Inertial Manifolds and Limit Cycles of Dynamical Systems in $\mathbb R^n$
我们表明，存在一个二维惯性流形的常微分方程在${\mathbb R}^{n}$允许减少的问题，确定渐近轨道稳定极限环的庞加莱-Bendixson理论。在$n=3$的情况下，我们实现了这样一个场景的卫星围绕小质量的天体旋转的模型和生化模型。
2019-11-10 math.DS
Limit cycles bifurcating from a period annulus in continuous piecewise differential systems with three zones
研究了一类具有三个区域的平面连续分段线性向量场。利用Poincaré映射和证明光滑微分系统极限环存在性的技巧，证明了这类系统至少存在两个周期环扰动引起的极限环.此外，我们还通过两个两参数三带分段线性向量场族的例子描述了这类向量场的极限环分支。
2015-11-23 math.DS
Poincare's forgotten conferences on wireless telegraphy
在二十世纪初，亨利·庞加莱（1854-1912）已经深入参与了无线电报的发展，他于1908年应邀在高等邮电学院（今天的Sup'Télecom）做了一系列讲座。在他的演讲的最后一部分，他建立了存在的必要条件，一个稳定的制度，维持振荡的设备，无线电工程完全类似于振荡：唱歌弧，是存在于相平面的稳定极限环。这项工作的目的是证明，对应强调安德罗诺夫之间的周期解的非线性二阶微分方程和庞加莱的概念极限环已进行了庞加莱本人，二十年前在这些被遗忘的会议1908年。
2014-08-21 math.DS math.HO physics.hist-ph
Integrate and Fire Neural Networks, Piecewise Contractive Maps and Limit Cycles
我们研究了由任意数量的相同神经元通过抑制和激励相互作用组成的整合和激发神经网络的全局动力学。我们证明了，如果相互作用足够强，那么稳定的渐近动力学的支持由极限环。我们也找到了含有兴奋性神经元的网络同步的充分条件。证明是基于一个分段连续的庞加莱映射与系统的等效动力学分析。我们证明了强相互作用下的Poincaré映射是分段压缩的。利用这种压缩性质，我们证明了存在可数个极限环吸引所有落入相空间稳定子集的轨道。这一结果不仅适用于所研究的Poincaré映射，而且也适用于广泛的一类一般n维分段压缩映射。
2012-07-19 math.DS q-bio.NC
Lower bounds for the number of limit cycles in a generalized Rayleigh-Liénard oscillator
本文考虑了一类广义Rayleigh-Liénard振子，给出了从弱焦点平衡点和鞍形连接分支出的极限环个数的下界.通过对所考虑的系统的参数假设一些开放条件，提供了多达12个极限环的存在。更准确地说，该方法包括对某些特定参数的符号进行适当的改变，并应用庞加莱-本迪克松定理来确保极限环的存在。特别是，通过所提到的方法获得的极限环的方法明确展示。在这项研究中应用的主要技术是李雅普诺夫常数和Melnikov方法。
2020-12-27 math.DS
Proving the existence of numerically detected planar limit cycles
研究了实平面多项式微分系统极限环的存在性和位置问题。本文给出了一种利用横截曲线构造Poincaré-Bendixson区域的方法，证明了该区域存在极限环，并在数值上得到了验证.我们应用我们的结果到几个已知的系统，如一个或一些Liénard系统，证明存在的极限环，并非常精确地定位它们在相空间。我们的方法，结合其他一些经典的工具，可以应用于获得的极限环的鞍结分支的分支值的尖锐的界限，因为我们做的Rychkov系统。
2016-01-30 math.DS
On the shifts of orbits and periodic orbits under perturbation and the change of Poincaré map Jacobian of periodic orbits
本文借用泛函分析中的泛函与泛函导数概念，将系统视为周期轨道几何表示的自变量，推导出映射与流在扰动下轨道与周期轨道移动的公式，为分析系统对扰动的敏感性及优化控制提供理论基础。
