On nilpotent Schur groups
Grigory Ryabov
有限群$G$称为舒尔群，如果$G$上的每个$S$ -环都是舒尔环，即以自然的方式与包含所有右平移的$\sym(G)$的子群相关联。我们证明了每个非交换幂零Schur群都属于一个显式给定的群族。
A finite group $G$ is called a Schur group if every $S$-ring over $G$ is schurian, i.e. associated in a natural way with a subgroup of $\sym(G)$ that contains all right translations. We prove that every nonabelian nilpotent Schur group belongs to one of the explicitly given families of groups.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Reidemeister spectra of free nilpotent groups and plethysms of Schur functions
本文揭示自由幂零群 Reidemeister 谱计算与 Schur 函数 plethysm 的 Schur 展开系数问题之间的联系，证明相关表达式可归约为特定 plethysm 之和。
Approximating the Schur multiplier of certain infinitely presented groups via nilpotent quotients
我们描述了一个算法，用于计算连续的Schur乘子$M(G)$为一组$G$由不变的有限$L$表示。作为应用，我们研究了Grigorchuk超群，广义Fabrykowski-Gupta群，Basilica群和Brunner-Sidki-Vieira群等自相似群的Schur乘子.
Symbolic computation of Schur multipliers with an application to the groups of order dividing $p^6$
给出了一个计算符号幂零李$p$ -环族中所有幂零李$p$-环的Schur乘子的算法.符号幂零Lie $p$ -环可以用来描述$p$ -群的同构类型，这些同构类型的阶为$p^n$，对于$n \leq 7$和所有素数$p \geq n$ .我们应用我们的算法来计算所有的$p$ -群的Schur乘子的阶除$p^6$。
Automorphisms of groups and converse of Schur's theorem
群G的一个自同构称为IA-自同构，如果它在阿贝尔化群G/G '上诱导单位自同构。设IA（G）表示G的所有IA-自同构的群。我们对IA（G）同构于ln（G）的所有第二类的n-生成幂零群G进行了分类.特别地，我们分类了所有的有限幂零群的类2，其中每个IA-自同构是内部的。作为推论，我们给出了Schur定理的逆的令人惊讶的非常简单的证明，并且还证明了其他一些相关的结果。
Higher Schur-multiplicator of a Finite Abelian Group
本文给出了任意有限阿贝尔群关于至多为$c\geq 1$类的幂零群簇的高阶Schur乘子的一个显式公式。
$FSZ$-groups and Frobenius-Schur Indicators of Quantum Doubles
我们研究了有限群G的Drinfel'd双倍群的表示的高阶Frobenius-Schur指标，特别是当所有指标都是整数时的问题.这是一个有趣的群论问题。我们证明了许多群都具有这一性质，例如交错群和对称群，PSL_2（q），M_{11}，M_{12}和正则幂零群。然而，我们证明了存在一个具有非整数指标的5^6阶非正则幂零群。
The Higher Schur-Multiplicator of Certain Classes of Groups
研究了一类群关于幂零群簇的高阶Schur-乘子的计算问题。我们的结果在某种程度上推广了M.R.R. Moghouth（1979），and N.D.古普塔和核磁共振Moghloves（1993）.
