Combinatorics via Closed Orbits: Number Theoretic Ramanujan Graphs are not Unique Neighbor Expanders
寻找具有强顶点扩展特性的扩展图的问题，例如唯一邻居扩展和无损扩展，是计算机科学的核心。构建这些的一个障碍是，强膨胀的概念不能通过谱膨胀范式来证明。一个非常对称和结构化的最佳频谱扩展器族（即，拉马努金图（Ramanujan graphs）是由Lubotzky、Phillips和Sarnak利用数论构造的，随后被其他人推广。我们称这样的图为数论拉马努金图。这些图不仅是谱最优的，而且具有强对称性和丰富的结构。因此，数论Ramanujan图是无损扩张器，或者至少是唯一的邻居扩张器，这一点已经被广泛地证实。在这项工作中，我们反驳这一猜想，通过证明，有数论拉马努金图，甚至不是唯一的邻居扩展。这是通过引入一个新的组合范例，我们称之为闭轨道方法。闭轨道方法允许构造具有外部子结构的有限组合对象。这是通过观察存在具有外部子结构的无限组合结构来完成的，这些子结构来自结构的自同构群的子群的作用。我们的思想的核心是一个系统的方法来构建一个有限商的无限结构包含一个简单的影子的无限子结构，它保持其外部的组合性质。该方法的其他应用是数论Ramanujan图的边扩展和Ramanujan复形的顶点扩展。最后，在图的量子遍历性领域，我们产生数论Ramanujan图与对应于零特征值的小支持的本征函数。这再次违背了共同的期望。
2022-03-31 math.CO
On Some Expander Graphs and Algebraic Cayley Graphs
扩张图在通信网络等领域有着广泛的应用，因此在理论计算机科学和应用数学中得到了广泛的研究。本文利用可逆差集和广义差集构造了更多的扩张图，其中一些是Ramanujan图。给出了Ramanujan图无限族的三类初等构造。证明了对任意偶数$k>4$，若$2(k+2)=rs$对两个偶数$r$和$s$有$s\geq 4$和$2s>r\geq s$，或$r\geq 4$和$2r>s\geq r$，则存在$k$ -正则Ramanujan图.因此，存在一个$k$ -正则Ramanujan图，对每个整数$t>2$都有$k=2t^2-2$.证明了对每一个奇数$m$，存在一个$(2^{2m-2}+2^{m-1})$ -正则Ramanujan图.这些结果部分解决了$k$ -正则Ramanujan图的存在性问题。
2013-06-30 math.CO
Ramanujan graphs of very large girth based on octonions
本文给出了Lubotzky，Phillips和Sarnak在他们的著名文章“Ramanujan graphs”中对图的构造的一个推广。新的方法是使用八元数代数而不是四元数。一个关键的工具是现有的结果的唯一因子分解的整数八元数。用这种方法得到的图族不仅具有同样的谱性质，使它们成为良好的扩张器，而且具有更大的围长，从而创造了正则图的新记录。
2012-02-03 math.CO
Graph rigidity properties of Ramanujan graphs
本文将 Ramanujan 图的全局刚性结论从 k≥8 扩展到 k=6,7 及顶点传递的 k=4,5 情形，并研究了多种框架刚性，还用计算方法确定了小阶 Ramanujan 图的全局刚性。
2022-06-08 math.CO
Formal Zeta Function Expansions and the Frequency of Ramanujan Graphs
我们证明了任何正则图的Zeta函数的对数导数都是由关于无穷大的幂级数给出的，其系数是由图的桥本矩阵的幂的迹给出的。然后我们考虑这个幂级数的期望值随机，$d$ -正则图上的$n$顶点，其中$d$固定和$n$趋于无穷大。在相当投机的假设下，我们进行了正式的计算，表明对于固定的$d$和$n$大，这个期望值应该有简单的极点残留$-1/2$在$\pm (d-1)^{-1/2}$。我们将解释，计算表明，对于固定的$d$，存在一个$f(d)>1/2$，使得$n$顶点上的$d$正则图是Ramanujan，对于足够大的$n$，概率至少为$f(d)$。我们的形式计算有一个自然的模拟，当我们考虑随机覆盖图的程度$n$在一个固定的，定期的“基图。“这再次表明，对于$n$大，严格大多数随机覆盖图相对Ramanujan。我们不认为我们的正式计算提供了压倒性的证据，关于频率的拉马努金图。然而，这些计算是相当简单的，并产生有趣的建议，我们认为值得进一步研究。
2014-06-17 math.CO
Interlacing Families IV: Bipartite Ramanujan Graphs of All Sizes
我们证明了存在任何度和顶点数的二部Ramanujan图。该证明基于分析随机完美匹配的联合的期望特征多项式，并且涉及三个成分：（1）一个正则图与另一个正则图的随机置换之和的期望特征多项式的公式，（2）证明了这个期望多项式是实根的，并且在这个和中考虑的多项式族是交错族，（3）随机完美匹配并的期望特征多项式的根的强界，利用我们最近引入的有限自由卷积的框架建立。
