Generic bifurcation of certain piecewise smooth vector fields
本文给出了由向量场控制的二维分段光滑动力系统的分岔结果。研究了一类非光滑向量场的一般三参数族，并给出了分歧图。我们的主要结果描述了所谓的共振$Fold-Saddle$奇异性的展开。
2021-02-11 math.DS
A Compendium of Hopf-Like Bifurcations in Piecewise-Smooth Dynamical Systems
这封信概述了20个几何机制，其中极限环是本地创建的二维分段光滑系统的常微分方程。这些包括混合系统、Filippov系统和连续系统的边界平衡分叉，以及由折叠和添加滞后或时滞产生的极限环。的极限环的振幅和周期的标度律进行比较（经典）的霍普夫分岔。
2018-04-30 math.DS
Extended normal forms for one-dimensional border-collision bifurcations
针对一维边界碰撞分岔，本文通过在范式中添加额外项，将拓扑共轭提升为可微共轭，解释了标准范式斜率选择的特权性，强调了可微共轭与扩展范式的重要性。
2024-07-23 math.DS
Local bifurcations in a class of piecewise-smooth Filippov systems with a nonregular switching curve via a nonlinear double regularization process
Universidade Estadual Paulista Julio de Mesquita Filho（圣保罗州立大学）；Universidade de São Paulo（圣保罗大学）；Universitat Autònoma de Barcelona（巴塞罗那自治大学）
本文通过非线性双正则化过程研究一类具有非规则切换曲线的分段光滑Filippov系统中局部分岔的保持与变化
2026-02-04 math.DS
Shrinking Point Bifurcations of Resonance Tongues for Piecewise-Smooth, Continuous Maps
共振舌是参数空间的锁模区域，其中出现稳定的周期解;它们通常出现在例如Neimark-Sacker分叉附近。对于分段光滑的连续映射，这些舌头在双参数分叉图中通常具有独特的透镜链（或香肠）形状。我们给出了一类“旋转”周期解的符号描述，显示透镜链结构的一般$N$维映射。然后，我们展开余维2，收缩点分叉，其中舌头的宽度为零。一些余维一分叉曲线从收缩点发出，我们确定那些形成舌头的边界。
2008-09-20 math.DS
Alternate Pacing of Border-Collision Period-Doubling Bifurcations
与经典分叉不同，边界碰撞分叉发生在例如连续分段$\mathcal{C}^{1}$映射的不动点穿过状态空间中的边界时。虽然经典分岔已经被研究了很多，边界碰撞分岔还没有得到很好的理解。本文考虑一类特殊的边界碰撞分岔，即，边界碰撞倍周期分岔我们应用一个次谐波扰动的分叉参数，这也被称为交替起搏，我们调查的反应下，这样的起搏附近的原始歧点。由此产生的行为的特征在于定量的增益，这是响应幅度的比值施加的扰动幅度。边界碰撞倍周期分岔中的增益对参数的依赖性与经典倍周期分岔中的增益有质的不同。也许令人惊讶的是，如果增益相对于扰动幅度（在分叉参数固定的情况下）进行绘制，则比如果相对于分叉参数（在扰动幅度固定的情况下）进行绘制，则差异更明显。当这个观察被利用时，交替起搏下的增益提供了一个有用的实验工具来识别边界碰撞倍周期分叉。
2006-09-13 math-ph math.DS math.MP
Border-collision bifurcations from stable fixed points to any number of coexisting chaotic attractors
