Interlacing Families IV: Bipartite Ramanujan Graphs of All Sizes
我们证明了存在任何度和顶点数的二部Ramanujan图。该证明基于分析随机完美匹配的联合的期望特征多项式，并且涉及三个成分：（1）一个正则图与另一个正则图的随机置换之和的期望特征多项式的公式，（2）证明了这个期望多项式是实根的，并且在这个和中考虑的多项式族是交错族，（3）随机完美匹配并的期望特征多项式的根的强界，利用我们最近引入的有限自由卷积的框架建立。
2015-05-29 math.CO
Skeletons and Spectra: Bernoulli graphings are relatively Ramanujan
本文研究单模随机图的谱理论，证明 Bernoulli 图化相对于骨架马尔可夫链满足相对 Ramanujan 性质，并利用随机提升结果加强了对拟传递拟树的结论。
2025-10-16 math.CO math.PR
Very sharp distance and range transitions for random walk bridges on Ramanujan graphs
本文证明在具有对数围长的顶点传递 Ramanujan 图上，长度为对数阶的随机游走桥的最大距离在临界窗口内从根号对数阶突变至对数阶，并给出范围的两点极限定律。
2026-09-29 math.CO math.PR
Formal Zeta Function Expansions and the Frequency of Ramanujan Graphs
我们证明了任何正则图的Zeta函数的对数导数都是由关于无穷大的幂级数给出的，其系数是由图的桥本矩阵的幂的迹给出的。然后我们考虑这个幂级数的期望值随机，$d$ -正则图上的$n$顶点，其中$d$固定和$n$趋于无穷大。在相当投机的假设下，我们进行了正式的计算，表明对于固定的$d$和$n$大，这个期望值应该有简单的极点残留$-1/2$在$\pm (d-1)^{-1/2}$。我们将解释，计算表明，对于固定的$d$，存在一个$f(d)>1/2$，使得$n$顶点上的$d$正则图是Ramanujan，对于足够大的$n$，概率至少为$f(d)$。我们的形式计算有一个自然的模拟，当我们考虑随机覆盖图的程度$n$在一个固定的，定期的“基图。“这再次表明，对于$n$大，严格大多数随机覆盖图相对Ramanujan。我们不认为我们的正式计算提供了压倒性的证据，关于频率的拉马努金图。然而，这些计算是相当简单的，并产生有趣的建议，我们认为值得进一步研究。
2014-06-17 math.CO
Cutoff on Ramanujan complexes and classical groups
证明了简单随机游动的全变差截断现象在所有可迁展开式上都成立。然而，很少有人知道这个猜想，并切断稀疏图一般。本文建立了$\widetilde{A}_{d}$ $(d\geq1)$型Ramanujan复形上简单随机游动的全变差截断.其结果是，我们得到了显式的生成元的有限典型群$\mathrm{PGL}_{n}(\mathbb{F}_{q})$，其相关的凯莱图表现出全变差截止。
2022-06-16 math.CO math.GR math.PR
Spectrum and combinatorics of two-dimensional Ramanujan complexes
Ramanujan图具有极值谱性质，这意味着一个显着的组合行为。本文计算了Ramanujan三角形复形的高维Hodge-Laplace谱，并证明了它具有组合展开性质和伪随机性质。为此，我们证明了一个Cheeger型不等式和一个独立的混合引理。
2017-07-04 math.CO math.RT math.SP
From Ramanujan Graphs to Ramanujan Complexes
Ramanujan图是一类谱最优有界的图。这种图在组合数学和计算机科学中有许多应用。近年来，出现了一个高维理论。在本文中，这些发展进行了调查。在解释了它们与拉马努金猜想的联系后，我们将提出一些新的和旧的结果，重点是这些离散对象和欧几里得球面上的随机游动。后者导致了在量子计算中具有重要意义的“金门”。
2019-04-06 math.CO math.NT math.RT
Ramanujan Graphs and Digraphs
拉马努金图有着迷人的性质和历史。在本文中，我们探讨了一个平行的概念Ramanujan有向图，收集相关的结果，从旧的和最近的论文，并证明了一些新的。几乎正规Ramanujan有向图是一个特殊的有趣的，因为他们是极端的意义上的一个Alon-Boppana定理，他们有显着的组合功能，如小直径，抽样的Besloff界，最佳覆盖时间和锐截止。其他主题探讨的连接凯莱图和有向图，谱半径的普遍覆盖，阿隆的猜想随机有向图，并明确建设几乎正常的拉马努金有向图。
2020-05-25 math.CO math.SP
