On Poincaré-Bendixson Theorem and Non-Trivial Minimal Sets in Planar Nonsmooth Vector Fields
本文讨论了非光滑向量场理论的一些定性和几何方面的问题。在一类不存在滑动区域的非光滑系统中，给出了一个庞加莱-本迪克松定理.研究了平面Filippov系统中的一个极小集，该极小集在经典的Poincaré-Bendixson理论中没有预言到，并且其内部是非空的.定义了非光滑系统的极限集、常返集和极小集的概念，并与经典的极限集、常返集和极小集进行了比较。并指出了它们之间的一些差异。
2013-07-25 math.DS
Chaotic Planar Piecewise Smooth Vector Fields With Non Trivial Minimal Sets
本文讨论了平面分段光滑向量场理论中的混沌行为和极小性问题。观察到了非确定性混沌的发生，并引入了可定向极小的概念。研究了混沌系统中极小性与可定向极小性之间的关系，并观察到混沌系统中存在新的非平凡极小集。该方法是几何的，涉及非光滑系统的普通技术。
2014-04-02 math.DS
Limit Cycles Bifurcating from a Periodic Annulus in Discontinuous Planar Piecewise Linear Hamiltonian differential System with Three Zones
本文研究了由两条平行直线分隔的三个区域的间断平面分段线性Hamilton微分系统从周期环分支出的极限环的个数。证明了如果中心子系统，即定义在两条平行线之间的系统有实中心，而其它子系统有中心或鞍点，则周期环扰动后至少有三个极限环.为此，我们研究了分段哈密顿系统的Melnikov函数零点的个数，并给出了该系统的一个标准形，以简化计算。
2021-09-21 math.DS
Proofs of ergodicity of piecewise Möbius interval maps using planar extensions
本文通过平面扩张和“有界非满值域”等新条件，结合“绗缝”操作，证明了分段莫比乌斯区间映射的遍历性等动力学性质，并成功应用于Nakada α-连分数及一类Fuchsian群区间映射。
2024-05-03 math.DS
Symbolic dynamics of planar piecewise smooth vector fields
近年来，关于分段光滑向量场（简称PSVF）的理论得到了很大的发展。实际上，所得到的许多结果对于光滑向量场并没有类似的结果。例如，平面PSVF的混沌，这是不可能的光滑的。这些差异是由通过一点的轨迹的非唯一性产生的。受一维离散动力系统可以产生混沌行为这一经典事实的启发，我们构造了移位映射与PSVF之间的共轭。通过所获得的结果和所采用的技术，一个新的角度对PSVF的研究被带到光，通过已经建立的离散动态系统的结果，我们将能够获得结果PSVF。
2021-12-03 math.DS
Monodromy and Dulac's Problem for Piecewise analytical planar vector fields
考虑具有$0$作为其正则值的解析函数$f:V\subset\mathbb R^2\rightarrow\mathbb R$、切换流形$Σ=f^{-1}(0)$和分段解析向量场$X=(X^+,X^-)$（即$X^\pm$）是定义在$Σ^\pm=\{p\in V: \pm f(p)>0\}$上的解析向量场。我们刻画了向量场$X$在$Σ$中存在单值奇点的情形，称之为$Σ$ -单值奇点.在一定条件下，证明了$X$的$Σ$ -单值奇点存在一个无极限环的邻域.
