An orthogonal relation on inverse cyclotomic polynomials
设$Φ_n(X)$和$Ψ_n(X)=\frac{X^{n}-1}{Φ_{n}(X)}$分别是$n$次分圆多项式和逆分圆多项式.在这篇短文中，对于$ n $的任何一对约数$ d_{1} \neq d_{2} $，以及整数$l_1$和$l_2$，使得$ 0 \leq l_{1} \leq φ(d_{1})-1 $和$ 0 \leq l_{2} \leq φ(d_{2})-1 $，我们证明了\[\left \langle X^{l_{1}} Ψ_{d_{1}}(X) (1+X^{d_1}+\dots X^{n-d_1}), X^{l_{2}} Ψ_{d_{2}}(X) (1+X^{d_2}+\dots X^{n-d_2}) \right \rangle =0, \]，其中$ \langle \cdot, \cdot \rangle $是由$ \langle \sum_{k} a_{k}X^{k},\sum_{k} b_{k}X^{k} \rangle =\sum_{k} a_{k}b_{k}$定义的$\mathbb{Q}[X]$上的内积。
2022-08-30 math.NT
Sister Beiter and Kloosterman: a tale of cyclotomic coefficients and modular inverses
对于固定素数$p$，存在分圆多项式$Φ_{pqr}(x)$的最大系数（绝对值）$M(p)$，其中$r$和$q$是满足$r>q>p$的自由素数。贝特修女在1968年发表了$M(p)\le(p+1)/2$。2009年，Gallot和Moree证明了$M(p)\ge 2p(1-ε)/3$对于每个$p$都足够大。本文应用Kloosterman和（“cloister man和”）等模逆分布的工具，对Beiter姐妹猜想的反例进行了量化，并锐化了$M(p)$的上述下界.
2012-09-17 math.NT
Maximum gap in cyclotomic polynomials
分圆多项式在数论、组合数学、代数及其应用中起着重要的作用。因此，它们的性质已被广泛研究。在本文中，我们研究了最大间隙$g$（任何两个连续指数之间的差异的最大值）。2012年，证明了素数$p_{2}>p_{1}$的$g\left( Φ_{p_{1}p_{2}}\right) =p_{1} -1$。在2017年，基于大量的计算，以下推广被证明：$g\left( Φ_{mp}\right) =φ(m)$用于无平方的奇数$m$和素数$p>m$。本文的主要贡献是证明了这一猜想。
2020-01-23 math.NT
On the Scaled Inverse of $(x^i-x^j)$ modulo Cyclotomic Polynomial of the form $Φ_{p^s}(x)$ or $Φ_{p^s q^t}(x)$
非零元素$a(x)\in \mathbb{Z}[x]/f(x)$的缩放逆是元素$b(x)\in \mathbb{Z}[x]/f(x)$，使得对于最小可能正整数，$a(x)b(x)=c \pmod{f(x)}$缩放$c$，其中$f(x)$是$\mathbb{Z}$上的不可约多项式。本文研究了$Φ_{p^s}(x)$或$Φ_{p^s q^t}(x)$形式的$(x^i-x^j)$模分圆多项式的标度逆，其中$p, q$是素数，$p<q$和$s, t$是正整数.我们的主要结果是：$(x^i-x^j)$的标度逆的系数大小是有界的$p-1$与规模$p$ modulo $Φ_{p^s}(x)$，并有界的$q-1$与规模不大于$q$ modulo $Φ_{p^s q^t}(x)$ .以前，$Φ_{2^n}(x)$形式的分圆多项式的类似结果产生了许多基于格的密码系统，特别是零知识证明。我们的结果提供了更灵活的选择分圆多项式在这样的密码系统。在证明定理的过程中，我们还证明了$\mathbb{Z}[x]/Φ_{pq}(x)$中$\{x^k\}_{k\in\mathbb{Z}}$的几个性质，这些性质可能是独立感兴趣的。
2021-06-08 math.NT
Inversion of two cyclotomic matrices
设$n\ge 3$为无平方自然数。我们明确地描述了矩阵$$ (2\sin(2πjk^*/n))_{j,k} \enspace \mbox{ and }\enspace (2\cos(2πjk^*/n))_{j,k}, $$的逆，其中$k^*$表示$k$ mod $n$的乘法逆，并且$j,k$贯穿集合$\{l; 1\le l\le n/2, (l,n)=1\}$。这些结果是基于高斯和的理论。
2018-08-27 math.NT
New Evaluations of Inverse Binomial Series via Cyclotomic Multiple Zeta Values