2015-05-29 math.CO
Ramanujan Graphs and Digraphs
拉马努金图有着迷人的性质和历史。在本文中，我们探讨了一个平行的概念Ramanujan有向图，收集相关的结果，从旧的和最近的论文，并证明了一些新的。几乎正规Ramanujan有向图是一个特殊的有趣的，因为他们是极端的意义上的一个Alon-Boppana定理，他们有显着的组合功能，如小直径，抽样的Besloff界，最佳覆盖时间和锐截止。其他主题探讨的连接凯莱图和有向图，谱半径的普遍覆盖，阿隆的猜想随机有向图，并明确建设几乎正常的拉马努金有向图。
2020-05-25 math.CO math.SP
Cutoff for Ramanujan graphs via degree inflation
最近Lubetzky和Peres表明，简单的随机游动序列的$d$ -定期Ramanujan图$G_n=(V_n,E_n)$的大小不断增加，表现出截止的全变差周围的直径下界$\frac{d}{d-2}\log_{d-1}|V_n| $。我们提供了一个不同的论点的假设下，对于一些$r(n) \gg 1$的最大数量的简单循环的半径$r(n)$在$G_n$的球是一致有界的$n$。
2017-08-15 math.CO math.PR
Ihara zeta function, coefficients of Maclaurin series, and Ramanujan graphs
设$X$表示有限阶$n$的连通$(q+1)$ -正则无向图.当对$X$的所有非平凡特征值$λ$都满足$$ |λ|\leq 2q^{\frac{1}{2}} $$时，称图$X$为Ramanujan.我们考虑由\begin{gather*} Ξ(u)^{-1} = \left\{ \begin{array}{ll} (1-u)(1-qu)(1-q^{\frac{1}{2}} u)^{2n-2}(1-u^2)^{\frac{n(q-1)}{2}} Z(u) \qquad &\hbox{if $X$ is nonbipartite}, (1-q^2u^2) (1-q^{\frac{1}{2}} u)^{2n-4} (1-u^2)^{\frac{n(q-1)}{2}+1} Z(u) \qquad &\hbox{if $X$ is bipartite}. \end{array} \right. \end{gather*}定义的$X$的Ihara zeta函数$Z(u)$的变体$Ξ(u)$。函数$Ξ(u)$满足函数方程$Ξ(q^{-1} u^{-1})=Ξ(u)$。设$\{h_k\}_{k=1}^\infty$表示由$$ \frac{d}{du}\ln Ξ(q^{-\frac{1}{2}}u) =\sum_{k=0}^\infty h_{k+1} u^k. $$给出的数列本文建立了下列命题的等价…
2020-07-03 math.CO
Ramanujan Cayley Graphs with Normal Connection Sets in Ratio-One Frobenius Groups
本文对比例一弗罗贝尼乌斯群$G=N\rtimes H$上的正规连接集拉马努金凯莱图进行分类，利用膨胀现象将其转化为补群$H$上的图分类，最终得到适用于$\text{AGL}(1,q)$等的完整分类结果。
2026-08-21 math.CO
Ramanujan Graphs with Small Girth
我们构造了一类围长为1的（q+1）-正则Ramanujan图X_n.给出了覆盖图X_{n+1} --> X_n，使得所有图的最小公共覆盖是泛覆盖树。
2003-06-11 math.CO math.GR
Ramanujan Graphs in Polynomial Time
Marcus、Spielman和Srivastava最近的工作证明了所有度和所有大小的二分Ramanujan（多）图的存在。然而，该论文没有提供实际计算这种图的多项式时间算法。在这里，我们提供了一个多项式时间算法来计算某些预期的特征多项式与此建设。这导致了一个确定性的多项式时间算法来计算所有度和所有大小的二分Ramanujan（多）图。
2016-04-12 cs.DS math.CO
Towards Constructing Ramanujan Graphs Using Shift Lifts
