A simple proof of Ore's theorem on the maximum size of k-connected graphs with given order and diameter
Leilei Zhang
1968年，Ore确定了给定阶数和直径的$k$ -连通图的最大尺寸。本文给出了一个新的简短证明。
In 1968, Ore determined the maximum size of $k$-connected graphs with given order and diameter. In this note, we give a new short proof.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
A sharp Ore-type condition for a connected graph with no induced star to have a Hamiltonian path
我们说一个图$G$有一条哈密尔顿路，如果它有一条包含$G$的所有顶点的路。对于图$G$，令$σ_2(G)$表示$G$的两个不相邻顶点的最小度和;对$σ_2(G)$的限制被称为Ore型条件。给定一个整数$t\geq 5$，证明了如果$n$顶点上的连通图$G$满足$σ_2(G)>{t-3\over t-2}n$，则$G$有一条与$K_{1, t}$同构的Hamilton路或诱导子图.此外，我们还刻画了所有的$n$ -顶点图$G$，其中$σ_2(G)={t-3\over t-2}n$和$G$既没有Hamilton路，也没有与$K_{1, t}$同构的诱导子图。这是Momège最近的一个类似结果，他在研究$t=4$时就研究了该病例。
The largest graphs with given order and diameter: A simple proof
Ore的经典定理的一个结果是确定具有给定阶数和直径的最大图。我们给出了一个非常简短和简单的证明这个较小的结果，根据一个著名的基本观察。
Ore- and Fan-type heavy subgraphs for Hamiltonicity of 2-connected graphs
Bedrossian刻画了2-连通图的所有禁止子图对都是Hamilton图。而不是禁止一些诱导子图，我们放松的条件，限制这些诱导子图的Ore和范型度条件的图是哈密尔顿的。设$G$是$n$上的图，$H$是$G$的导出子图. $H$称为\emph{o} -heavy，如果在$H$中有两个不相邻的顶点，其度和至少为$n$;称为$f$ -heavy，如果对于每两个顶点$u,v\in V(H)$，$d_{H}(u,v)=2$意味着$\max\{d(u),d(v)\}\geq n/2$ .我们称$G$是$H$ - \emph{o} -heavy（$H$ - \emph{f} -heavy），如果$G$的每个同构于$H$的导出子图都是\emph{o} -heavy（\emph{f} -heavy）.本文刻画了除$P_3$以外的所有连通图$R$和$S$，使得每个2-连通图$R$ - \emph{f} -heavy和$S$-\emph{f}-heavy（$R$ - \emph{o} -heavy和$S$ - \emph{f} -heavy，$R$ - \emph{f} -heavy和$S$ -free）图是Hamilton图.我们的结果推广了2-连通图哈密尔顿性的禁止子图条件和重子图条件。
An Ore-type condition for hamiltonicity in graphs
本文提出用二部洞数 $\widetildeα(G)$ 刻画图结构，并证明在 2-连通和 3-连通条件下，基于 Ore 型度和要求可分别保证图的哈密顿性和哈密顿连通性。
Ore's Theorem for rainbow Hamiltonian-connected graphs
本文针对公共顶点集上的图集合，证明了满足类似Ore定理度条件的图集合要么任意顶点对间存在彩虹哈密顿路径，要么含彩虹哈密顿环，且可嵌入指定彩虹线性森林。
Solution to a problem on hamiltonicity of graphs under Ore- and Fan-type heavy subgraph conditions
