On Freiman's Theorem in Nilpotent Groups
David Fisher, Nets Hawk Katz, Irine Peng
我们推广了陶的一个结果，将Freiman定理推广到Heisenberg群。我们将其推广到任意步长的单连通幂零李群。
We generalize a result of Tao which extends Freiman's theorem to the Heisenberg group. We extend it to simply connected nilpotent Lie groups of arbitrary step.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
A nilpotent Freiman dimension lemma
证明了任意挠自由幂零群的K-近似子群可以被有界秩幂零子群的有界陪集覆盖，其中界是显式的且仅依赖于K。这个结果可以看作是Freiman维数引理的一个幂零类比。
Freiman's theorem in an arbitrary nilpotent group
证明了任意幂零群幂零群中的一个Freiman-Ruzsa型定理.具体地说，我们证明了s阶幂零群G的K-近似子群A包含在一个陪集幂零级数中，其中f和g多项式只依赖于G的阶数s，且其秩至多为f（K），基数至多为exp（g（K））|A|.为了激励这一点，我们给出了一个直接的证明Breuillard和Green的类似结果的挠自由幂零群，避免使用Mal'cev的嵌入定理。
Polylogarithmic bounds in the nilpotent Freiman theorem
证明了若$A$是$s$ -步幂零群的有限$K$ -近似子群，则存在一个有限正规子群$H\subset A^{K^{O_s(1)}}$模，其中$A^{O_s(\log^{O_s(1)}K)}$包含秩至多为$O_s(\log^{O_s(1)}K)$且大小至少为$\exp(-O_s(\log^{O_s(1)}K))|A|$的幂零级数.这部分地推广了Sanders在阿贝尔情形下得到的接近最优的界，改进了该界，简化了对作者早先一个结果的阐述.结合Breuillard-Green，Breuillard-Green-Tao，Gill-Helfgott-Pyber-Szabó和作者的结果，改进了剩余幂零群和某些有界度线性群中Freeman型定理的秩界.
Freiman's theorem for solvable groups
弗赖曼定理断言，粗略地说，如果一个无挠阿贝尔群中的有限集有小的加倍，那么它可以有效地包含在（或控制）一个广义等差数列中。这是一般的绿色和Ruzsa任意阿贝尔群，其中控制对象现在是陪集进展。我们将这些结果进一步推广到有界导出长度的可解群，其中陪集级数被更复杂的“陪集零级数”概念所取代。作为这个结果的一个结果，这样的一个可解群的任何子集的小倍是由一个集，其迭代产品多项式增长，并包含在一个虚拟的幂零群群。作为另一个应用，我们建立了一个加强的Milnor-Wolf定理，所有的可解群的多项式增长几乎是幂零的，其中只有一个大球需要多项式的大小。这一结果补充了Breulliard-Green，Fisher-Katz-Peng和Sanders最近的工作。
On a Theorem of Deshouillers and Freiman
研究“结构”子集的阿贝尔群，与小“加倍常数”，已得到很好的研究，在过去的五十年来，从时间弗赖曼发起的主题。在\cite{DF}中，Deshouillers和Freiman建立了具有小倍化常数的$\n$子集的结构定理.在本文中，我们提供了\cite{DF}的一个主要定理的另一种证明。我们的证明也导致了\cite{DF}中定理的轻微改进。
On Freiman's 3k-4 theorem
其中的许多定理弗赖曼证明，在下半年的二十世纪，在主题后来被称为“结构理论的集合”，是'弗赖曼的$3k-4$定理'的子集$\Z$。在这篇文章中，我们介绍了一个新的概念的“结构”的有限子集的整数。具有这种结构的集合在加性数论的某些上下文中非常有用。同时给出了一些判定该结构的子集的准则。然后，这是用来建立一个类似的Freiman的$3k-4$定理的群体$\Z \times G,$，其中$G$是任何阿贝尔群。
A model-theoretic note on the Freiman-Ruzsa theorem
对任意群中具有小三重数的有限稳定集以及阿贝尔群中的（有限）弱正规子集，得到了Freiman-Ruzsa定理的一个非定量形式.