Marcus-Spielman-Srivastava在最近的一项突破性工作中证明了每个$d$ -正则二部Ramanujan图都有一个2-提升，它也是$d$ -正则二部Ramanujan图。因此，一个简单的迭代暴力搜索算法导致$d$ -正则二分Ramanujan图的$N$顶点上的时间$2^{O(dN)}$的建设。移位$k$ -升降机Agarwal-Kolla-Madan研究导致一个自然的方法，更有效地构建Ramanujan图。一个$d$ -正则$n$ -顶点图的可能移位$k$ -提升数是$k^{nd/2}$ .假设以下对$k=2^{Ω(n)}$成立：存在一个移位$k$ -提升，它对所有$n$都保持$n$顶点上的$d$ -正则二部图的Ramanujan性质.（*）然后，通过执行类似的蛮力搜索算法，将能够构造时间上的$N$ -顶点二分Ramanujan图$2^{O(d\,log^2 N)}$。此外，如果（*）对所有$k \geq 2$成立，则将获得在$\mathrm{poly}_d(N)$时间内运行的算法。在这项工作中，我们采取了第一步证明（*），通过显示存在的转移$k$ -升降机，保持拉马努金属性的$d$ -正则二部图$k=3,4$。
2015-08-31 cs.CC math.CO
Ramanujan Graphs
这是一个关于拉马努金图的项目，计划在拉马努金百科全书。拉马努金图的概念进行了解释，以及命名后拉马努金这些图的原因。
2017-11-15 math.CO math.GR math.HO
An Alon-Boppana theorem for powered graphs and generalized Ramanujan graphs
图的r次幂通过连接距离r内的每个顶点对来修改图。本文给出了图的r次幂的Alon-Boppana定理的一个推广，包括不正则图。这导致了一个广义的概念拉马努金图，那些权力的图有一个频谱间隙匹配派生的阿隆-Boppana界。特别是，我们表明，某些图形，是不是很好的扩展，由于当地的不规则性，如Erdos Renyi随机图，成为几乎拉马努金一旦供电。Ramanujan图的另一种推广也可以从非回溯算子得到。接下来我们认为，幂算子给出了一个比后者更鲁棒的概念：稀疏Erdos-Renyi随机图与对手修改log（n）^c$顶点的子图仍然几乎Ramanujan在幂意义上，但不是在非回溯意义上。作为一个应用程序，这为不同的块模型提供了强大的社区测试。
2020-06-18 cs.DM math.CO
From Ramanujan Graphs to Ramanujan Complexes
Ramanujan图是一类谱最优有界的图。这种图在组合数学和计算机科学中有许多应用。近年来，出现了一个高维理论。在本文中，这些发展进行了调查。在解释了它们与拉马努金猜想的联系后，我们将提出一些新的和旧的结果，重点是这些离散对象和欧几里得球面上的随机游动。后者导致了在量子计算中具有重要意义的“金门”。
2019-04-06 math.CO math.NT math.RT
Gaps Between Almost-Primes and a Construction of Almost-Ramanujan Graphs
对于所有的$k \geq 3$，我们证明了如何可以明确地构建一个无限家庭的$k$ -正则图所有的第二大特征值满足界$O(k^{1/2})$。这解决了Reingold、Vadhan和Wigderson的一个公开问题。
2015-01-29 math.CO math.NT
Hypergraph coverings and Ramanujan Hypergraphs
该研究通过超图覆盖刻画谱结构并推广 Alon-Boppana 等谱界，利用交错族证明 Ramanujan 2-覆盖的存在性，进而构造无限族正则 Ramanujan 超图。
2024-03-04 math.CO
Bipartite unique-neighbour expanders via Ramanujan graphs
我们构造了一个具有任意不平衡边的有界度二部唯一邻扩张图的无限族。虽然弱于Capalbo等人构造的无损扩展器，我们的构造更简单，并且由于更小的常数而更接近于在实践中可实现。我们构造这些图组成的二分拉马努金图与一个固定大小的小工具的方式，推广了阿隆和Capalbo的独特的邻居扩张器的建设。为了分析我们的构造，我们证明了二部Ramanujan图的小诱导子图的平均度的一个强上界。我们的界推广了Kahale的平均度界到二部Ramanujan图，并可能是独立的兴趣。令人惊讶的是，我们的界限强烈依赖于确切的拉马努金性质的图，并不知道举行近拉马努金图。
2023-01-08 cs.IT math.CO math.IT
Cutoff on all Ramanujan graphs
我们证明了在每个Ramanujan图$G$上，简单随机游动具有截断：当$G$具有$n$顶点和度$d$时，游动在时间$t=\frac{d}{d-2}\log_{d-1} n + s\sqrt{\log n}$上离均匀分布的总变差距离渐近为$\mathbb{P}(Z > c\, s)$，其中$Z$是标准正态变量，$c=c(d)$是显式常数.此外，对于所有$1 \leq p \leq \infty$，$d$正则Ramanujan图使得SRW的渐近$L^p$ -混合时间在所有$d$ -正则图中最小.我们的证明还表明，对于如上所述的$G$中的每个顶点$x$，它到顶点的$n-o(n)$的距离是渐近的$\log_{d-1} n$。
2016-08-24 math.CO math.PR
Random growth on a Ramanujan graph