一个图$G$称为\emph{claw-o-heavy}，如果$G$的每个诱导爪（$K_{1,3}$）都有两个端点，其度和至少为$G$中的$|V(G)|$.对于给定的图$R$，如果对$G$的每个导出子图$H$同构于$R$，且对$u,v\in V(H)$和$d_H(u,v)=2$的每对顶点，存在$\max\{d(u),d(v)\}\geq |V(G)|/2$，则称$G$为\emph{$R$-f-heavy}.本文证明了2-连通爪- \emph{o} -重图和$Z_3$ - \emph{f} -重图都是Hamilton图（有两个例外图），其中$Z_3$是由$P_4$（一条4顶点的路）的一个端点与三角形的一个顶点相同而得到的图.这一结果肯定地回答了[B]中提出的一个问题。Ning，S. Zhang，Ore-and Fan-type heavy subgraphs for Hamiltonicity of 2- connected graphs，Discrete Math.313（2013）1715- 1725]，并且还暗示了Faudree等人和Chen等人的两个先前定理，分别
On the Connectivity and Diameter of Geodetic Graphs
本文研究了测地图的连通性与直径问题，证明了不含度为1或2顶点的2-连通测地图实际为3-连通，并构造了已知最大直径为5的无限图族。
Ore-type conditions for existence of a jellyfish in a graph
本文证明了保证图中存在生成jellyfish的精确Ore型条件，并作为推论加强了Chen等人关于生成jellyfish和broom存在性的结果。
$t$-Pebbling in $k$-connected diameter two graphs
图卵石模型的消耗性资源的运输。当两个鹅卵石在边缘移动时，一个到达目的地，而另一个被消耗。$t$ -pebbling数是最小整数$m$，使得任何初始分布的$m$ pebbles供应可以通过pebbling移动将$t$ pebbles放置在任何目标顶点上。直径为2的图的1-pebbling数是一个很好的研究。本文研究了在连通度条件下直径为2的图的$t$ -pebbling数.
Extracting list colorings from large independent sets
我们将Kostochka和Yancey的核引理应用于其逻辑结论。其结果是一种神奇的方法，可以从一个独立集的存在性中得出关于列表着色（和在线列表着色）的结论。我们用它来证明在线列表着色的布鲁克斯定理的Ore度版本。图$G$中边$xy$的Ore度为$θ(xy) = d_G(x) + d_G(y)$。$G$的矿石级为$θ(G) = \max_{xy\in E(G)}θ(xy)$。我们证明了每个具有$θ\ge18$和$ω\le\fracθ{2}$的图都是在线$\left\lfloor \fracθ{2}\right\rfloor $可选择的。此外，我们还证明了在线列表着色无三角形图的一个上界：$χ_{OL}\leΔ+1-\lfloor\frac{1}{4}\lg(Δ)\rfloor$。最后，我们把Gallai树刻画为连通图$G$，它至少有$|G|$边没有独立集。
A higher-connectivity spectral Ore theorem for triangle-free graphs
该研究针对无三角形图，证明当n≥4k+2时，补图连通度不小于k的无三角形图中，B_{n,k}是使得ρA(G)取最大值的唯一极图，还求解了相关二部问题、边界值及k=1、2时的特殊情况。
On the diameter of random planar graphs
本文证明了n阶随机标号连通可平面图的直径D（G_n）依概率等于n^{1/4+o（1）}。更精确地说，存在一个常数c>0，使得当ε足够小且n>n_0（ε）时，D（G_n）位于区间（n^{1/4-ε}，n^{1/4+ε}）的概率大于1- \exp（-n^{cε}）。我们证明了2-连通和3-连通的可平面图和地图类似的陈述。
Diameters of the Characteristic Imset Polytopes
它已被证明，特征嵌入多面体的边缘结构是密切相关的因果发现的问题。多面体的直径是多面体连接程度的指标，此外还为我们提供了多面体上边行走的假设最坏情况。我们提出了低次多项式的直径上的界限$\operatorname{CIM}_n$，对于任何给定的无向图$G$，面对$\operatorname{CIM}_G$。
Diameter Bounds for Planar Graphs
一个图的反度是它的顶点的度的倒数之和。我们证明了在任何连通的可平面图中，直径至多是5/2倍的反度，并且这个比率是紧的。为了开发一个关键的外科手术方法，我们首先证明了更简单的相关上界（4（V-1）-E）/3和4V^2/3E的直径（对于连通可平面图），这也是紧的。
