Polylogarithmic bounds in the nilpotent Freiman theorem
证明了若$A$是$s$ -步幂零群的有限$K$ -近似子群，则存在一个有限正规子群$H\subset A^{K^{O_s(1)}}$模，其中$A^{O_s(\log^{O_s(1)}K)}$包含秩至多为$O_s(\log^{O_s(1)}K)$且大小至少为$\exp(-O_s(\log^{O_s(1)}K))|A|$的幂零级数.这部分地推广了Sanders在阿贝尔情形下得到的接近最优的界，改进了该界，简化了对作者早先一个结果的阐述.结合Breuillard-Green，Breuillard-Green-Tao，Gill-Helfgott-Pyber-Szabó和作者的结果，改进了剩余幂零群和某些有界度线性群中Freeman型定理的秩界.
2019-10-01 math.CO math.GR math.NT
A strengthening of Freiman's 3k-4 theorem
Freiman的3 k-4定理指出，如果A和B是大小为k的整数的子集，并且具有小的和集（大小接近2k），那么它们非常接近于等差数列。在本文中，我们的目标是加强这一点，只允许一个有限数量的可能的被加数从一个集合。我们表明，如果A和B是大小为k的整数的子集，使得对于B的任何四元子集X，和集A+X的大小不超过2k，那么这已经意味着A和B非常接近等差数列。
2022-04-21 math.CO
Freiman's Theorem in an arbitrary abelian group
Freiman的一个著名结果描述了具有小加倍性质的整数的有限集合A的结构。如果|A + A| <= K |A|则A包含在维度d（K）和大小f（K）的多维等差数列|A|内。在这里，我们证明了一个类似的声明有效的子集的任意阿贝尔群。
2006-02-07 math.CO math.NT
The Freiman--Ruzsa Theorem over Finite Fields
设G是挠r的有限阿贝尔群，A是G的子集. Freiman-Ruzsa定理断言，如果|A+A| < K |A|则A包含在G的一个子群的陪集中，该子群的大小至多为r^{K^4}K^2 |A|。Ruzsa证明，对于某个绝对常数C >= 2，子群的大小可以简化为r^{CK} |A|。这个猜想在最近的一系列工作中被证明为r = 2，事实上，这些工作产生了一个紧界。在这项工作中，我们建立了相同的猜想，任何总理扭转。
2014-05-05 math.CO
A robust version of Freiman's $3k-4$ Theorem and applications
我们证明了一个强大的版本的Freiman的$3k - 4$定理的限制和集$A+_ΓB$，适用于倍常数时，最多$\tfrac{3+\sqrt{5}}{2}$在一般情况下，最多$3$在特殊情况下，当$A = -B$。作为应用，我们得到了强大的结果与其他类型的假设流行的总和，和结构定理集满足几乎相等的离散和连续版本的Riesz-Sobolev不等式。
2020-03-01 math.CO math.NT
Algorithmic Polynomial Freiman-Ruzsa Theorems
本研究提出加性组合领域多项式Freiman-Ruzsa定理的算法版本，给出经典与量子多项式时间算法，可构造满足规模与覆盖平移数约束的子空间显式描述。
2025-09-02 math.CO
A note on Freiman's theorem in vector spaces
我们证明了如果A是F_2^n的子集，|A+A| < K |A|则A包含在大小至多为2^{O（K^{3/2}log K）} |A|的子空间中。这比以前的最佳2^{O（K^2）}。
2010-04-01 math.CO math.NT
On Freiman's Theorem in a function field setting
本研究在函数域框架下证明了推广Freiman $3k-4$定理的乘法版猜想的新实例，验证了代数闭域上有理函数域中满足特定维数条件的向量空间的猜想成立。
2024-05-17 math.CO math.NT
Compressions, convex geometry and the Freiman-Bilu theorem
