The smallest bimolecular mass action reaction networks admitting Andronov-Hopf bifurcation
我们解决的问题，小，双分子，质量作用的化学反应网络（CRN）能够安德罗诺夫-霍普夫分叉（从这里简称为“霍普夫分叉”）。很容易证明，任何这样的网络必须至少有三个物种和至少四个不可逆反应，并且由于Wilhelm，以前已经知道这样一个网络的一个例子正好有三个物种和四个反应。在本文中，我们开发的理论和计算工具，充分分类的三种物质，四个反应，双分子CRNs，根据他们是否承认或禁止Hopf分支。我们证明了在一个自然等价下，有86个极小网络允许非退化Hopf分支。其中，我们能够决定哪些承认超临界和亚临界分岔。事实上，有25个网络，承认超临界和亚临界分岔，我们可以确认，所有25承认一个非退化的Bautin分岔。总共有31个网络可以容纳一个以上的非退化周期轨道。此外，这些网络中有29个承认稳定平衡与稳定周期轨道共存。因此，在这些小的双分子网络中，相当复杂的行为并不罕见。最后，我们可以使用先前开发的理论在CRN的动力学行为的继承来预测发生的Hopf分岔在较大的网络，其中包括网络，我们发现在这里作为子网络在自然的意义上。
2023-01-15 math.DS
Subcritical Hopf Bifurcations in the FitzHugh-Nagumo Model
结果表明，从刚性旋转螺旋波到曲折螺旋波的转变是通过一个霍普夫分岔。许多研究表明，这些分叉是超临界的，但我们目前的数值研究表明，亚临界分叉内FitzHugh-Nagumo也存在。此外，我们提出了一个证据表明，这种分歧是高度敏感的初始条件，它是可能的，以转换一个解决方案的滞后回线的其他。
2020-02-22 math.DS
On Wiener's Violent Oscillations, Popov's curves and Hopf's Supercritical Bifurcation for a Scalar Heat Equation
研究了一类非局部非自伴秩一扰动下标量Laplacian谱的参数依赖扰动。扰动谱的详细描述得到的Dirichlet边界条件上的有界区间，以及为全实数线上的问题。将所得结果应用于一个相关参数依赖的非线性非局部抛物型方程的研究。该等式对反馈系统进行建模，该反馈系统例如可以被解释为恒温器设备或者在用于市场的基于代理的价格形成模型的上下文中。证明了一类非线性非局部热传导方程的周期自振荡的存在性和稳定性。研究了一类具有Dirichlet边界条件的非线性抛物型方程和一类具有反馈边界控制的非线性Neumann边界条件的相关问题的分歧和稳定性.将非线性抛物型方程的稳定性分析归结为对一个相关的非线性Volterra积分方程的研究，然后利用积分方程的Popov准则得到了分支和稳定性结果.虽然这个问题是在标量的情况下研究，但它可以自然地推广到任意欧氏维数和流形。
2020-07-09 math.AP math.DS
Canard explosion and relaxation oscillation in planar, piecewise-smooth, continuous systems
光滑系统中的经典鸭式爆炸结果要求向量场至少为$C^3$，因为鸭式循环是由霍普夫分叉产生的。非光滑平面系统中鸭翼的研究是最近的，迄今为止仅限于分段线性或分段光滑范德波尔系统，其中临界流形的极值来自非光滑性。在这两种情况下，鸭式（或鸭式）爆炸是通过一个非光滑的分叉创建的缓慢零倾通过临界流形的一个角落。此外，这些系统有可能出现超爆炸分叉，其中鸭式爆炸被跳过。本文将结果扩展到更一般的分段光滑系统，寻找通过光滑或非光滑分叉创建周期轨道的条件。在分叉是非光滑的情况下，建立了确定分叉是超爆炸还是鸭翼的条件。
2016-02-08 math.DS
Lyapunov coefficients for Hopf bifurcations in systems with piecewise smooth nonlinearity
受受控船舶操纵中出现的模型的启发，我们分析了具有分段光滑非线性部分的系统的Hopf分支。特别是，我们推导出明确的公式的第一个李雅普诺夫系数的泛化到这个设置。这一般决定了分支的方向（超临界与亚临界），但一般来说，这不同于任何固定的向量场的平滑。我们专注于非光滑非线性的形式$u_i|u_j|$，但我们的结果制定在更广泛的一般性系统在任何维度的分段光滑的非线性部分。此外，我们讨论了一些余维一退化，并将结果应用到一个模型的摆振轮。
2023-01-19 math.DS
Hamiltonian Hopf bifurcations in Gaudin models
该研究证明su(2)有理与三角Gaudin模型存在哈密顿Hopf分岔奇点，推导了六阶分岔范式以判定退化性，用四阶项区分超/亚临界分岔，还通过图示发现模型中存在更多类型的分岔。
2024-10-09 math.DS
Hopf bifurcation and periodic solutions in a sustainable supply chain defined by a planar system of ordinary differential equations
