An unbounded number of canard limit cycles in linear regularizations of piecewise linear systems
Hasselt University（哈瑟尔特大学）；Universidade de São Paulo (USP), Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação (ICMC)（圣保罗大学数学与计算科学学院）
本文通过构造具有特定临界点数量的过渡函数，研究线性正则化下分段线性系统中拟双曲极限环的数量，揭示了霍普夫和跃迁断裂机制在生成无限多个极限环中的作用。
2026-01-18 math.DS
Canard cycles of non-linearly regularized piecewise smooth vector fields
本文研究非线性正则化分段光滑系统的鸭形极限环，通过慢散度积分零点给出判据，构造二次正则化产生任意多个极限环，并证明躲避层鸭形环的鞍结分岔。
2025-06-22 math.DS
Saddle-node canard cycles in planar piecewise linear differential systems
应用奇异扰动方法，分析了一类奇异摄动平面分段线性（PWL）微分系统的鸭式极限环。所进行的研究涉及双曲和非双曲鸭式极限环后出现的超临界和亚临界Hopf分叉。所得结果与光滑向量场的结果完全一致。在某种意义上，手稿可以被理解为Krupa和Szmolyan [18]对光滑系统所获得结果的PWL框架的扩展。此外，还得到了一些新的慢-快行为。特别是，在超临界的情况下，并在适当的条件下，证明了极限环组织沿曲线展示两个折叠。这些褶皱中的每一个对应于鸭式极限环的鞍结分叉，一个涉及无头鸭式环，而另一个涉及有头鸭式环。这种配置允许三个鸭式极限环共存。
2020-04-14 math.CA math.DS
Canard cycles in global dynamics
快慢系统通常用“几何剖分”来研究。快速动态表现出吸引子，该吸引子可以在被视为快速动态的参数的缓慢动态的影响下分叉。一个通用的解决方案来接近一个连接组件的稳定不变集的快速动态。随着慢动力学的演化，该吸引子可能失去其稳定性，并且解最终快速到达快动力学的吸引子的另一个连接分量，并且该过程可能重复。这种情况很好地解释了弛豫振荡和爆发振荡。最近，在与动力系统理论和生理学应用的关系中，鸭式循环出现了新的兴趣。这些轨道都有一个共同的性质，即它们会在一段时间内保持在一个不稳定的不变集（奇异集或快速动力学的周期轨道）附近。虽然鸭翼最初是在转折点是褶皱的情况下被发现的，但在本文中，我们关注的是一些转折点是跨临界的情况。我们提出了几个新的令人惊讶的效果，如“鸭的放大”或“异常快速恢复”的（1+1）-系统和（2+1）-系统与三营养食物链动力学。最后，我们还提到它们可能与生态学中创造的弹性概念有关。
2009-12-15 math.DS
Canards and curvature: nonsmooth approximation by pinching
在多时间尺度（奇摄动）动力系统中，鸭式是沿着吸引和排斥不变流形演化的违反直觉的解。在二维空间中，鸭翼会导致周期性振荡，其振幅和周期以高度非线性的方式增长：它们相对于控制参数缓慢变化，除了指数小的值域之外，它们增长得非常快。这种突然的增长，被称为鸭式爆炸，已经在许多应用中遇到，从化学到神经动力学，航空航天工程和生态学。鸭翼最初是用非标准分析来研究的，后来用匹配渐近、不变流形理论和参数blow-up等标准技术证明了相同的结果。最近，鸭式行为已经与分段光滑动力系统中的不连续表面联系起来。本文提供了一个新的视角，鸭式飞机爆炸的非标准分析，可以重新铸造到分段光滑动力系统的框架。将指数坐标标度应用于奇摄动常微分方程系统。缩放就像一个透镜，解决了所有时间尺度上的动态问题。然后分析了局部曲率的变化对鸭式布局爆炸的影响。不同的时间尺度占主导地位的区域被超曲面分开，这些被捏在一起，以获得一个分段光滑的系统，其中曲率的变化表现为不连续引起的分叉。该方法被用来分类鸭在任意尺寸，并得出的参数值，鸭形成小周期（鸭头）或大周期（鸭头）。
2015-06-04 math.DS
Canard-like phenomena in piecewise-smooth Van der Pol systems
