A Note on Heights of Cyclotomic Polynomials
Gennady Bachman, Christopher Bao, Shenlone Wu
本文证明了对于任意正整数 $h$，$h$ 或 $h+1$ 必为某个由三个不同素数乘积决定的分圆多项式 $Φ_n$ 的高度。
我们证明，对于任意正整数 $h$，$h$ 或 $h+1$ 是某个分圆多项式 $Φ_n$ 的高度，其中 $n$ 是三个不同素数的乘积。
We show that for any positive integer $h$, either $h$ or $h+1$ is a height of some cyclotomic polynomial $Φ_n$, where $n$ is a product of three distinct primes.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Counting Algebraic Integers of Bounded Height in Cyclotomic Fields
本文针对素数幂阶分圆域，给出绝对高度不超过B的代数整数和单位个数的渐近上界。
On the height of cyclotomic polynomials
设$A_n$表示分圆多项式$Φ_n$的高度，其中$n$是$k$不同奇素数的乘积。我们证明了$A_n \le ε_kϕ(n)^{k^{-1}2^{k-1}-1}$与$-\logε_k\sim c2^k$，$c>0$ .对于逆分圆多项式$Ψ_n$的高度$C_n$也是如此。此外，我们改进了Kaplan关于$x^n-1$的因子的最大高度的一个界，记为$B_n$ .我们表明，$B_n<η_k n^{(3^k-1)/(2k)-1}$，与$-\log η_k \sim c3^k$和相同的$c$。
A lower bound for the Call-Silverman height in cyclotomic extensions
该研究针对数域上的二次后临界有限多项式，结合位势理论等技术，建立分圆扩张中游荡代数整数的Call-Silverman高度下界，并给出非整数情形的部分结果。
Cyclotomic preperiodic points for morphisms in affine spaces and preperiodic points with bounded house and height
本文研究了仿射空间中模形的周期点集在循环闭包上的稠密性问题，并探讨了具有有界house和高度的周期点的性质。
On Heights and Diameters of Ternary Cyclotomic and Inclusion-Exclusion Polynomials
本文证明了对于任意奇素数p和整数h，存在足够大的素数q和r，使得对应的循环多项式Φ_{pqr}的高度为h，并揭示了其直径的可能取值。
A note on class number of certain real cyclotomic field
构造了一类具有非平凡类群的实分圆域的无限族。这个结果推广了文[1]中的结果，因为我们的族包括了他们的族。
A note on inverses of cyclotomic mapping permutation polynomials over finite fields
本文给出了Zheng，Yu，Pei关于有限域上广义分圆置换多项式的逆的显式的结果的一个较短的证明.此外，我们刻画了所有这些分圆置换多项式是对合。我们的结果提供了一个快速的算法（只涉及模运算），以产生许多类的广义分圆置换多项式，其逆，和对合。
Cyclotomic polynomials with prescribed height and prime number theory
给定任何正整数$n,$，令$A(n)$表示$n^{\text{th}}$分圆多项式的高度，即其绝对值的最大系数。众所周知，$A(n)$是无界的。我们猜想，每一个自然数可以出现的$A(n)$的值，并证明这一点，假设对每一对连续素数$p$和$p'$与$p\ge 127$，我们有$p'-p<\sqrt{p}+1.$我们还猜想，每一个自然数出现的最大系数的一些分圆多项式，并表明这是真的，如果Andrica的猜想，总是$\sqrt{p'}-\sqrt{p}<1$举行。这是第一次，据作者所知，一个连接之间的主要差距和分圆多项式被发现。利用Heath-Brown关于素数间隙的一个结果，我们无条件地证明了每个自然数$m\le x$都以$A(n)$值出现，至多有$O_ε(x^{3/5+ε})$例外.在Lindelöf假设，我们表明，最多有$O_ε(x^{1/2+ε})$例外，并进一步研究他们使用深入的工作Bjueri-Friedlander-Iwaniec对分布的素数算术级数超越平方根障碍。