A strengthening of Freiman's 3k-4 theorem
Freiman的3 k-4定理指出，如果A和B是大小为k的整数的子集，并且具有小的和集（大小接近2k），那么它们非常接近于等差数列。在本文中，我们的目标是加强这一点，只允许一个有限数量的可能的被加数从一个集合。我们表明，如果A和B是大小为k的整数的子集，使得对于B的任何四元子集X，和集A+X的大小不超过2k，那么这已经意味着A和B非常接近等差数列。
Characterisation of Meyer sets via the Freiman--Ruzsa theorem
本研究利用刻画有界翻倍有限集的Freiman--Ruzsa定理，给出了欧氏空间中差集一致离散的相对稠密子集即Meyer集刻画的新证明方法。
The Freiman--Ruzsa Theorem over Finite Fields
设G是挠r的有限阿贝尔群，A是G的子集. Freiman-Ruzsa定理断言，如果|A+A| < K |A|则A包含在G的一个子群的陪集中，该子群的大小至多为r^{K^4}K^2 |A|。Ruzsa证明，对于某个绝对常数C >= 2，子群的大小可以简化为r^{CK} |A|。这个猜想在最近的一系列工作中被证明为r = 2，事实上，这些工作产生了一个紧界。在这项工作中，我们建立了相同的猜想，任何总理扭转。
Freiman's Theorem in an arbitrary abelian group
Freiman的一个著名结果描述了具有小加倍性质的整数的有限集合A的结构。如果|A + A| <= K |A|则A包含在维度d（K）和大小f（K）的多维等差数列|A|内。在这里，我们证明了一个类似的声明有效的子集的任意阿贝尔群。
Algorithmic Polynomial Freiman-Ruzsa Theorems
本研究提出加性组合领域多项式Freiman-Ruzsa定理的算法版本，给出经典与量子多项式时间算法，可构造满足规模与覆盖平移数约束的子空间显式描述。
A robust version of Freiman's $3k-4$ Theorem and applications
我们证明了一个强大的版本的Freiman的$3k - 4$定理的限制和集$A+_ΓB$，适用于倍常数时，最多$\tfrac{3+\sqrt{5}}{2}$在一般情况下，最多$3$在特殊情况下，当$A = -B$。作为应用，我们得到了强大的结果与其他类型的假设流行的总和，和结构定理集满足几乎相等的离散和连续版本的Riesz-Sobolev不等式。
A note on Freiman's theorem in vector spaces
我们证明了如果A是F_2^n的子集，|A+A| < K |A|则A包含在大小至多为2^{O（K^{3/2}log K）} |A|的子空间中。这比以前的最佳2^{O（K^2）}。
On Freiman's Theorem in a function field setting
本研究在函数域框架下证明了推广Freiman $3k-4$定理的乘法版猜想的新实例，验证了代数闭域上有理函数域中满足特定维数条件的向量空间的猜想成立。
Compressions, convex geometry and the Freiman-Bilu theorem
我们注意到之间的联系组合的结果Bollobás和领导人关于sumsets在网格中，布伦-闵可夫斯基定理和一个结果弗赖曼和Bilu关于结构的整数集与小倍。我们的主要结果如下。若eps > 0且A是无挠阿贝尔群的有限非空子集，|A + A| <= K |A|，则A可以被维度[log_2 K + eps]和大小至多为|A|的exp（K^C）级数覆盖。
A step beyond Freiman's theorem for set addition modulo a prime
Freiman 2.4定理指出任何满足$|2A| \leq 2.4|A| - 3 $和$|A| < p/35$的集合$A \subset \mathbb{Z}_p$都可以被长度至多为$|2A| - |A| + 1$的等差数列覆盖。Green和Ruzsa的一个更一般的结果意味着，只要满足相当强的密度要求$|A| < p/10^{215}$，这个覆盖性质对任何满足$|2A| \leq 3|A| - 4$的集合都成立。我们提出了一个版本的这一声明，允许集满足$|2A| \leq 2.48|A| - 7$与更温和的密度要求的$|A| < p/10^{10}$。
Towards a function field version of Freiman's Theorem