在不同的物理系统中，稳定的振荡解通过边界碰撞分叉演化为更复杂的动力学行为。在数学上，当参数变化时，分段光滑映射的稳定不动点与切换流形碰撞时，会发生这些。本文的目的是强调在随后的动态可能的极端复杂性。我们扰动$n \ge 2$维度的边界碰撞规范型的实例，其中$n^{\rm th}$是具有由$k \ge 2$不相交区间组成的混沌吸引子的相同斜帐篷映射的直积。由此产生的地图有共存的吸引子，我们使用伯恩赛德的引理计数的数量相互不相交的捕获区域采取工会的笛卡儿积轻微扩大的不相交的间隔。吸引子被证明是混沌的，证明了一些的映射是分段扩展的。由此产生的过渡从一个稳定的不动点到许多共存的混沌吸引子是发生在整个开放的参数空间的子集，并没有被破坏，通过添加高阶项的规范形式，因此可以预期一般出现在数学模型。
2022-07-21 math.DS
Border-collision bifurcations in a driven time-delay system
我们发现，一个简单的分段线性系统的时间延迟和周期性强迫引起丰富的分叉结构的环面分叉和阿诺德舌头，以及多稳定性在很大一部分的参数空间。我们的模型的简单性，使我们能够研究分析的动力学特征。具体而言，这些功能的解释在相关的庞加莱映射的边界碰撞分叉。考虑到时间延迟和周期强迫是数学模型中的常见成分，这种分析提供了广泛适用的见解。
2020-02-10 math.DS nlin.CD
Bifurcation of limit cycles in piecewise holomorphic systems separated by two external circles
本文研究由两个外圆分隔的三区域分片全纯系统扰动线性中心时极限环的分支数量，并证明在特定构型下四次系统至少存在十六个极限环。
2026-10-07 math.DS
Bifurcation of periodic orbits by perturbing $n$-dimensional piecewise smooth differential systems with two switching planes
本文考虑具有两个切换平面的分段光滑可积微分系统的一般摄动问题。首先，当未扰动系统具有一族周期轨道时，导出了一阶Melnikov向量函数，该函数可用于研究周期环分叉出的周期轨道的个数。然后，利用所得到的Melnikov向量函数，得到了具体的$n$维分段光滑微分系统周期轨道个数的一个上界.
2020-02-25 math.DS
Bifurcation of limit cycles from the global center of a class of integrable non-Hamilton system under perturbations of piecewise smooth polynomials
本文利用切换线$y=0$扰动三次分段光滑多项式内的平面多项式向量场$\mathcal{X}(x,y)=(-y(x^2+a^2),x(x^2+a^2))$（$a\neq0$）的全局中心.利用一阶平均函数，证明了周期环分叉出的极限环个数的更精确界为6。
2019-04-11 math.DS
Canard explosion and relaxation oscillation in planar, piecewise-smooth, continuous systems
光滑系统中的经典鸭式爆炸结果要求向量场至少为$C^3$，因为鸭式循环是由霍普夫分叉产生的。非光滑平面系统中鸭翼的研究是最近的，迄今为止仅限于分段线性或分段光滑范德波尔系统，其中临界流形的极值来自非光滑性。在这两种情况下，鸭式（或鸭式）爆炸是通过一个非光滑的分叉创建的缓慢零倾通过临界流形的一个角落。此外，这些系统有可能出现超爆炸分叉，其中鸭式爆炸被跳过。本文将结果扩展到更一般的分段光滑系统，寻找通过光滑或非光滑分叉创建周期轨道的条件。在分叉是非光滑的情况下，建立了确定分叉是超爆炸还是鸭翼的条件。
2016-02-08 math.DS
