Higher Schur-multiplicator of a Finite Abelian Group
Mohammad Reza Rajabzadeh Moghaddam, Behrooz Mashayekhy
本文给出了任意有限阿贝尔群关于至多为$c\geq 1$类的幂零群簇的高阶Schur乘子的一个显式公式。
In this paper we obtain an explicit formula for the higher Schur-multiplicator of an arbitrary finite abelian group with respect to the variety of nilpotent groups of class at most $c\geq 1$ .
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
The Higher Schur-Multiplicator of Certain Classes of Groups
研究了一类群关于幂零群簇的高阶Schur-乘子的计算问题。我们的结果在某种程度上推广了M.R.R. Moghouth（1979），and N.D.古普塔和核磁共振Moghloves（1993）.
The Schur multiplier of central product of groups
设$G$是两个群$H$和$K$的中心积。利用$H$和$K$的某些同调的第二上同调群，研究了系数在具有平凡$G$作用的可分阿贝尔群$D$中的$G$的第二上同调群.特别地，对于$D = \mathbb{C}^{*}$，我们的一些结果提供了[一些具有非平凡乘子的群，数学Z. { \bf 120 }（1971），307-308]和[On the Schur multiplicator of a central quotient of a直积of groups，J. Pure Appl. Algebra { \bf 3}（1973），73-82]。
Finite abelian groups are Schur multipliers of finite solvable groups
证明每个有限阿贝尔群均可作为有限可解群的 Schur 乘子，进而推出其为某数域扩张的结群。
Schur rings over Free Abelian Group of Rank Two
该研究在直因子为基本集之并的假设下，完成了秩2自由阿贝尔群上Schur环的分类，共得到8类，其中7类为传统类型，推进了相关代数结构的分类研究。
The Non-Abelian Tensor Square and Schur multiplier of Groups of Orders $p^2q$, $pq^2$ and $p^2qr$
本文的目的是确定无平方阶群和$p^2q$，$pq^2$和$p^2qr$阶群的非交换张量平方和Schur乘子，其中$p$，$q$和$r$是素数，而$p<q<r$是素数.
Schur's theorem and its relation to the closure properties of the non-abelian tensor product
本文研究了Noetherian群的Schur乘子生成性及非阿贝尔张量积的闭包性质，提出了Schur定理的新版本。
On the Schur multiplier of $p$-groups with abelianization $s$-elementary abelian
本文提出计算 nil 指数为 2 的 $p$-群 Schur 乘子的方法，推广了 Blackburn 和 Evens 的方法，并研究了非交换 $p$-群的 Schur 乘子可能的 abelian $p$-群结构，引入了 $s$-特殊 $p$-群的概念。
On the Order of Schur Multipliers of Finite Abelian p-Groups
设$G$是一个具有$|M(G)|=p^{\frac{n(n-1)}{2}-t},$的$p^{n}$阶的有限$p$ -群，其中$M(G)$是$G$的Schur乘子.是的Berkovich，X. Zhou，G. Ellis已经确定了$G$的结构，当$t=0,1,2,3$。在本文中，我们将给出交换$p$群$G$的一些结构，其中$S_2M(G)$是$G$的亚交换乘子，并满足$G, M(G),$和$S_2M(G)$的指数的条件.
The Schur Multipliers of $p$-Groups of Order $p^5$
本文计算了$p^5$阶非交换$p$ -群的Schur乘子、非交换张量平方和外平方。作为一个应用，我们确定了$p^5$阶群的能力.
Schur multipliers of special p-groups of rank 2
群G称为k秩特殊p-群，如果换位子群[G，G]与中心Z（G）相等，则G是k秩初等交换p-群，G/[G，G]也是初等交换p-群.本文明确地确定了秩为2的特殊p-群的Schur乘子。
$CI$-property for decomposable Schur rings over an abelian group
有限群上的Schur环称为可分解的，如果它是更小群上Schur环的广义圈积。本文建立了初等阿贝尔群直积上的可分解Schur环是$CI$ -Schur环的一个充分条件。利用这一条件，我们用较短的方法重新证明了秩至多为$5$的初等阿贝尔群上可分解Schur环的$CI$ -性质的已知结果.