我们注意到之间的联系组合的结果Bollobás和领导人关于sumsets在网格中，布伦-闵可夫斯基定理和一个结果弗赖曼和Bilu关于结构的整数集与小倍。我们的主要结果如下。若eps > 0且A是无挠阿贝尔群的有限非空子集，|A + A| <= K |A|，则A可以被维度[log_2 K + eps]和大小至多为|A|的exp（K^C）级数覆盖。
2006-03-03 math.CO math.NT
A step beyond Freiman's theorem for set addition modulo a prime
Freiman 2.4定理指出任何满足$|2A| \leq 2.4|A| - 3 $和$|A| < p/35$的集合$A \subset \mathbb{Z}_p$都可以被长度至多为$|2A| - |A| + 1$的等差数列覆盖。Green和Ruzsa的一个更一般的结果意味着，只要满足相当强的密度要求$|A| < p/10^{215}$，这个覆盖性质对任何满足$|2A| \leq 3|A| - 4$的集合都成立。我们提出了一个版本的这一声明，允许集满足$|2A| \leq 2.48|A| - 7$与更温和的密度要求的$|A| < p/10^{10}$。
2018-05-31 math.CO math.NT
Towards a function field version of Freiman's Theorem
讨论了Freiman的$3k-4$定理在代数闭域$K$上的函数域$F$中的乘法对应定理.这样的定理将给出子空间$S$的精确描述，使得由$S$的元素的乘积所张成的空间$S^2$满足$\dim S^2 \leq 3 \dim S-4$。我们在这个方向上迈出了一步，给出了空间$S$的一个完整的特征，使得$\dim S^2 = 2 \dim S$。我们表明，直到乘以一个常数域元素，这样的空间$S$是包括在亏格$0$或$1$的功能领域。特别地，如果亏格是$1$，则这个空间是Riemann-Roch空间。
2018-07-17 math.CO math.NT
Freiman's theorem in finite fields via extremal set theory
利用极值集合论中的各种结果（用加法组合学的语言解释），我们证明了F_2 ^n中Freiman定理的一个渐近尖锐的版本：如果F_2 ^n中的A是一个集合，|A + A| <= K |A|则A包含在大小为2^{2K + O（\sqrt{K} \log K）} |A|的子空间中;除了O（\sqrt{K} \log K）错误，这是最好的可能。如果我们另外假设A是一个下集，那么我们也可以通过O（K^{46}）个大小至多为|A|的坐标子空间的平移来覆盖A，从而在这种情况下验证了所谓的多项式Freiman-Ruzsa猜想。争论中的一个共同主题是压缩技术的使用。这些在极值集合论中早已熟悉，但在加法组合学文献中很少使用。
2007-03-22 math.CO math.NT
A note on the Freiman and Balog-Szemeredi-Gowers theorems in finite fields
在有限域几何F_2 ^n的模型情形下，我们得到了Balog-Szemeredi-Gowers定理和Freiman定理的定量形式，改进了这类定理的已知界.例如，如果A是F_2^n的子集，使得|A+A| <= K |A|（因此A有小的加法加倍），我们证明了存在基数为|V| >> K^{-O（\sqrt{K}）} |A|的F_2 ^n的仿射子空间V，使得|A \cap V|>> |V| /2K。在假设A至少包含|A| ^3/K个四元组且a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 0的情况下，我们得到了类似的结果，尽管条件|V| >> K^{-O（K）} |A|稍弱。
2007-11-12 math.CO math.NT
3k-4 theorem for ordered groups
最近，G. A. Freiman，M.作者声明：A. Maj证明了序群\cite{FHLM}的两个“结构定理”。给出了这两个定理的初等证明。
2017-02-13 math.CO math.GR
An algorithmic Polynomial Freiman-Ruzsa theorem
University of Cambridge（剑桥大学）；Centrum Wiskunde & Informatica (CWI)（数学与计算机科学中心）；Leiden University（莱顿大学）；IBM Research, Silicon Valley Lab（IBM硅谷实验室）；IBM Research, Cambridge（IBM剑桥研究中心）