2024-11-11 math.DS math.FA math.OC
Duck factory on the two-torus: multiple canard cycles without geometric constraints
研究了双环面上的慢-快系统。如前所述，鸭式循环在这种系统中是普遍存在的，这与平面情况形成了强烈的对比。已知若Poincare映射的旋转数为整数且慢曲线连通，鸭式极限环的个数由慢曲线的折叠点个数自上而下定界.本文证明了非整数旋转数不存在这样的几何约束：构造尽可能简单的慢曲线和任意多个极限环的一般系统是可能的。
2016-05-06 math.DS
On the Computational Complexity of Limit Cycles in Dynamical Systems
本文从计算的角度研究了紧致域上二维连续动力系统的Poincare-Bendixson定理，并寻求寻找这一经典结果所保证的极限环的算法.我们首先考虑一个离散的模拟这个定理，并表明，既找到一个点上的极限环，并确定一个给定的点是一个，是PSPACE完成。对于连续的版本，我们表明，这两个问题是不可计算的，在真正的复杂性意义上，即，它们的复杂性是任意高的。随后，我们引入了一个“近似循环”的概念，并证明了一个“近似”庞加莱-本迪克森定理，保证一些轨道非常接近形成一个循环，在没有近似不动点;令人惊讶的是，它适用于所有维度。用算术电路定义的相应计算问题是PSPACE完全的。
2015-11-24 cs.CC cs.DS math.DS
On limit cycles in regularized Filippov systems bifurcating from homoclinic-like connections to regular-tangential singularities
在本文中，我们关心的光滑的Filippov系统周围的同宿类连接到正则切奇点。我们提供的条件，以保证存在的极限环分叉从这样的连接。并给出了保证这种极限环稳定唯一的附加条件。所有的证明都是基于正则化Filippov系统在类同宿联络周围的第一个返回映射的构造。这样的地图是通过使用最近的本地行为的正规化Filippov系统周围的正则切向奇点的表征。不动点定理和Poincaré-Bendixson论证也被采用。
2022-06-27 math.DS
Principal cycles of one dimensional foliations associated to a plane field in $\mathbb{E}^3$
在这项工作中，它将分析$η$ -主周期（紧凑的叶子）的一维奇异叶理相关联的平面场$Δ_η$定义的单位和法向量场$η$在$ \mathbb E^3$。叶与$η$的轨道正交，是对应于平面场$Δ_η$的极端法曲率方向的积分曲线。本文证明了，一般地，给定一个$η$ -主循环，通过对向量场$η$进行小的变形，可以使它成为双曲的（Poincaré映射的第一个返回的导数的所有特征值与单位圆不相交）.证明了对于稠密的单位向量场，在弱$C^r$ -Whitney拓扑下，$η$ -主圈是双曲的.
2020-03-18 math.DS
The discontinuous planar piecewise linear system with two nodes has at most two limit cycles
针对由直线分隔且两子系统均为结点的平面分段线性系统，论文借助 Poincare 半映射与后继函数分析，证明计入重数后极限环数量至多为两个。
2025-06-09 math.CA math.DS
A new type of relaxation oscillation in a model with rate-and-state friction
本文证明了具有Ruina速率-状态摩擦律的单块Burridge-Knopoff模型中一类新的弛豫振荡的存在性。在相关参数区域，系统是两个慢变量和一个快变量的慢-快系统。这种振荡的特殊性有以下几个原因：第一，它的奇异极限是无界的，周期的振幅像$\log ε^{-1}$一样增长为$ε\rightarrow 0$。作为这种估计的结果，循环的无界性不能通过变量的简单的$ε$依赖缩放来捕获，参见例如\cite{Gucwa2009783}。因此，我们得到它在庞加莱球面上的极限。在这里，我们发现，奇异极限由一个吸引的临界流形上的慢的一部分，和一个快速的一部分上的赤道（即在$\infty$）的庞加莱球，其中包括沿中心流形的运动。在这个中心流形上的减少的流动以一种特殊的方式沿着流形的边界流出，导致复杂的返回到慢流形。我们证明了存在的极限环的返回映射是一个压缩。这一部分的主要技术难点是由于临界流形在无穷远处以指数速率失去双曲性。因此，我们在\cite{kristiansen2017a}中使用该方法，在扩展的相空间中应用标准爆破技术。在这种方式中，我们确定一个奇异的周期，由$12$件，所有与理想的双曲性质，使扰动到一个实际的极限环$0<ε\ll 1$。