The maximum size of a nonhamiltonian-connected graph with given order and minimum degree
该研究确定了给定阶数与最小度的非哈密顿连通图的最大规模及对应极图，推广了Ore的已有结果并扩展了Ho等人的定理，还推论得出给定阶数的k-连通非哈密顿连通图的最大规模。
On the diameter of Kronecker graphs
结果表明，a.a.s.一旦Kronecker图连通，其直径就由一个常数限定。
Degree conditions restricted to induced paths for hamiltonicity of claw-heavy graphs
Broersma和Veldman证明了2-连通无爪无$P_6$图是Hamilton图。Chen等人通过证明每个2-连通重爪且无$P_6$的图都是Hamilton图来推广这一结果。另一方面，Li等人构造了一类2-连通图，它们是爪重图和$P_6$ - \emph{o} -重图，但不是Hamilton图.本文进一步给出了限制2-连通重爪图的诱导$P_6$的Ore型度条件，这些条件能保证图是Hamilton图。这改进了以前的一些相关结果。
The $A_α$ spectral radius of $k$-connected graphs with given diameter
设$G$是一个具有邻接矩阵$A(G)$和度对角矩阵$D (G)$的图。2017年，Nikiforov定义了任何实数$α\in[0,1]$的矩阵$A_α(G) = αD(G) + (1-α)A(G)$。$A_α(G)$的最大特征值称为$A_α$谱半径或$G$的$A_α$ -指数。设$\mathcal{G}_{n,k}^d$是阶为$n$且直径为$d$的$k$ -连通图的集合.本文对任何$α\in[0,1)$，在$\mathcal{G}_{n,k}^d$中确定了具有最大$A_α$谱半径的图，其中$k\geq2$和$d\geq2$ .本文推广了[P. Huang，W.C.]中定理3.6关于邻接矩阵的结果。萧峰孙，线性代数应用，488（2016）350--362]和[P. Huang，J.X. Li，W.C. Shiu，线性代数应用，617（2021）78- 99]。此外，我们还得到了$\mathcal{G}_{n,k}^d$中极图的上、下界。
The Randic index and the diameter of graphs
图$G$的{ \it Randić index} $R(G)$定义为$G$的所有边$uv$上的1/ \sqrt{d_ud_v}之和，其中$d_u$和$d_v$分别是顶点$u$和$v,$的度.令$D(G)$为$G$连通时$G$的直径。Aouchiche-Hansen-Zheng证明了在$n$顶点上的所有连通图$G$中，路径$P_n$对于$R(G)/D(G)$和$R(G)- D(G)$都达到最小值.我们完全证明了这个猜想。事实上，我们证明了一个更强的定理：如果$G$是一个连通图，那么$R(G)-(1/2)D(G)\geq \sqrt{2}-1$，具有相等性当且仅当$G$是一条至少有三个顶点的路。
Local Fan-type obstructions and Ore-type conditions for rainbow Hamiltonicity in graph systems
该研究针对图系统，提出局部Fan型与Ore型条件，证明满足对应条件可保证存在彩虹哈密顿圈，Fan型假设还可得到彩虹哈密顿路径和彩虹$(n-1)$-圈，对角系统下条件退化为经典条件。
Bounds for the minimum oriented diameter
研究了连通无桥图的最小直径定向问题。福明等发现了最小定向直径与最小控制集的大小之间的关系。我们改进了它们的上界。
Maximum number of spanning trees in bipartite graphs with a given diameter
本文确定了给定阶数和直径的二部图中生成树数量最多的所有图，为可靠二部网络设计提供极值刻画与结构参考。
The diameter of strong orientations of strong products of graphs
设$G$和$H$是图，$G\boxtimes H$是$G$和$H$的强积.本文证明了对任意连通图$G$和$H$，都存在$G\boxtimes H$的强连通定向$D$使得${\rm diam}(D)\leq 2r+15$，其中$r$是$G\boxtimes H$的半径，这改进了Chv ${\rm \acute{a}}$ tal和Chalassen证明的任意图的广义界${\rm diam}(D)\leq 2r^2+2r$.