本文提出多项式自由-鲁茨萨定理的算法版本，提供多项式时间算法以找到子空间，用于覆盖给定集合的翻译。还提供了多项式Gowers逆定理等等效形式的高效算法。
2026-04-06 cs.DS math.CO
Geometric lifting and Freiman's $3k-4$ theorem in compact connected abelian groups
The Ohio State University（俄亥俄州立大学）
本文提出几何提升方法，在紧致连通阿贝尔群中证明Freiman $3k-4$定理的类比，并建立最优投影定理，解决Christ-Iliopoulou问题，推广至流行和集与Tao卷积不等式。
2026-09-24 math.CA math.CO math.GR
Set addition in boxes and the Freiman-Bilu theorem
我们证明了，如果A是Z^d中一个盒子的一个大子集，维数为L_1 >= L_2 >=. >= L_d，它们都是合理的大，则|A + A|> 2^{d/48} |A|。结合Chang的Freiman定理的定量化版本，我们证明了关于小和集的集合的一个结构结果。如果A是一组整数，|A + A| <= K |A|，则存在维数d << log K的级数P，使得|A \cap P|>= \exp（-K^C）max（|A|，|P|）。这与Freiman和Bilu的一个定理密切相关，但在某些方面定量更强。[10月14日]我暂时撤回了这篇论文，因为陶和我已经意识到，通过应用压缩（和Brunn-Minkowski定理），可以得出一个更强的结果。这一观察的灵感来自一份文件的Bollobas和领导人，我们以前不知道的。在某个时候，这篇论文将被恢复，以证明如果A是包含{0，1}^d的R^d的子集，则|A + A|>= 2^{d/48} |A|，可能（可能）是独立的兴趣。不久之后，陶和我的联合文件也将面世。]
2005-10-14 math.CO math.NT
An inverse theorem for Freiman multi-homomorphisms
University of Cambridge（剑桥大学）；Mathematical Institute of the Serbian Academy of Sciences and Arts（塞尔维亚科学与艺术学院数学研究所）
本文针对有限域上的弗雷曼多重同态证明了一个逆定理，给出其在高密度集合上可由多仿射映射逼近的结论，并将其应用于近似多项式、一致性范数的定量逆定理及特定稠密子集的结构定理。
2026-11-03 math.CO
Freiman's $3k-4$ Theorem for Function Fields
本文将整数情形的 Freiman $3k-4$ 定理推广到函数域，证明当扩张中 $k$ 维向量空间 $S$ 的两两乘积生成空间的维数不超过 $3k-4$ 时，$K(S)$ 必为小亏格函数域，且 $S$ 在某个 Riemann-Roch 空间中具有小余维数。
2024-09-30 math.CO math.NT
Improved Bounds for the Freiman-Ruzsa Theorem
Department of Mathematics, University of California, Los Angeles (UCLA)（加州大学洛杉矶分校数学系）
本文改进了弗雷米安-鲁兹萨定理的界，通过熵方法和傅里叶分析相结合，证明了在特定条件下有限子集可被有限个凸余集进展覆盖，并接近多项式猜想的结论。
2026-02-26 math.CO math.NT
A quasipolynomial inverse theorem for the $\mathsf{U}^k(\mathbb{F}_p^n)$ norm in the high characteristic
Mathematical Institute of the Serbian Academy of Sciences and Arts（塞尔维亚科学院艺术系数学研究所）
本文证明了高特征下 Gowers 范数的拟多项式逆定理，通过建立 Freiman 多同态的结构定理，结合代数正则化、BSG 定理和多线性映射理论，显著简化了证明。
2026-11-03 math.CO math.NT
Approximate groups and doubling metrics