本文利用 Au 基于分圆多重 zeta 值的求值方法，解决了 Chen 2010 年分析教材中关于逆二项式级数的公开问题。
2024-09-03 hep-th math.CA math.NT
Signature Ranks of Units in Cyclotomic Extensions of Abelian Number Fields
我们证明了${\mathbb Q}( ζ_m)^+$的循环单元的签名群（因此也是完整的单元群）的秩趋于无穷大，其中$m$。我们还表明，签名秩的单位不同于它的最大可能值的有界量的复合阿贝尔域的所有实子域的许多奇数素数幂分圆塔。特别地，对于任何素数$p$，${\mathbb Q}( ζ_{p^n})^+$的单元的签名秩与$φ(p^n)/2$相差一个量，该量独立于$n$而有界。最后，我们有条件地表明，一般分圆域的单位签名秩可以不同于其最大可能值由任意大的量。
2018-09-06 math.NT
On the height of cyclotomic polynomials
设$A_n$表示分圆多项式$Φ_n$的高度，其中$n$是$k$不同奇素数的乘积。我们证明了$A_n \le ε_kϕ(n)^{k^{-1}2^{k-1}-1}$与$-\logε_k\sim c2^k$，$c>0$ .对于逆分圆多项式$Ψ_n$的高度$C_n$也是如此。此外，我们改进了Kaplan关于$x^n-1$的因子的最大高度的一个界，记为$B_n$ .我们表明，$B_n<η_k n^{(3^k-1)/(2k)-1}$，与$-\log η_k \sim c3^k$和相同的$c$。
2010-12-17 math.NT
Explicit expression for a family of ternary cyclotomic polynomials
本文给出了一类三元分圆多项式：$Φ_{p_{1}p_{2}p_{3}}$的显式表达式，其中$p_{1}<p_{2}<p_{3}$是使得$p_{2} \equiv1 \mod p_{1}$和$p_{3} \equiv1 \mod {p_{1}p_{2}}$的奇素数.作为显式表达式的应用，我们给出了一个精确的公式中的多项式的非零项的数量在家庭中，这反过来又立即表明，密度（非零项/度的数量）大致成反比的$p_{2}$，当$p_{1}$是足够大的。
2018-01-16 math.NT
The subspace structure of maximum cliques in pseudo-Paley graphs from unions of cyclotomic classes
本文研究由半本原分圆类并构成的伪佩利图中具子空间结构的√q大小团的存在性，证明这类团需各分圆类贡献相等且多数伪佩利图无此类团，还证实广义佩塞特图与佩利图、佩塞特图不同构。
2024-07-22 math.CO math.NT
Cyclotomic polynomials with prescribed height and prime number theory
给定任何正整数$n,$，令$A(n)$表示$n^{\text{th}}$分圆多项式的高度，即其绝对值的最大系数。众所周知，$A(n)$是无界的。我们猜想，每一个自然数可以出现的$A(n)$的值，并证明这一点，假设对每一对连续素数$p$和$p'$与$p\ge 127$，我们有$p'-p<\sqrt{p}+1.$我们还猜想，每一个自然数出现的最大系数的一些分圆多项式，并表明这是真的，如果Andrica的猜想，总是$\sqrt{p'}-\sqrt{p}<1$举行。这是第一次，据作者所知，一个连接之间的主要差距和分圆多项式被发现。利用Heath-Brown关于素数间隙的一个结果，我们无条件地证明了每个自然数$m\le x$都以$A(n)$值出现，至多有$O_ε(x^{3/5+ε})$例外.在Lindelöf假设，我们表明，最多有$O_ε(x^{1/2+ε})$例外，并进一步研究他们使用深入的工作Bjueri-Friedlander-Iwaniec对分布的素数算术级数超越平方根障碍。
2020-11-30 math.NT
On the coefficients of the cyclotomic polynomials of order three
我们说一个分圆多项式Phi_{n}（x）有三阶，如果n是三个不同素数的乘积，p<q<r。设A（n）是Phi_{n}（x）的系数的最大绝对值，M（p）是A（pqr）的最大值。1968年，马里恩·贝特修女证明了A（pqr）<=（p+1）/2。在2008年，Yves Gallot和Pieter Moree证明了这个猜想对所有p>=11都是假的，他们提出了修正的贝特猜想：M（p）<= 2 p/3。本文给出了修正的Beiter猜想成立的一个充分条件，并在p=7时予以证明.