Vector Colorings of Random, Ramanujan, and Large-Girth Irregular Graphs
我们证明了在平均度为$d$的稀疏ErdŸ-Rényi图中，向量色数（来自Lovàsz theta函数的色数松弛）通常是$\tfrac{1}{2}\sqrt{d} + o_d(1)$。这符合一个长期存在的猜想，即关于稀疏Erdens-Rényi图的$k$着色的各种反驳和假设检验问题在低于“Kesten-Stigum阈值”$d_{KS,k} = (k-1)^2$时变得难以计算。一路上，我们使用著名的Ihara-Bass身份和精心构造的非回溯随机行走证明两个确定性的结果独立的利益：一个下界的向量色数（从而色数）使用的频谱的非回溯行走矩阵，和一个上限只依赖于周长和通用覆盖。我们的上界可以等价地看作是Alon-Boppana定理对不规则图的推广
2019-07-04 cs.CC cs.SI math.CO
Cutoff for Ramanujan graphs via degree inflation
最近Lubetzky和Peres表明，简单的随机游动序列的$d$ -定期Ramanujan图$G_n=(V_n,E_n)$的大小不断增加，表现出截止的全变差周围的直径下界$\frac{d}{d-2}\log_{d-1}|V_n| $。我们提供了一个不同的论点的假设下，对于一些$r(n) \gg 1$的最大数量的简单循环的半径$r(n)$在$G_n$的球是一致有界的$n$。
2017-08-15 math.CO math.PR
Spectra of lifted Ramanujan graphs
基图$G$的随机$n$ -提升是其顶点$[n]\times V(G)$上的覆盖图$H$，其中对于$G$中的每条边$u v$，存在独立的一致双射$π$，并且$H$具有$(i,u),(π(i),v)$形式的所有边。研究升降机的一个主要动机是理解拉马努金图，即这样的图的典型覆盖是否也是拉马努金。设$G$是具有最大特征值$λ_1$的图，$ρ$是它的泛覆盖的谱半径。Friedman（2003）证明了$G$的随机提升的每一个“新”特征值都以高概率为$O(ρ^{1/2}λ_1^{1/2})$，并给出了$ρ+o(1)$的一个界，该界比Lubotzky和Greenberg（1995）的结果更紧. Linial和Puder（2008）改进了Friedman与$O(ρ^{2/3}λ_1^{1/3})$的结合。对于$d$ -正则图，其中$λ_1=d$和$ρ=2\sqrt{d-1}$，这转化为$O(d^{2/3})$的一个界限，相比于固定的$2\sqrt{d-1}$。在这里，我们分析了一个随机$n$ -提升的$d$ -正则图，其非平凡特征值都是在最多$λ$的绝对值的频谱。我们表明，以很高的概率，每一个非平凡的电梯特征值的绝对值是$O((λ\vee ρ) \log ρ)$。这个结果是紧密的对数因子，并为$λ\leq d^{2/3-ε}$，它大大提高了弗里德曼和Linial和Puder的上述上限。特别地，它意味…
2009-11-21 math.CO math.PR
Ramanujan graphings and correlation decay in local algorithms
设$G$是大围长$d$ -正则图，$μ$是随机局部算法在$G$的顶点上产生的随机过程.我们证明了上界$(k+1-2k/d)\Bigl(\frac{1}{\sqrt{d-1}}\Bigr)^k$的（绝对值）的相关值对顶点的距离$k$，并表明，这个界是最佳的。对于$d$ -正则树上的i.i.d过程的因子，同样的结果自动成立。在这种情况下，我们给出了一个明确的描述（关闭）的所有可能的相关序列。我们的证明是基于无限$d$ -正则树的Bernoulli图具有谱半径$2\sqrt{d-1}$这一事实。具有这种谱隙的图是有限拉马努金图的无限类似物，它们本身就很有趣。
2013-05-29 math.CO math.PR
High-girth near-Ramanujan graphs with localized eigenvectors
我们证明了对于每个素数$d$和$α\in (0,1/6)$，存在一个无穷序列的$(d+1)$ -正则图$G=(V,E)$，其围长至少为$2α\log_{d}(|V|)(1-o_d(1))$，第二邻接矩阵特征值以$(3/\sqrt{2})\sqrt{d}$为界，且许多特征向量完全局部化在大小为$O(|V|^α)$的小集合上.这加强了Ganguly-Srivastava的结果，他构造了具有类似性质的高围长（但不膨胀）图，并且可以被视为流形上量子遍历研究中观察到的“疤痕”现象的离散模拟。证明中的关键成分是一种技术的Kahale为边界的增长率的特征函数的图形，发现在上下文中的顶点扩展和方法的Erdans和萨克斯建设高围长正则图。
2019-08-10 cs.DM math-ph math.CO
Cutoff on all Ramanujan graphs