Classification of abelian Schur groups II
本文研究了abelian Schur groups的分类，通过证明列表中某些非幂阶群是Schur groups，从而完成了分类。
Abelian Schur groups of odd order
有限群$G$称为Schur群，如果$G$上的任意Schur环以自然的方式与包含所有右平移的$Sym(G)$的子群相关联。证明了群$C_3\times C_3\times C_p$对任意素数$p$都是Schur群.连同以前的结果，这完成了分类的交换舒尔群的奇数阶。
The Baer-invariant of a Semidirect Product
1972年K. I. Tahara [7，2定理2.2.5]用上同调方法证明了：如果有限群$G=T\rhd<N$是正规子群$N$和子群$T$的半直积，则$M(T)$是$M(G)$的直因子，其中$M(G)$是$G$的Schur-multiplier，在有限情形下是$G$的第二上同调群。在1977年，W.Haebich [1定理1.7]给出了任意群$G$的另一个证明。本文推广了上述定理。我们将证明${\cal N}_cM(T)$是${\cal N}_cM(G)$的一个直接因子，其中${\cal N}_c$ [3页102]是至多为$c\geq 1$的类的幂零群的簇，而${\cal N}_cM(G)$是群$G$关于簇${\cal N}_c$的{ \it是Baer-不变量}[3页107]。
Classification of abelian Schur groups I
本文研究了abelian Schur groups的分类，证明了某些直接积群是Schur群，同时证明了其他群非Schur。
On the Schur Multiplier of finite $p$-groups of maximal class
本文证明了$p^n ~(4 \leq n \leq p+1)$阶极大类的有限$p$ -群的Schur乘子是初等交换的. $n = p+1$一案解决了Primovic Moravec在前一篇文章中提出的一个问题。
On schurity of finite abelian groups
有限群$G$称为舒尔群，如果$G$上的任意舒尔环以自然的方式与包含所有右平移的$Sym(G)$的子群相关联。最近，作者完全确定了循环Schur群。本文证明了任意交换Schur群只属于几个显式给定的群族之一。特别地，任何奇数阶的非循环交换Schur群同构于$Z_3\times Z_{3^k}$或$Z_3\times Z_3\times Z_p$，其中$k\ge 1$和$p$是素数。此外，我们还证明了对于每个素数$p$，$Z_2\times Z_2\times Z_p$是Schur群.
The Schur multiplier of some finite multiplicative Lie algebras
本文的主要目的是寻找有限乘法李代数的Schur乘子和李外方。对于具有平凡Schur乘子的非交换单群$K$，我们得到：乘李代数$K$的Schur乘子是平凡的，且$K$的李外平方是一个非正常乘李代数$K.$
On non-abelian Schur groups
一个有限群G称为Schur，如果G上的每一个Schur环都以自然的方式与Sym（G）的一个与G同构的正则子群相关联.证明了任意非交换Schur群G是亚交换群且G的阶不同素除子个数不超过7.