2009-10-11 math.NT
Hypothetical connection of the theta functions of Dirichlet characters with the real cyclotomic fields
本文提出一种基于theta函数泛函方程特殊形式的方法来研究Dirichlet L-函数的Lindelöf假设，通过求解线性方程组估计L函数值，数值实验揭示逆矩阵极限属于实分圆域。
2026-09-29 math.NT
Growth of torsion of elliptic curves with full 2-torsion over quadratic cyclotomic fields
设$K = \mathbb{Q}(\sqrt{-3})$或$\mathbb{Q}(\sqrt{-1})$，并设$C_n$表示$n$阶循环群。研究了$K$上椭圆曲线的挠率部分如何在$K$的二次扩张中增长。在$E(K)[2] \approx C_2 \oplus C_2$的情况下，我们确定一个给定的扭转结构如何可以增长在一个二次扩张和最大数量的二次扩张，它的增长。我们还对作为给定扭转结构的二次扭转而出现的扭转结构进行了分类。
2016-02-29 math.NT
Extreme values of derivatives of the Dedekind zeta function of a cyclotomic field
Tongji University（同济大学）；Graz University of Technology（格拉茨工业大学）；Henan Normal University（河南师范大学）
本文通过双版本卷积公式和共振方法，研究环形数域 Dedekind ζ 函数导数的极值，并推广了 Yang 在 2022 年的工作。
2026-01-14 math.NT
On inverses of some permutation polynomials over finite fields of characteristic three
利用分段方法、Lagrange插值公式和Lucas定理，确定了特征为3的有限域上一类逆Dickson置换多项式和几类广义分圆映射置换多项式的逆的显式.
2020-06-05 math.NT
Gauss sums, Jacobi sums and cyclotomic units related to torsion Galois modules
设$G$是一个有限群，$N/E$是数域的一个弱分歧的$G$ -Galois扩张.我们展示了如何Stickelberger的高斯和因子分解可以用来确定稳定的同构类的各种算术$\mathbb{Z}[G]$ -模块附加到$N/E$。如果$\mathcal{O}_N$和$\mathcal{O}_E$分别表示$N$和$E$的整数环，我们特别得到$\mathcal{O}_N\otimes_{\mathcal{O}_E}\mathcal{O}_N$定义了类群$\mathrm{Cl}(\mathbb{Z}[G])$中的平凡类，并且如果$N/E$也被假定为局部阿贝尔，则逆差的平方根（只要它存在）定义了与$\mathcal{O}_N$相同的类。这些结果是通过研究某些挠模类的Fröhlich表示得到的，这些挠模是在分圆数域中独立引入的。Gauss和Jacobi和以及Hasse-Davenport公式都是本文的研究内容。这些技术也适用于恢复稳定的自对偶$\mathcal{O}_N$（作为一个$\mathbb{Z}[G]$ -模块）。最后，当$G$是二元四面体群时，我们利用我们的结果结合Taylor定理找到了一个驯服的$G$-Galois扩张，其逆差的平方根在$\mathrm{Cl}(\mathbb{Z}[G])$中具有非平凡类.
2014-02-16 math.NT
Growth of torsion of elliptic curves with odd-order torsion over quadratic cyclotomic fields
设$K = \mathbb{Q}(\sqrt{-3})$或$\mathbb{Q}(\sqrt{-1})$，并设$C_n$表示$n$阶循环群。研究了$K$上椭圆曲线的挠率部分如何在$K$的二次扩张中增长。在$E(K)[2] \approx C_1$的情况下，我们研究如何给定的扭转结构可以增长的二次扩展和扩展的最大数量，它的增长。我们还研究了作为给定扭转结构的二次扭转而出现的扭转结构。为了实现这一点，我们检查了$N$ -在$N=15,20,21,24,27,30,35$的$K$上定义的同源性。
2016-04-28 math.NT
Constrained ternary integers
如果一个整数$n$由三个不同的奇素数组成，则称它是三进制的。本文给出了三进制整数$n \leq x$的组成素数满足各种约束条件的渐近计数问题。我们应用我们的研究结果的最简单的类（逆）分圆多项式，可以有系数大于1的绝对值，即$n^{th}$（逆）分圆多项式与三元$n$。例如，我们证明了修正后的姐妹贝特猜想对于三进制整数的一部分$\ge 0.925$是正确的。
2018-09-20 math.NT
Gaps in binary cyclotomic polynomials
本文研究二元环形多项式Φ_{pq}的间隙，证明第二间隙为r-1和p-r-1的最大值，并确定特定条件下间隙数量。
2026-05-11 math.NT
Cyclotomic polynomials at roots of unity