我们证明了一个非线性的、分段光滑的、平面动力系统可以表现出鸭翼现象。非线性分段光滑系统中的鸭式解和爆炸在定性上比分段线性系更类似于光滑系统中的现象，因为非线性允许鸭式从小循环过渡到鸭式“有头”。“鸭翼是在缓慢零倾线与分裂流形重合时产生的分叉。然而，在某些条件下，这种分叉会导致一种称为超级爆炸的现象，即从全局吸引周期轨道到弛豫振荡的瞬时过渡。此外，我们证明了分叉-无论是导致鸭式或超爆炸-可以是亚临界的。
2014-10-16 math.DS
Spike-adding and reset-induced canard cycles in adaptive integrate and fire models
本文研究了一类平面积分点火（IF）模型--自适应积分点火（AIF）模型，该模型在膜电位上具有一个自适应变量，其阈下动力学是分段线性的。因此，这些AIF模型有两个重置条件，这使得爆发动力学出现合适的参数值。这样的模型可以被认为是混合动力系统。我们考虑了AIF模型中的一个特殊的慢动力学，证明了对于任意整数$N$，存在带$N$重置的突发循环。此外，我们研究$N$ -和$(N+1)$ -复位周期之间的过渡时，消失的小参数变化和证明（$N=2$），这种过渡是由鸭式周期。最后，使用数值延拓，我们计算分支的爆发周期，包括鸭式爆炸分支，在这些AIF模型，通过适当地重铸的周期性问题作为一个两点边值问题。
2021-01-29 math.DS q-bio.NC
Canard explosion and relaxation oscillation in planar, piecewise-smooth, continuous systems
光滑系统中的经典鸭式爆炸结果要求向量场至少为$C^3$，因为鸭式循环是由霍普夫分叉产生的。非光滑平面系统中鸭翼的研究是最近的，迄今为止仅限于分段线性或分段光滑范德波尔系统，其中临界流形的极值来自非光滑性。在这两种情况下，鸭式（或鸭式）爆炸是通过一个非光滑的分叉创建的缓慢零倾通过临界流形的一个角落。此外，这些系统有可能出现超爆炸分叉，其中鸭式爆炸被跳过。本文将结果扩展到更一般的分段光滑系统，寻找通过光滑或非光滑分叉创建周期轨道的条件。在分叉是非光滑的情况下，建立了确定分叉是超爆炸还是鸭翼的条件。
2016-02-08 math.DS
Sliding cycles of the regularized piecewise linear $VI_3$ two-fold
本文利用慢发散积分研究正则化分段线性 $VI_3$ 二重折叠的滑动极限环数量，证明鸭式环最多产生 2 个极限环，并找到参数空间中存在 2 个极限环的区域。
2023-10-11 math.DS
The number of limit cycles for regularized piecewise polynomial systems is unbounded
本文将De Maesschalck，Dumortier和Dumorsarie的慢-快系统中的慢发散积分推广到光滑系统中，并将其限制在分段光滑系统上，如$ε\rightarrow 0$ .在慢-快系统中，慢发散积分是发散沿鸭式圈关于慢时间的积分，它在获得平面多项式系统的极限环的上、上界方面非常有用.在本文中，我们的慢发散积分的基础上积分沿广义鸭式周期的分段光滑的二重分岔（类型可见-不可见称为$VI_3$）。我们利用这个框架证明了正则化分段光滑多项式系统的极限环的个数是无界的。
2022-10-13 math.DS
Unveiling the dynamics of canard cycles and global behaviour in a singularly perturbed predator-prey system with Allee effect in predator
本研究通过数学分析揭示具有捕食者Allee效应的慢快Leslie-Gower模型的丰富动力学，包括canard环、分岔及全局稳定性，并验证了不同初始条件下的共存或灭绝模式。
2023-06-23 math.DS q-bio.PE
New dynamics in cerebellar Purkinje cells: torus canards
我们描述了一个过渡，从爆裂到快速尖峰在减少数学模型小脑浦肯野细胞。我们进行了一个慢-快的系统分析，并发现-后的鞍结分支的极限环-全模型动态暂时遵循排斥分支的极限环。我们建议，该系统表现出新的现实，生物物理应用的动力学现象：环面鸭。
2008-08-13 math.DS q-bio.NC
Regularizations of two-fold bifurcations in planar piecewise smooth systems using blow up