The Schur-Wielandt theory for central S-rings
关于阿贝尔群上S-环的两个基本结果是关于乘子的Schur定理和关于具有循环Sylow子群的群上本原S-环的Wielandt定理。这些定理都没有直接推广到非阿贝尔的情况。然而，我们证明了它们对于中心S-环是正确的，即，对于那些包含在基础群的群环的中心的S-环（这样的S-环自然出现在超特征标理论中）。我们还推广了Wielandt引入的B-群的概念，并证明了任何Camina群都是广义B-群，而除了少数例外，没有单群是这种类型的。
Separability of Schur rings over an abelian group of order 4p
一个$S$ -环（一个Schur环）被称为关于一类群$\mathcal{K}$是可分的，如果它与一个来自$\mathcal{K}$的群上的$S$ -环的每一个代数同构都由一个组合同构导出.证明了$4p$阶的阿贝尔群$G$上的Schur环关于阿贝尔群类是可分的，其中$p$是素数.这意味着$G$上的Cayley图类的Weisfeiler-Leman维数至多为2。
On separable Schur rings over abelian groups
一个有限群称为弱可分群，如果这个群上的两个$S$ -环之间的每个代数同构都由一个组合同构诱导。本文证明了交换弱可分群只属于几个显式给定的群族之一。
A characterization of finite $p$-groups by their Schur multiplier
设$G$是$p^n$阶的有限$p$ -群，$M(G)$是它的Schur乘子. Green的一个著名的结果是：对于某些$t(G) \geq 0$，$|M(G)|= p^{\frac{1}{2}n(n-1)-t(G)}$.本文对$t(G)=\log_p(|G|)+1$的非交换$p$ -群$p^n$进行了分类。
Finite $p$-groups having Schur multiplier of maximum order
设$G$是一个阶为$p^n$的非交换$p$ -群，$M(G)$表示$G$的Schur乘子. Niroomand证明了$|M(G)| \leq p^{\frac{1}{2}(n+k-2)(n-k-1)+1}$对于非交换的$p^n$阶的$p$ -群$G$，其导子群为$p^k$阶.最近Rai分类$p$ -群$G$的幂零类$2$，其中$|M(G)|$达到这个界限。本文证明了对于$p\neq3$，不存在幂零类$c \geq 3$的有限$p$ -群$G$使得$|M(G)|$达到这个界.因此，$p$的$|M(G)| \leq p^{\frac{1}{2}(n+k-2)(n-k-1)}$-组$c \geq 3$类的$G$，其中$p \neq 3$。我们还为$p=3$构造了一个$p$ -群$G$，使得$|M(G)|$达到Niroomand的束缚.
On a huge family of non-schurian Schur rings
本文推广H·维兰特的例子，构造了偶秩初等阿贝尔群上的一大类非舒尔型舒尔环，解决了舒尔环是否为置换群传递模的问题。
Separability of Schur rings over abelian groups of odd order
一个$S$ -环（一个Schur环）被称为关于一类群$\mathcal{K}$是可分的，如果从所讨论的$S$ -环到一个来自$\mathcal{K}$的群上的$S$-环的每一个代数同构都是由一个组合同构诱导的.一个有限群$G$称为相对于$\mathcal{K}$可分，如果$G$上的每个$S$ -环相对于$\mathcal{K}$可分.证明了$9p$阶的交换群$G$（其中$p$是素数）关于所有有限阿贝尔群的类是可分的.模以前获得的结果，这完成了分类的非循环阿贝尔群的奇数阶是可分离的类的所有有限的阿贝尔群。这也意味着$G$上的Cayley图类的Weisfeiler-Leman维数至多为2。
Classification of p-groups by their Schur multiplier
设$G$是一个阶为$p^n$的非交换$p$ -群，$M(G)$是它的Schur乘子. Green的著名结果是：$|M(G)| \leq p^{\frac{1}{2}n(n-1)}$ .因此，对于某些$t(G) \geq 0$，使用$|M(G)|= p^{\frac{1}{2}n(n-1)-t(G)}$。几位作者已经对$t(G) \leq 5$进行了分组。对$t(G)=6$进行了分类。本文用不同的方法对$t(G) = 6$的$p$ -群$G$进行了分类.