A Note on the equivalence of the parity of class numbers and the signature ranks of units in cyclotomic fields
本文收集了素数幂分圆域中各种类数的奇偶性和单位的签名秩的等价性的一些陈述。我们纠正了文献中关于这些奇偶性的一些错误陈述，提供了一个例子，一个素分圆域的单位的签名秩和循环单位的签名秩不相等。
The Cassels heights of cyclotomic integers
研究了分圆整数$β$共轭模的均方值集$\mathscr C$.对于它的$k$次导出集$\mathscr C^{(k)}$，我们证明了$\mathscr C^{(k)}=(k+1)\mathscr C\,\, (k\ge 0)$，因此也有${\mathscr C}^{(k)}+{\mathscr C}^{(\ell)}={\mathscr C}^{(k+\ell+1)}\,\,(k,\ell\ge 0)$。我们还计算了$\mathscr C$的序类型，并证明了它与PV数集的序类型相同。进一步，我们精确地描述了限制集$\mathscr C_p$，其中$β$局限于环$\mathbb Z[ω_p]$，其中$p$是奇素数，$ω_p$是本原$p$的单位根.为了做到这一点，我们证明了二次多项式$a^2+ab+b^2+c^2+a+b+c$和$a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca+a+b+c$是通用的。
On a certain family of inverse ternary cyclotomic polynomials
研究了一类逆三元分圆多项式$Ψ_{pqr}$，其中$r\leφ(pq)$是$p$和$q$的正线性组合.我们导出了这类多项式的高度公式，并刻画了这类多项式族中的所有平坦多项式。
A note on quadratic cyclotomic extensions
本文通过引入关键映射并确定特定素数幂下的最大自然数，给出了任意域上二次分圆扩张中本原单位根的两种统一刻画。
A note on cyclotomic Euler systems and the double complex method
本文利用Anderson提出并由Das和Ouyang进一步发展的二重复形方法，对分圆Euler系统中的Kolyvagin递推给出了一个新的普遍的解释.也就是说，我们证明了Kolyvagin类满足的递归是一个泛递归的特殊化，它与泛Kolyvagin类在泛常分布a la Kubert的群上同调中所满足的所选域无关。此外，我们表明，通过一种方法，涉及一个变种的对角线移位操作介绍达斯，某些组上同调类属于（最多签署）的基础上，以前建造的欧阳也满足普遍递归。
A Note on Cyclotomic Integers
本文给出了分圆整数构成分圆域中整数满环的一个新证明。
A note on cyclotomic polynomials and Linear Feedback Shift Registers
线性反馈移位寄存器（LFRS）是在许多不同的上下文中通常用于密码学的工具，例如作为伪随机数生成器。在本文中，我们刻画LFRS与某些对称性。与此相关的问题，我们也分类多项式f的次数n满足的性质，如果a是根的f然后$f(a^n)=0$。分类很大程度上取决于多项式系数的字段的选择，我们考虑的情况下$K=\mathbb{F}_p$和$K=\mathbb{Q}$。
$p$-adic heights of Heegner points and Beilinson-Flach elements
本文给出了Howard的$Λ$ -adic Gross-Zagier公式的一个新的证明，并将其推广到非分裂四元数代数上的$\mathbf{Q}$上的不定Shimura曲线.该公式将限制在反分圆线上的二元$p$ -adic $L$函数的分圆导数与反分圆塔上Heegner点的分圆$p$ -adic高度相关联，并且我们的证明不是受到Gross-Zagier和Perrin-Riou的原始方法的启发，而是通过Iwasawa理论，基于Heegner点，Beilinson-Flach元素，以及它们明确的互反定律。