2023-02-19 math.DS
Canard explosion and relaxation oscillation in planar, piecewise-smooth, continuous systems
光滑系统中的经典鸭式爆炸结果要求向量场至少为$C^3$，因为鸭式循环是由霍普夫分叉产生的。非光滑平面系统中鸭翼的研究是最近的，迄今为止仅限于分段线性或分段光滑范德波尔系统，其中临界流形的极值来自非光滑性。在这两种情况下，鸭式（或鸭式）爆炸是通过一个非光滑的分叉创建的缓慢零倾通过临界流形的一个角落。此外，这些系统有可能出现超爆炸分叉，其中鸭式爆炸被跳过。本文将结果扩展到更一般的分段光滑系统，寻找通过光滑或非光滑分叉创建周期轨道的条件。在分叉是非光滑的情况下，建立了确定分叉是超爆炸还是鸭翼的条件。
2016-02-08 math.DS
Uniform upper bound for the number of limit cycles of planar piecewise linear differential systems with two zones separated by a straight line
具有两个由直线分隔的区域的平面分段线性微分系统极限环的最大个数的一致上界的存在性问题已成为数百篇论文的主题。自Lum-Chua的工作以来，经过30多年的研究，这个统一的上界是否存在仍然是一个悬而未决的问题。在这里，我们给出了一个肯定的答案，这个问题通过建立一个自然数$L^*\leq 8$的存在性，任何平面分段线性微分系统的两个区域由直线有不超过$L^*$极限环。证明是通过结合一个新发展的积分特征的Poincaré半映射的线性微分系统的Khovanski \u的理论，调查之间的交叉点的数量平滑曲线和特定类型的轨道的向量场的扩展。
2022-11-24 math.DS
Higher order Melnikov analysis for planar piecewise linear vector fields with nonlinear switching curve
本文主要研究了具有两个由曲线$y=x^n$分隔的区域的平面分段线性微分系统的极限环$H(n)$的最大个数的下界估计，其中$n$是正整数.为此，我们进行了高阶Melnikov分析的线性中心的分段线性扰动。特别地，我们得到了对于$n\geq 4$偶数的$H(2)\geq 4,$ $H(3)\geq 8,$ $H(n)\geq7,$和对于$n\geq 5$奇数的$H(n)\geq 9,$。本文的分析主要是基于Chebyshev系统的正精度和Melnikov理论的一些最新结果，这些结果将在任意阶下推广到一类具有非线性切换流形的非光滑微分系统。
2021-04-23 math.DS
Simultaneous occurrence of sliding and crossing limit cycles in piecewise linear planar vector fields
在本研究中，我们考虑平面分段线性向量场的两个区域由直线$x=0$。我们的目标是研究这类向量场同时交叉和滑动极限环的存在性。首先，我们为这些系统提供了一个标准型，假设每个线性系有中心，一个真正的一个为$y<0$和一个虚拟的一个为$y>0$，并使真正的中心是一个全球中心。然后，利用一阶分段线性扰动，得到了具有三个交叉极限环的分段线性微分系统。其次，我们看到，一个滑动周期可以检测后，二阶分段线性扰动。最后，在存在滑动极限环的条件下，证明了只能出现一个额外的交叉极限环。此外，我们还刻画了高振幅极限环和无穷大点的稳定性。在我们的证明中使用的主要技术是Melnikov方法，具有正精度的扩展Chebyshev系统，和Bendixson变换。
2021-10-07 math.DS
Growth of heights in piecewise-affine planar maps
我们考虑增长的高度点的轨道（分段）仿射映射的平面，合理的参数。我们分析了全局和局部（$p$ -adic）高度的渐近增长率，用于划分参数的素数$p$。我们证明了几乎所有的点在一个区域的线性（如一个椭圆岛的面积保持映射）有相同的指数增长性率。我们还表明，收敛的$p$ -adic高度可能是不均匀的，任意大的波动发生任意接近任何点。我们探讨数值的行为高度在混乱的地区，在面积保持和耗散系统。
2014-08-19 math.DS
Stratification of three-dimensional real flows II: A generalization of Poincaré's planar sectorial decomposition
本文推广了Poincaré的平面扇形分解定理，为具有孤立奇点且约化后仅含双曲奇点的三维解析向量场建立了动力学分层定理。
2023-06-27 math.DS
Embeddings of interval exchange transformations into planar piecewise isometries
虽然分段等距变换是一维区间交换变换的高维推广，但它们的一般动力学性质似乎完全不同。在本文中，我们认为嵌入IET动态PWI，以更好地了解他们的相似性和差异。我们利用矩阵的组合性质、拓扑性质和测度性质，得到了这类嵌入存在的一些必要条件。特别是，我们证明了最小的$2$-IET到方向保持PWI的连续嵌入必然是平凡的，并且任何$3$-PWI最多有一个非平凡的连续嵌入的最小的$3$-IET具有相同的底层置换。最后，我们介绍了一个家庭的$4$-PWI与明显丰富的不变的非光滑分形曲线支持IET，限制到一个平凡的嵌入的IET。
2018-05-01 math.DS
Emergence of Multiple Crossing Limit Cycles in Planar Piecewise Systems with Isochronous Centers and Nonsmooth Switching Manifolds
Instituto de Matemática Pura e Aplicada（巴西纯粹与应用数学研究所）