Schur sigma-groups with abelian quotient invariants (9,3)
通过构造对数阶为lo（S）= 21、幂零类为cl（S）= 9的（9，3）型非亚交换Schur σ-群S，证明了一类新的虚二次域K具有3类群Cl（3，K）~ C（9）* C（3）和穿孔主化型kappa ~（1，4，4; 4）其3-类域塔恰好由三个阶段组成。相比之下，以前的三级塔的例子与{（1，1，2;2），（1，1，2;3），（1，1，4;2），（1，2，3;1）}中的kappa相关，lo（S）= 9和cl（S）= 5。
Automorphisms of groups and converse of Schur's theorem
群G的一个自同构称为IA-自同构，如果它在阿贝尔化群G/G '上诱导单位自同构。设IA（G）表示G的所有IA-自同构的群。我们对IA（G）同构于ln（G）的所有第二类的n-生成幂零群G进行了分类.特别地，我们分类了所有的有限幂零群的类2，其中每个IA-自同构是内部的。作为推论，我们给出了Schur定理的逆的令人惊讶的非常简单的证明，并且还证明了其他一些相关的结果。
On separability of Schur rings over abelian p-groups
一个$S$ -环（Schur环）称为关于一类$S$ -环$\mathcal{K}$是可分的，如果它在$\mathcal{K}$中直到同构仅由其结构常数的张量确定.一个阿贝尔群称为可分群，如果这个群上的每个$S$ -环关于阿贝尔群上的$S$ -环类是可分的。设$C_n$是$n$阶循环群，$G$是非循环交换$p$ -群.从先前获得的结果可以得出，如果$G$是可分离的，则$G$同构于$C_p\times C_{p^k}$或$C_p\times C_p\times C_{p^k}$，其中$p\in \{2,3\}$和$k\geq 1$。我们证明了群$D=C_p\times C_{p^k}$是可分的，只要$p\in \{2,3\}$。从这一点出发，我们推出了一个给定的$D$上的Cayley图和一个给定的任意阿贝尔群上的Cayley图，我们可以检验这些图在时间上是否同构$|D|^{O(1)}$ .
Classifying $p$-groups via their multiplier
作者在$($中讨论了非交换$p$ -群的Schur乘子的阶. J. Algebra（2009）.322：4479- 4482 $)$表明，对于阶为$p^n$的任何$p$ -群$G$，存在非负整数$s(G)$，使得$G$的Schur乘子的阶等于$p^{\f{1}{2}(n-1)(n-2)+1-s(G)}$。此外，他还描述了当$s(G)=0$时，所有非交换的$p$ -群$G$的结构。本文研究了当$s(G)=2$为$p$ -群时，所有$p$ -群的刻划.
Multivalued Groups and Schur Rings
该研究关联舒尔环探讨有限对合多值群，证明陪集多值群属舒尔多值群，构造初等阿贝尔群上的交换多值群族并获其渐近界，还证明双陪集群在该族中比例趋于零。
Characterizing finite $p$-groups by their Schur multipliers
在\cite{ge}中证明了对于每一个$p$ -群的阶为$p^n$，$|\mathcal{M}(G)|=p^{\f{1}{2}n(n-1)-t(G)}$，其中$t(G)\geq 0$ .在\cite{be, el, zh}中，几位作者已对$t(G)=0,1,2,3$的$G$结构进行了表征。同样在\cite{sa}中，当$t(G)=4$和$Z(G)$是初等阿贝尔时表征的$G$的结构。本文致力于对$t(G)=4$不带任何条件时的$G$结构进行分类。
On topological properties of the group of the null sequences valued in an Abelian topological group