On directed and undirected diameters of vertex-transitive graphs
本文证明了Babai关于顶点传递图有向直径上界的猜想，通过将加性组合数学中的Ruzsa三角不等式推广至图设定，得出更一般的齐次相干配置连通关系界。
The Steiner $k$-radius and Steiner $k$-diameter of connected graphs for $k\geq 4$
给定一个连通图$G=(V,E)$和一个顶点集$S\subset V$，$S$的{ \em Steiner距离} $d(S)$是$S$在$G$中的最小生成树的大小。对于阶为$n$的连通图$G$和具有$2\leq k \leq n$的整数$k$，$G$中顶点$v$的$k$ -偏心率是$d(S)$在所有具有$|S|=k$和$v\in S$的$S\subset V$上的最大值.最小$k$ -偏心率${srad}_k(G)$称为$G$的$k$ -半径，而最大$k$ -偏心率${sdiam}_k(G)$称为$G$的$k$ -直径。1990年，Henning，Oellermann和Swart [ \textit{Ars Combinatoria} \textbf{12} 13-19，（1990）]证明了存在一个图$H_k$，使得${sdiam}_k(H_k) = \frac{2(k+1)}{2k-1}srad_k(H_k)$。作者还证明了对于任何$k\geq 2$和连通图$G$ ${sdiam}_k(G) \leq \frac{2(k+1)}{2k-1}srad_k(G)$ .给出了$k=3$和$4$猜想的证明.然而，他们对$k=4$的证明是不完整的。本文证明了$k\geq 5$的界${sdiam}_k(G)\leq \frac{k+3}{k+1}{srad}_k(G)$是紧的，从而否定了关于$…
Weak diameter coloring of graphs on surfaces
考虑一个在固定曲面上绘制的图$G$，如果$G$是无三角形的，则为每个顶点分配一个大小至少为2的颜色列表，否则至少为3。我们证明了我们可以给每个顶点一个颜色，使得每个单色连通子图有界弱直径（即，在整个图$G$的度量中测量的直径，而不仅仅是子图）。在$G$有界最大度的情况下，这意味着每个连通单色子图有界大小。这解决了平面无三角形图的Esperet和Joret问题，并将已知结果在一般情况下推广到列表设置，回答了Wood的一个问题。
Diameter, edge-connectivity, and $C_4$-freeness
改进了Fundikwa，Mazorodze和Mukwembi最近的一个结果，我们证明了对于每一个阶为$n$，直径为$d$和边连通度的连通$C_4$ -free图，$d \leq (2n-3)/5$至少是$3$，这在小的加法常数下是最好的.对于边连通度至少$4$，我们将其改进为$d \leq (n-3)/3$。此外，适应的建设，由于Erdens，Pach，Pollack，和Tuza，对于一个奇素数的权力$q$至少$7$，和每一个正整数$k$，我们证明了存在一个连接的$C_4$ -自由图的顺序$n=(q^2+q-1)k+1$，直径$d=4k$，和边连通度$λ$至少$q-6$，特别是，$d\geq 4(n-1)/(λ^2+O(λ))$。
Distance spectral radius of a tree with given diameter
对于连通图，距离谱半径是其距离矩阵的最大特征值。本文在所有给定阶数和固定直径的树中，完全刻画了具有最小距离谱半径的树。
Domination parameters and diameter of Abelian Cayley graphs
利用由$\mathbb{Z}_{p}\times \mathbb{Z}_{m}$构造的Cayley图的控制参数，本文讨论了这类Cayley图的全控制数、连通控制数和直径，其中$m\in\{p^α, p^αq^β, p^αq^βr^γ\},$.
Rainbow connection of graphs with diameter 2
边有色图$G$中的一条路径，其中邻边可以具有相同的颜色，如果路径的两条边都不是相同的颜色，则称为彩虹路径。$G$的彩虹连接数$rc(G)$是使$G$的$i$ -边染色使得$G$的每两个不同的顶点通过彩虹路连接的最小整数$i$.对于直径为2的图$G$，确定$rc(G)$是NP-困难的.因此，了解这样的图$G$的$rc(G)$的最佳上界是有趣的。本文证明了如果$G$是直径为2的无桥图，则$rc(G)\leq 5$是$rc(G)\leq 5$;如果$G$是直径为2的有$k$桥的连通图，则$rc(G)\leq k+2$是$rc(G)\leq k+2$，其中$k\geq 1$ .