Note about the linear complexity of new generalized cyclotomic binary sequences of period $2p^n$
本文研究了Yi Ouang等人最近提出的周期为$2p^n$的新广义分圆二元序列的线性复杂度（arXiv：1808.08019v1 [cs.IT] 2018年8月24日）。我们推广了他们的结果，并讨论了作者的猜想。
Notes On a Borwein and Choi's conjecture of cyclotomic polynomials with coefficients $\pm1$
Borwein和Choi证明了系数为$\pm1$的多项式$P(x)$是分圆的当且仅当$$P(x)=\pm Φ_{p_1}(\pm x)Φ_{p_2}(\pm x^{p_1})\cdots Φ_{p_r}(\pm x^{p_1p_2\cdots p_{r-1}})$$其中$N=p_1p_2\cdots p_{r}$和$p_i$是素数，不一定是相异的。这里$Φ_p(x):=(x^p-1)/(x-1)$是$p-$次分圆多项式。在\cite{1}，他们还证明了猜想$N$奇数或幂2。在本文中，我们引入了一个所谓的$E-$变换，我们证明了猜想的各种情况下，并提出了关键以及一个新的方法来调查的猜想。
Lorentz groups of cyclotomic extensions
在这个（主要是历史）注意到，我们显示了如何从[W]，[SOS]的统一库默-阿廷-施赖尔序列可以从相对论速度加法定律恢复。
Height moduli on cyclotomic stacks and counting elliptic curves over function fields
本文利用twisted stable maps和stacky height functions理论，构造了参数化cyclotomic stacks上固定高度有理点的有限型模空间，解释了函数域上椭圆曲线计数中的低阶主项，回答了Venkatesh的问题。
A Note on Cyclotomic Polynomials
本文给出了一个更一般的证明，证明了分圆多项式在满足一定条件的数域Q上是不可约的。证明提供了一个新的视角，将众所周知的结果，以及一些新的后果，包括一个必要条件的代数解决方案，由某些不可约多项式的根。
Coefficients of a relative of cyclotomic polynomials
设$N=p_1p_2... p_n$是$n$不同素数的乘积。将$P_N(x)$定义为多项式$(1-x^N)\prod_{1\leq i<j\leq n}(1-x^{N/(p_ip_j)})/\prod_{i=1}^n (1-x^{N/p_i})$。(When $n=2$，$P_{pq}(x)$是$pq$次分圆多项式，并且当$n=3$，$P_{pqr}(x)$是$(1-x)$乘以$pqr$次分圆多项式时.）设多项式的高度是其系数之一的最大绝对值。众所周知，$Φ_{pq}(x)$的高度是1，并且Gallot和Moree表明，当$n=3$时，对于$P_{pqr}(x)$也是如此。我们发现，$P_N(x)$的系数主要取决于$p_j^{-1} \pmod {p_i}$形式的剩余和的相对顺序。这使我们能够明确地描述当$n=3$时$P_N(x)$的系数，并表明当$n=4$时$P_N(x)$的高度至多为2。我们还表明，对于任何$n$存在$P_N(x)$的高度为1，但在一般情况下，$P_N(x)$的最大高度是一个函数，只依赖于$n$的增长率$2^{n^2/2+O(n\log n)}$。
On Weil Numbers in Cyclotomic Fields
本文研究了$\mathbb Q(ζ\_p).$的分圆$\mathbb Z\_p$ -扩张中Weil数的p-adic行为.利用Iwasawa理论中出现的一些经典模的特征理想，确定了半局部单位的商与Weil数的特征理想.
Higher Mahler measure for cyclotomic polynomials and Lehmer's question
非零多项式$P$的$k$ -高阶马勒测度是$\log^k|P|$在单位圆上的积分。本文研究了$k>1$的Lehmer问题（这是$k=1$的一个长期未解决的问题），得到了分圆多项式的2-和3-高阶Mahler测度的一些有趣公式.