研究平面分段系统中多重交叉极限环的产生机制，通过非光滑切换流形增强动力学复杂性，推导出交叉极限环数量的上界并构造实例。
2026-04-21 math.DS
Growth estimate for the number of crossing limit cycles in planar piecewise polynomial vector fields
Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP)（坎皮纳斯州立大学）
本文研究了平面分段多项式向量场中交叉极限环数量的增长问题，证明其至少以n²/4的速度增长，并改进了哈密顿向量场类的线性增长估计。
2026-01-29 math.DS
Limit cycles from a monodromic infinity in planar piecewise linear systems
研究了两个线性区域由一条直线分隔且无穷远点有周期轨道的平面分段线性系。通过对变量和参数的一些变换，得到了一个五参数的约化标准形。代替通常的Bendixson变换工作在无穷远，一个更直接的方法是通过采取适当的坐标的交叉点的可能的周期轨道的分离直线。所需的计算来表征的稳定性和分岔的周期轨道在无穷远是容易得多。结果表明，无穷远点的Hopf分支可以具有余维3的退化，特别是可以从无穷远点的周期轨道分支出最多3个极限环.这提供了一种新的机制来解释该系列系统中声称的最大极限环数量。分析了无穷远点中心的分类及其分支的极限环。
2020-10-06 math.DS
Asymptotic Poincaré Maps along the edges of Polytopes
对于一类多面体上的流，包括许多进化对策论的例子，我们描述了一个分段的线性模型，它封装了沿异宿网络形成的多面体的顶点和边缘的渐近动力学。这种分段线性流即使在更高的维度上也很容易计算，这允许使用数值算法来找到诸如周期性、同宿或异宿轨道之类的不变动力学结构，如果鲁棒的话，这些不变动力学结构将作为原始流的不变动力学结构而持续存在。我们应用这种方法证明了五维单形上的某些Hamilton复制子系统中混沌行为的存在性。
2018-11-19 math.DS
Melnikov analysis for planar piecewise linear vector fields with algebraic switching curve $y^n-x^m=0$
本文研究了一类平面分段线性微分系统的极限环的最大个数$H(m,n)$，其中两个区域由曲线$y^n-x^m=0$分隔，其中$n,m$为正整数.更准确地说，我们提供了一个较低的估计$ H(m,n)$。利用Chebyshev系统的一些正精度结果和Melnikov理论，对所有的$m,n\in \mathbb{N}$，对线性中心的分段线性扰动
2022-02-06 math.CA math.DS
The discontinuous planar piecewise linear system with two nodes has at most two limit cycles
针对由直线分隔且两子系统均为结点的平面分段线性系统，论文借助 Poincare 半映射与后继函数分析，证明计入重数后极限环数量至多为两个。
2025-06-09 math.CA math.DS
Regularizations of two-fold bifurcations in planar piecewise smooth systems using blow up
利用Blowup方法研究了平面分段光滑（PWS）动力系统中余维1二重奇点的正则化问题。我们重点研究了PWS系统中可能出现的奇异鸭翼、伪均衡和极限环。利用Sotomayor和Teixeira \cite{Sotomayor96}的正则化方法，我们严格地证明了奇异鸭翼是如何持续存在的，以及在正则化系统中伪平衡点的分支与平衡点的分支之间的关系.我们还表明，PWS极限环连接到正则化的Hopf分支。此外，我们展示了如何正则化可以创建另一种类型的极限环，似乎不存在于原来的PWS系统。对于这两种类型的极限环，我们表明，产生周期轨道的Hopf分支的临界性强烈依赖于精确形式的正则化。最后，我们分析的极限环的正则化的周期轨道的局部唯一的家庭和连接，如果可能的话，到极限环的PWS系统。我们用数值模拟说明了我们的分析，并展示了正则化系统如何发生鸭式爆炸现象。
2015-07-24 math.DS
Limit cycles bifurcating from a period annulus in continuous piecewise differential systems with three zones
研究了一类具有三个区域的平面连续分段线性向量场。利用Poincaré映射和证明光滑微分系统极限环存在性的技巧，证明了这类系统至少存在两个周期环扰动引起的极限环.此外，我们还通过两个两参数三带分段线性向量场族的例子描述了这类向量场的极限环分支。
2015-11-23 math.DS
Classifications and bifurcations of tangent points and their loops of planar piecewise-smooth systems
本文针对平面分段光滑系统中切点及其连接环，提出按切触阶数和构型进行分类，并通过构造显式开折研究一般切触阶数下的分岔，得到了切触阶数与分岔切点、切轨道及环数目之间的关系。
2024-04-30 math.DS
Periodicity of certain piecewise affine planar maps
确定了欧氏平面上某些分段仿射映射的周期点和非周期点。利用这些映射，我们证明了对于$λ\in\{\frac{\pm1\pm\sqrt5}2,\pm\sqrt2,\pm\sqrt3\}$，所有满足$0\le a_{k-1}+λa_k+a_{k+1}<1$的整数序列$(a_k)_{k\in\mathbb Z}$都是周期的.