Finite split metacyclic groups and their 2-nilpotent multipliers
近年来，对有限群的幂零乘子的理解一直是一个重要的问题。设群$G$表示为自由群$F$与正规子群$R$的商。给定一个正整数$c$，群$G$的$c$ -幂零乘子是阿贝尔群$\mathcal M^{(c)}(G)=(R\cap γ_{c+1}(F))/γ_{c+1}(R,F)$，其中$γ_1(R,F)=R$、$γ_{c+1}(R,F)=[γ_c(R,F),F]$和$γ_{c+1}(F)=γ_{c+1}(F,F)$。特别地，$\mathcal{M}^{(1)}(G)$是$G$的舒尔乘数。研究群的$c$ -幂零乘子的关键是建立群的结构，估计群的大小和指数。研究$c$ -幂零乘子的一个原因是它与P. Hall的同构理论有关。有限亚循环群的Schur乘子的研究可以追溯到F. R. 1973年的Beyl。利用有限分裂亚循环群的非交换张量平方，研究了群的2-幂零乘子。特别地，我们给出了这类群的三重张量积、三重外积和2-幂零乘子的完整描述。
On generalized Schur groups
一个$S$ -环（Schur环）称为中心环，如果它包含在群环的中心.本文引入广义Schur群的概念，即这样一个有限群，使得在这个群上的所有中心$S$ -环都是Schur的.它以一种自然的方式推广了舒尔群的概念，并且它们对于阿贝尔群是等价的。我们建立了非交换广义Schur群的基本性质并给出了无限族
Some Notes on the Baer Invariant of a Nilpotent Product of Groups
W.Haebich（Bull. Austral. Math. Soc.，7，1972，279-296）给出了群的正则积的Schur乘子的一个公式。本文首先证明了群的幂零积关于幂零群簇的Baer-不变量有一个同态像，在有限情形下有一个Haebich型子群。其次给出了循环群的幂零积关于幂零群簇的Baer-不变量的一个公式。
On the Exponent of the Schur Multiplier
一个长期存在的问题归因于我。舒尔说，对于有限群$G$，第二个同调群$H_2(G, \mathbb{Z})$的指数除以$G$的指数。本文对幂零类为5的奇指数有限幂零群、$p$ -中心亚交换$p$群以及L. E . \cite{LEW}中的Wilson。此外，我们还改进了一些作者给出的界限。
Classification of abelian Schur groups II
本文研究了abelian Schur groups的分类，通过证明列表中某些非幂阶群是Schur groups，从而完成了分类。
$CI$-property for decomposable Schur rings over an abelian group
有限群上的Schur环称为可分解的，如果它是更小群上Schur环的广义圈积。本文建立了初等阿贝尔群直积上的可分解Schur环是$CI$ -Schur环的一个充分条件。利用这一条件，我们用较短的方法重新证明了秩至多为$5$的初等阿贝尔群上可分解Schur环的$CI$ -性质的已知结果.
Abelian Schur groups of odd order
有限群$G$称为Schur群，如果$G$上的任意Schur环以自然的方式与包含所有右平移的$Sym(G)$的子群相关联。证明了群$C_3\times C_3\times C_p$对任意素数$p$都是Schur群.连同以前的结果，这完成了分类的交换舒尔群的奇数阶。
Classification of abelian Schur groups I
本文研究了abelian Schur groups的分类，证明了某些直接积群是Schur群，同时证明了其他群非Schur。
On a huge family of non-schurian Schur rings
本文推广H·维兰特的例子，构造了偶秩初等阿贝尔群上的一大类非舒尔型舒尔环，解决了舒尔环是否为置换群传递模的问题。
On schurity of finite abelian groups
有限群$G$称为舒尔群，如果$G$上的任意舒尔环以自然的方式与包含所有右平移的$Sym(G)$的子群相关联。最近，作者完全确定了循环Schur群。本文证明了任意交换Schur群只属于几个显式给定的群族之一。特别地，任何奇数阶的非循环交换Schur群同构于$Z_3\times Z_{3^k}$或$Z_3\times Z_3\times Z_p$，其中$k\ge 1$和$p$是素数。此外，我们还证明了对于每个素数$p$，$Z_2\times Z_2\times Z_p$是Schur群.
On non-abelian Schur groups
一个有限群G称为Schur，如果G上的每一个Schur环都以自然的方式与Sym（G）的一个与G同构的正则子群相关联.证明了任意非交换Schur群G是亚交换群且G的阶不同素除子个数不超过7.