Conflict-free (vertex)-connection numbers of graphs with small diameters
一个（a）边（点）着色图中的一条路称为无冲突路，如果只在它的一条边（点）上使用一种颜色。一个（A）边（顶点）着色图称为无冲突（顶点）连通图，如果对于每对不同的顶点，都有一条无冲突路连接它们。对于连通图$G$，$G$的无冲突（顶点）连接数，记为$cfc(G)(\text{or}~vcfc(G))$，定义为使$G$无冲突（顶点）连接所需的最小颜色数。本文首先对直径为$2,3$和$4$的树$T$给出了精确值$cfc(T)$。基于该结果，确定了除具有直径$4$和$h(G)=2$的那些图$G$之外的任何具有$diam(G)\leq 4$的图$G$的无冲突连接数。在这种情况下，我们分别给出了具有无冲突连接数$2$和$3$的图。对于无冲突的点连接数，对于任何具有$diam(G)\leq 4$的图$G$，都确定了$vcfc(G)$的精确值.
Some Bounds on the Rainbow Connection Number of 3-, 4- and 5-connected Graphs
连通图$G$的彩虹连接数$rc(G)$是指对连通图的边进行着色所需的最小颜色数，使得每对顶点都至少有一条路径连接，并且没有两条边的颜色相同。我们证明了对于$κ=3$或$κ= 4$，每个$κ$ -连通图$G$在$n$的顶点上且直径为$\frac{n}κ-c$，满足$rc(G) \leq \frac{n}κ + 15c + 18$ .我们还证明了对每个极大平面图$G$，$rc(G) \leq \frac{n}κ + 36$ .这证明了Li等人关于大直径图和极大平面图的一个猜想。
On the Connectedness and Diameter of a Geometric Johnson Graph
设$P$是平面中一般位置上的一组$n$点。如果存在一个凸集$C$使得$I = P \cap C$，则称$P$的子集$I$为\emph{island}。本文定义了$P$的\emph{generalized island Johnson graph}为这样的图，其顶点由$k$的所有$P$的岛组成，其中两个岛相邻，如果它们的交集恰好由$l$元素组成。我们证明了，对于足够大的值的$n$，这个图是连通的，并给出了其直径的上限和下界。
A note on a degree sum condition for long cycles in graphs
我们猜想一个2-连通图$G$的阶为$n$，其中对每对不邻顶点$x$和$y$有$d(x)+d(y)\geq n-k$，除非$G$是二部图，且$n-k$是奇数，否则它包含一个长为$k<n/2$（$k<n/2$）的圈.这推广到长周期的一个众所周知的度和条件的矿石汉密尔顿。该猜想对$k=1$成立。
Moon-type theorems on circuits in strongly connected tournaments of order $N$ and diameter $D$
本文证明了强连通竞赛图中关于环数量下界猜想在 $d=n-3$ 情形下成立，推广了 Moon 界与 Las Vergnas 定理。
Graphs with prescribed radius, diameter, and center
其中，证明了对每一对正整数$r$，$d$，满足$1<r<d\leq 2r$，以及每一个有限单图$H,$，存在一个连通图$G$，其直径为$d$，半径为$r$，中心为$H.$
Geometric Realizations with Strong Self-Duality Part II: Diameter Graphs, Reuleaux Polyhedra, and Thrackles
本文在三维空间中构造新的直径图和鲁洛多面体，证明任意2-连通强对合自对偶图均可作为鲁洛多面体骨架，并证实及加强相关猜想，应用涉及常宽体、Steinitz定理和Borsuk猜想。
On the maximum diameter of $k$-colorable graphs
Erdés，Pach，Pollack and Tuza [J. Combin. Theory，B 47，（1989），279-285]证明了如果$δ$是$(r-1)(3r+2)$的倍数，则对于每个$r\ge 2$，阶$n$和最小度$δ\geq 2$的无$K_{2r}$连通图的直径至多为$\frac{2(r-1)(3r+2)}{(2r^2-1)}\cdot \frac{n}δ + O(1)$.对于每个$r>1$和$δ\ge 2(r-1)$，我们构造了具有最小度$δ$和直径$\frac{(6r-5)n}{(2r-1)δ+2r-3}+O(1)$的无$K_{2r}$图，它们是对每个$r>1$和$δ>2(r-1)(3r+2)(2r-3)$猜想的反例.本文的其余部分在更强的假设下证明了积极的结果，$k$ -可着色性，而不是$K_{k+1}$ -free。本文证明了具有最小度$\geq δ$和阶$n$的连通$k$ -可着色图的直径至多为$\left(3-\frac{1}{k-1}\right)\frac{n}δ+O(1)$，而对于$k=3$，直径至多为$\frac{57n}{23δ}+O\left(1\right)$ .