利用Blowup方法研究了平面分段光滑（PWS）动力系统中余维1二重奇点的正则化问题。我们重点研究了PWS系统中可能出现的奇异鸭翼、伪均衡和极限环。利用Sotomayor和Teixeira \cite{Sotomayor96}的正则化方法，我们严格地证明了奇异鸭翼是如何持续存在的，以及在正则化系统中伪平衡点的分支与平衡点的分支之间的关系.我们还表明，PWS极限环连接到正则化的Hopf分支。此外，我们展示了如何正则化可以创建另一种类型的极限环，似乎不存在于原来的PWS系统。对于这两种类型的极限环，我们表明，产生周期轨道的Hopf分支的临界性强烈依赖于精确形式的正则化。最后，我们分析的极限环的正则化的周期轨道的局部唯一的家庭和连接，如果可能的话，到极限环的PWS系统。我们用数值模拟说明了我们的分析，并展示了正则化系统如何发生鸭式爆炸现象。
2015-07-24 math.DS
Canard Phenomenon in a modified Slow-Fast Leslie-Gower and Holling type scheme model
几何奇异扰动理论已经成功地研究了各种不同时间尺度的生物学问题。本文的目的是将这一理论应用到一类修正的Leslie-Gower型捕食者-食饵模型中，其中食饵的繁殖速度比捕食者快。这自然导致引入小参数$ε$，其产生慢-快系统。这个系统有一个特殊的折叠奇异性，这在Krupa-Szmolyan的经典工作中还没有被分析过。我们使用blow-up技术来可视化该折叠点$P$附近的行为。在该区域之外，动力学由经典的奇异扰动理论给出。这使得几何量化的吸引极限环的误差为$O(ε$），并表明它表现出\textit{canard}现象，而交叉$P$。
2017-03-27 math.DS
Ducks on the torus: existence and uniqueness
我们表明，存在一般的慢-快系统，只有一个（时间尺度）参数的两个环面，这有鸭式周期为任意小的值，这个参数。这与平面情况形成了强烈的对比，在平面情况下鸭翼通常出现在双参数族中。在这里，我们处理系统的凸慢曲线。在这种情况下，有一组参数值累积到零，系统正好有一个吸引和一个排斥鸭式鸭式循环。吸引环的盆地几乎是整个环面。
2009-10-10 math.CA math.DS
Slow passage through a transcritical bifurcation in piecewise linear differential systems: canard explosion and enhanced delay
本文研究穿越跨临界分岔的慢通道现象，通过构建分段线性极小模型量化最大延迟，识别出三种延迟行为，并构建对称系统揭示无界canard爆炸与增强延迟机制。
2024-04-29 math.DS
Dynamics of a $2$-dimensional slow-fast Belousov-Zabotinsky model
本文研究二维慢快 Belousov-Zhabotinsky 约化系统，刻画除一个退化情形外的全部动力学，揭示平衡点稳定性、Hopf 分岔、鸭式爆炸、弛豫振荡及双极限环共存这一新现象。
2023-12-06 math.CA math.DS
Study of Poincare map and limit cycles for non-smooth Welander's system
本文研究描述海洋对流的非光滑Welander模型，通过Poincare映射方法解析证明了围绕逃逸段的稳定极限环的分岔。
2023-09-07 math.DS
Birkhoff averages of Poincare cycles for Axiom-A diffeomorphisms
本文研究了公理A的一个马尔可夫分割的轨道到某个给定矩形（并）的$n$次返回的时间.也就是说，我们证明了这些回报相对于任何吉布斯测度（与霍尔德里亚势相关）的缩放母函数的存在。作为副产品，我们得到精确的大偏差估计和中心极限定理的伯克霍夫平均的庞加莱圈。我们强调，我们从访问次数的角度来看待限制行为（访问集的大小保持固定）。我们的方法依赖于一个单参数家庭的诱导转移运营商的不稳定叶交叉访问集的频谱特性。
2003-12-15 math.DS
Transversal conics and the existence of limit cycles
研究了实平面多项式微分系统极限环的存在性和位置问题。本文给出了一种利用横截二次曲线构造Poincaré-Bendixson区域的方法。我们提出了几个例子，已知的系统在文献中显示不同的功能约极限环：双曲，霍普夫分支，天蓝色分支，旋转向量场，\ldots为所获得的庞加莱-Bendixson区域允许定位的极限环。我们的方法给出了平面向量场参数族分歧值的界和极限环存在的区间。