Schurity of S-rings over a cyclic group and generalized wreath product of permutation groups
引入了置换群的广义圈积。利用它研究了循环群$G$上S-环的Schurity问题及其自同构群。得到了两个这类S-环的广义圈积的schurity与非schurity的判别准则。作为一个副产品的发展理论，我们证明了$G$是一个舒尔群时，整数$n=|G|$的素因子的总数$Ω(n)$是至多3。此外，我们还刻画了当$G$.后一个结果特别地意味着，如果$n=p^3q$其中$p$和$q$是素数，则$G$是Schur群。
On Schur 3-groups
设$G$是一个有限群。如果$Γ$是一个具有$G_{right}\leqΓ\leq Sym(G)$的置换群，$\mathcal{S}$是$Γ$中恒等式$e=e_{G}$的稳定子的轨道集，则群环$\mathbb{Z} G$的$\mathbb{Z}$ -子模$\mathcal{A}(Γ,G)=Span_{\mathbb{Z}}\{\underline{X}:\ X\in\mathcal{S}\}$是一个$S$ -环，正如Schur所观察到的那样。在Pöschel之后，一个$S$ -环$\mathcal{A}$在$G$上被称为是schurian的，如果存在一个合适的置换群$Γ$使得$\mathcal{A}=\mathcal{A}(Γ,G)$。一个有限群$G$称为Schur群，如果$G$上的每个$S$ -环都是Schur的。证明了群$M_{3^n}=\langle a,b\;|\:a^{3^{n-1}}=b^3=e,a^b=a^{3^{n-2}+1}\rangle$，其中$n\geq3$不是Schur群.模以前得到的结果，它遵循的每一个舒尔$p$ -群是阿贝尔只要$p$是一个奇素数。
On schurity of dihedral groups
本文研究二面体群的 Schur 性，证明广义二面体 Schur 群必为二面体群，并对含特定素数条件的阶 $2p$ 二面体群给出 Schur 性证明及 $S$-环分类。
On Schur p-groups of odd order
有限群$G$称为Schur群，如果$G$上的任何$S$ -环以自然的方式与$Sym(G)$的包含所有右平移的子群相关联。证明了群$\mathbb{Z}_3\times \mathbb{Z}_{3^n}$，其中$n\geq 1$是Schur群.模以前得到的结果，它遵循每个非循环舒尔$p$ -群，其中$p$是一个奇素数，同构于$\mathbb{Z}_3\times \mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_3$或$\mathbb{Z}_3\times \mathbb{Z}_{3^n}$，$n\geq 1$。
Enumeration Techniques on Cyclic Schur Rings
任何Schur环都是由群的元素的一个划分唯一确定的。本文给出了利用传统Schur环计数循环群上Schur环的一般方法。我们还调查最近的努力，列举舒尔环的循环群的特定订单。
Some generalisations of Schur's and Baer's theorem and their connection with homological algebra
舒尔定理和它的推广，贝尔定理，是杰出的结果在群论，连接的上中心序列与下中心序列。本文的目的是推广这些结果在两个不同的方向，使用新的方法与非阿贝尔张量积。特别地，我们证明了一个关于有限生成群的Schur-Baer定理.然后，我们应用这些新得到的结果来描述的$k$ -幂零乘子，$k\geq 2$，和其他不变量的群体。
On multidimensional Schur rings of finite groups
对任意有限群$G$和正整数$m$，定义并研究了直幂$G^m$上的Schur环，给出了用$m$维Weisfeiler-Leman算法得到的$G^m$的划分的代数解释.证明了当$m\ge 3$时，该环决定群$G$直至同构;当$m$增大时，该环逼近与群$Aut(G)$自然作用于$G^m$的Schur环.证明了求这个极限环的问题是多项式时间等价于群同构问题。
