Vector Colorings of Random, Ramanujan, and Large-Girth Irregular Graphs
我们证明了在平均度为$d$的稀疏ErdŸ-Rényi图中，向量色数（来自Lovàsz theta函数的色数松弛）通常是$\tfrac{1}{2}\sqrt{d} + o_d(1)$。这符合一个长期存在的猜想，即关于稀疏Erdens-Rényi图的$k$着色的各种反驳和假设检验问题在低于“Kesten-Stigum阈值”$d_{KS,k} = (k-1)^2$时变得难以计算。一路上，我们使用著名的Ihara-Bass身份和精心构造的非回溯随机行走证明两个确定性的结果独立的利益：一个下界的向量色数（从而色数）使用的频谱的非回溯行走矩阵，和一个上限只依赖于周长和通用覆盖。我们的上界可以等价地看作是Alon-Boppana定理对不规则图的推广
2019-07-04 cs.CC cs.SI math.CO
Hypergraph coverings and Ramanujan Hypergraphs
该研究通过超图覆盖刻画谱结构并推广 Alon-Boppana 等谱界，利用交错族证明 Ramanujan 2-覆盖的存在性，进而构造无限族正则 Ramanujan 超图。
2024-03-04 math.CO
The measurable Kesten theorem
给出了有限d-正则图的短圈密度与谱半径之间的显式估计。这使得我们能够证明有限d-正则Ramanujan图G的本质围长至少是c log log |G|。我们证明了无限d-正则Ramanujan幺模随机图是树。利用Benjamini-Schramm收敛性，得到了一个刚性结果：如果d-正则有限图G的大多数特征值落在Alon-Boppana区域，则G的特征值分布接近d-正则树的谱测度. Kesten证明了如果一个Cayley图的谱半径与它的泛覆盖相同，那么它一定是一棵树。我们将其推广到单模随机图。
2015-11-27 math.CO math.GR math.PR
Eigenvalues of graphs and spectral Moore theorems
本文描述了与确定具有给定价和第二特征值的连通图的最大阶有关的谱Moore定理。我们展示了这些谱摩尔定理如何应用于正则图的Alon-Boppana定理和经典的度直径/摩尔问题。
2020-04-20 cs.DM math.CO
On the Relativized Alon Second Eigenvalue Conjecture VI: Sharp Bounds for Ramanujan Base Graphs
这是第六次在一系列的文章致力于表明，一个典型的覆盖地图的大程度上一个固定的，经常图有其新的邻接特征值范围内的阿隆所确定的随机正则图。本文证明了如果固定图是正则Ramanujan图，则随机覆盖图模型的{ \em代数幂}是$+\infty$ .这意味着许多有趣的结果，例如（1）对于随机覆盖映射在Alon界之外具有一些新的邻接特征值的概率，获得了上界和下界--在乘法常数内匹配，以及（2）概率小于覆盖映射的度的任何负幂，一些新的特征值未能在Alon界内，而覆盖映射不包含许多“缠结”中的一个作为子图（并且这种缠结包含事件具有低概率）。
2019-11-13 cs.DM math.CO
Cut Sparsification of the Clique Beyond the Ramanujan Bound: A Separation of Cut Versus Spectral Sparsification
我们证明了随机$d$ -正则图，有很高的概率，是近似误差至多为$\left(2\sqrt{\frac 2 π} + o_{n,d}(1)\right)/\sqrt d$的团的割稀疏子，其中$2\sqrt{\frac 2 π} = 1.595\ldots$和$o_{n,d}(1)$表示依赖于$n$和$d$的误差项，如果我们先取极限$n\rightarrow \infty$，然后取极限$d \rightarrow \infty$，则该误差项趋于零.这是通过使用Jagannath和Sen从统计物理学思想中获得的技术分析线性大小切割，并通过鞅不等式分析小切割来建立的。我们还证明了新的下界谱稀疏的集团。