III型功能反应的快慢捕食者-猎物系统，推导第二Lyapunov系数解析表达式与余维2奇异Bautin分岔规范形，揭示多种复杂动力学并通过数值模拟验证。
2023-07-22 math.DS
On the stability of singular Hopf bifurcation and its application
针对慢快系统奇异Hopf分岔在A=0时的退化情形，本文结合Blow-up、规范形与Lyapunov系数公式给出第一Lyapunov系数的高阶近似，并应用于具Allee效应的捕食者-食饵模型，揭示超临界与亚临界Hopf分岔可共存，证明系统环性为1。
2024-06-06 math.DS
Bifurcation of periodic orbits by perturbing $n$-dimensional piecewise smooth differential systems with two switching planes
本文考虑具有两个切换平面的分段光滑可积微分系统的一般摄动问题。首先，当未扰动系统具有一族周期轨道时，导出了一阶Melnikov向量函数，该函数可用于研究周期环分叉出的周期轨道的个数。然后，利用所得到的Melnikov向量函数，得到了具体的$n$维分段光滑微分系统周期轨道个数的一个上界.
2020-02-25 math.DS
Canard explosion and relaxation oscillation in planar, piecewise-smooth, continuous systems
光滑系统中的经典鸭式爆炸结果要求向量场至少为$C^3$，因为鸭式循环是由霍普夫分叉产生的。非光滑平面系统中鸭翼的研究是最近的，迄今为止仅限于分段线性或分段光滑范德波尔系统，其中临界流形的极值来自非光滑性。在这两种情况下，鸭式（或鸭式）爆炸是通过一个非光滑的分叉创建的缓慢零倾通过临界流形的一个角落。此外，这些系统有可能出现超爆炸分叉，其中鸭式爆炸被跳过。本文将结果扩展到更一般的分段光滑系统，寻找通过光滑或非光滑分叉创建周期轨道的条件。在分叉是非光滑的情况下，建立了确定分叉是超爆炸还是鸭翼的条件。
2016-02-08 math.DS
Bifurcation of limit cycles from the global center of a class of integrable non-Hamilton system under perturbations of piecewise smooth polynomials
本文利用切换线$y=0$扰动三次分段光滑多项式内的平面多项式向量场$\mathcal{X}(x,y)=(-y(x^2+a^2),x(x^2+a^2))$（$a\neq0$）的全局中心.利用一阶平均函数，证明了周期环分叉出的极限环个数的更精确界为6。
2019-04-11 math.DS
Lyapunov coefficients for Hopf bifurcations in systems with piecewise smooth nonlinearity
受受控船舶操纵中出现的模型的启发，我们分析了具有分段光滑非线性部分的系统的Hopf分支。特别是，我们推导出明确的公式的第一个李雅普诺夫系数的泛化到这个设置。这一般决定了分支的方向（超临界与亚临界），但一般来说，这不同于任何固定的向量场的平滑。我们专注于非光滑非线性的形式$u_i|u_j|$，但我们的结果制定在更广泛的一般性系统在任何维度的分段光滑的非线性部分。此外，我们讨论了一些余维一退化，并将结果应用到一个模型的摆振轮。
2023-01-19 math.DS
The creation of strange non-chaotic attractors in non-smooth saddle-node bifurcations
我们提出了一个一般的机制，通过该机制，在准周期强迫系统中的不变曲线碰撞过程中产生奇怪的非混沌吸引子（SNA）。这种机制首先讨论了一个启发式的水平，并通过模拟。在所考虑的例子中，一个稳定的和一个不稳定的不变圆经历鞍结分岔，但在歧点存在一个奇怪的非混沌吸引子-排斥子对，而不是一个中立的不变曲线。这个过程是伴随着一个非常典型的行为的不变曲线之前，他们的碰撞，我们称之为“峰值的指数演变”。这个观察，然后给出了一个严格的描述非光滑鞍结分岔。的非光滑的分叉和由此产生的SNA的存在建立通过发生“汇源轨道”，这意味着轨道与积极的李雅普诺夫指数向前和向后的时间。为了证明该方法的灵活性，我们讨论了它的应用程序的一些参数的家庭，包括所谓的哈珀地图。此外，我们证明了存在奇怪的非混沌吸引子具有一定的内在对称性，因为它们发生在非光滑的干草叉分岔。
2007-08-20 math.DS
Non-Smooth Saddle-Node Bifurcations of Forced Monotone Interval Maps I: Existence of an SNA