On Freiman's Theorem in Nilpotent Groups
我们推广了陶的一个结果，将Freiman定理推广到Heisenberg群。我们将其推广到任意步长的单连通幂零李群。
A new look at the Burnside-Schur theorem
著名的Burnside-Schur定理指出，每个包含正则循环子群的本原有限置换群要么2-传递，要么同构于素数度的一维仿射群的子群。已知这个定理可以表示为有限循环群上Schur环上的一个命题。推广后者，我们引入有限交换环上的Schur环，并证明了这一声明的一个模拟。此外，还用置换群项刻画了有限局部交换环。
On the exponent conjecture of Schur
对于有限群$G$，第二同调群$H_2(G, \mathbb{Z})$的指数整除$G$的指数是一个长期存在的猜想。本文对类至多为$p$的$p$ -群、幂零类为5的奇指数有限幂零群、$p$ -中心亚交换$p$ -群以及L. E . \cite{LEW}中的Wilson。此外，我们还改进了一些作者给出的界限。我们大部分的结果都是通过归纳论证得到的。
String $C$-groups with real Schur index $2$
我们给出了有限字符串$C$ -群（抽象正则多面体的自同构群）的例子，它们具有实Schur指数$2$的不可约特征标。这回答了蒙森关于这些群体的一个问题。
On a Conjecture of a Bound for the Exponent of the Schur Multiplier of a Finite $p$-Group
设$G$是幂零类$k$的一个$\exp(G)$-群，其指数为有限，令$m=\lfloor\log_pk\rfloor$ .我们证明了对于所有的$c\geq1$，$\exp(M^{(c)}(G))$整除$\exp(G)p^{m(k-1)}$，其中$M^{(c)}(G)$表示$G$的c-幂零乘子。这意味着$\exp(M(G))$对类至多为$p-1$的所有有限$p$ -群整除$\exp(G)$。此外，我们还证明了我们的结果是对M给出的$M^{(c)}(G)$的指数上界的改进。R. Jones，G.埃利斯和P.莫拉维克在某些情况下。
On Schur Rings Over Infinite Groups
Schur环是群环的一类子环，它被满足一定条件的群的一个划分所张成。过去的文献只关注有限群的情况。本文将Schur环的许多经典结果推广到无限群上，包括有限循环群上Schur环的Leung-Man分类.此外，这种分类将推广到所有挠自由的局部循环群。
On the order of the Schur multiplier of $p$-groups
我们给出了$p$ -群的Schur乘子阶的一个界，改进了以前的界.作为应用，我们完成了具有最大阶Schur乘子的群的分类.最后证明了极大类和阶为$p^n$的有限$p$ -群的Schur乘子的阶至多为$p^{\frac{n}{2}}$ .
On the Order of Nilpotent Multipliers of Finite p-Groups
设$G$是一个$p^n$阶的有限$p$ -群. YA. G. Berkovich（Journal of Algebra { \bf 144}，269-272（1991））证明了$G$是初等阿贝尔$p$ -群当且仅当其Schur乘子的阶$M(G)$处于最大情况。本文首先求出了$G$的幂零乘子$c$的阶的上界$p^{χ_{c+1}{(n)}}$，其中$χ_{c+1}{(i)}$是$i$字母上权为$c+1$的基本乘子的个数.其次，我们得到了交换情形下$G$的结构，其中$|M^{(c)}(G)|=p^{χ_{c+1}{(n-t)}}$，对所有$0\leq t\leq n-1$。最后，通过对推广的Stallings-Stambach五项正合列的左自然映射的核给出一个条件，证明了任意有限的具有最大阶$c$ -幂零乘子的$p$ -群是初等交换$p$ -群.