本研究针对描述可持续供应链产品-资源相互作用的平面无时滞常微分方程组，分析其平衡点稳定性，揭示环境容量超阈值时的超临界Hopf分岔现象，推导临界阈值并经数值模拟验证，得到周期解的相关估计。
2026-08-07 math.DS
Strange attractors in periodically-kicked degenerate Hopf bifurcations
我们证明了螺旋汇（稳定焦点的向量场）可以转化为奇怪的吸引子，表现出持续的，可观察到的混沌，如果受到周期性脉动强迫。我们表明，这种现象发生在的背景下，stackally-kicked退化超临界Hopf分岔。这些结果及其证明利用了Wang和Young发展的秩一映射理论的一个新的多参数版本。
2007-06-15 math-ph math.DS math.MP
Dissipative periodic and chaotic patterns to the KdV--Burgers and Gardner equations
利用动力系统方法和Shil'nikov分析方法研究了具有耗散项和外部扰动项的KdV-Burgers和Gardner方程。平衡点的稳定性被认为是，和霍普夫分叉后，一定的缩放，减少了参数空间的三模式动力系统，现在只依赖于两个参数进行调查。霍普夫曲线将二维空间分成两个区域。在左边区域，平衡点是稳定的，导致耗散周期轨道。当改变由行波速度给出的分岔参数时，平衡点变得不稳定，从原点分岔出唯一的稳定极限环。这个极限环是一个超临界的Hopf分岔的结果，证明了使用李雅普诺夫系数与Routh-Hurwitz准则。在Hopf曲线的右侧，对于KdV-Burgers方程，我们利用Shil'nikov定理发现了同宿混沌，该定理要求构造一个同宿轨道，而对于Gardner方程，超临界Hopf分岔只导致一个稳定的周期轨道。
2019-05-28 math.DS nlin.PS
Dynamics of a $2$-dimensional slow-fast Belousov-Zabotinsky model
本文研究二维慢快 Belousov-Zhabotinsky 约化系统，刻画除一个退化情形外的全部动力学，揭示平衡点稳定性、Hopf 分岔、鸭式爆炸、弛豫振荡及双极限环共存这一新现象。
2023-12-06 math.CA math.DS
Complex oscillatory patterns near singular Hopf bifurcation in a two time-scale ecosystem
研究了一类两个捕食者在显式干扰竞争下争夺共同猎物的生态模型。通过适当的尺度变换，该模型被描述为一个具有一个快变量（食饵动力学）和两个慢变量（捕食者动力学）的奇异摄动系统。该模型表现出各种丰富和有趣的动力学，包括但不限于混合模式振荡（MMO），其特征在于串联的小振幅和大振幅振荡，弛豫振荡和半平凡的平衡态和共存振荡状态之间的双稳态。两个分支如fold-Hopf分支和广义Hopf分支的余维存在性使得系统更加吸引人。更有趣的是，在{ \emph{singular Hopf} }分岔附近，当系统分别接近超临界Hopf分岔产生的周期吸引子或半平凡平衡态时，观察到混沌MMO或弛豫振荡形式的持久瞬态动力学.在生态系统经历政权转变之前，这种短暂的动态可能会持续数百或数千代。在这个模型中出现的具有不同类型的不规则振荡的种群周期的时间序列源于生物学的现实特征，即，由捕食者之间的种内竞争的变化。为了解释这些振荡，我们使用分叉分析和方法从{ \emph{geometric singular perturbation theory} }。
2020-03-31 math.DS
Sustained Limit Cycles in the Logistic Two-Gene Genetic Oscillator: A Delay-Driven Hopf Bifurcation
本文通过引入转录延迟将逻辑双基因负反馈模型扩展为延迟微分系统，证明总延迟跨越临界值时平衡点通过Hopf分岔失稳，并给出闭式临界条件、振幅标度律及周期渐近式，校准至p53-Mdm2数据误差在3%以内。
2026-05-22 math.DS
On the stability of singular Hopf bifurcation and its application
针对慢快系统奇异Hopf分岔在A=0时的退化情形，本文结合Blow-up、规范形与Lyapunov系数公式给出第一Lyapunov系数的高阶近似，并应用于具Allee效应的捕食者-食饵模型，揭示超临界与亚临界Hopf分岔可共存，证明系统环性为1。
2024-06-06 math.DS
Singularly Perturbed Boundary-Focus Bifurcations