Bifurcation of limit cycles in piecewise quadratic differential systems with an invariant straight line
研究了一类具有不变直线的分段二次多项式微分系统的中心焦点问题。分离曲线也是一条不恒定的直线。我们提供的家庭在原点有一个弱焦点的极大序模。在连续类中，循环性问题也得到了解决，是$3$这样的最大数。对于不连续但不含滑动段的情形，证明了小振幅$7$极限环的存在性。
2022-03-31 math.DS
Lyapunov coefficients for Hopf bifurcations in systems with piecewise smooth nonlinearity
受受控船舶操纵中出现的模型的启发，我们分析了具有分段光滑非线性部分的系统的Hopf分支。特别是，我们推导出明确的公式的第一个李雅普诺夫系数的泛化到这个设置。这一般决定了分支的方向（超临界与亚临界），但一般来说，这不同于任何固定的向量场的平滑。我们专注于非光滑非线性的形式$u_i|u_j|$，但我们的结果制定在更广泛的一般性系统在任何维度的分段光滑的非线性部分。此外，我们讨论了一些余维一退化，并将结果应用到一个模型的摆振轮。
2023-01-19 math.DS
Twenty Hopf-like bifurcations in piecewise-smooth dynamical systems
对于许多物理系统，从稳态解到持续的小振幅振荡的过渡对应于Hopf分岔。然而，对于涉及冲击、阈值、开关或其他突发事件的系统，这种转变可以以根本不同的方式实现。本文综述了20个具有状态依赖切换规则的二维常微分方程系统的“类霍普夫”分支。这些分岔包括边界平衡分岔、平衡点或折叠点的碰撞或稳定性的改变以及由滞后或时滞产生的极限环。在每种情况下，一个稳定的解决方案改变稳定性和可能的形式，并发出一个极限环。每个分支定量分析的一般设置：我们确定的数量，支配的发病，临界性和通用性的分歧，并确定所产生的极限环的周期和振幅的标度律。基于庞加莱映射的渐近展开，提供了完整的推导。其中许多是新的，以前只对分段线性系做过。分叉整理和比较，使动态观测可以匹配的几何机制负责创建一个极限环。结果与冲击振荡器，继电器控制，自动平衡控制，捕食系统，海洋环流，和McKean和Wilson-Cowan神经元模型。
2019-05-03 math.DS
Existence of Closed Orbit in Piecewise Continuous Matsumoto-Chua System
本文研究了分段连续Matsumoto-Chua系统闭轨存在的条件。我们感兴趣的是在一个伪鞍结分支的第一个返回的应用程序。在这个分支中，闭轨被转移到稳定的不动点。
2014-05-30 math.DS
Noninvertibility and Bifurcation Phenomena in a Four-Partitions Piecewise Linear Map
Pibilsongkram Rajabhat University（碧披颂堪皇家大学）
研究由四个分区定义的二维分段线性映射的全局动力学与分岔结构，分析不动点稳定性，揭示周期2动力学由翻转分岔引发，更高周期周期通过折叠边界碰撞分岔出现，还研究了退化参数区域，证明吸收不变区间存在及确定混沌动力学参数区。
2026-07-16 math.DS
Shilnikov-type Dynamics in Three-Dimensional Piecewise Smooth Maps
本文证明了一般离散三维分段光滑映射的Shilnikov型动力学和分支行为的存在性，并给出了这种动力学行为发生的解析结果。我们的主要例子实际上显示了一个“双侧”Shilnikov动力学，即边界两侧不动点的一维本征流形的同时循环和同宿相交。我们还提出了两种互补的方法来分析返回时间的轨道的边界：一个基于递归和另一个基于复杂的插值。
2019-03-26 math.DS