2014-10-16 math.DS
On Poincaré's Fourth and Fifth Examples of Limit Cycles at Infinity
在Henri Poincaré的论文“Mémoire sur les courbes definies par une équation différentielle”中的例子问题中发现了错误。“第七章的例子4和5以及第九章的例子1、2和3都没有庞加莱预言的无穷远处的极限环。相反，它们在无穷远无穷远点上都有不动点。为了理解庞加莱所犯的错误，我们详细研究了例子四和例子五。第四和第五个例子的替代方程建议的基础上的假设，从庞加莱方程中省略的条款。
2006-01-10 math.DS math.HO
Non-Uniformly Hyperbolic Horseshoes Arising from Bifurcations of Poincaré Heteroclinic Cycles
本文的目的是提高知识的动力学所产生的创建和随后的分歧庞加莱异宿周期。这个问题是动力学的核心：例如，如果一个人的目的是描述一个典型系统的典型轨道行为，从而为动力系统的系综提供一个全球情景，那么这个问题就必须得到解决-见导言和[P1，P2]。在这里，我们将考虑光滑的，即$C^\infty$，单参数族的耗散，这意味着非保守的，表面亚纯。一个异宿环可能会出现时，参数的发展和相切的轨道，说二次，是建立在稳定和非稳定流形（线）的周期轨道属于一个基本的双曲集。关键的新颖性是允许这个基本集合，一个马蹄铁，具有大于1的豪斯多夫维数。在本文件中，我们假设这样一个维度是超过一个，但在有限的方式，明确指出在导言。[一个温和的非退化条件的家庭的地图是假设：在轨道的切线不变的线，稳定和不稳定，交叉对方的积极相对速度]。然后，我们证明了大多数的双同态，对应的参数值附近的分叉，是非一致双曲的马蹄铁和轨道的切线附近，这样的双同态显示没有吸引子，也没有排斥在这样的邻域。我们的主要定理的第一个精确公式是在介绍和一个更全面的版本在文件的末尾。这些结果在[PY 3]中公布。
2006-04-07 math.DS
The inverse integrating factor and the Poincaré map
研究了具有定义在正则轨道邻域内的解析逆积分因子的平面实解析微分系统。我们发现，逆积分因子定义了一个常微分方程的过渡映射沿轨道。当正则轨道为极限环时，我们可以用逆积分因子确定其对应的Poincaré返回映射。特别地，我们证明了极限环的重数与其上的逆积分因子的重数为零是一致的，并将这一结果应用于同宿环分支的研究。我们只考虑临界点是双曲鞍点且Poincaré返回映射不是恒等式的同宿环。通过对鞍点邻域内逆积分因子的局部分析，我们可以用逆积分因子在其上的消失重数来确定多圈的循环性，我们的结果也适用于同宿圈的鞍点可线性化的特殊情况，即，在这种情况下，该图形的循环性的界限不能通过代数方法确定。
2007-10-17 math.DS
On determining the homological Conley index of Poincaré maps in autonomous systems
证明了旋转局部动力系统$ϕ$中一个截面上的Poincaré映射的孤立不变集的同调Conley指数的计算定理。令$(N,L)$是$ϕ$的离散化$ϕ^h$的索引对，其中$h>0$，并且令$S$表示$N\setminus L$的不变部分;由此得出$S$的部分$S_0$是庞加莱映射的孤立不变集。该定理断言，如果$N$的部分$N_0$和$L$的部分$L_0$是ANR，则某些循环$u_j$的同调类$[u_j]$形成了$H(N_0,L_0)$的基础，并且对于某些纯量$a_{ij}$，在$(N,L)$的覆盖对$(\widetilde N,\widetilde L)$中，$u_j$和$\sum a_{ij}u_i$是同源的，并且在$ϕ^t$诱导的对$t\in [0,h]$的变换下，同源关系在$(\widetilde N,\widetilde L)$中保持，然后同源$S_0$的Conley指数等于矩阵$[a_{ij}]$的Leray约化。特别是，不需要关于庞加莱映射或其近似值的信息。在一个特殊的情形下，由具有有理$T/h>1$的$T$ -周期非自治常微分方程生成的系统，M. Mrozek，R. Srzednicki和F. Weilandt，SIAM J. Appl. Dyn. 14（2015），1348-1386，并且它激发了用于确定索引的算法的构建。