2019-03-28 math.DS
Neutral Entry--Exit Cycles with Quadratic Grazing: Uniform Return Reduction and Local Two-Parameter Bifurcations
Shanghai Institute of Technology（上海应用技术大学）
该研究分析平面快慢回路中，不变直线进出延迟与二次 grazing 共存时的极限环分岔数，推导参数一致的位移展开式，构造捕食模型验证结论。
2026-08-11 math.DS
The Poincare map of randomly perturbed periodic motion
本文分析了一类具有稳定极限环且受小白噪声扰动的自治微分方程系统。在未扰动确定性系统的极限环附近，我们定义、构造和分析了随机扰动周期运动的Poincare映射。我们证明了第一次从映射不动点的一个小邻域（对应于未扰动的周期轨道）退出的时间可以用几何分布很好地近似。几何分布的参数与噪声强度一起趋于零。因此，我们的结果可以解释为周期运动对随机扰动的稳定性的估计。此外，我们还证明了首次退出时间的几何分布可以转化为应用中重要微分方程模型解的统计性质。为此，我们展示了三个数学神经科学的例子，其特点是复杂的振荡模式的几何分布。我们表明，在这些模型中的每一个新兴的振荡的统计特性充分解释了随机扰动的周期性运动在本文中确定的一般性质。
2012-06-02 math.DS math.PR nlin.AO
Uniform upper bound for the number of limit cycles of planar piecewise linear differential systems with two zones separated by a straight line
具有两个由直线分隔的区域的平面分段线性微分系统极限环的最大个数的一致上界的存在性问题已成为数百篇论文的主题。自Lum-Chua的工作以来，经过30多年的研究，这个统一的上界是否存在仍然是一个悬而未决的问题。在这里，我们给出了一个肯定的答案，这个问题通过建立一个自然数$L^*\leq 8$的存在性，任何平面分段线性微分系统的两个区域由直线有不超过$L^*$极限环。证明是通过结合一个新发展的积分特征的Poincaré半映射的线性微分系统的Khovanski \u的理论，调查之间的交叉点的数量平滑曲线和特定类型的轨道的向量场的扩展。
2022-11-24 math.DS
Quadratic Planar Differential Systems with Algebraic Limit Cycles via Quadratic Plane Cremona Maps
在本文中，我们展示了如何将二次系统转换成新的二次系统后，一些双有理变换，二次平面克雷莫纳映射。然后我们将这些变换应用于具有代数极限环的二次微分系统族。因此，我们提供了一个新的家庭的二次系统具有代数极限环的程度为5。此外，我们展示了如何已知的家庭的二次微分系统的代数极限环的程度大于四个得到使用这些变换。我们还提供了所有具有代数极限环的二次微分系统族在Poincaré圆盘上的相图。
2019-06-24 math.AG math.DS
On the number of limit cycles for piecewise polynomial holomorphic systems
本文研究带直线不连续的分段多项式全纯系统极限环下界，综合平均函数零点、退化Andronov-Hopf分支和滑移效应，并利用Poincaré-Miranda定理构造出具有3个极限环的显式分段线性全纯系统，改进了文献中仅1个极限环的已知结果。
2023-12-03 math.CA math.DS
Uniqueness and stability of limit cycles in planar piecewise linear differential systems without sliding region