我们考虑光滑系统作为$ε\to 0$限制到具有边界焦点（BF）分岔的分段光滑（PWS）系统。在得到一个合适的局部规范形后，我们利用几何奇异扰动理论和爆破理论研究了含$0 < ε\ll 1$的光滑系统的动力学行为。我们发现，在PWS系统中的BF分支的类型决定的$ε-$依赖域收缩为零的$ε\to 0$，确定超临界Andronov-Hopf分支在一种情况下，和超临界Bogdanov-Takens分支在其他两种情况下的光滑系统的分支结构。我们还表明，PWS周期与BF分叉持续作为松弛周期的光滑系统，并证明存在一个家庭的稳定极限环连接的松弛周期内的$ε-$依赖域上述定期周期。我们的结果被应用到模型高斯捕食-食饵相互作用和机械振动受到摩擦。
2021-03-19 math.DS
Dynamic Coupling of Infiltration-Soil Moisture Feedback:Emergent Vegetation Patterns in a Water-Vegetation Model
本研究提出改进的水-植被模型，结合图灵斑图理论与范式理论，分析干旱半干旱生态系统中入渗-土壤水分反馈对植被格局的调控机制，揭示土壤水分阈值决定生态系统三类状态的临界转变，为预测生态 regime shift 提供数学框架。
2025-08-03 math.DS
Mathematical modeling and control of Tuberculosis: Backward and Hopf bifurcations under case-finding and case-holding interventions
Institute of Technological Development for the Chemical Industry (INTEC), CONICET-UNL（化学工业技术开发研究所（INTEC），CONICET-UNL）；Faculty of Chemical Engineering (FIQ) - CONICET-UNL（化学工程学院（FIQ）- CONICET-UNL）；National Institute of Respiratory Diseases (INER)（国家呼吸系统疾病研究所（INER））
本研究分析肺结核模型，证明无延迟或饱和效应时也可出现霍普夫分岔，聚焦病例发现与维持干预的联合影响，结合萨尔塔省数据的模拟揭示了相关动力学对公共卫生政策的挑战。
2026-08-12 math.DS
Lyapunov exponents and shear-induced chaos for a Hopf bifurcation with additive noise
本文分析二维超临界 Hopf 分岔范式在加性白噪声下的最大 Lyapunov 指数，揭示扭转因子与剪切系数如何决定同步稳定区和混沌不稳定区。
2023-12-07 math.DS math.PR
Topological Detection of Hopf Bifurcations via Persistent Homology: A Functional Criterion from Time Series
University of Minho（米尼奥大学）；Universidad del Atlántico（大西洋大学）
本文提出基于持续同调的时间序列霍普夫分岔检测方法，通过一维同调特征的出现或消失构建可计算准则，无需了解底层方程即可识别临界参数。
2026-08-24 math.AT math.DS stat.ML
A qualitative study of an anaerobic food-web reveals the importance of hydrogen for microbial stability
描述厌氧氯酚矿化的三层食物网的数学分析表明，通过其特定的生态相互作用，其中包括竞争，syntrophy和产品抑制有趣的动力学行为的出现。以前的数值分析已经揭示了通过内部平衡发生的Hopf分叉的可能性，以及在缓解周期性解的出现和扩展所需的稳定正稳态（其中发生完全矿化）中外部衬底输入的作用。在这里，我们表明，对于一个广义的模型，流入的多个基板的结果在更大的动力学复杂性，并证明发生的超临界Hopf分岔导致这些操作参数的变化。此外，使用数值估计，我们还表明，稀释率的变化可以导致Bogdanov-Takens和Bautin分叉。最后，我们能够显示应用持久性理论的一系列参数集，以证明独特的持久性的情况下，氯苯酚和氢被同时添加到系统中，反映了最近的应用研究，突出了氢在维持稳定的厌氧微生物群落的作用。
2020-02-14 math.DS
Dynamics of a Leslie-Gower type predator-prey system with herd behavior and constant harvesting in prey
本文研究带食饵群集行为与常数收获的Leslie-Gower型捕食者-食饵系统动力学，发现二者共同作用可引发多种高阶分岔，揭示其对系统动力学的强影响及生态与经济意义。
2023-11-05 math.DS
Delay Placement Governs Feasibility and Hopf Bifurcation in a Pollution-Based Tourism Model
Marmara University（马尔马拉大学）；Turkish Naval Academy, National Defence University（土耳其海军学院，国防大学）