2022-02-06 math.DS
Limit cycles bifurcating from a period annulus in continuous piecewise differential systems with three zones
研究了一类具有三个区域的平面连续分段线性向量场。利用Poincaré映射和证明光滑微分系统极限环存在性的技巧，证明了这类系统至少存在两个周期环扰动引起的极限环.此外，我们还通过两个两参数三带分段线性向量场族的例子描述了这类向量场的极限环分支。
2015-11-23 math.DS
Global manifold structure of a continuous-time heterodimensional cycle
一个异维圈由两个鞍周期轨道之间的一对异宿联络组成，它们具有不同维数的非稳定流形。最近的理论工作，超越了一致双曲设置的混沌动力学表明，异维循环可能会出现鲁棒的至少3维的同构。我们研究了一个具体的例子，一个异维周期的连续时间设置，特别是在一个四维向量场模型的细胞内钙动力学。通过采用先进的数值技术，Zhang，Krauskopf和Kirk [Discr.康丁戴纳姆A 32（8）2825- 2851（2012）]发现在该模型中存在异维循环。我们调查的几何结构相关的稳定和非稳定流形在附近的这个heterodimensional循环，由一个单一的连接轨道的余维1和整个圆柱的结构稳定的连接轨道之间的两个鞍周期轨道。我们采用一个边值问题的设置来计算其稳定和非稳定流形，我们可视化在不同的投影相空间和相交集与一个合适的三维庞加莱截面。我们表明，局部附近的交叉集的异维循环，流形相互作用所描述的理论为三维同胚。另一方面，它们的全局结构更加复杂，这是因为不可能找到一个处处横切于流的庞加莱截面。我们的结果表明，异维循环的抽象概念的出现，并可以在连续时间模型的应用研究。
2019-06-27 math.DS
Periodic orbits of discrete and continuous dynamical systems via Poincaré-Miranda theorem
我们提出了一个系统的方法来确定和定位解析孤立的周期点的离散和连续动力系统的代数性质。我们将这种方法应用到广泛的例子中，包括离散Markus-Yamabe猜想的一个单参数反例族（LaSalle猜想）; Lotka-Volterra型映射的低周期研究;分段线性平面向量场的三个极限环的存在性; Kouchnirenko猜想的一个新反例;并给出了$(1+4)$ -体问题一类对称中心构型存在性的另一种证明。
2018-09-17 math.DS
From Darwin to Poincaré and von Neumann: Recurrence and Cycles in Evolutionary and Algorithmic Game Theory
复制者动态是演化博弈论中的主要动态，是乘法权重更新的连续时间模拟。在简单的进化零和博弈中，如石头剪刀布，复制子的动态是周期性的\cite{zeeman1980population}，然而，它在更高维度的行为还没有得到很好的理解。我们提供了一个完整的零和进化博弈的行为特征。证明了当且仅当系统存在内部纳什均衡时，系统动力学具有Poincaré递归性，即，几乎所有的轨道都无限地接近它们的初始条件。如果不存在内部平衡点，则所有内部初始条件收敛到边界。具体地说，不支持任何均衡的策略在所有轨道的极限中消失。所有的递归结果进一步扩展到一类游戏，推广图形多矩阵游戏以及进化游戏，建立进化和算法博弈论之间的统一联系。我们表明，两个自由度，如在石头剪刀布，是足以证明周期性。
2019-10-03 cs.GT math.DS q-bio.PE
Principal cycles of one dimensional foliations associated to a plane field in $\mathbb{E}^3$
在这项工作中，它将分析$η$ -主周期（紧凑的叶子）的一维奇异叶理相关联的平面场$Δ_η$定义的单位和法向量场$η$在$ \mathbb E^3$。叶与$η$的轨道正交，是对应于平面场$Δ_η$的极端法曲率方向的积分曲线。本文证明了，一般地，给定一个$η$ -主循环，通过对向量场$η$进行小的变形，可以使它成为双曲的（Poincaré映射的第一个返回的导数的所有特征值与单位圆不相交）.证明了对于稠密的单位向量场，在弱$C^r$ -Whitney拓扑下，$η$ -主圈是双曲的.