讨论了Freiman的$3k-4$定理在代数闭域$K$上的函数域$F$中的乘法对应定理.这样的定理将给出子空间$S$的精确描述，使得由$S$的元素的乘积所张成的空间$S^2$满足$\dim S^2 \leq 3 \dim S-4$。我们在这个方向上迈出了一步，给出了空间$S$的一个完整的特征，使得$\dim S^2 = 2 \dim S$。我们表明，直到乘以一个常数域元素，这样的空间$S$是包括在亏格$0$或$1$的功能领域。特别地，如果亏格是$1$，则这个空间是Riemann-Roch空间。
3k-4 theorem for ordered groups
最近，G. A. Freiman，M.作者声明：A. Maj证明了序群\cite{FHLM}的两个“结构定理”。给出了这两个定理的初等证明。
Freiman's theorem in finite fields via extremal set theory
利用极值集合论中的各种结果（用加法组合学的语言解释），我们证明了F_2 ^n中Freiman定理的一个渐近尖锐的版本：如果F_2 ^n中的A是一个集合，|A + A| <= K |A|则A包含在大小为2^{2K + O（\sqrt{K} \log K）} |A|的子空间中;除了O（\sqrt{K} \log K）错误，这是最好的可能。如果我们另外假设A是一个下集，那么我们也可以通过O（K^{46}）个大小至多为|A|的坐标子空间的平移来覆盖A，从而在这种情况下验证了所谓的多项式Freiman-Ruzsa猜想。争论中的一个共同主题是压缩技术的使用。这些在极值集合论中早已熟悉，但在加法组合学文献中很少使用。
A note on the Freiman and Balog-Szemeredi-Gowers theorems in finite fields
在有限域几何F_2 ^n的模型情形下，我们得到了Balog-Szemeredi-Gowers定理和Freiman定理的定量形式，改进了这类定理的已知界.例如，如果A是F_2^n的子集，使得|A+A| <= K |A|（因此A有小的加法加倍），我们证明了存在基数为|V| >> K^{-O（\sqrt{K}）} |A|的F_2 ^n的仿射子空间V，使得|A \cap V|>> |V| /2K。在假设A至少包含|A| ^3/K个四元组且a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 0的情况下，我们得到了类似的结果，尽管条件|V| >> K^{-O（K）} |A|稍弱。
Geometric lifting and Freiman's $3k-4$ theorem in compact connected abelian groups
本文提出几何提升方法，在紧致连通阿贝尔群中证明Freiman $3k-4$定理的类比，并建立最优投影定理，解决Christ-Iliopoulou问题，推广至流行和集与Tao卷积不等式。
An algorithmic Polynomial Freiman-Ruzsa theorem
本文提出多项式自由-鲁茨萨定理的算法版本，提供多项式时间算法以找到子空间，用于覆盖给定集合的翻译。还提供了多项式Gowers逆定理等等效形式的高效算法。
Properness of nilprogressions and the persistence of polynomial growth of given degree
我们证明了一个任意的诣零级数可以用一个上三角形形式的适当陪集诣零级数来逼近。这可以被认为是一个幂零版本的弗里曼-比卢结果，一个广义等差数列可以有效地包含在一个适当的广义等差数列，事实上，一个重要的成分证明是一个李代数版本的几何数的论点的中心结果。我们还介绍了一些应用。我们验证了一个猜想Benjamini，如果$S$是一个对称的生成集的一组，使$1\in S$和$|S^n|\le Mn^D$在一些足够大的规模$n$，然后$S$表现出多项式增长相同程度的$D$在所有后续的规模，在这个意义上，$|S^r|\ll_{M,D}r^D$为每个$r\ge n$。我们的方法还提供了一个重要的成分，在即将到来的同伴论文中，我们重新证明和锐化的结果有关的顶点传递图的多项式增长的缩放限制由于Benjamini，Finucane和第一作者。我们还注意到，我们的论点意味着，每个近似群有一个大的子集与一个大的商，是Freiman同构的一个子集的挠自由幂零群幂零群的有界秩和步骤。
Set addition in boxes and the Freiman-Bilu theorem