Cyclotomic ordering conjecture
本文描述了一个涉及分圆多项式的猜想，并给出了初步的解答。给定正整数$m,n$，猜想是$Φ_m(q)\leqslantΦ_n(q)$或$Φ_m(q)\geqslantΦ_n(q)$对所有整数$q\geqslant 2$成立。Pomerance和Rubinstein-Salzedo在一份名为“分圆巧合”的预印本中证明了这个猜想[arXiv：1903.01962]。
Notes on the fine Selmer groups
本文研究了特征为p的有限剩余域的交换完备诺特环上的Galois模上的Selmer群，即研究了它在取剩余表示和在域扩张内的性质.特别是，我们将表明，精细Selmer群的变化在分圆$\Zp$ -扩张是密切相关的变化的类组在分圆塔。我们还讨论了细Selmer群的伪零性的一些例子。
Heights of divisors of x^n-1
具有整数系数的多项式的高度是绝对值最大的系数。关于分圆多项式的有界高度问题已有许多论文。一个结果，由于H. Maier给出了几乎所有n的n^{n（n）}的最佳可能上界，其中n（n）是当n趋于无穷大时趋于无穷大的任何函数。我们将讨论在所有多项式因子x^n - 1上的最大高度的界的相关问题，并在这种情况下给出Maier结果的类似结果。
An Identity involving the Cyclotomic Polynomials
给出了分圆多项式$Φ_n(X)$的一个初等恒等式，它反映了$Φ_n(X)$作为$n$的函数的一种乘法性质，并探讨了它与其它数论函数性质的联系.重要提示：在上传到arXiv的这篇文章的第一个版本中，据说这个结果似乎是新的。然而，在那之后，我知道这个恒等式（在定理1.1中）以前在Cheng，C. C.一、麦凯，J.H.，& Wang，S. S. S.（1995年）。分圆多项式的结式。Proceedings of the American Mathematical Society，123（4），1053-1059. (with不同的证明）。
A proof of the corrected Sister Beiter cyclotomic coefficient conjecture inspired by Zhao and Zhang
本文受赵和张工作的启发，通过补充大量细节完善了修正的Sister Beiter分圆多项式系数猜想$M(p)\le 2p/3$的证明，并利用该界改进了三元分圆多项式系数的已有估计，确定了三个新素数对应的精确最大值。
An orthogonal relation on inverse cyclotomic polynomials
设$Φ_n(X)$和$Ψ_n(X)=\frac{X^{n}-1}{Φ_{n}(X)}$分别是$n$次分圆多项式和逆分圆多项式.在这篇短文中，对于$ n $的任何一对约数$ d_{1} \neq d_{2} $，以及整数$l_1$和$l_2$，使得$ 0 \leq l_{1} \leq φ(d_{1})-1 $和$ 0 \leq l_{2} \leq φ(d_{2})-1 $，我们证明了\[\left \langle X^{l_{1}} Ψ_{d_{1}}(X) (1+X^{d_1}+\dots X^{n-d_1}), X^{l_{2}} Ψ_{d_{2}}(X) (1+X^{d_2}+\dots X^{n-d_2}) \right \rangle =0, \]，其中$ \langle \cdot, \cdot \rangle $是由$ \langle \sum_{k} a_{k}X^{k},\sum_{k} b_{k}X^{k} \rangle =\sum_{k} a_{k}b_{k}$定义的$\mathbb{Q}[X]$上的内积。
Universal norms and de Rham representations
本文证明Iwasawa上同调中通用范数计算从分圆扩张可推广至任意包含它的p-adic扩张，并给出适用于Lubin-Tate扩张的扭曲变体。
Cup products and L-values of cusp forms
本文给出了一个猜想：对于奇素数p，p阶分圆域中分圆p-单位上的上积配对的特殊值与满足模p同余的新形式的L-值之间的关系.