2020-03-18 math.DS
Integrate and Fire Neural Networks, Piecewise Contractive Maps and Limit Cycles
我们研究了由任意数量的相同神经元通过抑制和激励相互作用组成的整合和激发神经网络的全局动力学。我们证明了，如果相互作用足够强，那么稳定的渐近动力学的支持由极限环。我们也找到了含有兴奋性神经元的网络同步的充分条件。证明是基于一个分段连续的庞加莱映射与系统的等效动力学分析。我们证明了强相互作用下的Poincaré映射是分段压缩的。利用这种压缩性质，我们证明了存在可数个极限环吸引所有落入相空间稳定子集的轨道。这一结果不仅适用于所研究的Poincaré映射，而且也适用于广泛的一类一般n维分段压缩映射。
2012-07-19 math.DS q-bio.NC
Poincare's forgotten conferences on wireless telegraphy
在二十世纪初，亨利·庞加莱（1854-1912）已经深入参与了无线电报的发展，他于1908年应邀在高等邮电学院（今天的Sup'Télecom）做了一系列讲座。在他的演讲的最后一部分，他建立了存在的必要条件，一个稳定的制度，维持振荡的设备，无线电工程完全类似于振荡：唱歌弧，是存在于相平面的稳定极限环。这项工作的目的是证明，对应强调安德罗诺夫之间的周期解的非线性二阶微分方程和庞加莱的概念极限环已进行了庞加莱本人，二十年前在这些被遗忘的会议1908年。
2014-08-21 math.DS math.HO physics.hist-ph
A new type of relaxation oscillation in a model with rate-and-state friction
本文证明了具有Ruina速率-状态摩擦律的单块Burridge-Knopoff模型中一类新的弛豫振荡的存在性。在相关参数区域，系统是两个慢变量和一个快变量的慢-快系统。这种振荡的特殊性有以下几个原因：第一，它的奇异极限是无界的，周期的振幅像$\log ε^{-1}$一样增长为$ε\rightarrow 0$。作为这种估计的结果，循环的无界性不能通过变量的简单的$ε$依赖缩放来捕获，参见例如\cite{Gucwa2009783}。因此，我们得到它在庞加莱球面上的极限。在这里，我们发现，奇异极限由一个吸引的临界流形上的慢的一部分，和一个快速的一部分上的赤道（即在$\infty$）的庞加莱球，其中包括沿中心流形的运动。在这个中心流形上的减少的流动以一种特殊的方式沿着流形的边界流出，导致复杂的返回到慢流形。我们证明了存在的极限环的返回映射是一个压缩。这一部分的主要技术难点是由于临界流形在无穷远处以指数速率失去双曲性。因此，我们在\cite{kristiansen2017a}中使用该方法，在扩展的相空间中应用标准爆破技术。在这种方式中，我们确定一个奇异的周期，由$12$件，所有与理想的双曲性质，使扰动到一个实际的极限环$0<ε\ll 1$。
2019-03-28 math.DS
On the shifts of orbits and periodic orbits under perturbation and the change of Poincaré map Jacobian of periodic orbits
本文借用泛函分析中的泛函与泛函导数概念，将系统视为周期轨道几何表示的自变量，推导出映射与流在扰动下轨道与周期轨道移动的公式，为分析系统对扰动的敏感性及优化控制提供理论基础。
2024-11-11 math.DS math.FA math.OC
Quartic rigid systems in the plane and in the Poincaré sphere
该研究针对无旋转参数的最简单非平凡平面四次刚性系统族，分析其庞加莱球面紧化性质，并探究该系统在平面与球面上的中心、奇点及极限环特性。
2023-10-09 math.CA math.DS
Quadratic Planar Differential Systems with Algebraic Limit Cycles via Quadratic Plane Cremona Maps
