发表机构
Mathematical Institute of the Serbian Academy of Sciences and Arts（塞尔维亚科学院艺术系数学研究所）
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本文证明了高特征下 Gowers 范数的拟多项式逆定理，通过建立 Freiman 多同态的结构定理，结合代数正则化、BSG 定理和多线性映射理论，显著简化了证明。
AI 中文摘要
我们证明了在 $p \geq k$ 的情况下，Gowers 均匀性范数 $\mathsf{U}^k(\mathbb{F}_p^n)$ 的一个具有拟多项式界的逆定理。该逆定理源自于 Freiman 多同态的一个拟多项式结构定理，而 Freiman 多同态是 Freiman 同态到多变量映射的自然推广。Freiman 多同态结构定理的证明是本文的核心结果，它依赖于三个主要成分：代数正则化方法、抽象的 Balog-Szemerédi-Gowers 定理以及定义在多线性簇上的多线性映射理论。最后一个成分源于 Gowers 和作者早期的工作，并在本文中得到了显著扩展。特别是，一旦这类映射的理论建立起来，Freiman 多同态结构定理的证明就相对简短，尤其是与之前 Gowers 范数逆理论中的定量结果相比。
英文摘要
We prove an inverse theorem for the Gowers uniformity norm $\mathsf{U}^k(\mathbb{F}_p^n)$ with quasipolynomial bounds in the case when $p \geq k$. The inverse theorem follows from a quasipolynomial structure theorem for Freiman multihomomorphisms, which are a natural generalization of Freiman homomorphisms to maps of several variables. The proof of the structure theorem for Freiman multihomomorphisms is the central result of the paper and rests on three main ingredients: algebraic regularity method, abstract Balog-Szemerédi-Gowers theorem and the theory of multilinear maps defined on multilinear varieties. The last ingredient originates from an earlier work of Gowers and the author, and is significantly expanded in this paper. In particular, once the theory of such maps is in place, the proof of the structure theorem for Freiman multihomomorphisms is relatively short, especially compared to the previous quantitative results in the inverse theory of Gowers norms.
Comments63 pages