研究了任意正则图和非正则图上随机增长过程的行为。我们的论点是基于扩展混合引理，这意味着拉马努金图的结果是最强的，渐近最大化的谱隙。此外，我们考虑Erdens-Rényi随机图和比较我们的理论结果与计算实验翻转图的点配置。后者与列举三角测量有关。
2019-10-22 cs.DM math.CO
Bounded cutoff window for the non-backtracking random walk on Ramanujan Graphs
我们证明了具有大围长的Ramanujan图上的非回溯随机游动具有最快的有界窗口截止。
2021-05-06 math.CO math.GR math.NT
Existence and polynomial time construction of biregular, bipartite Ramanujan graphs of all degrees
我们证明了，存在的二部，双正则Ramanujan图的任何程度和任何数量的顶点，提供的两个集的基数的二分除对方。这概括了马库斯，斯皮尔曼，和Srivastava的结果，类似于他们的，证明是基于分析的预期多项式。主要的区别是使用了一些新的机器，涉及矩形卷积，在一个配套文件。我们还证明了这种图的构造在多项式时间的顶点数，扩展科恩的结果，这种双正则的情况下。
2021-08-05 cs.DS math.CO
Explicit near-Ramanujan graphs of every degree
对于每个常数$d \geq 3$和$ε> 0$，我们给出了一个确定性的$\mathrm{poly}(n)$ -时间算法，该算法输出$Θ(n)$顶点上的$d$ -正则图是$ε$ -near-Ramanujan;即，它的特征值在大小上由$2\sqrt{d-1} + ε$限定（不包括~ $d$的单个平凡特征值）。
2022-11-27 cs.DM cs.DS math.CO
Ramanujan Graphs and Interlacing Families
本综述围绕Marcus、Spielman和Srivastava关于二分拉马努金图的交织族方法，梳理近十年发展并重点阐述其在谱图论中的应用。
2024-12-30 cs.DM math.CO
Skeletons and Spectra: Bernoulli graphings are relatively Ramanujan
本文研究单模随机图的谱理论，证明 Bernoulli 图化相对于骨架马尔可夫链满足相对 Ramanujan 性质，并利用随机提升结果加强了对拟传递拟树的结论。
2025-10-16 math.CO math.PR
Ramanujan circulant graphs and the conjecture of Hardy-Littlewood and Bateman-Horn
本文给出了奇数循环图的阶数的界，它保证对每一个固定的顶点数都是Ramanujan图。在大多数情况下，该界与平凡界一致，平凡界来自循环图的最大非平凡特征值的平凡估计。作为例外情况，该界实际上超过了平凡的二分之一。然后，我们证明，这种例外只发生在顶点的数量有最多两个素因子的情况下，并表示为一个二次多项式在一个有限的家庭，而且，根据猜想的Hardy-Littlewood和贝特曼-霍恩，存在无穷多。
2015-03-13 math.CO math.NT
Almost-Ramanujan Graphs and Prime Gaps
Murty和Cioabrant的方法展示了如何使用素数之间的间隙的结果来构造几乎Ramanujan图族。在本文中，我们给出了一个更简单的结构，避免了完美匹配的搜索，从而消除了计算的需要。然后利用最近几个关于连续素数间隔的显式界，构造了具有谱间隔显式下界的$k$ -正则族.然后，我们表明，本-Aroya和Ta-Shma的结果可以使用我们的简单的结构的假设下的黎曼假设，这揭示了一些更多的光Reingold，Vadhan和Widgerson提出的问题得到改进。
2014-02-04 math.CO math.NT
Ramanujan Graphs and the Solution of the Kadison-Singer Problem
我们调查的技术，我们最近的解决方案的Kadison-Singer问题和证明存在的Ramanujan图的每一个度：混合特征多项式和交错的多项式族的方法。为了演示交错多项式族的方法，我们给出了在各向同性情况下Bourgain和Tzafriri的限制可逆性原理的简单证明。
2014-08-19 math.CO math.OA math.SP
Mixing properties and the chromatic number of Ramanujan complexes
Ramanujan复形是Ramanujan图的高维单纯复形。利用Oh关于局部域上李群的数量性质（T）的一个结果，导出了这类复形的一个混合引理.作为应用，我们证明了非部Ramanujan复形具有“高围长”和高色数，推广了Ramanujan图的一个著名结果.