On the spectral radius of unicyclic and bicyclic graphs with a fixed diameter
连通图$G$的$α$ -谱半径是$G$的$A_α$ -矩阵的谱半径。本文讨论了图的$α$ -谱半径的比较方法。作为应用，我们分别刻画了直径为$d$的$n$阶单圈和双圈图中具有最大$α$ -谱半径的图.最后，在直径为$d$的$n$阶双圈图中，确定了唯一具有最大无符号Laplacian谱半径的图.
Spectral Radius and maximum degree of connected graphs
根据连通图的最大度、最大直径和最大阶给出了邻接矩阵的最大特征值的一个上界。这个界限是最好的可能的常数因子，并改善了普雷沃乌斯结果的Stevanovic，张，阿龙和Sudakov。
An improved upper bound on the diameters of subset partition graphs
1992年Kalai和Kleitman证明了凸多面体直径的第一个次指数上界。Eisenbrand等人证明了这一界限对连通层族成立，这是一种分析多面体直径的新方法。最近，Todd将多面体的Kalai-Kleitman界改进为$(n-d)^{1+\log_2d}$。本文证明了满足连通层族的连通性性质的子集划分图的直径的一个类似的上界。
Laplacain eigenvalue distribution and diameter of graphs
本文研究了图的拉普拉斯特征值分布与直径的关系，证明了当 $1\le d\le n-3$ 时特定区间内特征值数量的新上界，并尝试识别满足更严格上界的连通图。
Exponentiation of Graphs
受超大规模通信网络驱动，本文新引入图的指数运算以构造多重指数级且对数直径的图，并证明了其最大连通性、超边连通的充要条件及哈密顿性等性质，应用于已知网络得到双重指数级图。
Upper bounds for the $MD$-numbers and characterization of extremal graphs
对于边着色图$G$，如果$M$的边着色为相同的颜色，则称$G$的边割$M$为单色图。图$G$称为单色不连通图，如果图$G$的任意两个不同的顶点被单色边割分开.对于连通图$G$，$G$的单色断开数（或简称$MD$ -number），用$md(G)$表示，是为了使$G$单色断开而允许的最大颜色数。对于直径为1的图，它们是完全图，因此它们的$MD$ -数是$1$。对于直径至少为3的图，我们可以构造$2$ -连通图，使得它们的$MD$ -数可以任意大;而对于直径为2的图$G$，我们证明了如果$G$是$2$ -连通图，则$md(G)\leq 2$，如果$G$有割点，则$md(G)$等于$G$的块数.因此，我们将重点研究直径为2的PDMATHAMR-连通图，并分别给出了它们的$MD$ -数依赖于连通度和独立数的两个上界。我们还刻画了$\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor$ -连通图（具有大连通度）的图，其$MD$ -数是$2$，并且$2$ -连通图（具有小连通度）的$MD$ -数达到上界$\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor.$对于连通度小于$\frac n 2$的图，我们证明了如果图的连通度与其阶$n$是线性的，则它的$MD$ -数的上界是一个常数，这暗示我们留下一个猜想：对于$k$ -连通图$G$，$md(G)\leq…
Diameter and connectivity of finite simple graphs II
本文研究有限简单非完全连通图的自由顶点数、直径与顶点连通度之间的关系，并完全刻画了在给定顶点数条件下可实现的三元参数组合。
Ramanujan graphs with diameter at most three
本文证明了对于任意至少含5个顶点的简单连通正则图$G$，通过其线图补图的线图补构造的图$\mathcal{R}(G)$是直径至多为3的Ramanujan图。
The maximum diameter of $d$-dimensional simplicial complexes
本文研究了d维简单复形的最大直径问题，改进了先前结果并解决了Santos提出的问题，同时刻画了完全d-正则超图中欧拉巡回的存在条件。
The number of graphs of given diameter
本文证明了存在常数0< c_2< c_1，使得当n趋于无穷大且2 < d <n-c_1（logn）时，可以给出直径为d的n-顶点（标号）图的个数的一个渐近公式。直径为d的典型图由长度为d的诱导路径和大小为n-d+3的高度连通块的组合组成。在d > n-c_2（logn）的情形下，计算出另一个渐近公式，从而使典型图具有完全不同的蛇形结构。