Regularizations of two-fold bifurcations in planar piecewise smooth systems using blow up
利用Blowup方法研究了平面分段光滑（PWS）动力系统中余维1二重奇点的正则化问题。我们重点研究了PWS系统中可能出现的奇异鸭翼、伪均衡和极限环。利用Sotomayor和Teixeira \cite{Sotomayor96}的正则化方法，我们严格地证明了奇异鸭翼是如何持续存在的，以及在正则化系统中伪平衡点的分支与平衡点的分支之间的关系.我们还表明，PWS极限环连接到正则化的Hopf分支。此外，我们展示了如何正则化可以创建另一种类型的极限环，似乎不存在于原来的PWS系统。对于这两种类型的极限环，我们表明，产生周期轨道的Hopf分支的临界性强烈依赖于精确形式的正则化。最后，我们分析的极限环的正则化的周期轨道的局部唯一的家庭和连接，如果可能的话，到极限环的PWS系统。我们用数值模拟说明了我们的分析，并展示了正则化系统如何发生鸭式爆炸现象。
2015-07-24 math.DS
Nonsmooth bifurcations in families of one-dimensional piecewise-linear quasiperiodically forced maps
Universitat de Barcelona（巴塞罗那大学）
本文研究了一类一维分段线性准周期强迫映射族的非光滑双曲点，证明了存在非光滑倍周期双曲点及奇怪非混沌吸引子。
2026-01-12 math.DS
Robust Devaney chaos in the two-dimensional border-collision normal form
在$\mathbb{R}^2$上的所有非退化的、连续的、两段的、分段线性映射的集合可以被简化为一个四参数族，称为二维边界碰撞范式。我们证明了在整个参数空间的开放区域，这个家庭有一个吸引子满足Devaney的混沌定义。这加强了现有的结果的鲁棒性的混沌分段线性映射。我们进一步表明，鞍不动点的稳定流形，尽管是一个一维的对象，密集地填充一个开放的区域包含吸引子。最后，我们确定了一个异宿分岔，以前没有描述过，在吸引子经历了危机，可能会被摧毁。
2021-11-25 math.DS
Border collision bifurcations of stroboscopic maps in periodically driven spiking models
在这项工作中，我们考虑了一个一般的非自治的混合系统的基础上的集成和消防模型，广泛使用的简化版本的神经元模型和其他类型的可兴奋系统。我们唯一的假设是系统是单调的，具有一个吸引的阈下平衡点，并由周期脉冲（方波）函数驱动。与经典方法相比，在我们的方法中，我们使用频闪图（时间- $T$返回图），而不是所谓的点火图。它变成了一个不连续的映射，可能定义在无限多个分区中。通过将理论应用于分段光滑系统，我们避免了依赖于特定的计算，并且我们开发了一种新的方法，可以很容易地扩展到具有其他拓扑结构（扩展动力学）和更高维度的系统。更准确地说，我们严格地研究了由脉冲的幅度和占空比形成的二维参数空间中的分叉结构。我们表明，它是由周期增加结构的周期轨道的存在区域所覆盖。它们不仅完全描述了所有可能的尖峰渐近动力学，而且还描述了放电率的行为，这是一个魔鬼的楼梯作为参数的函数。
2013-11-22 math.DS
Slow passage through a Hopf-like bifurcation in piecewise linear systems: application to elliptic bursting
多时标动力系统中普遍存在慢通过Hopf分岔的现象，即用一个慢变量代替一个静态参数，使得到的慢-快系统的解感受到具有时滞的Hopf分岔的影响.这种现象在光滑的慢-快动力系统中得到了很好的理解。在目前的工作中，我们首次研究这种现象在分段线性（PWL）慢-快系统。这类特殊的系统确实可以重现光滑系统的所有特征，同时更适合于定量分析，并提供一定程度的简化，特别是通过规范（线性）慢流形的存在。我们提供的条件PWL慢-快系统表现出一个缓慢的通道，通过一个类似的霍普夫分叉，在链接的线性区域的数量考虑在系统中和规范吸引和排斥慢流形之间可能的连接。在这样做时，我们充分描述了所谓的way-in/way-out函数。最后，我们研究了这种慢通道效应在土井熊谷模型，神经元PWL模型表现出椭圆爆发振荡。