本文研究无滑动区域的平面分段线性微分系统，利用 Poincaré 半映射的新积分特征，证明极限环数量的最优一致上界为一，并给出其双曲性、稳定性及存在条件。
2023-04-09 math.DS
Hopf-like boundary equilibrium bifurcations involving two foci in Filippov systems
本文研究二维Filippov系统--一维切换流形上不连续的常微分方程。在参数变化时，稳定焦点通过与切换流形碰撞而转变为不稳定焦点的情况下，建立了产生唯一局部极限环的简单充分条件.如果违反了这个条件，则可以同时创建三个嵌套的极限环。结果是通过构建一个庞加莱映射和概括的分析参数，已被用于连续系统。还确定了伪平衡点（切换流形上滑动运动的平衡点）存在的充要条件。为了简单起见，只考虑分段线性系。
2018-12-10 math.DS
Hilbert number for a family of piecewise nonautonomous equations
本文研究了一类分段非自治方程族的动力学，解决了Poincaré中心焦点问题、极限环有限性问题，并给出了极限环数量的统一上界（Hilbert第16问题）。
2023-07-28 math.DS
Perturbed Euler top and bifurcation of limit cycles on invariant Casimir surfaces
考虑了欧拉顶的解析摄动。的扰动是基于这样的动力系统的泊松结构，在这样一种方式，该系统的Casimir不变量保持不变的扰动流。利用Poincaré-Pontryagin理论，研究了扰动系统在一阶扰动下不变Casimir曲面上极限环的存在性，给出了极限环个数的精确界.并给出了实例。
2019-10-16 math-ph math.CA math.DS
Bifurcations of grazing loops of arbitrary tangent multiplicity in piecewise-smooth systems
School of Mathematics, Sichuan University（四川大学数学学院）；School of Mathematics, China University of Mining and Technology（中国矿业大学数学学院）；School of Mathematics, Southwestern University of Finance and Economics（西南财经大学数学学院）
研究分段光滑系统中 grazing 循环在任意切乘数下的分支特性，提出新的函数扰动方法和局部化技术，建立切乘数与极限环、滑动环数量的关系。
2026-05-07 math.DS
A new simple proof for Lum-Chua's conjecture
已证明的Lum-Chua猜想指出，具有两个被直线分隔的区域的连续平面分段线性微分系统至多有一个极限环。本文利用一个新的刻画给出了平面线性系中Poincaré半映射的一个新的证明。这个证明是非常简短和直接的，因为这个特征避免了研究分段线性系的通常方法的固有缺陷（由于所涉及的矩阵的不同谱之间的不必要的歧视，为了处理飞行时间的隐式发生所迫使的超越方程，.）。此外，应用的特征允许我们证明，如果一个极限环存在，那么它是双曲线和它的稳定性是由一个简单的参数之间的关系。据我们所知，极限环的双曲性及其稳定性的简单表达式以前从未被指出过。
2021-01-20 math.DS
Twenty Hopf-like bifurcations in piecewise-smooth dynamical systems
对于许多物理系统，从稳态解到持续的小振幅振荡的过渡对应于Hopf分岔。然而，对于涉及冲击、阈值、开关或其他突发事件的系统，这种转变可以以根本不同的方式实现。本文综述了20个具有状态依赖切换规则的二维常微分方程系统的“类霍普夫”分支。这些分岔包括边界平衡分岔、平衡点或折叠点的碰撞或稳定性的改变以及由滞后或时滞产生的极限环。在每种情况下，一个稳定的解决方案改变稳定性和可能的形式，并发出一个极限环。每个分支定量分析的一般设置：我们确定的数量，支配的发病，临界性和通用性的分歧，并确定所产生的极限环的周期和振幅的标度律。基于庞加莱映射的渐近展开，提供了完整的推导。其中许多是新的，以前只对分段线性系做过。分叉整理和比较，使动态观测可以匹配的几何机制负责创建一个极限环。结果与冲击振荡器，继电器控制，自动平衡控制，捕食系统，海洋环流，和McKean和Wilson-Cowan神经元模型。