在[23]之后，用$\mathfrak{F}_0$表示所有Hausdorff Abel拓扑群和连续同态的范畴$\mathbf{TAG}$上的函子，该函子将每个$X\in \mathbf{TAG}$传递到赋予一致拓扑的所有$X$值空序列的群。证明了若$X\in \mathbf{TAG}$是$(E)$ -空间（分别是严格天使空间或严格空间），则$\mathfrak{F}_0 (X)$是$(E)$ -空间（分别是严格天使空间或严格空间）.我们特别从范畴的观点研究拓扑群的重要性质。利用这一研究，我们证明了对于局部紧阿贝尔群$X$，下列条件是等价的：1）$X$是全不连通的，2）$\mathfrak{F}_0 (X)$是Schwartz群，3）$\mathfrak{F}_0 (X)$是紧的，4）$\mathfrak{F}_0(X)$具有Schur性质.因此，如果LCA群$X$有非零连通分支，则群$\mathfrak{F}_0(X)$是自反非Schwartz群，不具有Schur性质。我们还证明了，对于每一个紧连接可度量化阿贝尔群$X$的组$\mathfrak{F}_0 (X)$是monothetic的，推广了Rolewicz的结果$X=\mathbb{T}$。
On two group functors extending Schur multipliers
Liedtke（2008）引入了群函子$K$和$\tilde K$，它们用于描述复代数曲面的某些不变量。他证明，这些函子是连接到理论的中心扩展和舒尔乘数。在这项工作中，我们涉及$K$和$\tilde K$的一个组函子$τ$中产生的建设的非阿贝尔外部广场的一组。与$\tilde K$相比，存在构造$τ$的有效算法，特别是对于多环群。在计算机代数系统GAP的支持下，我们研究了$K(G,3)$何时是$τ(G)$的商，以及$τ(G)$和$\tilde K(G,3)$何时同构。
Extremal root paths of Schur \(σ\)-groups and first \(3\)-class field towers with four stages
利用有限Schur σ-群G到其阿贝尔化G/G '的后代树中的根的路径描述了有限Schur σ-群G的一个极值性质。用已知的三类域塔的伽罗瓦群G=Gal（F（3，infty，K）/K）的例子K=F（3，0，K）<F（3，1，K）<F（3，2，K）<=... <=F（3，infty，K）的虚二次数域K=Q（sqrt{d}），d<0，具有秩为2的初等3类群Cl（3，K）.这样的伽罗瓦群一定是Schur σ-群，并且至少有四个阶段的塔的存在是通过证明不存在导出长度dl（G）<=3的合适的Schur σ-群G来证明的。通过反例强调了具有相同类型3类群的实二次数域表现出完全不同的性质，通常没有极路。
Automorphism Groups of Schur Rings
1993年Muzychuk \cite{muzychuk}证明了循环群$Z_n$上的有理Schur环与$n$的因子格的子格一一对应，或者等价地，与$Z_n$的子群格的子格一一对应。这可以很容易地推广到表明，对于任何有限群$G$，$G$的特征子群格的子格以自然的方式产生$G$上的有理Schur环。我们的主要结果是：对于任意奇素数$p$，任意有限群都可以表示为交换$p$ -群上的有理Schur环的（代数）自同构群.相反，我们证明了在循环群上任何Schur环的自同构群都是交换的。我们还证明了一个逆著名的结果Muzychuk \cite{muzychuk2}，两个舒尔环在一个循环群是同构的当且仅当它们重合，即，我们表明，在一个群体是不是循环的，总是存在不同的同构舒尔环。
On generalized Schur groups
一个$S$ -环（Schur环）称为中心环，如果它包含在群环的中心.本文引入广义Schur群的概念，即这样一个有限群，使得在这个群上的所有中心$S$ -环都是Schur的.它以一种自然的方式推广了舒尔群的概念，并且它们对于阿贝尔群是等价的。我们建立了非交换广义Schur群的基本性质并给出了无限族
Association schemes in which the thin residue is an elementary abelian $p$-group of rank $2$
本文研究了其薄剩余同构于秩为$2$的初等交换$p$ -群的结合方案的存在性和完备性问题.