我们对一类非阿贝尔群，其中包括有限幂零、超可解和可解A-群，发展了Freiman定理的一个版本。要做到这一点，我们必须用一个更强的相对多项式增长假设，类似于格罗莫夫定理（虽然有一个有效的范围），我们发现的结构是球（左和右）平移不变伪度量与某些良好的增长估计。我们的工作补充了其他三个最近的方法来发展非阿贝尔版本的Freiman定理的Breuillard和绿色，菲舍尔，卡茨和彭，和陶。
2012-12-03 math.CA math.CO
Sets with small sumset and rectification
我们研究在何种程度上集A在Z/NZ，N素数，类似于集合的整数从添加剂的角度来看（"高达弗赖曼同构“）。我们给出了Freiman的一个结果的直接证明，即如果|A + A| < K |A|且|A| < c（K）N则A是Freiman同构于一个整数集。因为我们避免诉诸Freiman的结构定理，我们得到了一个合理的界限：我们可以取c（K）> exp（-cK^2 log K）。作为我们的论点的副产品，我们得到了锐化第二作者的结果集与小和扭转群。例如，如果A是F_2^n的子集，并且如果|A + A| < K |A|，则A包含在大小不超过2^{CK^2} |A|的子空间的陪集中。
2005-01-28 math.CO math.NT
Sets in $\mathbb{Z}^k$ with doubling $2^k+δ$ are near convex progressions
对于$δ>0$足够小和$A\subset \mathbb{Z}^k$与$|A+A|\le (2^k+δ)|A|$，我们证明了要么$A$被$m_k(δ)$平行超平面覆盖，要么满足$|\widehat{\operatorname{co}}(A)\setminus A|\le c_kδ|A|$，其中$\widehat{\operatorname{co}}(A)$是包含$A$的最小凸级数（凸集与子格）。这推广了Freiman-Bilu $2^k$定理、Freiman的$3|A|-4$定理以及Figalli和Jerison最近关于$\mathbb{R}^k$中和集的尖锐稳定性结果.
2022-12-06 math.CO math.NT
Solvable Hypergroups and a Generalization of Hall's Theorems on Finite Solvable Groups to Association Schemes
本文将Philip Hall关于有限可解群的著名定理推广到概型理论中.我们的结果是基于一系列结果的超群。
2019-09-11 math.CO math.GR
On Doubling and Volume: Chains
众所周知的Freiman-Ruzsa定理提供了整数集合$A$的结构描述，其中$|2A|\le c|A|$作为具有$|P|\le c'|A|$的$d$-维算术级数$P$的子集，其中$d$和$c'$仅依赖于$c$。在陈述中涉及的常数$d$和$c'$的估计一直是深入研究的对象。弗赖曼在2008年提出了一个计算这类集合中最大数量的公式。在本文中，我们证明了猜想的一般类集称为链。
2017-01-17 math.CO math.NT
The Polynomial Freiman-Ruzsa (Marton) Conjecture in Integers and Finite Fields via Spectral Stability
本文通过谱稳定性二元性与弗里曼建模，解决了整数和有限域中的多项式弗里曼-鲁兹萨猜想，并扩展了其在有限域中的应用。
2025-12-09 math.CO math.NT
Large values of the additive energy in R^d and Z^d
将Freiman定理与Balog-Szemeredi-Gowers定理相结合，可以证明：如果一个可加集合具有大的可加能量，则该集合的大部分包含在一个小秩和小尺寸的广义等差数列中。在本文中，我们证明了上述声明与最佳界的秩的级数。证明策略包括研究R^d和Z^d的子集的加性能量的上界。
2013-08-09 math.CO
Product set estimates for non-commutative groups
我们发展的Plünnecke-Ruzsa和Balog-Szemerédi-Gowers理论的和集估计在非交换设置，与离散，连续，和度量熵配方这些估计。对于一类特殊的2-步幂零群，即中心无2-挠的Heisenberg群，我们还建立了一个Freiman型逆定理.