2008-09-16 cs.DM math.DS math.NT
Uniqueness and stability of limit cycles in planar piecewise linear differential systems without sliding region
本文研究无滑动区域的平面分段线性微分系统，利用 Poincaré 半映射的新积分特征，证明极限环数量的最优一致上界为一，并给出其双曲性、稳定性及存在条件。
2023-04-09 math.DS
Integrate and Fire Neural Networks, Piecewise Contractive Maps and Limit Cycles
我们研究了由任意数量的相同神经元通过抑制和激励相互作用组成的整合和激发神经网络的全局动力学。我们证明了，如果相互作用足够强，那么稳定的渐近动力学的支持由极限环。我们也找到了含有兴奋性神经元的网络同步的充分条件。证明是基于一个分段连续的庞加莱映射与系统的等效动力学分析。我们证明了强相互作用下的Poincaré映射是分段压缩的。利用这种压缩性质，我们证明了存在可数个极限环吸引所有落入相空间稳定子集的轨道。这一结果不仅适用于所研究的Poincaré映射，而且也适用于广泛的一类一般n维分段压缩映射。
2012-07-19 math.DS q-bio.NC
On the number of limit cycles in piecewise planar quadratic differential systems
本文利用位移映射展开研究直线分区的分段平面二次系统，对 Loud 等时中心及非光滑中心进行一阶、二阶扰动分析，给出至少12个极限环的例子并纠正文献错误。
2023-12-10 math.DS
Dynamics of piecewise contractions of the interval
研究了区间上分段压缩映射迭代的渐近性态。已知由Cherry流诱导的Poincaré第一返回映射在拓扑共轭下是分段压缩映射。这些映射也出现在离散控制动力系统中，描述了采用某些决策策略的制造过程的时间演化。一个内射映射$f:[0,1)\to [0,1)$是{$n$区间的\it分段收缩}，如果存在区间$[0,1)$到$n$区间$I_1$的划分，.，$I_n$，使得对于每个$i\in{1,...,n}$，对于某些$κ\in (0,1)$，限制$f|_{I_i}$是$κ$。证明了$n$区间的每个分段压缩$f$至多有$n$周期轨道.此外，我们证明了每一个分段压缩是拓扑共轭的分段线性压缩。
2012-06-25 math.DS
Non-isochronicity on piecewise Hamiltonian differential systems with homogeneous nonlinearities
本文针对具有直线切换线和齐次非线性哈密顿子系统的平面分段光滑微分系统，证明了其Σ-中心的非等时性。
2024-01-20 math.DS
Dynamics of planar vector fields near a non-smooth equilibrium
本文对平面分段光滑向量场进行了定性和几何分析，该向量场由两个由直线$y=0$分开的光滑向量场组成，并作为一个非退化平衡点共享原点.在$Σ$ -等价意义下，我们给出了线性化的充分条件，并给出了这些可线性化的向量场的相图和标准形。这个条件很难削弱，因为当这个条件不满足时，存在着不可线性化的向量场。对于扰动，当原点仍然是两个光滑向量场在扰动下的平衡点时，建立了局部$Σ$ -结构稳定性的一个充要条件。与此相反，我们证明了对本文所研究的任何分片光滑向量场，都存在从原点分支出的极限环，并且存在某些分片光滑向量场，使得对任何正整数$m$，都存在一个扰动，其极限环恰好从原点分支出$m$.这里$m$可能是无穷大。
2020-07-26 math.DS
Planar constant piecewise smooth vector fields with large hysteresis
IBILCE–UNESP（巴西圣保罗州立大学伊比拉塞普学院）；UFSCar（联邦圣卡洛斯大学）
针对应用中广泛使用但缺乏极限集理论基础的滞后控制系统，本文在平面情形下分析两个线性向量场和两个切换边界，分类其极限集。
2026-06-19 math.DS
Saddle-node canard cycles in planar piecewise linear differential systems
应用奇异扰动方法，分析了一类奇异摄动平面分段线性（PWL）微分系统的鸭式极限环。所进行的研究涉及双曲和非双曲鸭式极限环后出现的超临界和亚临界Hopf分叉。所得结果与光滑向量场的结果完全一致。在某种意义上，手稿可以被理解为Krupa和Szmolyan [18]对光滑系统所获得结果的PWL框架的扩展。此外，还得到了一些新的慢-快行为。特别是，在超临界的情况下，并在适当的条件下，证明了极限环组织沿曲线展示两个折叠。这些褶皱中的每一个对应于鸭式极限环的鞍结分叉，一个涉及无头鸭式环，而另一个涉及有头鸭式环。这种配置允许三个鸭式极限环共存。