Asymptotic Schur orthogonality in hyperbolic groups with application to monotony
我们证明了Schur正交关系对于Gromov双曲群的某些表示类的推广。我们应用所得到的结果表明，表示的非阿贝尔自由群相关的帕特森-沙利文措施，对应于广泛的一类不变的度量组是单调的意义上介绍了库恩和Steger。这特别包括与广泛类别的随机游动的调和测度相关联的表示。
Some generalisations of Schur's and Baer's theorem and their connection with homological algebra
舒尔定理和它的推广，贝尔定理，是杰出的结果在群论，连接的上中心序列与下中心序列。本文的目的是推广这些结果在两个不同的方向，使用新的方法与非阿贝尔张量积。特别地，我们证明了一个关于有限生成群的Schur-Baer定理.然后，我们应用这些新得到的结果来描述的$k$ -幂零乘子，$k\geq 2$，和其他不变量的群体。
The Non-Abelian Tensor Square of Finite Metacyclic Groups
针对 m 为奇数的一般有限亚循环群，论文通过研究 ν(G) 的展示来确定非阿贝尔张量平方 G⊗G，并刻画外平方与 Schur 乘子。
Frobenius-Schur Indicators for Subgroups and the Drinfel'd Double of Weyl Groups
若G是有限群，k是域，则存在一个与G相联系的k上的霍普夫代数的自然构造，即Drinfel'd double D（G）.本文证明了：若G是特征不为2的代数闭域k上的任意有限实反射群，且D（G）是Drinfel的双D（G），则每个D（G）-模都有Frobenius-Schur指标+1.这推广了群上模的经典结果。我们还证明了关于外尔群的一些新结果。特别地，我们证明了任何交换子群都被某个对合反转。另外，如果E是外尔群W的任意初等交换2-子群，则E在W中的中心化子的所有表示都定义在有理数域上.
Second cohomology of Lie rings and the Schur multiplier
给出了李环$L$和平凡$L$ -模$A$的二阶上同调群$H^2(L, A)$的一个显式构造.我们展示了$H^2(L, A)$的元素如何一一对应于$A$的$L$的中心扩张的等价类，其中$A$现在被认为是交换李环。对于有限李环$L$，我们还证明了$H^2(L, \C^*) \cong M(L)$，其中$M(L)$表示$L$的Schur乘子.这些结果与群论中的类似情形完全吻合。
On Schur 3-groups
设$G$是一个有限群。如果$Γ$是一个具有$G_{right}\leqΓ\leq Sym(G)$的置换群，$\mathcal{S}$是$Γ$中恒等式$e=e_{G}$的稳定子的轨道集，则群环$\mathbb{Z} G$的$\mathbb{Z}$ -子模$\mathcal{A}(Γ,G)=Span_{\mathbb{Z}}\{\underline{X}:\ X\in\mathcal{S}\}$是一个$S$ -环，正如Schur所观察到的那样。在Pöschel之后，一个$S$ -环$\mathcal{A}$在$G$上被称为是schurian的，如果存在一个合适的置换群$Γ$使得$\mathcal{A}=\mathcal{A}(Γ,G)$。一个有限群$G$称为Schur群，如果$G$上的每个$S$ -环都是Schur的。证明了群$M_{3^n}=\langle a,b\;|\:a^{3^{n-1}}=b^3=e,a^b=a^{3^{n-2}+1}\rangle$，其中$n\geq3$不是Schur群.模以前得到的结果，它遵循的每一个舒尔$p$ -群是阿贝尔只要$p$是一个奇素数。
Results on formally dual sets in finite abelian groups of size 64 obtained from a graph search algorithm
我们很快提出了两个小的结果关于研究正式对偶有限阿贝尔群介绍科恩，库马尔，赖赫和Schürmann。特别是，我们给出了一个新的例子，在$\mathbb{Z}_2^2\times\mathbb{Z}_4^2$的形式自对偶集和计算不存在的原始形式对偶集的大小$8$在$\mathbb{Z}_8^2$。