我们证明了，如果A是Z^d中一个盒子的一个大子集，维数为L_1 >= L_2 >=. >= L_d，它们都是合理的大，则|A + A|> 2^{d/48} |A|。结合Chang的Freiman定理的定量化版本，我们证明了关于小和集的集合的一个结构结果。如果A是一组整数，|A + A| <= K |A|，则存在维数d << log K的级数P，使得|A \cap P|>= \exp（-K^C）max（|A|，|P|）。这与Freiman和Bilu的一个定理密切相关，但在某些方面定量更强。[10月14日]我暂时撤回了这篇论文，因为陶和我已经意识到，通过应用压缩（和Brunn-Minkowski定理），可以得出一个更强的结果。这一观察的灵感来自一份文件的Bollobas和领导人，我们以前不知道的。在某个时候，这篇论文将被恢复，以证明如果A是包含{0，1}^d的R^d的子集，则|A + A|>= 2^{d/48} |A|，可能（可能）是独立的兴趣。不久之后，陶和我的联合文件也将面世。]
An inverse theorem for Freiman multi-homomorphisms
本文针对有限域上的弗雷曼多重同态证明了一个逆定理，给出其在高密度集合上可由多仿射映射逼近的结论，并将其应用于近似多项式、一致性范数的定量逆定理及特定稠密子集的结构定理。
Freiman's $3k-4$ Theorem for Function Fields
本文将整数情形的 Freiman $3k-4$ 定理推广到函数域，证明当扩张中 $k$ 维向量空间 $S$ 的两两乘积生成空间的维数不超过 $3k-4$ 时，$K(S)$ 必为小亏格函数域，且 $S$ 在某个 Riemann-Roch 空间中具有小余维数。
Improved Bounds for the Freiman-Ruzsa Theorem
本文改进了弗雷米安-鲁兹萨定理的界，通过熵方法和傅里叶分析相结合，证明了在特定条件下有限子集可被有限个凸余集进展覆盖，并接近多项式猜想的结论。
A quasipolynomial inverse theorem for the $\mathsf{U}^k(\mathbb{F}_p^n)$ norm in the high characteristic
本文证明了高特征下 Gowers 范数的拟多项式逆定理，通过建立 Freiman 多同态的结构定理，结合代数正则化、BSG 定理和多线性映射理论，显著简化了证明。
Approximate groups and doubling metrics
我们对一类非阿贝尔群，其中包括有限幂零、超可解和可解A-群，发展了Freiman定理的一个版本。要做到这一点，我们必须用一个更强的相对多项式增长假设，类似于格罗莫夫定理（虽然有一个有效的范围），我们发现的结构是球（左和右）平移不变伪度量与某些良好的增长估计。我们的工作补充了其他三个最近的方法来发展非阿贝尔版本的Freiman定理的Breuillard和绿色，菲舍尔，卡茨和彭，和陶。
Sets with small sumset and rectification
我们研究在何种程度上集A在Z/NZ，N素数，类似于集合的整数从添加剂的角度来看（"高达弗赖曼同构“）。我们给出了Freiman的一个结果的直接证明，即如果|A + A| < K |A|且|A| < c（K）N则A是Freiman同构于一个整数集。因为我们避免诉诸Freiman的结构定理，我们得到了一个合理的界限：我们可以取c（K）> exp（-cK^2 log K）。作为我们的论点的副产品，我们得到了锐化第二作者的结果集与小和扭转群。例如，如果A是F_2^n的子集，并且如果|A + A| < K |A|，则A包含在大小不超过2^{CK^2} |A|的子空间的陪集中。
Sets in $\mathbb{Z}^k$ with doubling $2^k+δ$ are near convex progressions
对于$δ>0$足够小和$A\subset \mathbb{Z}^k$与$|A+A|\le (2^k+δ)|A|$，我们证明了要么$A$被$m_k(δ)$平行超平面覆盖，要么满足$|\widehat{\operatorname{co}}(A)\setminus A|\le c_kδ|A|$，其中$\widehat{\operatorname{co}}(A)$是包含$A$的最小凸级数（凸集与子格）。这推广了Freiman-Bilu $2^k$定理、Freiman的$3|A|-4$定理以及Figalli和Jerison最近关于$\mathbb{R}^k$中和集的尖锐稳定性结果.