Improved upper bounds for vertex and edge fault diameters of Cartesian graph bundles
图$G$的混合故障直径，$ \D_{(a,b)}(G)$，是删除任何$a$顶点和任何$b$边后$G$的最大直径。特殊情况是（顶点）断层直径$\D^V_{a} = \D_{(a,0)}$和边缘断层直径$\D^E_{a} = \D_{(0,a)}$。设$G$是一个在基图$B$上具有纤维$F$的笛卡尔图丛.我们证明了：（1）当图$F$和$B$是$k_F$ -连通的和$k_B$ -连通的，$0< a < k_F$，$0< b < k_B$，并给出了$\D_{(a-1,1)}(F)\leq \D^{V}_{a} (F)$和$\D_{(b-1,1)}(B)\leq \D^{V}_{b} (B)$;（2）当图$F$和$B$是$k_F$ -边连通的和$k_B$ -边连通的，$0\leq a < k_F$，$0\leq b < k_B$，并给出了$\D^E_{a}(F)\geq 2$和$\D^E_{b}(B)\geq 2$ .
Diameter of orientations of graphs with given order and number of blocks
本研究针对给定阶数和块数的无桥图，推导得出定向直径的紧上界，并进一步给出无桥块图定向直径分奇偶情形的上界结果。
Size of bipartite graphs with given diameter and connectivity constraints
本文研究给定阶数、直径与连通度的二部图最大边数，改进了Ali等人针对无三角形图的上界，并刻画$λ=2,3,4$时的紧界与极值图。
On the oriented diameter of near planar triangulations
本文研究近平面三角剖分的有向直径，证明除七个小例外外，$n$ 顶点 $2$-连通近三角剖分的有向直径不超过 $\lceil n/2\rceil$ 且界紧，改进并推广了已有结果。
The Steiner 4-diameter of a graph
图的Steiner距离是由Chartrand，Oellermann，Tian和Zou在1989年提出的，它是经典图距离概念的自然推广。对于阶至少为$2$和$S\subseteq V(G)$的连通图$G$，$G$的顶点之间的\emph{Steiner distance} $d_G(S)$是顶点集包含$S$的所有连通子图中最小的.设$n,k$是两个整数，其中有$2\leq k\leq n$。则$G$的顶点$v$的\emph{Steiner $k$-eccentricity $e_k(v)$}由$e_k(v)=\max \{d(S)\,|\,S\subseteq V(G), \ |S|=k, \ and \ v\in S \}$定义。此外，$G$的\emph{Steiner $k$-diameter}是$sdiam_k(G)=\max \{e_k(v)\,|\, v\in V(G)\}$。2011年，Chartrand、Okamoto和Zhang证明了$k-1\leq sdiam_k(G)\leq n-1$。本文分别刻画了具有$sdiam_4(G)=3,4,n-1$的图。
The Radio numbers of all graphs of order $n$ and diameter $n-2$
连通图$G$的无线电标号是一个函数$c:V(G) \to \mathbb Z_+$，使得对于$G$的每两个不同的顶点$u$和$v$，$$\text{distance}(u,v)+|c(u)-c(v)|\geq 1+ \text{diameter}(G).$$图$G$的无线电数是最小的整数$M$，对于该最小的整数$M$，存在对所有$v\in V(G)$具有$c(v)\leq M$的标号$c$。阶为$n$且直径为$n-1$的图的无线电数，即，路径，在\cite{paths}中测定。本文确定了所有阶为$n$且直径为$n-2$的图的无线电数。
The diameters of commuting graphs of linear groups and matrix rings over the integers modulo m
群G的可交换图记为Gamma（G），是顶点为G的非中心元素且两个不同顶点相邻的简单无向图当且仅当它们可交换.设Z_m是模m整数等价类的交换环.本文研究了GL（n，Z_m）的交换图的连通度和直径，从而证明了当Gamma（G）连通时，任何有限群G的直径（Gamma（G））存在一个泛上界的猜想.对于任意的合数m，证明了Gamma（GL（n，Z_m））与Gamma（M（n，Z_m））连通且diam（Gamma（GL（n，Z_m）= diam（Gamma（M（n，Z_m）= 3.对于素数m，由已有的结果得到了连通性的例子和连通时Gamma（GL（n，Z_m））和Gamma（M（n，Z_m））直径的绝对界.