Relative Schur multipliers and universal extensions of group homomorphisms
本文从任意阿贝尔化满射的群同态$f\colonΓ\to G$出发，构造了一个具有相同满射性质的$Γ$下的泛中心扩张$u\colon U\twoheadrightarrow G,$，使得对于任意$f,$下的中心扩张$m\colon M\twoheadrightarrow G,$，存在唯一的同态$U\to M$，并具有明显的对易条件. $u$的核是本文定义的相对Schur乘子群$H_2(G,Γ;\mathbb{Z})$。$G$是完美的情况对应于$Γ=1$。这产生同调障碍，以提升解决方案的方程$G.$在重复，有限的群体，这给了一个普遍的超中心因式分解的地图$f\colonΓ\to G$。
Notes on $B$-groups
本文通过区分 $B$-群与 $BS$-群，构造了无穷多个 $B$-群但非 $BS$-群的例子，揭示了 Schur 环方法在原始群研究中的局限性。
On separable abelian $p$-groups
一个$S$ -环（一个Schur环）被称为关于一类群$\mathcal{K}$是可分的，如果从所讨论的$S$ -环到一个来自$\mathcal{K}$的群上的$S$-环的每一个代数同构都是由一个组合同构诱导的.一个有限群称为关于$\mathcal{K}$的\emph{separable}，如果这个群上的每个$S$ -环关于$\mathcal{K}$是可分的.本文给出了交换$p$ -群关于阿贝尔群类可分的一个完全分类。
On the Order of Nilpotent Multipliers of Finite p-Groups
设$G$是一个$p^n$阶的有限$p$ -群. YA. G. Berkovich（Journal of Algebra { \bf 144}，269-272（1991））证明了$G$是初等阿贝尔$p$ -群当且仅当其Schur乘子的阶$M(G)$处于最大情况。本文首先求出了$G$的幂零乘子$c$的阶的上界$p^{χ_{c+1}{(n)}}$，其中$χ_{c+1}{(i)}$是$i$字母上权为$c+1$的基本乘子的个数.其次，我们得到了交换情形下$G$的结构，其中$|M^{(c)}(G)|=p^{χ_{c+1}{(n-t)}}$，对所有$0\leq t\leq n-1$。最后，通过对推广的Stallings-Stambach五项正合列的左自然映射的核给出一个条件，证明了任意有限的具有最大阶$c$ -幂零乘子的$p$ -群是初等交换$p$ -群.
Finite non-metabelian Schur sigma-Galois groups of class field towers
对每个奇素数p>=5，存在导商G/D（G）=C（p）xC（p）和几乎常数的转移核型k（G）=（1，2，. 2)有两个不动点的。证明了当p=7时，具有最简单的对数阿贝尔商不变量t（G）= t（G）的k（G）型1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 8个极大子群中的一个（S = 21）恰好由98个阶为7^11的非亚阿贝尔Schur σ-群S实现，它们具有固定的导出长度dl（S）=3和阶为7^7的亚阿贝尔化S/D（D（S））。当p=5时，k（G）型的t（G）=（2111，111，21，21，21，21）导致无穷多个阶至少为5^14的非亚阿贝尔Schur σ-群S，其无界导出长度dl（S）>=3，以及固定阶为5^7的亚阿贝尔化S/D（D（S））。这些结果证明了d=-159592是已知的第一个具有精确长度L=3的7-类域塔的虚二次域的判别…
Finite split metacyclic groups and their 2-nilpotent multipliers
近年来，对有限群的幂零乘子的理解一直是一个重要的问题。设群$G$表示为自由群$F$与正规子群$R$的商。给定一个正整数$c$，群$G$的$c$ -幂零乘子是阿贝尔群$\mathcal M^{(c)}(G)=(R\cap γ_{c+1}(F))/γ_{c+1}(R,F)$，其中$γ_1(R,F)=R$、$γ_{c+1}(R,F)=[γ_c(R,F),F]$和$γ_{c+1}(F)=γ_{c+1}(F,F)$。特别地，$\mathcal{M}^{(1)}(G)$是$G$的舒尔乘数。研究群的$c$ -幂零乘子的关键是建立群的结构，估计群的大小和指数。研究$c$ -幂零乘子的一个原因是它与P. Hall的同构理论有关。有限亚循环群的Schur乘子的研究可以追溯到F. R. 1973年的Beyl。利用有限分裂亚循环群的非交换张量平方，研究了群的2-幂零乘子。特别地，我们给出了这类群的三重张量积、三重外积和2-幂零乘子的完整描述。