研究了单参数拟周期强迫单调区间映射族，给出了系统存在非一致双曲吸引子的参数的充分条件。这等价于存在一个汇源轨道，也就是说，一个在时间上向前和向后都具有正的李雅普诺夫指数的轨道。吸引子本身是具有负李雅普诺夫指数的非连续不变图，通常称为“SNA”。与以前在这方面的结果不同，我们的条件在纤维映射中是C^2-开的。应用斜积鞍结分支的一般结果，得到了相应族中出现非光滑分支的一个结论。显式的例子显示了派生语句的适用性。
2013-08-06 math.DS
Escape, Oscillatory Relapse or Elimination: A Geometric Blow-up Analysis of a Tumour Model with Singular Bifurcations
Imagination Corp.（想象公司）；Department of Applied Mathematics, Fictional University（虚构大学应用数学系）；School of Mathematics and Statistics, The University of Sydney（悉尼大学数学与统计学院）
本文利用几何奇异摄动理论和爆破方法，结合参数化方法，严格证明了肿瘤模型中的稳定松弛振荡和瞬态大偏移，并揭示了多种奇异分岔，为肿瘤复发和消除提供了数学基础。
2026-09-23 math.DS
Bifurcation of Limit Cycles from a Fold-Fold Singularity in a Glacial Cycles Model
University of Texas at Dallas（德克萨斯大学达拉斯分校）；University of Hawaii at West Oahu（夏威夷西欧胡大学）
本文研究了在参数变化下，两个向量场在切换平衡点处与不连续超平面相切形成退化 fold-fold 奇点时分岔出吸引性极限环的动力学机制，并在冰川周期概念模型中发现了该机制。
2025-11-04 math.DS
Bifurcation loci of families of finite type meromorphic maps
本文证明有限型亚纯映射族中J-稳定性开且稠密，推广了有理映射与整函数的相关结果，关键在于研究周期轨道离开定义域这一新型分岔及其与奇异值分岔的关系。
2023-09-19 math.DS
Twenty Hopf-like bifurcations in piecewise-smooth dynamical systems
对于许多物理系统，从稳态解到持续的小振幅振荡的过渡对应于Hopf分岔。然而，对于涉及冲击、阈值、开关或其他突发事件的系统，这种转变可以以根本不同的方式实现。本文综述了20个具有状态依赖切换规则的二维常微分方程系统的“类霍普夫”分支。这些分岔包括边界平衡分岔、平衡点或折叠点的碰撞或稳定性的改变以及由滞后或时滞产生的极限环。在每种情况下，一个稳定的解决方案改变稳定性和可能的形式，并发出一个极限环。每个分支定量分析的一般设置：我们确定的数量，支配的发病，临界性和通用性的分歧，并确定所产生的极限环的周期和振幅的标度律。基于庞加莱映射的渐近展开，提供了完整的推导。其中许多是新的，以前只对分段线性系做过。分叉整理和比较，使动态观测可以匹配的几何机制负责创建一个极限环。结果与冲击振荡器，继电器控制，自动平衡控制，捕食系统，海洋环流，和McKean和Wilson-Cowan神经元模型。
2019-05-03 math.DS
Fold-Saddle Bifurcation in Non-Smooth Vector Fields on the Plane
本文给出了由向量场控制的二维分段光滑动力系统的分岔结果。研究了一类非光滑向量场的通有三参数族，并给出了它的分支图。我们的主要结果描述了所谓的折叠鞍奇点的展开。
2010-07-20 math.DS math.GM
Typical one-parameter bifurcations of gradient flows with at most six singular points on the 2-sphere with holes
在流的奇点个数至多为6的情况下，给出了带孔2-球面上梯度流典型单参数分支的所有可能的拓扑结构。为了描述结构，我们用流的分界线图。在分叉前的流场图中选择一条分界线来确定鞍结奇点，而鞍形连接则由一条连接两个鞍点的分界线来确定。
2023-03-27 math.DS math.GT
Regularizations of two-fold bifurcations in planar piecewise smooth systems using blow up