我们证明了在每个Ramanujan图$G$上，简单随机游动具有截断：当$G$具有$n$顶点和度$d$时，游动在时间$t=\frac{d}{d-2}\log_{d-1} n + s\sqrt{\log n}$上离均匀分布的总变差距离渐近为$\mathbb{P}(Z > c\, s)$，其中$Z$是标准正态变量，$c=c(d)$是显式常数.此外，对于所有$1 \leq p \leq \infty$，$d$正则Ramanujan图使得SRW的渐近$L^p$ -混合时间在所有$d$ -正则图中最小.我们的证明还表明，对于如上所述的$G$中的每个顶点$x$，它到顶点的$n-o(n)$的距离是渐近的$\log_{d-1} n$。
2016-08-24 math.CO math.PR
Ramanujan Property and Edge Universality of Random Regular Graphs
本文研究了随机d-正则图归一化邻接矩阵的特征值，证明了其特征值在体和边缘处分别具有N^{-1+o(1)}和N^{-2/3+o(1)}的最优刚性，且边缘特征值分布收敛于Tracy-Widom_1分布，从而得出约69%的大规模图为Ramanujan图。
2025-02-02 math-ph math.CO math.MP
Long-range expanders: construction and cutoff
University of Texas at Austin（德克萨斯大学奥斯汀分校）
本文证明每个Ramanujan图具有长程扩张，构造对数围长的显式长程扩张图，并确立固定度长程扩张图序列上随机游走的截断现象及其高斯极限轮廓，为传递谱扩张图的截断猜想提供中间进展。
2026-10-08 math.CO math.MG math.PR
Explicit near-fully X-Ramanujan graphs
设$p(Y_1, \dots, Y_d, Z_1, \dots, Z_e)$是一个自伴非交换多项式，系数来自$\mathbb{C}^{r \times r}$，在待定$Y_1, \dots, Y_d$（被认为是自伴的），待定$Z_1, \dots, Z_e$，以及它们的伴随$Z_1^*, \dots, Z_e^*$中。假设$Y_1, \dots, Y_d$由独立随机$n \times n$匹配矩阵代替，并且$Z_1, \dots, Z_e$由独立随机$n \times n$置换矩阵代替。为了简单起见，假设$p$的系数是$0$-$1$矩阵，则结果可以被认为是一种随机$rn$ -顶点图$G$ .作为$n \to \infty$，将有一个自然的限制无限图$X$，它覆盖了$G$的任何有限结果。Bordenave和Collins最近的一个里程碑式的结果表明，对于任何$\varepsilon > 0$，随机$G$的谱很有可能是$\varepsilon$ -在Hausdorff距离上接近于$X$的谱（一旦排除了适当定义的“平凡”本征值）。我们说$G$是“$\varepsilon$ -接近完全$X$ -Ramanujan”。我们的工作有两个贡献：第一，我们研究和澄清类的无限图形$X$，可以出现在这种方式。第二，我们去随机化的Bordenave柯林斯的结果：对于任何$X$，我们提供明确的，任意大的图…
2020-09-05 cs.DS math.CO math.PR
Ramanujan Bigraphs
Einstein Institute of Mathematics, The Hebrew University of Jerusalem（耶路撒冷希伯来大学爱因斯坦数学研究所）；Department of Mathematics, The City College of New York, CUNY（纽约市立学院数学系）；Lehrstuhl für Agebra und Darstellungstheorie, RWTH Aachen University（亚琛工业大学代数与表示论讲席）
本文研究了双图的拉马努金性质，提出了双图的构造方法，并探讨了其在伪随机性、扩展器等领域的应用。
2026-04-06 math.CO math.GR math.NT
A deterministic polynomial-time algorithm for the Bilu--Linial signing problem on bipartite graphs
Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院）；University of Chinese Academy of Sciences（中国科学院大学）
提出确定性多项式时间算法，为最大度Δ≥3的二分图赋符号，使符号邻接矩阵算子范数严格小于2√(Δ-1)，基于递归修复框架并采用确定性规则。
2026-10-27 cs.CC cs.DS math.CO