2014-07-30 math.CO math.GR math.RT
Spectra of lifted Ramanujan graphs
基图$G$的随机$n$ -提升是其顶点$[n]\times V(G)$上的覆盖图$H$，其中对于$G$中的每条边$u v$，存在独立的一致双射$π$，并且$H$具有$(i,u),(π(i),v)$形式的所有边。研究升降机的一个主要动机是理解拉马努金图，即这样的图的典型覆盖是否也是拉马努金。设$G$是具有最大特征值$λ_1$的图，$ρ$是它的泛覆盖的谱半径。Friedman（2003）证明了$G$的随机提升的每一个“新”特征值都以高概率为$O(ρ^{1/2}λ_1^{1/2})$，并给出了$ρ+o(1)$的一个界，该界比Lubotzky和Greenberg（1995）的结果更紧. Linial和Puder（2008）改进了Friedman与$O(ρ^{2/3}λ_1^{1/3})$的结合。对于$d$ -正则图，其中$λ_1=d$和$ρ=2\sqrt{d-1}$，这转化为$O(d^{2/3})$的一个界限，相比于固定的$2\sqrt{d-1}$。在这里，我们分析了一个随机$n$ -提升的$d$ -正则图，其非平凡特征值都是在最多$λ$的绝对值的频谱。我们表明，以很高的概率，每一个非平凡的电梯特征值的绝对值是$O((λ\vee ρ) \log ρ)$。这个结果是紧密的对数因子，并为$λ\leq d^{2/3-ε}$，它大大提高了弗里德曼和Linial和Puder的上述上限。特别地，它意味…
2009-11-21 math.CO math.PR
Ramanujan graphings and correlation decay in local algorithms
设$G$是大围长$d$ -正则图，$μ$是随机局部算法在$G$的顶点上产生的随机过程.我们证明了上界$(k+1-2k/d)\Bigl(\frac{1}{\sqrt{d-1}}\Bigr)^k$的（绝对值）的相关值对顶点的距离$k$，并表明，这个界是最佳的。对于$d$ -正则树上的i.i.d过程的因子，同样的结果自动成立。在这种情况下，我们给出了一个明确的描述（关闭）的所有可能的相关序列。我们的证明是基于无限$d$ -正则树的Bernoulli图具有谱半径$2\sqrt{d-1}$这一事实。具有这种谱隙的图是有限拉马努金图的无限类似物，它们本身就很有趣。
2013-05-29 math.CO math.PR
High-girth near-Ramanujan graphs with lossy vertex expansion
Kahale证明了$d$ -正则Ramanujan图中的线性大小集具有顶点扩展$\sim\frac{d}{2}$，并通过构造顶点扩展不优于$\frac{d}{2}$的近Ramanujan图来补充这一点。然而，Kahale的构造遇到了高度局部的障碍，以更好地进行顶点扩展。特别是，扩张性差的集合与图中的短圈相关联。因此，很自然地会问高围长的Ramanujan图是否具有改进的顶点扩展。我们的结果是双重的：1。对于素数$p$和无穷多个$n$的每个$d = p+1$，我们给出了一个$n$ -顶点$d$ -正则图，它具有围长$Ω(\log_{d-1} n)$和顶点扩张，其非平凡特征值的大小由$\frac{d+1}{2}$限定. 2.在任何围长为$C\log n$的Ramanujan图中，所有以$n^{0.99C/4}$为界的大小集都有点扩张$(1-o_d(1))d$。在分析我们的建设的工具包括一个无限的图的nonbacktracking运营商，Ihara-Bass公式，一个跟踪矩方法的启发Bordenave的弗里德曼定理的证明，和Kahale的方法来研究分散的扰动图的特征值。
2021-02-20 cs.DM math.CO math.SP
On the Relativized Alon Second Eigenvalue Conjecture VI: Sharp Bounds for Ramanujan Base Graphs