2020-04-14 math.CA math.DS
Study of periodic orbits in periodic perturbations of planar reversible Filippov systems having a two-fold cycle
研究了一类由可逆分段光滑微分系统的非自治周期扰动得到的平面Filippov系统周期解的存在性。假设未扰动系统是一个简单的二重循环，其特征是一个封闭的轨迹连接一个可见的二重奇点。证明了在一定的一般条件下，摄动系统存在滑动周期解和交叉周期解。为了得到我们的结果，Melnikov的想法一起应用的工具，从几何奇异扰动理论。最后，研究了扰动的分段哈密顿模型。
2020-06-12 math.DS
Invariant manifolds for piecewise smooth differential systems in $\mathbb{R}^{3}$
本文考虑一类三维微分系统的分片光滑扰动。通过对原微分系统进行适当的小扰动，得到了周期轨道填充的不变流形的存在性。这些流形出现在$\mathbb{R}^3$的连续柱体中，而对于某些平面代数多项式曲线旋转后的分段光滑微分系统，$\mathbb{R}^3$的连续柱体确实存在。为了获得结果所使用的主要工具是分段光滑微分系统的平均理论。
2020-12-27 math.DS
On the number of limit cycles in discontinuous piecewise linear differential systems with two pieces separated by a straight line
本文研究了由两段被直线隔开的分段线性微分系统的极限环的最大个数$N$。更精确地说，我们证明了这个最大数满足$2\leq N \leq 3$，如果两个线性微分系统之一的平衡点上的直线的不连续。
2014-09-16 math.DS
Bifurcation of limit cycles from the global center of a class of integrable non-Hamilton system under perturbations of piecewise smooth polynomials
本文利用切换线$y=0$扰动三次分段光滑多项式内的平面多项式向量场$\mathcal{X}(x,y)=(-y(x^2+a^2),x(x^2+a^2))$（$a\neq0$）的全局中心.利用一阶平均函数，证明了周期环分叉出的极限环个数的更精确界为6。
2019-04-11 math.DS
Topological equivalence in the infinity of a planar vector field and its principal part defined through Newton polytope
本文证明在非退化条件下，平面多项式向量场牛顿多面体上边界对应的单项式在拓扑等价意义下决定无穷远处邻域的相图，并讨论了庞加莱-李雅普诺夫紧化对牛顿多面体的影响。
2023-11-30 math.DS
A new construction for Melnikov chaos in piecewise-smooth planar systems
本文研究分段光滑平面系统中阻碍混沌的几何障碍，证明移除该障碍后可在Melnikov条件下恢复混沌，并提出一种新的混沌源集合构造。
2025-07-21 math.DS
Chaos in Saw Map
我们考虑一个标量分段线性“锯映射”与无限多个线性段的动力学。特别是，这样的地图生成为简单的二维离散时间分段线性系涉及饱和函数的庞加莱映射。或者，这些系统可以被视为一个反馈回路与所谓的停止滞后算子。我们分析了混沌集和吸引子的“锯映射”取决于它的参数。
2017-09-06 math.DS
Unfolding homoclinic connections formed by corner intersections in piecewise-smooth maps
分段光滑映射的不变集的稳定流形和非稳定流形都是分段光滑的。因此，当分段光滑映射的参数变化时，当不变集的稳定流形与其非稳定流形的不可微点相交时，不变集可以形成同宿联络（反之亦然）。这是一个余维一分叉，类似于光滑映射的同宿切线，这里称为同宿角。本文给出了平面分段光滑连续映射鞍不动点的通有同宿角点的开折。结果表明，边界碰撞分岔序列仅限于一个同宿角，附近的所有周期解都是不稳定的。
2016-03-16 math.DS
Sharpness for $C^1$ linearization of planar hyperbolic diffeomorphisms