Subracks and second homology of the conjugacy classes of finite projective special linear groups of degree two
基于Dickson子群定理描述PSL(2,q)共轭类子rack，确定其极小非交换子rack，给出完全群共轭类关联群与Schur乘子关系的一般结果，进而明确q>3时PSL(2,q)共轭类关联群及二阶同调。
Elementary proof that $\mathbb Z_p^4$ is a DCI-group
一个有限群$R$是DCI-群，如果：当$S$和$T$是$R$的子集，且Cayley图${\rm Cay}(R,S)$和${\rm Cay}(R,T)$同构时，存在$R$与$S^φ=T$的自同构$φ$。已知阶为$p^4$或更小的初等阿贝尔群是DCI-群，而已知秩足够大的初等阿贝尔群不是DCI-群。唯一发表的证明初等交换群的阶为$p^4$是DCI-群使用舒尔环，并不适用于$p=2$（已单独证明使用计算机）。本文提供了一个适用于所有素数的简单证明。本文的一些结果也适用于高阶初等阿贝尔群，因此可能有助于完成我们确定哪些初等阿贝尔群是DCI-群的工作。
G(l,k,d)-modules via groupoids
本文对圈积$G\wr S_d$的复表示论作了一个新的研究，其中$G$是有限的阿贝尔群.该方法的动机是一个适当的版本Schur-Weyl对偶。构造了一个组合定义的群胚，其中所有的自同态代数都是对称群的直积，并证明了该群胚代数同构于$G\wr S_d$的群代数.这直接意味着简单模块的分类。作为应用，我们从对称群的经典对合Gelfand模型出发，得到了$G\wr S_d$的Gelfand模型.我们描述了舒尔-外尔对偶激励我们的方法，并将其与文献中的各种舒尔-外尔对偶。最后，我们讨论了这些方法的推广到所有复反射群的类型$G(\ell,k,d)$。
The Bogomolov multiplier of finite simple groups
由对G的任意交换子群的限制为零的所有上同调类组成的有限群G的Schur乘子的子群称为G的Bogomolov乘子。证明了若G是拟单或几乎单的，则除PSL（3，4）的某些覆盖外，G的Bogomolov乘子是平凡的.
The Bogomolov multiplier of rigid finite groups
有限群$G$的Bogomolov乘子被定义为Schur乘子的子群，该Schur乘子由限制到$G$的所有交换子群后消失的上同调类组成.这个不变量在商空间$G$的双有理几何中起着重要的作用。我们表明，在许多情况下，消失的Bogomolov乘数是保证刚性的$G$在这个意义上，它没有外部类保持自同构。
Skew brace extensions, second cohomology and complements
本文研究了斜左括消的扩展、第二上同调及补集，推导了Schur乘子嵌入性质，并引入了最小扩展概念，得出了关于有限斜左括消分裂扩展的简化结果。
On the deep commuting graph of a finite group
本文研究有限群的深度交换图，证明其为完全图当且仅当群是循环群，分类了完美图情况，探究了欧拉图性等性质，还分类了与增强幂图重合的阿贝尔群并刻画支配顶点。
On solvable factors of almost simple groups
设$G$是一个有限几乎单群，其基柱为$G_0$ . $G$的（非平凡）因子分解是$G=HK$形式的表达式，其中因子$H$和$K$是无核子群。关于几乎单群的因子分解有大量的文献，在置换群理论和代数图论中有重要的应用。在最近的一篇论文中，Li和Xia描述了几乎单群具有可解因子$H$的因子分解。几个无限的家庭中出现的典型群的背景下，在每一种情况下，一个可解的分组$G_0$包含$H \cap G_0$确定。在此基础上，本文计算了几乎单群的可解因子的阶的下界，并确定了具有可解因子的精确因子分解。作为应用，我们描述了具有幂零正则子群的有限本原置换群，推广了Burnside和Schur关于循环正则子群的经典结果，以及Li最近在交换情形下的工作.
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