利用Blowup方法研究了平面分段光滑（PWS）动力系统中余维1二重奇点的正则化问题。我们重点研究了PWS系统中可能出现的奇异鸭翼、伪均衡和极限环。利用Sotomayor和Teixeira \cite{Sotomayor96}的正则化方法，我们严格地证明了奇异鸭翼是如何持续存在的，以及在正则化系统中伪平衡点的分支与平衡点的分支之间的关系.我们还表明，PWS极限环连接到正则化的Hopf分支。此外，我们展示了如何正则化可以创建另一种类型的极限环，似乎不存在于原来的PWS系统。对于这两种类型的极限环，我们表明，产生周期轨道的Hopf分支的临界性强烈依赖于精确形式的正则化。最后，我们分析的极限环的正则化的周期轨道的局部唯一的家庭和连接，如果可能的话，到极限环的PWS系统。我们用数值模拟说明了我们的分析，并展示了正则化系统如何发生鸭式爆炸现象。
2015-07-24 math.DS
Non-smooth Bifurcations of Mean Field Systems of Two-Dimensional Integrate and Fire Neurons
最近已经推导出了平均场系统，可以充分预测耦合积分和激发神经元的大型网络的行为[14]。具有尖峰频率自适应的神经元网络的平均场系统通常是用于网络的平均自适应和平均突触门控变量的一对微分方程。这些微分方程是非光滑的，特别是分段光滑连续（PWSC）。在这里，我们分析了这些方程的光滑和非光滑分支结构，并表明该系统是围绕一对余维2分支，分别涉及，碰撞之间的Hopf平衡点和切换流形，和鞍结平衡点和切换流形。这两个余维2分岔可以合并成一个余维3非光滑分岔。由于我们所研究的平均场系统是一个非一般的分段光滑连续系统，我们讨论了这个系统可能的正则化，以及如何发生的分叉与一般PWSC系统所显示的非光滑分叉。
2014-08-20 math.DS q-bio.NC
Structure of the codimesion one gradient flows with at most six singular points on the Möbius strip
该研究针对莫比乌斯带上至多含6个奇点的情形，利用分界线图刻画了Morse流的所有拓扑结构与典型单参数梯度分岔，明确了鞍结分岔和鞍连接的确定方式。
2024-04-04 math.DS
Bifurcation of limit cycles from a fold-fold singularity in planar switched systems
防抱死制动系统（ABS）是这项研究的主要动机。ABS控制器根据车轮的角速度和加速度来切换制动缸液压执行器中的充液阀和卸液阀的动作。因此，控制器由不连续的微分方程建模，其中两个平滑的向量场由切换流形S分离。控制器的目标是在制动期间最大化轮胎-路面摩擦力（并且特别地，防止车轮锁定）。由于车轮的最佳滑移L是相当近似地已知的，所以控制器的实际目标是实现这样的切换策略，该切换策略使得动态收敛到围绕L的预期值的区域的极限环。在本文中，我们证明了所需的极限环可以得到作为一个分支从点x 0的S时，适当的参数D过0。点x 0是一个折叠-折叠奇点（S两边的向量场在x 0处相切），参数D测量了切换流形与超平面的偏差。所提出的结果是基于经典的折叠分歧理论的光滑映射的扩展。构造一个合适的光滑映射是证明的关键步骤。
2016-04-15 math.DS
Singular Turing bifurcations and spatial canard solutions in nonlinear reaction-diffusion systems
Boston University（波士顿大学）；Monash University（莫纳什大学）
本研究针对一类非线性反应扩散方程，解析证明了奇异图灵分岔产生的空间周期解为鸭解，具有快慢结构和更快的振幅增长，并揭示了其由可逆折叠鞍结奇性的真/假鸭解机制驱动。
2026-09-09 math.DS
Classifications and bifurcations of tangent points and their loops of planar piecewise-smooth systems
本文针对平面分段光滑系统中切点及其连接环，提出按切触阶数和构型进行分类，并通过构造显式开折研究一般切触阶数下的分岔，得到了切触阶数与分岔切点、切轨道及环数目之间的关系。
2024-04-30 math.DS
Non-smooth saddle-node bifurcations III: strange attractors in continuous time
非光滑鞍结分岔产生了由所谓的奇异非混沌吸引子构成的有趣几何的最小集合。我们证明了一类拟周期驱动的Logistic微分方程的非光滑分支。利用已有的关于强迫离散动力系统非光滑分岔的结果，得到了在一类拟周期驱动的微分方程族中，非光滑鞍结分岔发生在具有非空C2-内部的集合中.