Maximum Gap in (Inverse) Cyclotomic Polynomial
令$g(f)$表示在多项式$f$中出现的两个连续指数之间的差（间隙）的最大值。令$Φ_n$表示$n$次分圆多项式，并且令$Ψ_n$表示$n$次逆分圆多项式。本文研究了$g(Φ_n)$和$g(Ψ_n)$，其中$n$是奇素数的乘积，如$p_1 < p_2 < p_3$等.确定$g(Φ_{p_1})$，$g(Ψ_{p_1})$和$g(Ψ_{p_1p_2})$是很容易的.因此，最简单的非平凡情况是$g(Φ_{p_1p_2})$和$g(Ψ_{p_1p_2p_3})$。我们给出了$g(Φ_{p_1p_2}).$的精确表达式。我们也给出了$g(Ψ_{p_1p_2p_3})$在温和条件下的精确表达式。该条件几乎总是满足的（只有有限例外的每个$p_1$）。我们还提供了一个下限和上限为$g(Ψ_{p_1p_2p_3})$。
A Note on Cyclotomic Function Fields with Quadratic Modulus
本文研究了具有二次模的 cyclotomic 函数域的特征，证明了其与特定函数域的等价条件，包括群结构、曲率和有理地方数。
Integers that are sums of two cubes in the cyclotomic $\mathbb{Z}_p$-extension
研究能表示为两个立方和的整数在环论Z_p扩张中的性质及应用。
Automorphisms of K3 surfaces, cyclotomic polynomials and orthogonal groups
本文研究复射影K3曲面自同构诱导的超越格等距映射的特征多项式，确定哪些分圆多项式的幂可以出现，并为多位学者的相关结果提供新方法，进而探讨格的正交群问题。
Cyclotomic polynomials without using the zeros of $Y^n-1$
本研究构造有理数域上多项式$Y^n-1$的内蕴分裂域，无需预先给定该多项式的分裂域即可证明分圆多项式的不可约性，契合经典数论学者的研究思路。
A note on extensions of $\mathbb{Q}^{tr}$
本文研究了全实数域$\mathbb{Q}^{tr}$扩张上绝对对数Weil-高度h的行为.已知在$\mathbb{Q}^{tr}$上在零和下一个最小的h值之间存在间隙，而在$\mathbb{Q}^{tr}(i)$中存在任意小的正高度的元素。我们证明了$\mathbb{Q}^{tr}$的任何有限扩张中的所有小高度元素都已位于$\mathbb{Q}^{tr}(i)$中。这导致了一个积极的答案Amoroso，大卫和Zannier的问题，如果存在一个伪代数闭域与上述高度差距。
A Note on the Formal Groups of Weighted Delsarte Threefolds
正特征的代数闭域上的一维形式群按其高度分类。在$K3$曲面的情况下，其形式群的高度取$1$和$10$之间的整数值，或$\infty$。对于Calabi-Yau三重，如果高度是有限的，则高度以$h^{1,2}+1$为界，其中$h^{1,2}$是Hodge数。目前，只有有限数量的具体例子，明确的价值或分布的高度。本文考虑由加权Delsarte三重性产生的正特征的Calabi-Yau三重性。我们描述了一个算法，用于计算其形式群的高度，并进行计算与各种Calabi-Yau三折的Delsarte型。
Note on Artin's Conjecture on Primitive Roots
E. Artin证明了任何非完全平方的整数$a >1$对于无穷多个素数$p.$都是模$p$的原根。令$f_a(p)$为非平方整数$a$模素数$p.$ M的乘法阶。R. Murty和S. Srinivasan [10]证明，如果$\sum_{p<x} \frac 1 {f_a(p)}= O(x^{1/4})$，则Artin猜想对$a.$成立。我们将Murty-Srinivasan条件与$\mathbb Q(e^{2πi/p})$中对应于子群$<a> \subseteq \mathbb F*_p.$的子域的分圆周期之和联系起来
On monic abelian trace-one cubic polynomials
本文研究了具有伽罗瓦群 $C_3$ 的首一迹一三次整系数多项式，利用环面几何高度函数和二次分圆域 $\mathbb Q(\sqrt{-3})$ 的参数化方法，计算了有界高度下的渐近数量，并给出了固定系数 $a$ 时多项式数量的显式公式。
Factorization of Dickson polynomials over Finite Fields
设$D_n(x;a)$和$E_n(x;a)\in\mathbb F_q[x]$分别是第一类和第二类Dickson多项式，其中$\mathbb F_q$是具有$q$元素的有限域。本文给出了$n$的每一个素因子整除$q-1$时这些多项式的不可约因子。这一结果推广了Chou，W.S.，有限域上Dickson多项式的因式分解。有限域应用{ \bf 3}（1997）84-96，Fitzgerald R. W.，尤卡斯J.L.，有限域上分圆多项式和Dickson多项式的显式因式分解。有限域的算术。计算机科学讲义，卷{ \bf 4547}，页。1-10. Springer，Berlin（2007），Tosun，S.，有限域上$2^{m}$阶广义Dickson多项式通过广义分圆多项式的显式分解有限域应用{ \bf 38}（2016）40-56和Tosun，S.，有限域上$2^m3$阶广义分圆多项式和广义Dickson多项式的显式因子。离散数学. 342（2019）DOI：j.disc.2019.111618
Height of Some Automorphisms of Local Fields
本文确定了$\mathrm{Aut}_{\mathbb{F}_q}(\mathbb{F}_q((x)))$的哪些自同构子群对应于特征$0$域的$\mathbb{Z}_p$ -扩张或$\mathbb{Z}_p\times\mathbb{Z}_p$ -扩张.