Converse of Schur's Theorem - A statement
设$G$是任意群，使得$G/\Z(G)$是有限的，其中$\Z(G)$表示群$G$的中心。则$G$的换位子群$γ_2(G)$是有限的。这个结果被称为舒尔定理（Schur's theorem）。在这个简短的说明中，我们提供了一个快速调查的逆舒尔定理，推广已知的结果在这个方向上，并证明了以下结果（这可能是最合适的声明逆舒尔定理）：如果$G$是一个任意群与有限$γ_2(G)$，那么$G/\Z(G)$是有限的，如果$\Z_2(G)/\Z(\Z_2(G))$是双生成的，其中$\Z_2(G)$表示第二个中心的一组$G$。如果$G/\Z(G)$是有限的，则$γ_2(G)$也是有限的，并且是$|G/\Z(G)| \le |γ_2(G)|^d$，其中$d$表示$G/\Z(G)$的任何最小生成序列中的元素的数目。我们把所有的幂零群$G$的类2到等倾（在P.Hall的意义下），使$|G/\Z(G)| = |γ_2(G)|^d$，并提出一些问题的续集。
Finite abelian groups are Schur multipliers of finite solvable groups
证明每个有限阿贝尔群均可作为有限可解群的 Schur 乘子，进而推出其为某数域扩张的结群。
Schur multipliers of unitriangular groups
推导出循环环$\ZZ/m\ZZ$和$\ZZ$的积上的单三角矩阵群的Schur乘子的显式公式。我们用它来提供介绍相应的覆叠群和触摸的问题，找到他们的非同构的代表。
Abelian Groups, Homomorphisms and Central Automorphisms of Nilpotent Groups
本文给出了有限幂零群有交换中心自同构群的一个充要条件。
Commutative Schur Rings Over Symmetric Groups II: The Case n=6
本文确定了$S_6$上的交换Schur环，它包含$S_6$上所有置换的和.有八个这样的类型（直到共轭），其中四个具有所有转置的集合作为舒尔环的主集合。
Residually Torsion-Free Nilpotent One Relator Groups
我们证明了某些循环压缩单关系子群是剩余无无挠的幂零群。
Palindromic width of free nilpotent groups
本文研究了自由幂零群的回文宽度。特别地，我们证明了一个可生成的自由幂零群的回文宽度是有限的。证明了自由交换幂零群的回文宽度是有限的。
The Schur Multipliers of $p$-Groups of Order $p^5$
本文计算了$p^5$阶非交换$p$ -群的Schur乘子、非交换张量平方和外平方。作为一个应用，我们确定了$p^5$阶群的能力.
The nilpotent genus of finitely generated residually nilpotent groups
若$G$和$H$是余生成的幂零群，则$G$和$H$在同一幂零亏格中，如果它们具有相同的下中心子元（直到同构）。一个更强的条件是，$H$是para-$G$，如果存在$G$到$H$的单态映射，这导致它们的下中心序列的对应子之间的同构。本文首先考虑剩余幂零群，找到了$H$是对位$G.$的单态的充分条件，然后证明了对某些多环群，如果$H$是对位$G$，则$G$和$H$具有相同的Hirsch长度.我们还证明了这些多环群的亲幂零完备化是局部多环的。
On the Schur Multiplier of finite $p$-groups of maximal class
本文证明了$p^n ~(4 \leq n \leq p+1)$阶极大类的有限$p$ -群的Schur乘子是初等交换的. $n = p+1$一案解决了Primovic Moravec在前一篇文章中提出的一个问题。
On the geometry of free nilpotent groups
本文研究了幂零群幂零群的几何性质。我们找到了一个几何判据，用于判定n-生成的自由幂零群的字问题。所谓几何判别法，是指通过分析两个字在秩为$r$和类为$k-1$的自由幂零群的Cayley图上的行为，来判定两个字是否表示秩为$r$和类为$k$的自由幂零群中的同一个元素.
Multivalued Groups and Schur Rings
该研究关联舒尔环探讨有限对合多值群，证明陪集多值群属舒尔多值群，构造初等阿贝尔群上的交换多值群族并获其渐近界，还证明双陪集群在该族中比例趋于零。
Schur multipliers of special p-groups of rank 2
群G称为k秩特殊p-群，如果换位子群[G，G]与中心Z（G）相等，则G是k秩初等交换p-群，G/[G，G]也是初等交换p-群.本文明确地确定了秩为2的特殊p-群的Schur乘子。
Schur rings over Free Abelian Group of Rank Two
该研究在直因子为基本集之并的假设下，完成了秩2自由阿贝尔群上Schur环的分类，共得到8类，其中7类为传统类型，推进了相关代数结构的分类研究。
Fitting quotients of finitely presented abelian-by-nilpotent groups
我们证明了类2的每个n-生成幂零群都是n-表示交换幂零群与它的最大幂零正规子群的商.