2021-11-24 math.DS
Canard-like phenomena in piecewise-smooth Van der Pol systems
我们证明了一个非线性的、分段光滑的、平面动力系统可以表现出鸭翼现象。非线性分段光滑系统中的鸭式解和爆炸在定性上比分段线性系更类似于光滑系统中的现象，因为非线性允许鸭式从小循环过渡到鸭式“有头”。“鸭翼是在缓慢零倾线与分裂流形重合时产生的分叉。然而，在某些条件下，这种分叉会导致一种称为超级爆炸的现象，即从全局吸引周期轨道到弛豫振荡的瞬时过渡。此外，我们证明了分叉-无论是导致鸭式或超爆炸-可以是亚临界的。
2014-10-16 math.DS
Limit Cycles in Piecewise Quadratic Kolmogorov Systems
本文研究分段二次Kolmogorov系统，解决中心问题并分析穿越型极限环分岔，发现分段情形至少存在六个极限环，且最大弱焦点阶数不决定小振幅极限环的最大数量。
2025-09-07 math.DS
Bifurcations of limit cycles in piecewise smooth Hamiltonian system with boundary perturbation
本文研究边界扰动下分段光滑哈密顿系统，推导了Melnikov函数表达式，并证明极限环数量等于扰动函数正零点个数。
2019-12-20 math.DS
Classifications and bifurcations of tangent points and their loops of planar piecewise-smooth systems
本文针对平面分段光滑系统中切点及其连接环，提出按切触阶数和构型进行分类，并通过构造显式开折研究一般切触阶数下的分岔，得到了切触阶数与分岔切点、切轨道及环数目之间的关系。
2024-04-30 math.DS
Three forms of dimension reduction for border-collision bifurcations
本文研究边界碰撞分岔中的降维问题，证明在特征值连续条件下，系统局部不变集位于低维流形，从而减少变量分析混沌动力学，并与其他两种余维二情形比较。
2024-12-15 math.DS nlin.CD
Grazing-sliding bifurcations creating infinitely many attractors
当分段光滑常微分方程组的参数变化时，当周期轨道与系统不连续的曲面碰撞时，系统会发生分岔。在一定条件下，这是一个掠滑分岔。近掠滑分岔结构稳定的动力学捕获分段线性连续映射。最近，它表明，这类映射可以有无穷多个渐近稳定的简单型周期解。在这里，这个结果被用来表明，在一个掠滑分岔渐近稳定的周期轨道可以分叉成无穷多个渐近稳定的周期轨道。对于一个抽象的常微分方程系统的周期轨道继续数值揭示随后的分叉处，他们被摧毁。
2017-05-31 math.DS
Global dynamics and unfolding of planar piecewise smooth quadratic quasi-homogeneous differential systems
本文研究了平面分段光滑二次拟齐次非齐次多项式微分系统的全局动力学和分支。给出了分段光滑二次拟齐次系统中心存在的充分和必要条件。而且，如果中心存在，则它是全局非等距的，这在光滑二次拟齐次系统中是不可能出现的。然后研究了分段光滑二次拟齐次非齐次系统的全局结构。最后研究了分段光滑二次拟齐次中心的极限环分支，并应用Melnikov方法对分段光滑近哈密顿系统给出了从中心的周期轨道分支出的极限环的最大个数.