Unlikely intersections and multiple roots of sparse polynomials
本文给出了一个结构定理，证明了所有系数和指数都是变化的一元多项式族中的多重非分圆不可约因子。粗略地说，这一结果表明稀疏多项式的多重非分圆不可约因子也是稀疏的。为了证明这一点，我们给出了一个变种定理的Bubieri和Zannier的交叉点上的一个固定的子品种的余维2的乘法群与所有的挠曲线，与边界有一个明确的依赖于高度的子品种。我们还使用后者的结果给一些证据的猜想Bolognesi和Pirola。
Comments on the height reducing property
一个复数alpha被称为满足高度缩减性质，如果存在有理整数环Z的有限子集F，使得Z[alpha]=F[alpha]。这个问题的发现F已被认为是由几个作者，特别是在有关的自仿射平铺，和扩展的实数在非整数基地。本文继续描述满足降高性质的数，并给出了具有支配项的整数多项式根的一个相关刻画。
On the growth of even $K$-groups of rings of integers in $p$-adic Lie extensions
设$p$为奇素数。本文研究了整数环的偶数$K$ -群的Sylow $p$ -子群在$p$ -adic Lie扩张中的增长性.我们的结果推广了Coates和Ji-Qin以前的结果，他们考虑了分圆$\mathbb{Z}_p$ -扩张的情形.我们的证明方法不同于这些以前的工作。他们的证明依赖于一个明确的描述，某些伽罗瓦群通过库默尔理论提供的背景下，分圆$\mathbb{Z}_p$ -扩展，而我们的方法是通过考虑岩泽上同调群的系数在$\mathbb{Z}_p(i)$为$i\geq 2$。我们应该提到的是，后者的方法是可能的，这要归功于奎伦-利希滕鲍姆猜想，现在已知该猜想是有效的罗斯特-Voevodsky的作品。我们还注意到，该方法使我们能够与更一般的$p$ -adic李扩展，不一定包含分圆$\mathbb{Z}_p$ -扩展，库默尔理论方法不适用。一路上，我们研究了$i\geq 2$的第二个岩泽上同调群的挠率，其系数为$\mathbb{Z}_p(i)$。最后，我们给出了$p$ -adic李扩张的例子，其中第二Iwasawa上同调群可以有非平凡的$μ$ -不变量。
A proof of the Schinzel-Zassenhaus conjecture on polynomials
我们证明，如果$P(X) \in \mathbb{Z}[X]$是一个整数多项式的次数$n$和有$P(0) = 1$，那么要么$P(X)$是一个产品的分圆多项式，否则至少有一个复根的$P$属于磁盘$|z| \leq 2^{ - 1 / (4n) }$。我们还得到了这个结果在$\mathbb{Q}$的所有交换扩张和所有全$p$-adic扩张的合成$\mathbb{Q}^{\mathrm{ab}} \cdot \mathbb{Q}^{\mathrm{t.}p}$上的一个相对版本，对于任何固定的素数~$p$，并应用它证明了乘法群上的一个$\mathbb{Q}^{\mathrm{ab}} \cdot \mathbb{Q}^{\mathrm{t.}p}$-相对标准高度下界.另一个推广是给出了$\mathbb{Q}[[X]]$中完整幂级数的一个与奇点总数成反比的一致正高度下界，而不是$p(X) / (X^k-1)^m$的形式，其中$p(X) \in \mathbb{Q}[X]$，并进一步应用于某些有理函数的小临界值的存在性.