本文比较了基于污染的旅游模型中延迟放置的八个变体，发现可行性取决于威慑项中游客因子的当前性，并分析了感知滞后模型中Hopf分岔的发生条件。
2026-09-10 math.DS q-bio.PE
Hopf normal form with $S_N$ symmetry and reduction to systems of nonlinearly coupled phase oscillators
在各种应用中发现了耦合振荡器模型，其中$N$振荡器是相同的并且以全排列对称性$S_N$对称地耦合到所有其它振荡器。许多，但不是所有的，工作的相位描述这样的系统考虑的特殊情况下，成对耦合振荡器之间。在本文中，我们证明了这是限制性的-并且我们描述了通常存在的振子之间的一般多路相互作用，除了出现振荡的霍普夫分岔附近的最低阶。我们研究了一个网络的相同的弱耦合动力系统，通过考虑两个参数，$ε$（耦合的强度）和$λ$（一个展开参数的Hopf分岔）接近超临界Hopf分岔。对于足够小的$λ>0$，存在一个吸引子，它是$N$稳定极限环的乘积;对于足够小的$ε>0$，它作为正常双曲不变环面而存在。利用等变规范形理论，导出了具有$S_N$对称性的耦合相位振子系统的一般规范形。对于固定的$N$，并采取限制$0<ε\llλ\ll 1$，我们表明，吸引动力学的系统上的环面可以很好地近似的耦合相位振荡器系统，最低阶，是众所周知的Kuramoto-Sakaguchi系统的耦合振荡器。下一阶近似一般包括具有多达四个相互作用相位的项，而与$N$无关。使用的归一化，保持非平凡的相互作用的限制$N\rightarrow \infty$，我们表明，额外的条款可以导致新的现象，在共存的两个集群状态具有相同的相位差，但不同的集群大小。
2016-02-16 math.DS nlin.AO
Saddle-node canard cycles in planar piecewise linear differential systems
应用奇异扰动方法，分析了一类奇异摄动平面分段线性（PWL）微分系统的鸭式极限环。所进行的研究涉及双曲和非双曲鸭式极限环后出现的超临界和亚临界Hopf分叉。所得结果与光滑向量场的结果完全一致。在某种意义上，手稿可以被理解为Krupa和Szmolyan [18]对光滑系统所获得结果的PWL框架的扩展。此外，还得到了一些新的慢-快行为。特别是，在超临界的情况下，并在适当的条件下，证明了极限环组织沿曲线展示两个折叠。这些褶皱中的每一个对应于鸭式极限环的鞍结分叉，一个涉及无头鸭式环，而另一个涉及有头鸭式环。这种配置允许三个鸭式极限环共存。
2020-04-14 math.CA math.DS
Analysis of Fractional Ordered Incommensurate Quadratic Jerk System
本文研究分数阶公度与非公度二次Jerk系统的Hopf分岔和混沌现象，给出分岔判据及混沌参数范围，并通过数值模拟加以验证。
2023-11-29 math.DS nlin.CD
Stabilized rapid oscillations in a delay equation: Feedback control by a small resonant delay
研究了具有奇非线性项$f$、实非零参数$λ, \, b$和两个正时滞$1,\ p/2$的纯量时滞方程$$\dot{x} (t) = λf(x(t-1)) + b^{-1} (x(t) + x(t -p/2))$$.我们假设超临界Hopf分支从$x \equiv 0$在很好理解的单延迟情况下$b = \infty$。归一化$f' (0)=1$，已知对于任何非负整数$k$，恒定最小周期$p_k = 2π/ω_k$的分支在$λ_k = (-1)^{k+1}ω_k$处从特征值$iω_k = i(k+\tfrac{1}{2})π$分叉。这些快速振荡的周期解的不稳定维数是$k$，在局部分支$k$。我们获得稳定的分支，任意大的不稳定尺寸$k$，并为，必要的，微妙的控制幅度$b < 0$狭窄的区域。对于$p$：= $p_k$，对于任何$b\neq 0$，恒定周期$p_k$的分支$k$作为解持续存在。实际上，由$b$控制的延迟反馈项在分支$k$上消失：反馈控制在那里是非侵入性的。遵循Pyragas（1992）的思想，我们寻找控制$b \neq 0$的参数区域$\mathcal{P} = (\underline{b}_k,\overline{b}_k)$，使得分支$k$在Hopf分支处局部稳定.我们确定严格的扩展$\mathcal{P}$在大$k$的限制。我们的分析是基于一个2尺度覆盖电梯的缓慢和快速…
2018-02-17 math.DS
Variational Nonlinearities and Wave Selection at an $O(2)$-Hopf Bifurcation
Marmara University（马尔马拉大学）
本文证明在 $O(2)$-Hopf 分岔中，变分非线性结构强制三次系数实部消失，从而决定行波与驻波的稳定性选择。
2026-09-22 math.AP math.DS nlin.PS