2017-08-11 math.DS
Bifurcations of grazing loops of arbitrary tangent multiplicity in piecewise-smooth systems
School of Mathematics, Sichuan University（四川大学数学学院）；School of Mathematics, China University of Mining and Technology（中国矿业大学数学学院）；School of Mathematics, Southwestern University of Finance and Economics（西南财经大学数学学院）
研究分段光滑系统中 grazing 循环在任意切乘数下的分支特性，提出新的函数扰动方法和局部化技术，建立切乘数与极限环、滑动环数量的关系。
2026-05-07 math.DS
Bifurcation of Limit Cycles from a Periodic Annulus Formed by a Center and Two Saddles in Piecewise Linear Differential System with Three Zones
本文研究了具有三个被两条平行直线隔开的区域的不连续平面分段线性Hamilton微分系统，使得定义分段线性Hamilton微分系统的线性微分系统具有一个中心和两个鞍点，可以从周期环分支出的极限环的个数.也就是说，在两条平行线之间的区域中的线性微分系统（即中心子系统）具有中心，并且其它子系统具有鞍。我们证明了，如果中心子系统有一个真正的或边界中心，那么我们至少有六个极限环分叉的周期环的线性扰动，四个通过三个区域和两个通过两个区域。现在，如果中心子系统有一个虚中心，那么我们至少有四个极限环通过线性扰动从周期环分叉，三个通过三个区域，一个通过两个区域。为此，我们得到了这类分段哈密顿系统的规范形，并研究了其Melnikov函数在两区和三区的零点个数
2022-07-11 math.DS
The two-dimensional border-collision normal form with a zero determinant
本文研究零行列式二维边界碰撞标准型随参数变化的丰富动力学，识别周期加级、锁模和混沌吸引子倍增等区域，并通过流行病与摩擦振子模型验证其分析价值。
2024-08-08 math.DS nlin.CD
Unfolding homoclinic connections formed by corner intersections in piecewise-smooth maps
分段光滑映射的不变集的稳定流形和非稳定流形都是分段光滑的。因此，当分段光滑映射的参数变化时，当不变集的稳定流形与其非稳定流形的不可微点相交时，不变集可以形成同宿联络（反之亦然）。这是一个余维一分叉，类似于光滑映射的同宿切线，这里称为同宿角。本文给出了平面分段光滑连续映射鞍不动点的通有同宿角点的开折。结果表明，边界碰撞分岔序列仅限于一个同宿角，附近的所有周期解都是不稳定的。
2016-03-16 math.DS
On 3-parameter families of piecewise smooth vector fields in the plane
研究了分片光滑平面动力系统在典型奇点附近的局部分歧问题。研究了一类非$-$光滑向量场的三参数族，并给出了三维分歧图。我们的主要结果通过3个参数的变化描述了所谓的折叠尖点奇异性的展开。
2012-07-26 math.DS
Bifurcation of limit cycles by perturbing piecewise smooth integrable differential systems with four zones
研究了具有四个区域的分段光滑可积微分系统的极限环分支问题。当未扰动系统具有一族周期轨道时，导出了一阶Melnikov函数，该函数可用于研究从周期轨道分支出的极限环的个数.作为应用，利用一阶Melnikov函数和Picard-Fuchs方程，得到了具体分段光滑微分系统分支极限环个数的一个上界.
2022-04-14 math.CA math.DS
One-dimensional Piecewise Smooth Rational Degree Maps
针对混合流与分段流擦边分岔中出现的一维连续映射，研究其一侧x^{q/p}奇异、另一侧线性的结构，并对包括倍周期分岔和鲁棒混沌在内的全部情形作出分类。
2024-07-03 math.DS
A synopsis of the non-invertible, two-dimensional, border-collision normal form with applications to power converters
本文针对不可逆二维边界碰撞范式映射开展动力学研究，明确关键分岔的参数区间，并将结果应用于boost变换器模型，发现其分岔仅呈类倍周期特性且可为亚临界。
2022-10-26 math.DS nlin.CD
Unfolding codimension-two subsumed homoclinic connections in two-dimensional piecewise-linear maps
对于分段线性映射，周期解的一维非稳定流形的分支完全包含在其稳定流形中的现象是余维2。不同于余维一同宿角，这种“包含”同宿连接可以与稳定的周期解。本文的目的是在二维空间中确定类属包容同宿联络附近的动力学性质。假设与周期解相关的特征值满足$0 < |λ| < 1 < σ< \frac{1}{|λ|}$，在双参数展开中存在无穷序列的大致三角形区域，在该区域内映射具有稳定的单轮周期解。结果适用于不连续和连续的地图，虽然这些情况下承认不同的特征对应于区域的边界的边界碰撞分叉。用Mira的不连续映射和二维边界碰撞规范形说明了结果。
2019-07-05 math.DS
Bifurcation analysis of a smoothed model of a forced impacting beam and comparison with an experiment
本文从第一性原理出发，建立了具有局部质量和对称止动块的垂直悬臂梁的单自由度分段线性模型。通过一个开关函数（非线性同伦）来平滑所得到的分段线性动力系统。对于所选择的平滑函数，它示出的平滑可以诱导分叉在某些参数制度。这些诱导的分叉消失时，充分的切换和日益本地化的影响变得更加困难。通过驱动频率和/或强迫振幅的周期轨道的一个和两个参数的延续的碰撞振子响应的分岔结构进行了研究。计算结果与实验测量值吻合较好。
2013-08-16 math.DS
Limit cycles of a class of piecewise smooth Liénard systems
研究了两个多参数Liénard型分段多项式系统的极限环分支问题。基于Melnikov函数理论，我们得到了这两个系统的最大极限环个数.