On Doubling and Volume: Chains
众所周知的Freiman-Ruzsa定理提供了整数集合$A$的结构描述，其中$|2A|\le c|A|$作为具有$|P|\le c'|A|$的$d$-维算术级数$P$的子集，其中$d$和$c'$仅依赖于$c$。在陈述中涉及的常数$d$和$c'$的估计一直是深入研究的对象。弗赖曼在2008年提出了一个计算这类集合中最大数量的公式。在本文中，我们证明了猜想的一般类集称为链。
The Polynomial Freiman-Ruzsa (Marton) Conjecture in Integers and Finite Fields via Spectral Stability
本文通过谱稳定性二元性与弗里曼建模，解决了整数和有限域中的多项式弗里曼-鲁兹萨猜想，并扩展了其在有限域中的应用。
Revisiting the nilpotent polynomial Hales-Jewett theorem
讨论了Bergelson和Leibman在[6]中提出的一个问题，建立了多项式Hales-Jewett定理的一个幂零形式，它包含了[6]中的主要定理作为特例.对于我们的主要定理的公式化和证明来说，重要的是相对合集的概念（相对于$β\mathbf{G}$的闭非空子集）[25]。作为主要定理的推论，我们证明了限制范德瓦尔登定理到幂零群的一个推广，它涉及到幂零级数。
A nilpotent IP polynomial multiple recurrence theorem
我们推广了Bergelson和McCutcheon的IP多项式Szemerédi定理以及Leibman的幂零Szemerédi定理。在我们的证明中的重要工具包括一个推广的Leibman的结果，多项式映射到一个幂零群群形成一个组和多参数版本的幂零Hales-Jewett定理由于Bergelson和Leibman。
The structure of approximate groups
设K >= 1为参数。K-近似群是（局部）群中的一个有限集A，它包含单位元，是对称的，并且使得A^2被A的K个左平移所覆盖。本文的主要结果是近似群本质上是幂零有限的一个定性描述，回答了H。Helfgott和E.林登施特劳斯这可以被看作是一个推广的弗里曼-鲁萨定理集的小倍的整数到任意群体。我们首先建立一个对应原则之间的近似群体和局部紧（本地）群体，使我们能够恢复许多结果最近建立的基本文件Hrushovski。特别地，我们建立了近似群可以近似模拟的李群。为了证明我们的主要定理，我们应用了一些额外的论点，主要是由于格里森。这些都出现在解决希尔伯特的第五个问题在20世纪50年代。主要定理的应用包括Gromov定理的有限加细，Gromov定理的推广的Margulis引理和Ricci几乎非负曲流形的基本群的虚零点.