2015-12-29 math-ph math.CA math.DS
On three-parameter families of Filippov systems -- the fold-saddle singularity
本文给出了二维分段光滑向量场的分支问题的一些结果。特别地，我们考虑了Filippov系统的余维三折叠鞍奇点的通有开折，其中边界鞍和折叠重合，并给出了分支图。
2012-10-29 math.DS
Symmetry-breaking singular controller design for Bogdanov-Takens bifurcations with an application to Chua system
对具有Bogdanov-Takens奇点的等变光滑微分系统，给出了一个完全的破界分岔控制。控制器系数空间被关键控制器集划分为不同的连通区域。连通区域为受控系统的所有定性不同的动态提供分类。因此，一个状态反馈控制器的设计与四个小的控制器系数，提出了一个有效的和完整的奇异性破坏控制。我们的方法适用于非线性控制系统可控和不可控的线性化。原点是不受控系统的初始平衡点。这就产生了两个次级局部平衡的控制系统。这些平衡进一步经历三级折叠和滞后型分叉。次级平衡和初级平衡经历Hopf和Bautin分叉，导致初级平衡出现一个极限环，次级平衡出现一个或两个极限环。极限环与平衡点的碰撞导致一个异宿环或四个不同的同宿环。每对极限环可以分别合并在一起并消失。这是一个极限环的鞍结分岔。这些因素的不同组合产生了丰富的分叉情景清单。这些分歧的有限决定性已被彻底调查。这极大地影响了它们在应用中的稳定潜力。本文考虑具有二次状态反馈控制器的Chua系统。受控Chua系统经历了一个分叉、三个Hopf分叉和两个同宿分叉。反馈正则化存在两个不同的控制器系数选择区域，超临界Hopf镇定方法存在两个相邻区域。
2023-03-29 math.AP math.DS
Variables Scaling to Solve a Singular Bifurcation Problem with Applications to Periodically Perturbed Autonomous Systems
通过变量的线性标度，我们将$\R^n$中的奇异分岔方程转化为一个等价方程，经典的隐函数定理可直接应用于该方程。这使得推导出存在一个独特的分支的解决方案，以及相关的属性的频谱的衍生物的奇异分支方程沿分支。利用这些结果，我们证明了一个由一个无扰动自治系统的$T$-周期极限环分支出的$T$ -周期扰动自治系统的周期解的存在性、唯一性和渐近稳定性.这个问题是经典的，但所提出的方法的新颖之处在于，它允许我们解决这个问题，没有任何减少的状态空间的维度，因为它通常是在文献中通过的Lyapunov-Schmidt方法。
2009-09-23 math.CA math.DS
Classification of Singularities and Bifurcations of Critical Points of Even Functions
研究了偶光滑函数的奇异性。给出了不超过五个参数的偶函数的典型参数族中奇点的分类。研究了参数焦散值附近的奇点分叉。奇异性类型和条件的行列式的偏导数（不需要一个初步的规范形式减少）。
2012-12-18 math-ph math.DG math.DS
Stable and non-symmetric pitchfork bifurcations
本文基于拓扑论证，给出了光滑向量场分叉的一个判据。我们的结果扩展了Rajapakse和Smale的结果\cite{RS2}。基于我们的判据，我们给出了一类经历分叉的非对称向量场族。
2018-11-07 math.DS
Canard-like phenomena in piecewise-smooth Van der Pol systems
我们证明了一个非线性的、分段光滑的、平面动力系统可以表现出鸭翼现象。非线性分段光滑系统中的鸭式解和爆炸在定性上比分段线性系更类似于光滑系统中的现象，因为非线性允许鸭式从小循环过渡到鸭式“有头”。“鸭翼是在缓慢零倾线与分裂流形重合时产生的分叉。然而，在某些条件下，这种分叉会导致一种称为超级爆炸的现象，即从全局吸引周期轨道到弛豫振荡的瞬时过渡。此外，我们证明了分叉-无论是导致鸭式或超爆炸-可以是亚临界的。
2014-10-16 math.DS
Singular bifurcations in a modified Leslie-Gower model
研究具弱Allee效应的Leslie-Gower捕食系统，通过引入小时间尺度参数构建慢-快系统，利用吹胀法严格分析了由退化超越临界分岔组织的退化情形，并确定了奇异Hopf分岔的临界性，数值与解析证实了Takens-Bogdanov点的存在。
2025-03-05 math.DS nlin.CD
Bifurcations of limit cycles in piecewise smooth Hamiltonian system with boundary perturbation
本文研究边界扰动下分段光滑哈密顿系统，推导了Melnikov函数表达式，并证明极限环数量等于扰动函数正零点个数。
2019-12-20 math.DS
A notion of equivalence for linear complementarity problems with application to the design of non-smooth bifurcations
许多控制工程中感兴趣的系统都可以用线性互补性问题来建模。我们引入了一个新的概念，线性互补性问题之间的等价性，设置的基础上翻译的光滑分歧理论的强大工具，这类模型。利用这一概念的等价性，我们引入新的工具来分析，分类和设计非光滑的线性互补性问题及其互连的分叉。
2019-11-12 cs.SY eess.SY math.DS
On Bifurcation Delay: An Alternative Approach Using Geometric Singular Perturbation Theory
为了解释$\dot{x}=εf(x,z,ε)$，$\dot{z}=g(x,z,ε)z$形式的平面系统中的分岔延迟现象，其中$f(x,0,0)>0$和$g(x,0,0)$在$x$轴上至少改变一次符号，我们使用几何奇异扰动理论中的交换引理来跟踪解的极限行为.利用扩展维数的技巧克服了在转向点处的退化，证明了极限吸引点和排斥点由著名的出入函数给出，轨迹上的$z$的最大值为$\exp(-1/ε)$阶.证明了在$ε$中返回映射到任意有穷级的光滑性.