若$G$是该团的谱稀疏子，且$G$具有平均度$d$，则只要$G$的加权邻接矩阵是一个双随机矩阵（的倍数），或者$G$满足一定的高“奇伪围长”性质，我们证明了逼近误差至少是$d$ -正则Ramanujan图所满足的“Ramanujan界”$(2-o_{n,d}(1))/\sqrt d$.第一种情况可以被看作是“对称双随机矩阵的阿隆-博帕纳定理”，表明具有$dn$非零元素的对称双随机矩阵具有至少$(2-o_{n,d}(1))/\sqrt d$大小的非平凡特征值;第二种情况推广了Srivastava和Trevisan的下界，这需要大围长假设。总之，这些结果意味着频谱稀疏化和切割稀疏化之间的分离。如果…
2021-10-31 cs.DM cs.DS math.CO
An Alon-Boppana Bound for the Non-Backtracking Operator
Yale University（耶鲁大学）
本文证明了非回溯矩阵特征值模的下界，即 Alon-Boppana 型界，并应用于 Erdős-Rényi 图，验证了相关猜想，方法基于 Bethe-Hessian 行列式比较。
2026-09-16 math.CO math.PR math.ST
On Spielman's Laplacian Eigenratio Conjecture and Related Problems
University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）；Tsinghua University（清华大学）；Xi’an Jiaotong University（西安交通大学）
本文研究Spielman的拉普拉斯特征比猜想，发现其在不同条件下成立与否，并证明了正则图中更强的界，同时解决了两个相关猜想。
2026-04-20 math.CO
Maximizing the order of a regular graph of given valency and second eigenvalue
从Alon和Boppana以及Serre的研究中，我们知道，对于任意给定的整数$k\geq 3$和实数$λ<2\sqrt{k-1}$，有1000个$k$ -正则图的第二大特征值至多为$λ$ .本文研究了这类图的最大顶点数。
2017-01-26 cs.DM math.CO
An Alon-Boppana--type bound for very dense graphs, with applications to max-cut
本文证明了稠密图在远离 Turán 图时第二特征值的最优下界，并利用谱方法改进了关于 max-cut 大小的多个经典结果与猜想。
2025-07-14 math.CO math.SP
Bipartite unique-neighbour expanders via Ramanujan graphs
我们构造了一个具有任意不平衡边的有界度二部唯一邻扩张图的无限族。虽然弱于Capalbo等人构造的无损扩展器，我们的构造更简单，并且由于更小的常数而更接近于在实践中可实现。我们构造这些图组成的二分拉马努金图与一个固定大小的小工具的方式，推广了阿隆和Capalbo的独特的邻居扩张器的建设。为了分析我们的构造，我们证明了二部Ramanujan图的小诱导子图的平均度的一个强上界。我们的界推广了Kahale的平均度界到二部Ramanujan图，并可能是独立的兴趣。令人惊讶的是，我们的界限强烈依赖于确切的拉马努金性质的图，并不知道举行近拉马努金图。
2023-01-08 cs.IT math.CO math.IT
The Relativized Second Eigenvalue Conjecture of Alon
我们证明了一个相对化的阿隆第二特征值猜想的所有$d$ -正则基图，$B$，与$d\ge 3$：对于任何$ε>0$，我们表明，一个随机覆盖地图的程度$n$到$B$有一个新的特征值大于$2\sqrt{d-1}+ε$的绝对值的概率$O(1/n)$。此外，如果$B$是一个Ramanujan图，我们表明，这种概率是成比例的$n^{-{η_{\rm \,fund}}(B)}$，其中${η_{\rm \,fund}}(B)$是一个整数依赖于$B$，它可以计算出任何固定的$B$的有限算法。对于任何$d$ -正则图，$B$，${η_{\rm \,fund}}(B)$大于$\sqrt{d-1}$ .我们的证明引入了许多想法，简化和加强了弗里德曼对阿隆原始猜想的证明方法。最重要的新思想是“认证跟踪”，这不仅大大简化了我们的跟踪方法，而且是我们可以获得上述$n^{-{η_{\rm \,fund}}(B)}$估计的原因。这个估计代表了一个改进的Friedman的结果，原来的Alon猜想的随机$d$ -正则图，对于某些值的$d$。