Cut Sparsification of the Clique Beyond the Ramanujan Bound: A Separation of Cut Versus Spectral Sparsification
我们证明了随机$d$ -正则图，有很高的概率，是近似误差至多为$\left(2\sqrt{\frac 2 π} + o_{n,d}(1)\right)/\sqrt d$的团的割稀疏子，其中$2\sqrt{\frac 2 π} = 1.595\ldots$和$o_{n,d}(1)$表示依赖于$n$和$d$的误差项，如果我们先取极限$n\rightarrow \infty$，然后取极限$d \rightarrow \infty$，则该误差项趋于零.这是通过使用Jagannath和Sen从统计物理学思想中获得的技术分析线性大小切割，并通过鞅不等式分析小切割来建立的。我们还证明了新的下界谱稀疏的集团。若$G$是该团的谱稀疏子，且$G$具有平均度$d$，则只要$G$的加权邻接矩阵是一个双随机矩阵（的倍数），或者$G$满足一定的高“奇伪围长”性质，我们证明了逼近误差至少是$d$ -正则Ramanujan图所满足的“Ramanujan界”$(2-o_{n,d}(1))/\sqrt d$.第一种情况可以被看作是“对称双随机矩阵的阿隆-博帕纳定理”，表明具有$dn$非零元素的对称双随机矩阵具有至少$(2-o_{n,d}(1))/\sqrt d$大小的非平凡特征值;第二种情况推广了Srivastava和Trevisan的下界，这需要大围长假设。总之，这些结果意味着频谱稀疏化和切割稀疏化之间的分离。如果…
2021-10-31 cs.DM cs.DS math.CO
Almost Ramanujan Expanders from Arbitrary Expanders via Operator Amplification
本文提出一种基于算子放大的局部高效算法，可将任意扩展图变换为度数与谱扩展达到几乎最优（近二次）权衡的几乎拉马努金扩展图，并推广 Ta-Shma 的偏差放大技术，应用于群生成元、量子扩展器及去随机化随机游走等。
2024-10-22 cs.DM cs.DS math.CO
Parity families and signed spectra: kernel averaging, near-Ramanujan bounds, and exact circulant models
Sardar Vallabhbhai National Institute of Technology, Surat（萨达尔·瓦拉巴伊国家技术学院）
研究 d 正则图签名，通过对使短偶圈不平衡的仿射\(\mathbb{F}_2\)签名族求平均，将比卢 - 利尼亚尔猜想符号问题转化为计数问题，证明相关上下界及结论，还确定假设、给出超立方体证书并记录障碍。
2026-09-24 cs.DM math.CO math.SP
On the Expansion of Group-Based Lifts
$n$ -顶点基图$G$的$k$ -提升是$n\times k$顶点上的图$H$，其中$G$的每个顶点$v$由$k$顶点$v_1,\cdots{},v_k$代替，并且$G$中的每个边$(u,v)$由表示双射$π_{uv}$的匹配代替，使得$H$的边具有$(u_i,v_{π_{uv}(i)})$的形式.升降机已被研究作为一种手段，以有效地构建扩张器。在这项工作中，我们研究电梯获得的群体和群体行动。我们通过基础群的表示论原理推导出这种提升的谱。我们的主要结果是：（1）存在一个常数$c_1$，使得对于每个$k\geq 2^{c_1nd}$，不存在任何$n$ -顶点$d$ -正则基图的交换$k$ -提升$H$，且$H$几乎是Ramanujan（邻接矩阵的非平凡特征值的大小至多为$O(\sqrt{d})$）.这可以看作是一个类似的著名的无膨胀结果的阿贝尔凯莱图。(2)在任意$n$ -顶点$d$ -正则基图$G$的$k$阶循环群中，当$G$的邻接矩阵的非平凡特征值在大小上以$λ$为界时，一致随机提升有新的非平凡特征值也以概率$1-ke^{-Ω(n/d^2)}$在大小上以$λ+O(\sqrt{d})$为界.特别地，存在一个常数$c_2$，使得对于每一个$k\leq 2^{c_2n/d^2}$，在一个$k$阶循环群中存在每一个Ramanujan图的提升$H$，且$H$几乎是Ramanujan图.利…
2016-12-17 cs.DM math.CO
The Distribution of the Largest Non-trivial Eigenvalues in Families of Random Regular Graphs