2016-07-29 math.CA math.DS
Bifurcations of grazing loops of arbitrary tangent multiplicity in piecewise-smooth systems
School of Mathematics, Sichuan University（四川大学数学学院）；School of Mathematics, China University of Mining and Technology（中国矿业大学数学学院）；School of Mathematics, Southwestern University of Finance and Economics（西南财经大学数学学院）
研究分段光滑系统中 grazing 循环在任意切乘数下的分支特性，提出新的函数扰动方法和局部化技术，建立切乘数与极限环、滑动环数量的关系。
2026-05-07 math.DS
Bifurcation of limit cycles by perturbing piecewise smooth integrable differential systems with four zones
研究了具有四个区域的分段光滑可积微分系统的极限环分支问题。当未扰动系统具有一族周期轨道时，导出了一阶Melnikov函数，该函数可用于研究从周期轨道分支出的极限环的个数.作为应用，利用一阶Melnikov函数和Picard-Fuchs方程，得到了具体分段光滑微分系统分支极限环个数的一个上界.
2022-04-14 math.CA math.DS
Dynamic tipping and cyclic folds, in a one-dimensional non-smooth dynamical system linked to climate models
研究一维非光滑动力系统（如Stommel-Box气候模型）在非光滑折叠分岔附近的临界行为，发现其临界速率更快且变化非单调，对气候系统临界预测具有重要意义。
2023-05-17 math.DS
The influence of localised randomness on regular grazing bifurcations with applications to impacting dynamics
本文研究了与碰撞振动动力学相关的分段光滑常微分方程系统的随机扰动，其中碰撞事件构成了随机性的主要来源。这种系统的特征在于存在切换流形，切换流形将相空间划分为系统光滑的区域。碰撞的起始被掠食分叉捕获，在该分叉处，描述没有碰撞的运动的周期性轨道与切换歧管形成切向相交。正则掠食分岔附近的振荡动力学是由包含平方根奇异性的分段光滑映射描述的，称为Nordmark映射。我们考虑三种情况下，有色噪声只影响影响动力学，并推导出三个二维随机Nordmark地图的噪声出现在不同的非线性或乘法的方式，这取决于噪声的来源。因此，随机动力学不同的三个噪声源之间，是根本不同的Nordmark地图与加性噪声。这种关键的依赖性的噪声的性质说明了一个原型的一个自由度的影响振荡器。
2015-02-09 math.DS
Intrinsic determination of the criticality of a slow-fast Hopf bifurcation
在平面上的慢-快系统中，慢-快Hopf（或奇异Hopf）点的存在性通常是从化为规范形的向量场的形状推导出来的。然而，将系统置于正常形式可能相当麻烦。在专著“鸭从出生到过渡”，慢-快向量场的内在介绍开始，显示动手的公式，以检查这种奇异的接触点的存在。我们推广的结果在这个意义上，可以用一个单一的公式检查的临界性的Hopf分支。我们证明了在非标准式中给出的慢-快系统上的结果，其中慢变量和快变量彼此不分离。该公式是方便的，因为它不需要任何参数化的临界曲线。
2020-05-21 math.DS
The isolated saddle-node bifurcation occurring inside a horseshoe
本文考虑一个光滑弧的非平凡不变集内的鞍结分支，该非平凡不变集是马蹄形的变形。我们证明了这种鞍结分岔是孤立的，也就是说，它的双曲性保持鞍结分岔之前和之后。此外，我们构造了一个具有相同性质的弧的$C^2$ -开集。
1998-10-19 math.DS
Different Singular Limits in a Gene Regulatory Network with Multiple Small Parameters
Institute of Analysis and Scientific Computing, TU Wien（维也纳工业大学分析与科学计算研究所）；School of Mathematical Sciences, University of Adelaide（阿德莱德大学数学科学学院）
研究具有多个小参数的基因调控网络平面常微分方程系统，通过参数空间爆破识别奇异极限，进行分岔分析与几何爆破确定动力学，揭示不同分岔情况，表明系统动力学和敏感性取决于参数相对大小，提供奇异摄动问题分析框架。
2026-07-17 math.DS