这是第六次在一系列的文章致力于表明，一个典型的覆盖地图的大程度上一个固定的，经常图有其新的邻接特征值范围内的阿隆所确定的随机正则图。本文证明了如果固定图是正则Ramanujan图，则随机覆盖图模型的{ \em代数幂}是$+\infty$ .这意味着许多有趣的结果，例如（1）对于随机覆盖映射在Alon界之外具有一些新的邻接特征值的概率，获得了上界和下界--在乘法常数内匹配，以及（2）概率小于覆盖映射的度的任何负幂，一些新的特征值未能在Alon界内，而覆盖映射不包含许多“缠结”中的一个作为子图（并且这种缠结包含事件具有低概率）。
2019-11-13 cs.DM math.CO
Very sharp distance and range transitions for random walk bridges on Ramanujan graphs
本文证明在具有对数围长的顶点传递 Ramanujan 图上，长度为对数阶的随机游走桥的最大距离在临界窗口内从根号对数阶突变至对数阶，并给出范围的两点极限定律。
2026-09-29 math.CO math.PR
$X$-Ramanujan Graphs
假设$X$是一个有界度的无限图;例如，有限群自由积的凯莱图。如果$G$是一个被$X$覆盖的有限图，如果它的第二大特征值$λ_2(G)$至多是$X$的谱半径$ρ(X)$，则称它是$X$ -Ramanujan，更一般地说，如果$λ_k(G)$至多是$ρ(X)$，则称它是$k$ -拟$X$ -Ramanujan。在$X$是无限$Δ$ -正则树的情况下，这简化为众所周知的有限$Δ$ -正则图是Ramanujan的概念。受Marcus，Spielman和Srivastava的交错多项式方法的启发，我们证明了无限多个$k$ -准$X$ -Ramanujan图的存在性。特别是，$X$不需要是一棵树，我们的分析是适用的，只要$X$是我们所说的加法产品图。这种加法积是由公共顶点集上的有限“原子”图$A_1, \dots, A_c$构造无限图$\mathsf{AddProd}(A_1, \dots, A_c)$的一种新方法。它推广了自由积图$A_1 * \cdots * A_c$的概念，当原子$A_j$是点传递图时，它推广了泛覆盖树的概念，当原子$A_j$是单边图时。我们分析的关键是一个新的图形多项式$α(A_1, \dots, A_c;x)$，我们称之为添加剂的特征多项式。它推广了著名的匹配多项式$μ(G;x)$的情况下，原子$A_j$是$G$的单边，它推广了$r$ -特征多项式中介绍的[Ravic…
2019-04-10 cs.DM math.CO
Ramanujan Complexes and High Dimensional Expanders
在过去的三十年里，扩展图，特别是Ramanujan图，在计算机科学，组合数学甚至纯粹数学中有着广泛的应用。在这些说明中，我们描述了近年来的各种努力，推广这些概念从图到高维单纯复形。
2013-01-14 math.CO math.GR math.NT
Ramanujan Bigraphs
Einstein Institute of Mathematics, The Hebrew University of Jerusalem（耶路撒冷希伯来大学爱因斯坦数学研究所）；Department of Mathematics, The City College of New York, CUNY（纽约市立学院数学系）；Lehrstuhl für Agebra und Darstellungstheorie, RWTH Aachen University（亚琛工业大学代数与表示论讲席）
本文研究了双图的拉马努金性质，提出了双图的构造方法，并探讨了其在伪随机性、扩展器等领域的应用。
2026-04-06 math.CO math.GR math.NT
New and Explicit Constructions of Unbalanced Ramanujan Bipartite Graphs
Indian Institute of Technology Hyderabad（印度理工学院海得拉巴分校）；Indian Institute of Science, Education, and Research (IISER), Pune（印度科学教育与研究院（IISER）浦那分校）