最近弗里德曼证明了阿隆猜想的许多家庭的d-正则图，即任何给定的0> 0的“大多数”图有其最大的非平凡特征值至多2 sqrt{d-1}+ numb的绝对值;如果最大的非平凡特征值的绝对值是至多2 sqrt{d-1}然后该图被称为拉马努金。这些图在通信网络理论中有着重要的应用，可以用来建造超集中器和无阻塞网络，编码理论和密码学。由于许多这些应用程序依赖于最大的非平凡的正和负特征值的大小，这是很自然的调查他们的分布。我们表明，这些都是很好的模拟β =1 Tracy-Widom分布的几个家庭。如果观察到的平均值和标准差的增长率作为顶点数的函数在极限内成立，那么在极限内，大约52%的来自二分族的d-正则图应该是Ramanujan的，大约27%的来自非二分族的d-正则图应该是Ramanujan的（假设最大的正特征值和负特征值是独立的）。
2008-03-11 math.CO
Limit Shape of Subpartition Maximizing Partitions
这是一个暂时的说明回答了理查德斯坦利向我们提出的一个问题，我们证明了一个极限形状定理的分区的$n$，最大限度地提高了数量的子分区。极限形状和子分区数的增长率是明确的。关键思想是使用随机游动的大偏差估计，连同凸分析和Hardy-Ramanujan渐近。我们的极限形状一致Vershik的均匀随机分区的极限形状。
2019-07-22 math.CO math.PR
The measurable Kesten theorem
给出了有限d-正则图的短圈密度与谱半径之间的显式估计。这使得我们能够证明有限d-正则Ramanujan图G的本质围长至少是c log log |G|。我们证明了无限d-正则Ramanujan幺模随机图是树。利用Benjamini-Schramm收敛性，得到了一个刚性结果：如果d-正则有限图G的大多数特征值落在Alon-Boppana区域，则G的特征值分布接近d-正则树的谱测度. Kesten证明了如果一个Cayley图的谱半径与它的泛覆盖相同，那么它一定是一棵树。我们将其推广到单模随机图。
2015-11-27 math.CO math.GR math.PR
Spectrum preserving short cycle removal on regular graphs
我们描述了一种新的方法，以消除短周期的定期图，同时保持谱界（邻接矩阵的非平凡特征值），只要图形具有一定的组合性质。这些组合性质与短圈之间的数量和距离有关，并且已知在均匀随机正则图中以高概率发生。利用这种方法，我们可以得到两个涉及高围长谱扩展图的结果。首先，我们证明了给定$d \geq 3$和$n$，存在$d$ -规则$Θ(n)$ -顶点图的显式分布，其中其样本很可能具有围长$Ω(\log_{d - 1} n)$并且是$ε$ -near-Ramanujan;即，其特征值在幅度上由$2\sqrt{d - 1} + ε$限定（不包括$d$的单个平凡特征值）。然后，对于每一个常数$d \geq 3$和$ε> 0$，我们给出了一个确定性的多$(n)$ -时间算法，输出$d$ -正则图的$Θ(n)$ -顶点是$ε$ -近Ramanujan和周长$Ω(\sqrt{\log n})$，基于arXiv：1909.06988的工作。
2020-02-17 cs.DM cs.DS math.CO
Lecture Notes on Edge Universality for Random Regular Graphs
University of Pennsylvania（宾夕法尼亚大学）；Harvard University（哈佛大学）
本文介绍了随机正则图边缘普遍性的证明方法，重点在于自洽方程和环方程的推导及其在随机正则图中的应用。
2026-02-01 math-ph math.CO math.MP
Computational hardness of detecting graph lifts and certifying lift-monotone properties of random regular graphs
提出检测图随机提升的计算难度猜想，并以此证明多项式时间算法无法认证随机正则图最大割、最大独立集等性质的紧致界限，且现有谱界在多项式时间内最优。
2024-04-25 cs.CC cs.DS math.CO
Quantum Chaos on random Cayley graphs of ${\rm SL}_2[\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}]$
研究了当素数$p$趋于无穷大时，${\rm SL}_2[\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}]$ %和对称群$S_n$的随机Cayley图的特征值和直径的统计行为.证明了随机凯莱图的例外特征值（即绝对值大于最佳谱界的特征值）的数量的密度定理。数值结果表明，当素数$p$趋于无穷大时，${\rm SL}_2[\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}]$的随机Cayley图和$\mathbb{P}^1(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$的显式LPS Ramanujan投影图具有最优的谱隙和直径.