2011-10-26 math.CO
Variations on the Thompson theorem
本文推广Thompson定理，利用互素素数幂阶元素生成的2生成子群条件，给出有限群可解性与幂零性的新等价判据，并应用于群上图的研究。
2024-02-27 math.CO math.GR
The structure of approximate groups
设K >= 1为参数。K-近似群是（局部）群中的一个有限集A，它包含单位元，是对称的，并且使得A^2被A的K个左平移所覆盖。本文的主要结果是近似群本质上是幂零有限的一个定性描述，回答了H。Helfgott和E.林登施特劳斯这可以被看作是一个推广的弗里曼-鲁萨定理集的小倍的整数到任意群体。我们首先建立一个对应原则之间的近似群体和局部紧（本地）群体，使我们能够恢复许多结果最近建立的基本文件Hrushovski。特别地，我们建立了近似群可以近似模拟的李群。为了证明我们的主要定理，我们应用了一些额外的论点，主要是由于格里森。这些都出现在解决希尔伯特的第五个问题在20世纪50年代。主要定理的应用包括Gromov定理的有限加细，Gromov定理的推广的Margulis引理和Ricci几乎非负曲流形的基本群的虚零点.
2011-10-25 math.CO math.GR
An equivalence between inverse sumset theorems and inverse conjectures for the U^3 norm
我们建立了逆和集定理（可视为近似（阿贝尔）群的分类）和逆定理的Gowers规范（可视为近似多项式的分类）之间的对应关系。特别地，我们证明了Freiman型逆和集定理等价于已知的关于Gowers U^3范数的逆结果，而且前者的多项式加强也等价于后者的多项式加强.我们在两个模型中建立了这个等价，即有限域向量空间F_2 ^n和循环群Z/NZ。在这两种情况下，论证都涉及澄清某些类型的近似同态的结构。
2009-06-17 math.CO math.NT
A bilinear Bogolyubov theorem
本文证明了由笛卡尔正方形$\mathbb{F}_p^n\times\mathbb{F}_p^n$中的集合$P$导出的迭代和集的显著结构的存在性。更准确地说，我们在$P$上执行水平和垂直求和和差分，也就是说，当第一个坐标固定时，在第二个坐标上进行运算，反之亦然。我们找到的结构是向量子空间的笛卡儿积上的双线性型族的零点集。所涉及的子空间的余维和双线性型的数目仅由密度为$δ=\lvert P\rvert/p^{2n}$的函数$c(δ)$限定。证明使用了各种加法组合学的工具，例如（线性）Bogolyubov定理，密度增量法，以及Balog-Szemerédi-Gowers和Freiman-Ruzsa定理。
2018-08-08 math.CO
A nearcircumsphere-Ramsey Theorem for Solvable Transitive Configurations
ELTE Eötvös Loránd University（厄特沃什·罗兰大学）；Alfréd Rényi Institute of Mathematics（阿尔弗雷德·雷尼数学研究所）
针对存在可迁可解等距群的有限球面集P，该研究证明对半径略大于P外接圆半径的足够高维球面着色必含P的单色全等拷贝，其方法结合Kriz的群论论证与具独立意义的拓扑技术。
2026-09-04 math.CO
Inverse Littlewood-Offord theorems and the condition number of random discrete matrices
考虑随机和$η_1 v_1 + ... + η_n v_n$，其中$η_1,...,η_n$是i.i.d.。随机符号和$v_1,...,v_n$是整数。Littlewood-Offord问题要求在$v_1,...,v_n$的各种假设下最大化浓度概率，例如$¶(η_1 v_1 + ... + η_n v_n = 0)$。在本文中，我们开发了一个\emph{inverse} Littlewood-Offord定理（有点精神的Freiman的逆和集定理），它开始的假设，浓度概率是大的，并得出结论，几乎所有的$v_1,...,v_n$有效地包含在一个等差数列。作为应用，我们给出了随机Bernoulli矩阵最小奇异值分布的一些新的界，进而给出了其条件数的上尾估计。