$n^{th}$分圆多项式$Φ_n(x)$是$n^{th}$原单位根的最小多项式。因此，$Φ_n(x)$在本原单位根$n^{th}$处平凡为零。利用有限傅立叶分析，我们推导出一个公式，$Φ_n(x)$在其他单位根。这允许使用$m\in \{3,4,5,6,8,10,12\}$显式地评估$Φ_n(e^{2πi/m})$。我们用$m=5$的这种估计给出了Vaughan（1975）关于$Φ_n(x)$的最大系数（绝对值）的一个结果的简单证明。我们还得到了一个公式，$Φ_n'(e^{2πi/m}) / Φ_n(e^{2πi/m})$与$n \ne m$，这是有效地应用于$m \in \{3,4,6\}$。此外，我们用一种新的非常短的方法计算了两个分圆多项式的结式。
2017-01-09 math.NT
Computation of the Kummer ratio of the class number for prime cyclotomic fields
设$ζ_q$是本原单位根$q^{\text{th}}$，$q$是任意奇素数.分圆数域$\mathbb{Q}(ζ_q)$的类数的库默尔第一因子与其期望的数量级（$q$的简单函数）之比称为库默尔比，并表示为$r(q)$。已知通常$r(q)$接近于1，但尽管如此，人们认为它是无界的，但仅在非常薄的素数序列$q$上大。我们提出了一个算法来计算$r(q)$需要评估的$O(q\log q)$产品和$O(q)$的软件。利用它我们得到了$r(q)$的一个新的记录最大值，即$r(6766811) =1.709379\dotsc$（旧记录为$r(5231)=1.556562\dotsc$）。所用程序和此处描述的结果在以下地址\url{http://www.math.unipd.it/~languasc/rq-comput.html}收集。这是一份关于Pieter Moree，Sumaia Saad Eddin和Alisa Sedunova联合项目计算部分的（初步）报告。
2019-10-21 math.NT
Coefficients of a relative of cyclotomic polynomials
设$N=p_1p_2... p_n$是$n$不同素数的乘积。将$P_N(x)$定义为多项式$(1-x^N)\prod_{1\leq i<j\leq n}(1-x^{N/(p_ip_j)})/\prod_{i=1}^n (1-x^{N/p_i})$。(When $n=2$，$P_{pq}(x)$是$pq$次分圆多项式，并且当$n=3$，$P_{pqr}(x)$是$(1-x)$乘以$pqr$次分圆多项式时.）设多项式的高度是其系数之一的最大绝对值。众所周知，$Φ_{pq}(x)$的高度是1，并且Gallot和Moree表明，当$n=3$时，对于$P_{pqr}(x)$也是如此。我们发现，$P_N(x)$的系数主要取决于$p_j^{-1} \pmod {p_i}$形式的剩余和的相对顺序。这使我们能够明确地描述当$n=3$时$P_N(x)$的系数，并表明当$n=4$时$P_N(x)$的高度至多为2。我们还表明，对于任何$n$存在$P_N(x)$的高度为1，但在一般情况下，$P_N(x)$的最大高度是一个函数，只依赖于$n$的增长率$2^{n^2/2+O(n\log n)}$。
2012-09-26 math.CO math.NT
A proof of the cyclotomic conjecture and the non-existence of almost Moore digraphs
本文证明了Gimbert提出的分圆猜想，由此推出有向度直径问题中最大出度d>1、直径k>2的几乎摩尔有向图不存在。
2026-08-11 math.CO math.NT math.RA
Explicit Construction of Self-Dual Integral Normal Bases for the Square-Root of the Inverse Different
设$K$是$\Q_p$的有限扩张，$L/K$是有限奇次阿贝尔伽罗瓦扩张，$\bo_L$是$L$的赋值环.我们定义$A_{L/K}$为唯一的分数$\bo_L$ -理想，其平方等于$L/K$的倒数差。对于$p$一个奇素数和$L/\Q_p$包含在某些分圆扩张中，Erez描述了$A_{L/\Q_p}$的积分正规基，它们相对于迹形式是自对偶的。假设$K/\Q_p$是非分歧的，我们生成奇交换弱分歧扩展的$K$使用Lubin-Tate形式群。然后，我们使用Dwork的指数幂级数显式地构造自对偶积分正规基的平方根的逆不同，在这些扩展。
2010-07-02 math.NT
Extensions of the Carlitz-McConnel and Blokhuis-Sziklai theorems for unions of cyclotomic classes
Hong Kong University of Science and Technology（香港科技大学）
本文扩展了Carlitz-McConnel和Blokhuis-Sziklai定理，研究有限域上循环类并集的函数性质，并加强了关于有限域上Cayley图最大团的结论。
2026-10-15 math.CO math.NT
A proof of the Corrected Beiter conjecture
我们说一个分圆多项式Φ_{n}（x）有三阶，如果n是三个不同素数的乘积，p<q<r。设A（n）是Φ_{n}（x）的系数的最大绝对值，M（p）是A（pqr）的最大值. 1968年，马里恩·贝特修女证明了A（pqr）<=（p+1）/2。在2008年，Yves Gallot和Pieter Moree证明了这个猜想对于任何p>=11都是假的，他们提出了修正的贝特猜想：A（pqr）<= 2 p/3。这里我们将给出这个猜想的一个证明。
2009-10-15 math.NT