本文的目标有三个方面。首先，我们首次给出了一类无限族\textit{unbalanced} Ramanujan偶图的显式构造.其次，我们重新审视一些已知的方法，用于构建拉马努金图，并讨论实际实施的各种建设方法所需的计算工作。本文的第三个目标是解决以下问题：我们能否构造一个具有指定度的二分拉马努金图，但限制是该图的边集必须与给定的“禁止”边集不同？我们提供了一个肯定的答案，在许多情况下，只要禁止的边缘集不是太大。
2020-11-12 cs.LG math.CO math.NT
Edge Transitive Ramanujan Graphs and Highly Symmetric LDPC Good Codes
提出了一种等码率等距离的对称LDPC码（即好LDPC码），其约束空间由一个等权约束在群作用下的轨道生成。我们的构造提供了第一个对称LDPC好码。这解决了Kaufman和Wigderson在[4]中提出的主要公开问题。
2011-08-15 cs.IT math.CO math.GR
Ramanujan Cayley graphs of Frobenius groups
本文确定了弗罗贝尼乌斯群的Cayley图关于保证为Ramanujan的正规Cayley子集的价的界.我们看到，如果Frobenius核和补的阶之间的比率不是那么小，那么这个界与来自图的最大非平凡特征值的平凡估计的平凡界一致。此外，对于二阶奇素数的二面体群，即弗罗贝尼乌斯群的特殊情况，我们不仅确定了群的Cayley图关于正规子集的界，而且确定了群的Cayley图关于所有Cayley子集的界.作为阿贝尔群的情况下，我们已经在以前的文件中，这样的限制是等于平凡的一个在上述意义上，或作为例外情况下，超过一个从it.We然后澄清，后者发生当且仅当相应的素数是由一个二次多项式在一个有限的家庭。
2015-03-13 math.CO math.NT
Signatures, lifts, and eigenvalues of graphs
研究了有限图的循环签名的谱和相应的循环提升。从一个二分拉马努金图，我们证明了存在一个无限塔的$3$ -循环电梯，其中每一个再次拉马努金。
2014-12-21 cs.DM math.CO
Note on the oriented diameter of graphs with diameter 3
在1978年，Chvátal和Schlassen证明了每个直径为2的无桥图都有一个直径不超过6的定向图。他们还给出了最小值$f(d)$的一般界，使得每个直径为$d$的无桥图$G$具有直径至多为$f(d)$的方向。对于$d=3$，他们证明了$8\leq f(d)\leq 24$。直到最近，Kwok，Liu和West通过在[P.K. Kwok，Q. Liu和D.B. West，Oriented diameter of graphs with diameter 3，J. Combin. Theory Ser.B 100（2010），265-274]。在本文中，我们确定了直径为3的无桥图中具有最少边数的定向直径。
2011-09-27 math.CO
Explicit tough Ramsey graphs
一个图G是t-坚韧的，如果它的任何诱导子图的连通分支x > 1，都是从G中删除至少tx个顶点得到的. Chvatal证明了存在一个绝对常数t_0，使得每个t_0-tough图都是泛圈图. Bauer，van den Heuvel和Schmeichel通过对每个实t_0构造一个t_0-tough triangular free图来证明了这个猜想是错误的。对每个q为奇数的有限域F_q，我们考虑与F_q上的有限欧几里德平面和有限上半平面有关的图.这些图已经受到了严重的关注，因为它们已经被证明是Ramanujan（或渐近Ramanujan）大q。我们将证明，对于无穷多个q，这些图提供进一步的反例Chvatal的猜想。它们也为Ramsey数R（3，k）提供了一个很好的构造性下界.