2015-11-22 math.DS
Unstable dimension variability, heterodimensional cycles, and blenders in the border-collision normal form
本文在物理相关的分段线性边界碰撞正规形中精确识别异维环与混合器参数，并揭示单参数子族中不稳定维数可变性转变涉及的分岔。
2022-11-10 math.DS nlin.CD
From two-dimensional continuous maps to one-dimensional discontinuous maps: a novel reduction explaining complex bifurcation structures in piecewise-linear families of maps
Massey University（梅西大学）；University of Stuttgart（斯图加特大学）
本文提出了一种新的降维方法，通过将二维连续分段线性映射近似为一维不连续映射，揭示了复杂分岔结构的形成机制。
2025-12-02 math.DS nlin.CD
One-dimensional first return maps for the two-dimensional border-collision normal form with a zero determinant
Massey University（梅西大学）
研究零行列式二维边界碰撞标准型的一维首次返回映射，通过Farey序列刻画映射结构，并证明参数空间中混沌到准周期或锁模的分岔。
2026-06-08 math.DS
The bifurcation structure within robust chaos for two-dimensional piecewise-linear maps
本文研究二维分段线性映射中鲁棒混沌吸引子的分岔结构，通过数值算法识别连通分量，发现反向与不可逆情形下存在倍分量分岔及新型异宿分岔。
2024-02-08 math.DS nlin.CD
Dimension reduction for slow-fast, piecewise-smooth, continuous systems of ODEs
慢-快、分段线性、连续常微分方程系统的极限慢动力学发生在分段线性的临界流形上。在不可微的点，这样的流形通常不是双曲的，因此几何奇异扰动理论的基本结果不适用。本文证明了如果临界流形是全局稳定的，则系统在临界流形的邻域内是前向不变的。由此可见，在这个邻域中，动力学是由临界流形上的动力学的正则扰动给出的，因此可以实现降维。如果吸引力是非全局的，则可能会产生涉及鸭翼的附加动力学。对于分段光滑连续系统的边界平衡分岔，结果被用来建立一个一般的方法，通过这种分岔可以分析。这种方法是用海洋环流的三维模型来说明的。
2018-01-15 math.DS
Slow passage through a transcritical bifurcation in piecewise linear differential systems: canard explosion and enhanced delay
本文研究穿越跨临界分岔的慢通道现象，通过构建分段线性极小模型量化最大延迟，识别出三种延迟行为，并构建对称系统揭示无界canard爆炸与增强延迟机制。
2024-04-29 math.DS
Generic behavior of a piecewise smooth vector field with non-smooth switching surface
本文讨论了当开关集是代数簇时，$2D$分片光滑向量场典型奇异点的一般局部分类问题。主要的重点是获得分类结果有关的结构稳定性和一般余维1分叉。
2016-11-11 math.DS
Unfolding a Codimension-Two, Discontinuous, Andronov-Hopf Bifurcation
我们提出了一个展开的余维2的情况下，同时发生的不连续分支和Andronov-Hopf分支的分段光滑，连续系统的自治常微分方程在平面上。我们发现的Hopf循环经历了一个放牧分叉，可能是非常短的轨道的鞍结分叉。我们推导出的标度律的分叉曲线，从余维二分叉。