平面双曲同态可以分为两种情况：Poincaré域（两个特征值都在单位圆$S^1$内）和Siegel域（一个特征值在$S^1$内，另一个在$S^1$外）.在Poincaré域上证明了$C^{1,α}$光滑性满足$α_0:=1-\log|λ_2|/\log|λ_1|<α\le 1$，其中$λ_1$和$λ_2$都是特征值，使得$0<|λ_1|<|λ_2|<1$允许$C^1$线性化，线性化实际上是$C^{1,β}$ .当给出一个尖锐的Hölder指数$β>0$时，一个有趣的问题是：指数$α_0$也是尖锐的吗？另一方面，在Siegel域中，我们只知道具有$α\in (0,1]$的$C^{1,α}$光滑性允许$C^1$线性化。在本文中，我们进一步研究的清晰度$C^1$线性化在这两种情况下。
2013-05-17 math.DS
Critical curves of a piecewise linear map
研究了一类在左、右半平面上均为线性的平面映射的参数空间。我们考虑一组参数，每个轨道递归的半平面之间的边界。这些参数由代数曲线组成，由连接边界点的行程的符号动力学确定。我们研究这些曲线的代数和几何性质，在这样一个象征性的动力学。
2021-04-15 math.DS
Integral characterization for Poincaré half-maps in planar linear systems
一个问题的内在本质通常意味着第一个合适的方法来处理它。不幸的是，这些最初的方法表面上很容易应用，可能会使它们可能的缺陷似乎是问题固有的，并且通常没有其他方法来解决它。例如，由于微分方程的线性系易于积分，所以分段线性系的Poincaré半映射总是通过在每个线性区域中直接积分系统来研究。然而，这种方法是伴随着两个重要的缺陷：由于所涉及的矩阵的不同的频谱，许多情况下，必须考虑和策略，因为飞行时间出现作为一个新的变量，非线性复杂的方程。本文提出了一种新的理论来刻画平面线性系中的Poincaré半映射，避免了求解的计算和由此引起的问题。这种新的观点依赖于使用一个特定的保守向量场，这是正交的线性系的流动的线积分。除了明显的数学兴趣，这种方法是有吸引力的，因为它可以简化分段线性系的研究，并处理在这一领域的开放问题。
2022-02-16 math.CA math.DS
Invariant graphs and dynamics of a family of continuous piecewise linear planar maps
针对分段线性平面映射族$F_{a,b}$，证明了$a≥0$时所有轨道最终周期且最多三种周期行为，$a<0$时存在不变紧图$Γ$使所有点迭代后进入$Γ$，并刻画了$Γ$上的动力学及熵特性。
2025-01-20 math.DS
Multiple periodic solutions for one-sided sublinear systems: A refinement of the Poincaré-Birkhoff approach
本文证明了一类平面哈密顿系统多重周期解（调和解和次调和解）的存在性，其中包括二阶标量常微分方程$x'' + a(t)g(x) = 0$，其中$g$满足次线性型单边条件.我们考虑的经典方法的基础上的Poincaré-Birkhoff不动点定理，以及一些改进的弯曲扭曲映射和拓扑马蹄铁的理论。复动力学的情况下进行了研究。
2019-01-27 math.DS
Transversal conics and the existence of limit cycles
研究了实平面多项式微分系统极限环的存在性和位置问题。本文给出了一种利用横截二次曲线构造Poincaré-Bendixson区域的方法。我们提出了几个例子，已知的系统在文献中显示不同的功能约极限环：双曲，霍普夫分支，天蓝色分支，旋转向量场，\ldots为所获得的庞加莱-Bendixson区域允许定位的极限环。我们的方法给出了平面向量场参数族分歧值的界和极限环存在的区间。
2014-10-16 math.DS
On rationally integrable planar dual multibilliards and piecewise smooth projective billiards
本文分类了分段C⁴光滑的有理0次齐次可积射影台球，并通过对偶多重台球证明其积分最小次数可为2、4或12。
2023-08-12 math.AG math.DS
Entropy and ω-limit sets on invariant graphs for a class of planar piecewise linear maps
Universitat Autònoma de Barcelona（巴塞罗那自治大学）；Universitat Politècnica de Catalunya（加泰罗尼亚理工大学）
研究分段线性映射族F(x,y)=(|x|-y+a, x-|y|+b)，分析拓扑熵随分岔参数的变化，发现正熵到零熵连续过渡而零熵到正熵不连续，提供分岔值的任意精确有理界限，并证明在某些参数下图中几乎处处轨道收敛至最多三个omega极限集（有理参数时对应周期轨道）。