2019-05-03 math.DS
Perturbations of quadratic centers of genus one
提出了一个求亏格为1的二次系统周期环的循环性的程序。作为第一步，我们分类所有这样的系统，并确定基本的单参数二次扰动产生的最大数量的极限环。我们计算相关的Poincare-Pontryagin-Melnikov函数，其零点控制极限环的数量。为了说明我们的方法，我们确定两个特定的可逆系统的环的周期性。
2007-11-24 math.CA math.DS
Rapid evolution of complex limit cycles
本文研究了复平面上具有奇点的全纯叶理的复圈的若干问题。我们专注于当多项式微分的一种形式产生的黎曼曲面的叶理的情况下。在这种情况下，一个复杂的循环被定义为一个非平凡的元素的基本群的叶子从叶理。每当多项式叶理来自于一个精确的1-形式的扰动时，人们可以引入多重循环的概念。这种类型的循环至少有一个代表，确定一个自由的同伦类的循环在一个开放的纤维子域的复平面。这个子域的拓扑结构与前面提到的精确的一形式密切相关。本文引入并研究了近于可积多项式叶理的多重圈的概念。我们还探讨了这些周期如何对应于周期轨道的某个庞加莱映射与叶理。最后，我们讨论了连续族多重极限环在复平面中当叶理收敛到其可积部分时从某些大开域逃逸的趋势。
2010-05-11 math.CV math.DS math.GT
Singular limit analysis of a model for earthquake faulting
本文考虑描述地震断层作用的一维弹簧-块体模型。利用几何奇异扰动理论和blow-up方法，对地震幕的周期性进行了详细的描述。特别是，极限环产生于退化的Hopf分岔，其退化是由于一个潜在的哈密顿结构，导致大振幅振荡。我们使用庞加莱紧化来研究系统在无穷远点附近。在无穷远处，临界流形以指数速率失去双曲性。我们使用一个适应的爆破方法来恢复双曲。这使得能够识别一个新的吸引流形，组织在无穷大的动态。这反过来又导致制定一个猜想的行为的极限环的时间尺度分离增加。我们说明我们的研究结果与数值，并提出了一个大纲证明这一猜想。
2016-07-15 math.DS
Dynamical properties of discrete negative feedback models
本文研究了热带离散化和最大加负反馈模型的动力学性质，重新推导了Neimark-Sacker分岔条件，发现了超离散状态及两个极限环，并用Poincaré映射方法表征其动力学性质。
2023-05-10 math.DS nlin.CD
Bi-center conditions and bifurcation of limit cycles in a class of $Z_2$-equivariant cubic switching systems with two nilpotent points
本研究推广Poincaré-Lyapunov方法研究含两个幂零奇点的$Z_2$-等变三次切换系统的双中心问题，得到6个显式双中心条件，并证明其幂零双中心周围至少存在20个小振幅极限环，将环性下界从12提升至20。
2024-03-09 math.CA math.DS
The minimal model of Hahn for the Calvin cycle
在文献中有许多光合作用卡尔文循环的模型。在研究这些模型的动态时，一种策略是查看最简单的模型，以获得最详细的见解。我们调查的最小模型的卡尔文循环介绍了哈恩，而他追求这一战略。在不包括光呼吸的模型的一个变体中，它示出存在正好一个正的稳态，并且该稳态是不稳定的。对于通用初始数据，要么所有浓度在后期趋于无穷大，要么所有浓度在后期趋于零。在包括光呼吸的一个变体中，它示出，对于合适的模型参数值，存在两个正稳态，一个稳定的和一个不稳定的。对于通用初始数据，溶液在后期趋于稳定稳态或所有浓度在后期趋于零。因此，我们得到了严格的数学证明的陈述，共同证实了直观的想法提出的哈恩，光呼吸可以稳定的卡尔文循环的操作。在浓度趋于无穷大的情况下，我们使用庞加莱紧化推导出了首阶渐近公式。
2018-12-03 math.DS q-bio.MN
Bifurcations and explicit unfoldings of grazing loops connecting one high multiplicity tangent point