2008-04-18 math.DS
The instantaneous local transition of a stable equilibrium to a chaotic attractor in piecewise-smooth systems of differential equations
分段光滑连续微分方程系统的吸引子在参数变化的情况下与切换流形碰撞时，可以从稳定平衡点分叉到更复杂的不变集.这里提供的数值证据表明，这个不变集可以是混沌的。过渡发生局部（在一个点的邻域）和瞬间（对于一个单一的临界参数值）。这一现象说明了正常形式的边界平衡分岔在三维中使用的参数值适应的分段线性模型的混沌电路。一个次要参数的变化揭示了一个倍周期级联到混沌与窗口的周期性。的动态是很好地近似的一维单峰映射，解释了这种分叉结构。通过研究非线性项的影响，研究了吸引子的鲁棒性。
2016-05-31 math.DS
Sequences of Periodic Solutions and Infinitely Many Coexisting Attractors in the Border-Collision Normal Form
边界碰撞规范形是$\mathbb{R}^N$上的一个分段线性连续映射，它描述了非光滑映射的边界碰撞分岔附近的动力学。研究了余维3情形下具有$N=2$的边界碰撞规范形具有无穷多个吸引周期解.在这种情况下，有一个鞍型周期解的分支的稳定和非稳定流形是重合的，和一个无穷序列的吸引周期解，收敛到一个轨道同宿的鞍型解决方案。该方案的几个重要功能被证明是普遍的，并给出了三个例子。对于这些例子之一的无限共存证明直接明确计算周期解的无穷序列。
2013-12-10 math.DS
Analysis of Stable Periodic Orbits in the 1-D Linear Piecewise-smooth Discontinuous Map
本文考虑一维线性分段光滑不连续映射。众所周知，对于特定的参数区域，这类映射存在稳定的周期轨道。我们还知道，在这种情况下，相应的分岔现象称为“加周期分岔”，具有特殊的结构。在过去的几年中，许多作者分析了这种结构使用边界碰撞分岔（BCB）曲线和不同的参数区域的特征。在本文中，我们分析了一个特定的参数空间使用不同的方法。我们表明，这种方法使我们能够提出一些有趣的问题，例如：轨道的周期和轨道的基数之间是否存在任何关系？我们证明了这样的关系存在，并确切地说，在一个周期n，其中，是欧拉数的轨道存在<$（n）。我们提出了一种算法，它给出了所有这些不同的轨道的不动点的位置，并给出了它们的存在范围相对于参数。此外，我们表明，使用一种新的算法的计算，找到它们的存在范围可以减少。
2012-08-08 math.DS
Chaos in Piecewise Smooth Vector Fields on Two Dimensional Torus and Sphere
本文研究了二维环面和球面上分片光滑向量场的整体动力学。我们提供的条件下，这些家庭具有周期性和密集的轨迹，我们描述了一些全球性的分歧。我们还研究了它的极小集，并刻画了定义在环面和球面上的分片光滑向量场的混沌行为。
2016-01-21 math.DS
The structure of mode-locking regions of piecewise-linear continuous maps
动力系统的锁模区域是系统参数空间的子集，在该子集内存在吸引周期解。对于分段线性连续映射，这些区域有一个奇怪的链结构，其中零宽度的点称为收缩点。本文对任意收缩点进行了局部分析。这是通过研究附近的锁模区域中的周期解的符号行程和对一维慢流形进行渐近分析来实现的，以便为局部动力学建立一个全面的理论框架。我们得到了附近锁模区的形状，附近收缩点的位置，以及这些收缩点的关键属性的领先顺序的定量描述。我们将结果应用到三维边界碰撞规范形，非光滑Neimark-Sacker分叉，和一个模型的干摩擦振荡器的擦边滑动分叉。
2015-10-06 math.DS