2026-07-30 math.DS nlin.CD
Some contributions on Melnikov chaos for smooth and piecewise-smooth planar systems: "trajectories chaotic in the future"
本文针对光滑与分段光滑平面系统，利用Melnikov理论证明在周期扰动下存在仅在将来（或过去）混沌的轨迹集合，并给出其直径上界，为无滑动时经典混沌的存在奠定基础。
2025-09-10 math.DS
On the Hilbert number for piecewise linear vector fields with algebraic discontinuity set
希尔伯特第十六问题的第二部分在于确定平面多项式向量场的次数为$n$的极限环数目的上限$\mathcal{H}(n)$。对于$n\geq2$，仍然不知道$\mathcal{H}(n)$是否是有限的。到目前为止所取得的主要成就确立了$\mathcal{H}(n)$的下限。关于渐近行为，最好的结果是$\mathcal{H}(n)$与$n^2\log(n)$增长一样快。在研究文献中已知$n$的小值的更好的下限。在A. Gasull，问题18提出了另一个希尔伯特第十六型问题，即改进$\mathcal{L}(n)$的下界，$n\in\mathbb{N}$，其被定义为具有由次数$n$的代数曲线的分支分离的两个区域的平面分段线性微分系统可以具有的极限环的最大数目。到目前为止，$\mathcal{L}(n)\geq [n/2],$ $n\in\mathbb{N}$是最著名的一般下界。同样，在研究文献中已知$n$的小值的更好的下限。本文利用最近发展起来的二阶Melnikov方法，对非线性不连续流形的非光滑系统，证明了$\mathcal{L}(n)$的增长与$n^2.$一样快。这将通过提供$\mathcal{L}(n)$的下界来实现，它改进了以前对$n\geq 4$的估计。
2022-01-06 math.DS
On cyclicity in discontinuous piecewise linear near-Hamiltonian differential systems with three zones having a saddle in the central one
研究由两平行直线分三区且中心区含鞍点的不连续分段线性近哈密顿系统，通过线性扰动从周期环域分岔出的极限环数量，证明其最大数量至少为6个。
2022-12-01 math.DS
Periodic orbits of discrete and continuous dynamical systems via Poincaré-Miranda theorem
我们提出了一个系统的方法来确定和定位解析孤立的周期点的离散和连续动力系统的代数性质。我们将这种方法应用到广泛的例子中，包括离散Markus-Yamabe猜想的一个单参数反例族（LaSalle猜想）; Lotka-Volterra型映射的低周期研究;分段线性平面向量场的三个极限环的存在性; Kouchnirenko猜想的一个新反例;并给出了$(1+4)$ -体问题一类对称中心构型存在性的另一种证明。
2018-09-17 math.DS
Towards Theory of Piecewise Linear Dynamical Systems
本文考虑一个平面动力系统，其分段线性函数包含任意数量（但有限）的下降段，并逼近某个连续的非线性函数。通过研究其极限环的所有可能的局部和全局分支，证明了具有$k$下降段和$2k+1$奇点的分段线性动力系统至多可以有$k+2$极限环，其中的$k+1$逐个包围焦点，最后的第$(k+2)$个极限环包围系统的所有奇点.
2008-03-04 math.CA math.DS
A new proof of Poincaré's result on the restricted three-body problem
圆形限制三体问题的不可积性问题是动力系统中非常经典和重要的问题。在他的杰作的第一卷，亨利庞加莱表明不存在的实解析首次积分，这是功能独立的哈密顿量和实解析在一个小参数代表的质量比，以及在状态变量，在平面和空间的情况下。然而，他的证明非常复杂和不清楚。本文利用作者最近发展的一种用于近可积系统的方法，对平面和空间情形给出了一个非常相似的结果的一个新的简单证明。
2022-03-01 math-ph math.DS math.MP
A few remarks on periodic orbits for planar billiard tables
本文给出了平面台球桌周期点测度猜想的一个解答。该定理说，如果$\Om\subset\R^2$是一个具有分段$C^3$边界的紧致域，则$\Om$中台球的周期轨道集具有测度零。在这里，我概述了一个证明。其他地方会有完整的版本。
2006-12-01 math.AP math.DS