2014-03-13 cs.DM math.CO
On the Relativized Alon Second Eigenvalue Conjecture V: Proof of the Relativized Alon Conjecture for Regular Base Graphs
这是第五次在一系列的文章致力于表明，一个典型的覆盖地图的大程度上一个固定的，经常图有其新的邻接特征值范围内的阿隆所确定的随机定期图。本文利用本系列第三、四篇的结果证明了：如果基图是正则的，则当覆盖映射的度$n$趋于无穷大时，某个新的邻接特征值绝对值在Alon界之外，且概率为$O(1/n)$ .此外，我们给出了这个概率的上界和下界，它们紧到一个乘法常数乘以覆盖映射的度。这些界依赖于随机覆盖映射模型的\emph{algebraic power}（也可以是$+\infty$）和\emph{tangle power}两个正整数。我们猜想我们所研究的模型的代数幂总是$+\infty$，并且在第六篇中我们证明了当基图是正则的并且是\emph{Ramanujan}时这一点。当模型的代数幂为$+\infty$时，本文的结果意味着更强的结果，例如（1）上述上界和下界在乘法常数内匹配，（2）概率小于度的任何负幂，只有当覆盖图包含许多“缠结”中的一个作为子图（并且这种事件的概率很低）时，某些新的特征值才不在Alon界之内。
2019-11-13 cs.DM math.CO
On the Relativized Alon Second Eigenvalue Conjecture I: Main Theorems, Examples, and Outline of Proof
这是第一次在一系列的六篇文章致力于表明，一个典型的覆盖地图的大程度上一个固定的，经常图有其新的邻接特征值范围内的阿隆所确定的随机定期图。我们开发的许多技术都保持了基图是否正则。我们在这一系列文章中的第一个主要定理是，如果基图是$d$ -正则的，那么对于任何$ε>0$，当覆盖映射的度$n$趋于无穷大时，映射的某个新的邻接特征值的绝对值大于$2(d-1)^{1/2}+ε$，概率为最大阶$1/n$。我们的第二个主要定理是，如果，此外，基图是Ramanujan，那么这个概率的上下界是由$1/n$的正整数幂，我们称之为模型的{ \em缠结幂}，即，度为$n$的随机覆盖映射的概率空间。缠结功率很容易从下面定义，有时也很容易精确计算;它测量了某些{ \em缠结}出现在随机覆盖图中的概率，其中{ \em缠结}是迫使覆盖图具有严格大于$2(d-1)^{1/2}$的新特征值的局部事件。我们的主要定理是关于大度随机正则图第二特征值的Alon猜想的相对化。在本系列的第一篇文章中，我们介绍了本系列中所需的所有术语，并详细介绍了这些术语，精确地陈述了其余文章中的所有结果，并对它们的证明做了一些说明。因此，本文提供了整个系列文章的概述;此外，本系列中的其余文章可以相互独立阅读。
2019-11-13 cs.DM math.CO
Modular relations involving generalized digamma functions
本文针对广义 digamma 函数建立了模关系，推广了 Ramanujan 的著名变换，并推导了 Carlitz 型和 Guinand 型有限模关系，其中涉及组合和与反演公式。核心贡献在于对任意 k 给出模关系及渐近展开，并处理了微妙情形。
2023-06-22 math.CA math.CO math.NT
Deformed Homogeneous Polynomials and the Generalized $q$-Exponential Operator
University of Los Andes（安第斯大学）
本文提出变形的齐次多项式和广义q-指数算子，推广了多项式和超几何级数，并获得新的转化公式。
2026-02-09 math.CO