针对分段光滑系统中连接高重数切点的擦边环，本文用函数参数开折并沿参数曲线分析，揭示重数与穿越极限环及滑动环数量的关系，推广并补充了已有结果。
2024-04-30 math.DS
On the study of the limit cycles for a class of population models with time-varying factors
本文针对含时变因素的种群模型，提出离散导数公式与极限环存在判据，并应用于季节性捕捞模型（最多两个极限环）、Abel方程模型（最多三个）及蚊子抑制模型，改进已有结果。
2024-11-06 math.CA math.DS q-bio.PE
Bifurcation values for a family of planar vector fields of degree five
本文研究了一类单参数五次平面微分方程族$\dot {\bf x}=X_b({\bf x})$在Poincaré球面上的极限环个数和分支图.我们使用有理杜拉克函数证明了存在一个值$b^*>0$，使得极限环仅在$b\in(0,b^*)$时存在，并且它是唯一的和双曲的。此外，我们提供了一个长度为27/1000的区间，其中$b^*$位于。据我们所知，用于确定这一区间的工具是新的，并且是基于对微分方程的流动无接触的代数曲线的构造。这些曲线是利用向量场的无穷临界点的分离线的解析信息得到的。为了证明Bendixson-Dulac定理的有效性，本文提出了一种基于双判别式计算的二元单参数多项式族不为零的方法。
2012-02-09 math.DS
Quadratic perturbations of quadratic codimension-four centers
我们研究了具有中心的所有二次微分系统$\dot{x}=P_2(x,y), \dot{y}=Q_2(x,y)$的集合中的层，称为余维四情况$Q_4$。它有一个中心和一个节点，以及一个有理首次积分。系统在二次小扰动下的极限环由第一个Poincaré-Pontryagin-Melnikov积分$I$的零点决定.我们证明了未扰动系统的轨道是椭圆曲线，并且$I$是完全的椭圆积分.然后利用Picard-Fuchs方程和Petrov方法（基于辐角原理），我们将中心周围的周期环产生的极限环的个数的上界设为8。
2008-11-27 math.CA math.DS
The limit cycles in a generalized Rayleigh-Liénard oscillator
本文计算了广义Rayleigh-Liénard方程$$\ddot{x}+ax+bx^3-(λ_1+λ_2 x^2+λ_3\dot{x}^2+λ_4 x^4+λ_5\dot{x}^4+λ_6 x^6)\dot{x}=0$$和等价平面系统$X_λ$的开周期环的循环性，其中扰动系数$λ_j$是独立的小参数，$a, b$是固定的非零常数.我们的主要工具是所谓的高阶Poincaré-Pontryagin-Melnikov函数（Melnikov函数，简称$M_n$）的机制，结合中心条件和相应的Bautin理想的显式计算。我们考虑第一任意解析弧$\varepsilon \to λ(\varepsilon)$和明确计算所有可能的Melnikov函数$M_n$有关的变形$X_{ λ(\varepsilon)} $。在第二步，我们获得精确的界限的Melnikov函数（完整的椭圆积分取决于参数）在适当的复杂域中的零点的数量，使用修改的彼得罗夫的方法。为了处理一般情况下的六参数变形$λ\to X_λ$，我们首先计算相关的Bautin理想。为此，我们仔细研究了三阶以下的Melnikov函数，然后使用代数几何中的Nakayama引理。Bautin理想的原理化（在爆破后实现）最终将一般变形$X_{ λ} $的研究减少到单参数变形$X_{ λ(\varepsilon)} $的研究。
2022-03-05 math.CV math.DS
Sustained Limit Cycles in the Logistic Two-Gene Genetic Oscillator: A Delay-Driven Hopf Bifurcation
本文通过引入转录延迟将逻辑双基因负反馈模型扩展为延迟微分系统，证明总延迟跨越临界值时平衡点通过Hopf分岔失稳，并给出闭式临界条件、振幅标度律及周期渐近式，校准至p53-Mdm2数据误差在3%以内。
2026-05-22 math.DS