2008-07-17 math.CO
Flip Graphs, Yoke Graphs and Diameter
在本文中，我们介绍了轭图，翻转图的家庭，推广了以前研究的几个家庭的图：有色三角形自由三角剖分，弧排列和毛毛虫。我们的主要结果是计算任意Yoke图的直径。
2020-07-01 math.CO
Diameter critical graphs
如果一个图的直径是$k$，并且删除任何边都严格地增加直径，则该图称为直径- $k$ -临界图。本文证明了Murty和Simon关于直径- $k$ -临界图的最大边数的猜想的几个结果。特别地，我们证明了Caccetta和Häggkvist的一个长期存在的猜想（即在每一个直径为2的临界图中，平均边度至多为顶点数），该猜想有望完全解决直径为2的临界图的极值问题.另一方面，我们证明了同样的要求适用于所有更高的直径，是渐近紧的，解决了平均边度的问题，在所有情况下，除了直径-2。我们还应用我们的技术来证明几个边界的原始极值问题，包括正确的渐近直径- $k$ -临界图，和一个上界的直径-3-临界图的边缘数的$(\frac{1}{6} + o(1))n^2$。
2014-06-25 math.CO
Ramanujan subshifts
本文提出了一种高维拉马努金子移位的构造方法，通过四元数格生成非二分的(q+1)-正则拉马努金图，并提供了生成无限家族的提升规则。
2026-02-25 math.CO math.DS math.GR
Almost Moore and the largest mixed graphs of diameters two and three
几乎摩尔混合图\/}出现在度/直径问题的上下文中，作为一类极值混合图，在这个意义上，它们的阶比这种图的摩尔界小小于一个单位。它们的存在性问题已经被认为是直径$2$。在本文中，我们给出了直径为2和3的这些极值混合图的一个完整的刻画。我们还得到了一些其他直径的最佳结构。
2022-06-06 math.CO
On the diameter of Kronecker graphs
结果表明，a.a.s.一旦Kronecker图连通，其直径就由一个常数限定。
2016-03-17 math.CO
A deterministic polynomial-time algorithm for the Bilu--Linial signing problem on bipartite graphs
Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院）；University of Chinese Academy of Sciences（中国科学院大学）
提出确定性多项式时间算法，为最大度Δ≥3的二分图赋符号，使符号邻接矩阵算子范数严格小于2√(Δ-1)，基于递归修复框架并采用确定性规则。
2026-10-27 cs.CC cs.DS math.CO
$2$-quasi-perfect Lee codes and abelian Ramanujan graphs: a new construction and relationship
Department of Applied Mathematics, Faculty of Science, Fukuoka University（福冈大学理学院应用数学系）
本文提出一种新的无限族2-近完美p元Lee码，通过生成集H_q构造，并将其与已知的阿贝尔拉马努金图联系起来，提供统一的理论框架。
2026-04-22 cs.IT math.CO math.IT
Large Cayley graphs of small diameter
度-直径问题的目的是在给定直径和最大度的图中找到最大可能的顶点数。这个问题经常被研究的限制家庭的图，如顶点传递或凯莱图，其目标是找到一个家庭的图具有良好的渐近性质。本文将注意力限制在Cayley图上，通过固定一个小直径和构造大阶图族来研究Cayley图的渐近性。这方面的许多文献都集中在直径为2的情况下。在本文中，我们考虑更大的直径，并使用各种技术，以获得新的最佳渐近结构的直径3，4和5以及改进的一般范围为所有奇数直径。我们的直径3建设是，据我们所知，第一次采用矩阵群在有限域的度直径问题。
2018-04-12 math.CO
Cutoff on Ramanujan complexes and classical groups
证明了简单随机游动的全变差截断现象在所有可迁展开式上都成立。然而，很少有人知道这个猜想，并切断稀疏图一般。本文建立了$\widetilde{A}_{d}$ $(d\geq1)$型Ramanujan复形上简单随机游动的全变差截断.其结果是，我们得到了显式的生成元的有限典型群$\mathrm{PGL}_{n}(\mathbb{F}_{q})$，其相关的凯莱图表现出全变差截止。
2022-06-16 math.CO math.GR math.PR
Ramanujan graphs in cryptography
本文从数论和密码学的角度研究了一个后量子密码学方案的安全性。Charles-Goren-Lauter在2006年[CGL 06]提出了两个基于Ramanujan图中路径查找难度的哈希函数。一种是基于Lubotzky-Phillips-Sarnak（LPS）图，另一种是基于超奇异同构图。Petit-Lauter-Quisquater在2008年的一篇论文中打破了基于LPS图的哈希函数。关于超奇异同构图的提议，最近的工作继续建立在寻找超奇椭圆曲线之间同构的难度上的密码学应用。De Feo-Jao-Plantt在2011年的一篇论文中提出了一个基于超奇异同构Diffie-Hellman的密码系统以及一组五个难题。在本文中，我们表明，SIDH建议的安全性依赖于[CGL 06]中介绍的SIG路径查找问题的难度。此外，LPS和Pizer构造中的数论成分之间的相似性表明，这两个图中的寻路问题的难度可能是相关的。通过从数论的角度来看，这两个图，我们确定的Pizer和LPS图之间的相似性和差异。
2018-12-18 cs.CR math.CO math.NT