2007-01-28 math.CO math.PR
Sum-free Sets of Integers with a Forbidden Sum
一组整数是无和的，如果它不包含方程$x+y=z$的解。我们研究了整数集合$[n]=\{1,\ldots,n\}$的无和子集，其中整数$2n+1$不能表示为它们的元素之和。我们证明了这些集合的数量，它匹配，直到一个乘法常数，下限通过考虑所有子集的$B_n = \{ \lceil \frac{2}{3}(n+1) \rceil, \ldots, n \}$的$O(2^{n/3})$的一个界限。证明中的一个主要成分是一个稳定性定理，即如果$[n]$的一个子集的大小接近于$|B_n|$，只包含少数几个与无和或禁止和相矛盾的子集，那么它几乎包含在$B_n$中。我们的结果是由素数阶循环群的对称完全无和子集的计数问题得到的。证明涉及Freiman的$3k-4$定理，格林的算术删除引理，超图的独立集的结构结果。
2018-12-22 math.CO math.GR math.NT
Arithmetic Progressions in Midpoint Colourings
该研究针对Roth整数着色中点问题提出非对称变体，采用傅里叶分析方法，结合相关定理在有限域与整数环境中推导算术级数的渐近紧界并改进颜色数量的依赖关系。
2026-10-09 math.CO math.NT
Sumset and inverse sumset theorems for Shannon entropy
设$G = (G,+)$为加法群。Plünnecke和Ruzsa的和集理论给出了有限集$A, B$的和集$A+B$的大小与相关对象（如迭代和集$kA$和差集$A-B$）之间的几个关系，而Freiman、Ruzsa和其他人的逆和集理论则刻画了那些$A+A$很小的有限集$A$。本文建立了类似的结果，其中有限集$A \subset G$被替换为离散随机变量$X$，取值于$G$，基数$|A|$被替换为Shannon熵$\mathrm{Ent}(X)$。特别是，我们分类的随机变量$X$有小的加倍的意义上说，$\mathrm{Ent}(X_1+X_2) = \mathrm{Ent}(X)+O(1)$当$X_1,X_2$是独立的$X$的副本，通过显示，它们分解为$X = U+Z$，其中$U$是均匀分布在陪集级数的有界秩，和$\mathrm{Ent}(Z) = O(1)$。当$G$无挠时，我们还建立了急剧的下界$\mathrm{Ent}(X+X) \geq \mathrm{Ent}(X) + {1/2} \log 2 - o(1)$，其中$o(1)$以$\mathrm{Ent}(X) \to \infty$的形式趋于零。
2020-04-06 math.CO math.PR
A Single Set Improvement to the $3k-4$ Theorem
$3k-4$定理是一个经典的结果，它断言，如果$A,\,B\subseteq \mathbb Z$是有限的，非空子集，具有\begin{equation}\label{hyp}|A+B|=|A|+|B|+r\leq |A|+|B|+\min\{|A|,\,|B|\}-3-δ,\end{equation}，其中$δ=1$如果$A$和$B$是彼此的平移，否则$δ=0$，则存在具有公差的算术级数$P_A$和$P_B$，使得$A\subseteq P_A$，$B\subseteq P_B$，$|B|\leq |P_B|+r+1$和$|P_A|\leq |A|+r+1$。这是少数情况下，在弗赖曼定理的确切界限的大小的进展是已知的。上面的假设是最好的可能性，因为有一些和集$A+B$的基数只是多一个，但$A$和$B$不能都包含在短长度的算术级数中。在本文中，我们表明，上述假设可以显着减弱，仍然产生相同的结论，为$A$和$B$的集合之一。具体地说，如果$|B|\geq 3$，$s\geq 1$是唯一的整数与$$(s-1)s\left(\frac{|B|}{2}-1\right)+s-1<|A|\leq s(s+1)\left(\frac{|B|}{2}-1\right)+s,$$和\begin{equation}\label{hyp2} |A+B|=|A|+|B|+r< (\frac{|A|}{s…
2019-11-28 math.CO math.NT