Nilpotent dessins: Decomposition theorem and classification of the abelian dessins
映射是可定向闭曲面的2-胞腔剖分。一个图是一个顶点着色固定的二分图。一个dessin是正则的，如果它的一组颜色和方向保持自同构的作用传递的边缘，和一个正则dessin是对称的，如果它允许一个额外的外部对称转置顶点颜色。研究了具有幂零自同构群正则设计。我们证明了每一个这样的Dessin是一个平行积的正则Dessins的自同构群的Sylow子群。对具有交换自同构群的正则和对称系统进行了分类和列举。
An equivalence between inverse sumset theorems and inverse conjectures for the U^3 norm
我们建立了逆和集定理（可视为近似（阿贝尔）群的分类）和逆定理的Gowers规范（可视为近似多项式的分类）之间的对应关系。特别地，我们证明了Freiman型逆和集定理等价于已知的关于Gowers U^3范数的逆结果，而且前者的多项式加强也等价于后者的多项式加强.我们在两个模型中建立了这个等价，即有限域向量空间F_2 ^n和循环群Z/NZ。在这两种情况下，论证都涉及澄清某些类型的近似同态的结构。
Subsets of Virtually Nilpotent Groups with the SBM Property
本文将Leth关于满足标准区间测度（SIM）性质的整数子集的概念推广到虚幂零群幂群类，并将相应的性质称为标准球测度（SBM）性质.为了做到这一点，我们定义了一个自然的措施，封闭的球在渐近锥面等群体，并表明，这种措施满足勒贝格密度定理。然后，我们证明类似物的各种属性，已知持有SIM集在这个更广泛的背景下，偶尔假设额外的属性组，如小球属性和小间隙属性。
Model theoretic connected components of finitely generated nilpotent groups
本文证明了：对于具有一阶结构（G，*，.）的n-生成无限幂零群G，G的充分饱和扩张G* 的连通分量G*0存在且等于$\bigcap_{n\in\N} {g^n : g\in G^*}$。我们通过谓词（Z，+，P）构造Z的一阶展开，使得型连通分支Z*00_{ \emptyset }严格小于Z*0.我们将其推广到可生成的虚可解群。作为推论，我们的建设，我们得到了范德瓦尔登定理的最优性结果。
Inverse Littlewood-Offord theorems and the condition number of random discrete matrices
考虑随机和$η_1 v_1 + ... + η_n v_n$，其中$η_1,...,η_n$是i.i.d.。随机符号和$v_1,...,v_n$是整数。Littlewood-Offord问题要求在$v_1,...,v_n$的各种假设下最大化浓度概率，例如$¶(η_1 v_1 + ... + η_n v_n = 0)$。在本文中，我们开发了一个\emph{inverse} Littlewood-Offord定理（有点精神的Freiman的逆和集定理），它开始的假设，浓度概率是大的，并得出结论，几乎所有的$v_1,...,v_n$有效地包含在一个等差数列。作为应用，我们给出了随机Bernoulli矩阵最小奇异值分布的一些新的界，进而给出了其条件数的上尾估计。
Parallelepipeds, Nilpotent Groups, and Gowers Norms
在Szemeredi定理的证明中，Gowers引入了定义在平行六面体结构上的某些规范。一个自然的问题是在哪些集合上可以定义一个平行六面体结构（以及一个Gowers范数）。我们专注于2和3维，并显示当这可能的，并描述了平行六面体结构幂零群之间的对应关系。
A hereditary theorem for rigid and pseudorigid components of Lusztig's nilpotent varieties in type $A$
本文在 $A$ 型 Lusztig 幂零簇中，用组合方式刻画了 $C_\sigma\oplus C_\sigma$ 为不可约分量的条件，通过伪光滑置换的递归描述并引入遗传性质给出完整刻画。
Equidistribution in 2-Nilpotent Polish Groups and triple restricted sumsets
本文研究2-幂零局部紧波兰群的等分布定理，证明了在任意可数离散阿贝尔群中，正密度子集存在三重受限和集。
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