在本文中，我们展示了如何将二次系统转换成新的二次系统后，一些双有理变换，二次平面克雷莫纳映射。然后我们将这些变换应用于具有代数极限环的二次微分系统族。因此，我们提供了一个新的家庭的二次系统具有代数极限环的程度为5。此外，我们展示了如何已知的家庭的二次微分系统的代数极限环的程度大于四个得到使用这些变换。我们还提供了所有具有代数极限环的二次微分系统族在Poincaré圆盘上的相图。
2019-06-24 math.AG math.DS
Bifurcations of grazing loops of arbitrary tangent multiplicity in piecewise-smooth systems
School of Mathematics, Sichuan University（四川大学数学学院）；School of Mathematics, China University of Mining and Technology（中国矿业大学数学学院）；School of Mathematics, Southwestern University of Finance and Economics（西南财经大学数学学院）
研究分段光滑系统中 grazing 循环在任意切乘数下的分支特性，提出新的函数扰动方法和局部化技术，建立切乘数与极限环、滑动环数量的关系。
2026-05-07 math.DS
Twenty Hopf-like bifurcations in piecewise-smooth dynamical systems
对于许多物理系统，从稳态解到持续的小振幅振荡的过渡对应于Hopf分岔。然而，对于涉及冲击、阈值、开关或其他突发事件的系统，这种转变可以以根本不同的方式实现。本文综述了20个具有状态依赖切换规则的二维常微分方程系统的“类霍普夫”分支。这些分岔包括边界平衡分岔、平衡点或折叠点的碰撞或稳定性的改变以及由滞后或时滞产生的极限环。在每种情况下，一个稳定的解决方案改变稳定性和可能的形式，并发出一个极限环。每个分支定量分析的一般设置：我们确定的数量，支配的发病，临界性和通用性的分歧，并确定所产生的极限环的周期和振幅的标度律。基于庞加莱映射的渐近展开，提供了完整的推导。其中许多是新的，以前只对分段线性系做过。分叉整理和比较，使动态观测可以匹配的几何机制负责创建一个极限环。结果与冲击振荡器，继电器控制，自动平衡控制，捕食系统，海洋环流，和McKean和Wilson-Cowan神经元模型。
2019-05-03 math.DS
Stable Chimera States: A Geometric Singular Perturbation Approach
本研究运用平均场技术与几何奇异摄动理论，分析含协同演化耦合强度的多层Kuramoto振子网络，推导稳定嵌合体态的充要条件，还生成呼吸型嵌合体、张弛振荡与鸭轨周期等模式。
2023-07-19 math.DS
Singular limit analysis of a model for earthquake faulting
本文考虑描述地震断层作用的一维弹簧-块体模型。利用几何奇异扰动理论和blow-up方法，对地震幕的周期性进行了详细的描述。特别是，极限环产生于退化的Hopf分岔，其退化是由于一个潜在的哈密顿结构，导致大振幅振荡。我们使用庞加莱紧化来研究系统在无穷远点附近。在无穷远处，临界流形以指数速率失去双曲性。我们使用一个适应的爆破方法来恢复双曲。这使得能够识别一个新的吸引流形，组织在无穷大的动态。这反过来又导致制定一个猜想的行为的极限环的时间尺度分离增加。我们说明我们的研究结果与数值，并提出了一个大纲证明这一猜想。
2016-07-15 math.DS
Rapid evolution of complex limit cycles
本文研究了复平面上具有奇点的全纯叶理的复圈的若干问题。我们专注于当多项式微分的一种形式产生的黎曼曲面的叶理的情况下。在这种情况下，一个复杂的循环被定义为一个非平凡的元素的基本群的叶子从叶理。每当多项式叶理来自于一个精确的1-形式的扰动时，人们可以引入多重循环的概念。这种类型的循环至少有一个代表，确定一个自由的同伦类的循环在一个开放的纤维子域的复平面。这个子域的拓扑结构与前面提到的精确的一形式密切相关。本文引入并研究了近于可积多项式叶理的多重圈的概念。我们还探讨了这些周期如何对应于周期轨道的某个庞加莱映射与叶理。最后，我们讨论了连续族多重极限环在复平面中当叶理收敛到其可积部分时从某些大开域逃逸的趋势。
2010-05-11 math.CV math.DS math.GT