2017-05-08 math-ph math.CO math.MP
Fixed points of a random restricted growth sequence
如果给定序列在第$i$位置的值与$i$重合，则我们称$i$为该序列的不动点。在这里，我们列举了限制增长序列类中的不动点。计数过程通过计算生成函数和利用概率抽样方法来进行。
2021-06-24 math.CO
Horizontal visibility graph of a random restricted growth sequence
我们研究了随机限制性增长序列和随机集划分大小为$n.$的水平可见图的分布性质。我们的主要结果是用有限Stirling数和Bernoulli数的简单显函数表示图节点的期望度的公式。
2019-12-11 math.CO math.PR
On Convergence of Moments for Random Young Tableaux and a Random Growth Model
Baik、Deift和Rains最近的工作是建立了随机Young表中前k行长度的极限联合分布的矩收敛。主要的困难是获得一个很好的估计尾部的分布，这是通过一个高度非平凡的黎曼-希尔伯特分析。这里我们给出一个更简单的推导。同样的方法被用来建立一个随机增长模型的矩的收敛性。
2001-09-21 math.CO math.PR
Universal Distributions for Growth Processes in 1+1 Dimensions and Random Matrices
通过对多核生长（PNG）模型的详细研究，发展了一维KPZ生长的标度理论。特别是，我们确定了三个普遍分布的形状波动和它们对宏观形状的依赖。这些分布函数是使用高斯随机矩阵在余弦势中的配分函数计算的。
2000-04-05 cond-mat.stat-mech math.CO
Competing growth processes with random growth rates and random birth times
在一个动态随机网络中寻找最强大的节点，在一个分区值随机过程中寻找最大的集合，或者在一个给定时间的进化种群中寻找最大的家族，都是一个非常困难的问题。当潜在的随机过程具有复杂的依赖性，并且对象的个体强度具有仅随时间推移而发挥的影响时，情况尤其如此。我们提出了一种新的技术来处理这些问题，并展示了它如何可以应用到广泛的例子，它产生新的见解和令人惊讶的结果。该方法依赖于两个步骤：在第一步，这是高度依赖于问题，问题被嵌入到连续时间，使其各自的出生时间后的对象的大小的演变变得近似独立，而我们只需要最小的控制出生时间本身。一旦实现了这样的嵌入，第二步是应用泊松极限定理，该定理允许在临界窗口中比较对象大小，因此允许描述极值对象的特征。在本文中，我们证明了这样一个通用的极限定理，极值理论的基础上，并展示了如何使用该技术可以用来研究极值行为在不同类型的偏好连接网络的健身，分支过程的选择和突变，随机置换与随机循环权重。
2020-09-07 math.CO math.PR
Cheeger-type inequalities for the second largest spectral gap from $1$ of the normalized Laplacian
Vrije Universiteit Amsterdam（阿姆斯特丹自由大学）；University of Passau（帕绍大学）
研究图的归一化拉普拉斯算子第二大谱间隙，引入具有两步随机游走概率解释的新 Cheeger 型常数，并建立类似经典 Cheeger 不等式的尖锐不等式。
2026-06-06 math.CO math.SP
Mean-field conditions for percolation on finite graphs
设G_n是一列顶点度d=d（n）且|G_n| =n的有限传递图.用p^t（v，v）表示G_n上的无回溯随机游动在t步后的返回概率。我们证明了如果p^t（v，v）具有拟随机性质，则G_n上的临界键逾渗与随机图上的临界键逾渗一样，具有宽度为n^{-1/3}的标度窗口.本文定理的一个推论是：如果G_n是一个围长至少为（2/3 + eps）\log_{d-1} n的可迁扩张族，则p键逾渗（p={1 +O（n^{-1/3}）\over d-1}）的最大分支的大小约为n^{2/3}.特别是，著名的拉马努金图上的Lubotzky，Phillips和Sarnak构造的键渗流具有上述的缩放窗口。这提供了第一个例子，准随机图的行为就像随机图的临界键渗流。
2008-11-25 math.CO math.PR
Borel Local Lemma: arbitrary random variables and limited exponential growth
University of California, Los Angeles（加州大学洛杉矶分校）；Fudan University（复旦大学）
针对Lovász局部引理的Borel版本，提出一种替代证明方法，允许底层随机变量为连续值，并适用于有限指数增长的依赖图。
2026-05-27 math.CO math.LO math.PR
Growth and irreducibility in path-incompressible trees
本文研究了路径不可压缩树的有效随机性保持变换，证明了部分具有无穷路径的树无法通过可计算预言机使用计算完美路径随机树，稀疏完美路径不可压缩树几乎必然可被有效稠密化，并刻画了路径随机树的分支密度。
2024-01-10 cs.IT math.CO math.IT