Diameter and connectivity of finite simple graphs
设$G$是$\{1, \ldots, n\}$上的有限简单非完全连通图，$κ(G) \geq 1$是它的顶点连通度.令$f(G)$表示$G$的自由顶点数，$\mathrm{diam}(G)$表示$G$的直径。受$G$的二项边理想深度计算的启发，确定了在$\{1, \ldots, n\}$上存在有限简单非完全连通图$G$且$q = κ(G), f = f(G), d = \mathrm{diam}(G)$满足$f + d = n + 2 - q$的整数序列$(n, q, f, d)$.进一步，对满足$f(G) + \mathrm{diam}(G) = n + 2 - κ(G)$的$\{1, \ldots, n\}$上的有限简单非完全连通图$G$进行分类.
Chen-Chvátal Conjecture for Graphs of Diameter 3
本文证明了直径为3的图满足陈-切瓦塔尔猜想，通过找到所有直径为3且直线数少于顶点数的图。
The Steiner (n-3)-diameter of a graph
图的Steiner距离是由Chartrand，Oellermann，Tian和Zou在1989年提出的，它是经典图距离概念的自然推广。对于阶至少为$2$和$S\subseteq V(G)$的连通图$G$，$S$的顶点之间的\emph{Steiner distance} $d(S)$是顶点集包含$S$的所有连通子图中的最小尺寸。设$n$和$k$是两个整数，其中$2\leq k\leq n$。则$G$的顶点$v$的\emph{Steiner $k$-eccentricity $e_k(v)$}由$e_k(v)=\max \{d(S)\,|\,S\subseteq V(G), \ |S|=k, \ and \ v\in S \}$定义。此外，$G$的Steiner \emph{$k$-diameter}是$sdiam_k(G)=\max \{e_k(v)\,|\, v\in V(G)\}$。2011年，Chartrand，Okamoto，Zhang证明了$k-1\leq sdiam_k(G)\leq n-1$。本文分别刻画了具有$sdiam_k(G)=\ell$的$k=n,n-1,n-2,n-3$和$k-1\leq \ell \leq n-1$图.
Decomposing highly edge-connected graphs into homomorphic copies of a fixed tree
Barát和Barrassen的树分解猜想指出，对于每一棵树$T$，存在一个自然数$k(T)$，使得以下成立：如果$G$是一个$k(T)$ -边连通单图，其大小可被$T$的大小整除，则$G$可以边分解为与$T$同构的子图。到目前为止，这个猜想只在路径、恒星和一个双恒星族中得到了验证。我们证明了一个较弱的版本的树分解猜想，我们需要在分解的子图是同构的图，可以从$T$的顶点标识。我们称这样的子图为$T$的同态拷贝。这意味着在$G$的围长大于$T$的直径的附加约束下的树分解猜想。作为一个应用，我们验证了树分解猜想的直径最多为4。
A characterization of domination weak bicritical graphs with large diameter
图$G$的控制数，记作$γ(G)$，是图$G$的控制集的最小基数。如果图的一个顶点的删除使图的控制数减少，则称该顶点是临界的;如果图的所有顶点都是临界的，则称该图是临界的。一个图$G$称为弱双临界图，如果对于每个非临界点$x\in V(G)$，$G-x$是一个临界图，且其具有$γ(G-x)=γ(G)$ .本文刻画了连通弱双临界图$G$，其直径恰好为$2γ(G)-2$ .本文推广了关于支配临界图直径的一些已知结果。
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