Dominions in finitely generated nilpotent groups
在第一部分中，我们证明了在所有幂零群的范畴中，一个n-生成幂零群的子群的Isbell意义下的支配是平凡的。在第二部分中，我们证明了一类二阶生成幂零群的子群的支配在所有亚交换幂零群范畴中是平凡的。
Maximal abelian normal subgroups in Nilpotent groups of class 2
幂零群N中的极大交换正规子群A是自中心的.这使得它们在决定幂零群的结构中扮演了重要的角色。例如，如果A是有限的，那么N也是有限的。在第二类自由幂零群中，这样的群总是中心的循环扩张。然而，这在任意的二阶生成的类二幂零群中不一定成立。我们证明了三个生成元幂零群违反这个条件是很容易找到的，但是当有四个或更多的生成元时，某些条件必须成立。
On Schur Rings Over a Semi Dihedral Group
本文证明了半二面体群上仅存在平凡的本原Schur环，并由此说明每个半二面体子群都是Burnside群，即含该正则子群的本原群必为2-传递群。
On Schur Rings over Infinite Groups III
本文进一步研究无限群上的Schur环性质，特别关注虚循环群Z×Z_p，证明了Fermat和安全素数下的完整分类定理，指出所有Schur环均为传统类型，并探讨了Schur环与Z_p上差集划分的类比。
Relatively free nilpotent torsion-free groups and their Lie algebras
对于一个无挠的的非零生成幂零群G，我们自然地联系了特征为零的域上的四个有限维幂零李代数。证明了若G是某类幂零群的相对自由群，则上述所有李代数都是同构的.因此，任何两个拟等距相对自由幂零群是同构的。设L是由X生成的Q上相对自由的幂零李代数.我们利用Baker-Campbell-Hausdorff公式给出了群的结构，证明了由X生成的子群H在某些幂零群中是相对自由的，是Magnus，并且与H相关的某些李代数是同构的.这个同构被推广到相对自由的剩余无挠的幂零群。最后，我们给出了一个例子，证明了这并不总是情况下，与numerous生成的Magnus幂零群群。
Complete outer automorphism groups of free nilpotent groups
本研究证明了2类无限生成自由幂零群的外自同构群具有完全性，推进了无限生成自由幂零群外自同构群的结构性质研究。
On ${\cal N}_c$-Covering Groups of a Nilpotent Product of Cyclic Groups
第一作者在2001年给出了循环群的幂零积关于幂零群簇的Baer-不变量的结构。本文利用上述结构证明了循环群族的幂零积的${\cal N}_c$ -覆叠群的存在性。给出了${\cal N}_c$ -覆叠群的一个结构.
Locally pro-p contraction groups are nilpotent
作者以前曾证明过，每一个局部pro-p压缩群都可分解为一个p-adic解析因子和一个挠因子的直积。很久以前就知道p-adic解析压缩群是幂零群。我们在这里证明了扭因子也是幂零的，因此每个局部pro-p压缩群都是幂零的。
The Schur-Clifford subgroup of the Brauer-Clifford group
我们定义了Turull的Brauer-Clifford群的Schur-Clifford子群，类似于Brauer群的Schur子群。Schur-Clifford子群包含的等价类正好来自于对有限群的Clifford理论的预期应用。我们证明了Schur-Clifford子群确实是Brauer-Clifford群的一个子群，某些自然定义的子集也是如此。我们还表明，这Schur-Clifford子群的行为以及关于限制和corestriction的Brauer-Clifford群之间的映射。
Primitive finite nilpotent linear groups over number fields
本文在作者以前关于特征为零的域上的有限幂零线性群的连续性检验的工作的基础上，精确地描述了在给定数域上作为本原线性群出现的有限幂零群.我们的描述是基于算术条件涉及领域的不变量。
The pure cactus group is residually nilpotent
证明了纯仙人掌群$Γ_{n+1}$是剩余幂零的，并且存在一个满同态$Γ_{n+1} \to (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{2^n-n(n+1)/2-1}$，其核是剩余无挠幂零的.
On the Order of the Schur Multiplier of a Pair of Finite p-Groups
1998年，G.埃利斯定义了舒尔乘数的一对$(G,N)$的群体，并提到，这一概念是一个有用的工具，研究对群体。本文在一定条件下，利用$(G,N)$的Schur乘子的阶刻画了一对有限$p$ -群$(G,N)$的结构.
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