Height functions associated with closed subschemes
这是对与闭子概形有关的高度函数的一个简要说明。这份手稿没有什么新内容。
The modular height of an abelian variety and its finiteness property
本文给出了定义在Q上有限型域上的阿贝尔簇的模高。此外，我们还证明了它的有限性。
The asymptotic Mahler measure of Gaussian periods
构造具有特别小Mahler测度的分圆整数（高斯周期）序列，研究其Mahler测度作为导子函数的渐近行为，发现增长率是维数递增的log Calabi-Yau簇族的多元Mahler测度。
A note on generators of number fields
我们建立了有理数域$\Q$上数域$k$的生成元的最小高度的上界。我们的第一个界限适用于至少有一个实嵌入的所有数域$k$。我们还给出了第二个条件结果，所有的数域$k$，使戴德金ζ函数与伽罗瓦封闭的$k/\Q$满足GRH。这为W的一个问题提供了部分答案。鲁珀特
Heights of points on elliptic curves over $\mathbb Q$
本文利用适当的椭圆曲线理想类对$$Ψ_{E,-D}: E(\mathbb{Q})\times E_{-D}(\mathbb{Q})\mapsto \mathrm{CL}(-D).$$，得到了$E(\mathbb{Q})$上非挠点的典范高度的有效下界。利用类数$H(-D)$和$D$中的对数函数$T_E(-D)$，证明了$$ \widehat{h}(P)> \frac{|E_{\mathrm{tor}}(\mathbb{Q})|^2}{\left( H(-D)+ |E_{\mathrm{tor}}(\mathbb{Q})|\right)^2}\cdot T_E(-D). $$
Points of bounded height on weighted projective spaces over global function fields
本文研究整体函数域上加权射影叠的有界高度有理点计数问题，给出了点数的精确公式与渐近式。
Local heights on elliptic curves and intersection multiplicities
本文利用整数环上正则模型上的相交理论证明了数域上椭圆曲线的局部高公式。
A Note on the Specialization Theorem for Families of Abelian Varieties
本文应用Moriwaki的算术高度函数得到了$K$上的阿贝尔簇族的Silverman特化定理的一个类似结果，其中$K$是在${\Q}$上生成的任意域群.
Positivity of heights of codimension 2 cycles over function field of characteristic 0
本文证明了特征为0的函数域上同调平凡余维两圈的高度配对的经典Hodge指标定理如何蕴涵Beilinson的Hodge指标猜想.在我们关于Gross-Schoen圈的论文中，利用Zubeyir Cinkir最近证明的关于度量化图的一些定理，导出了Bogomolov猜想和Hodge类（或Faltings高度）的一个下界.
Counting integral points of bounded height on varieties with large fundamental group
本说明专门讨论对Ellenberg、Lawrence和Venkatesh最近的一份文件的修正。粗略地说，这里的主要结果表明，在一个基本群较大的数域上，簇的有界高度的整点数的次多项式增长。这样的改进，即需要大的基本群，而不是纯霍奇结构的几何变化的存在，已经问在同前。
Divisibility sequences of polynomials and heights estimates
在本文中，我们计算一个常数$N$，它限制了椭圆整除序列中非本原因子的个数。我们改进了Ingram--Mah{é}--Silverman--Stange--Streng，2012的结果，并且我们表明常数可以独立于特定点并且在一定程度上独立于特定曲线来选择，正如在loc中预测的那样。前引书
On K-stability, height bounds and the Manin-Peyre conjecture
本文探讨复K-半稳定Fano簇高度界与Peyre猜想及Elsenhans-Jahnel上界的关系，提出实点高度不等式类比，并在实射影直线上建立，关联Kähler-Einstein度量。
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