Natural extensions for piecewise affine maps via Hofbauer towers
我们使用规范的马尔可夫扩展（霍夫堡塔）给出了一个明确的结构的自然扩张的各种措施保持自同态，并提出了一些应用程序的特定的例子。
2013-06-23 math.DS
Dynamics of a Continuous Piecewise Affine Map of the Square
我们提出了一个单参数家庭的连续，分段仿射，面积保持的广场，这是受对策论中的动力系统。感兴趣的随机和（准）周期性行为的共存，我们调查不变的圆环分离。对于一定的参数值，我们明确地构造了有理和无理旋转数不变的圆，并给出了由这些圆所界定的环上的动力学的数值实验。
2013-05-18 math.DS
Interval maps quasi-symmetrically conjugated to a piecewise affine map
考虑具有非平坦临界点的$C^3$的多模态区间图$f$。在$f$是拓扑正合的且它的所有周期点都是双曲相斥的情况下，建立了映射$f$与分段仿射映射拟对称共轭的几个刻画.特别是，我们给出了一个否定的答案，由亨克布鲁因张贴在\cite{Bru96}的问题。
2013-09-29 math.DS
A chaotic discrete-time continuous-state Hopfield network with piecewise-affine activation functions
我们构造了一个具有分段仿射非负激活函数和小正项权矩阵的混沌离散时间连续状态Hopfield网络。更准确地说，在状态空间中存在康托尔集$C$，使得网络在$C$中的初态处对初始条件具有敏感依赖性，并且$C$中的每个初态的网络轨道具有$C$作为其$ω$ -极限集。我们使用的方法是基于最近开发和采用的工具在拓扑动力学的分段收缩的研究。明确给出了混沌网络的参数。
2022-10-02 math.DS
On Piecewise Affine Reachability with Bellman Operators
TU Wien（维也纳工业大学）；National Institute of Informatics（信息学国立研究所）；The Graduate University for Advanced Studies (SOKENDAI)（高级研究大学院大学）
本文研究了贝尔曼算子的可达性问题，证明在特定条件下该问题在任意维度下均可判定，且在二维情况下对任意初始和目标向量均成立。
2026-01-26 cs.DM cs.LO math.DS
Teichmüller dynamics, dilation tori and piecewise affine circle homeomorphisms
本文研究了具有两个奇点的膨胀环面的模空间的粗糙几何和Teichmuller流作用在这个模空间上的动力学性质。这导致了一个证据，垂直叶理的膨胀环面几乎总是莫尔斯-斯梅尔。作为推论，我们得到了关于勒贝格测度的具有两个断点的一般分段仿射圆同胚是Morse-Smale.
2018-03-27 math.DS math.GT
Maximal Entropy Measures for Piecewise Affine Surface Homeomorphisms
从熵的角度研究了分段仿射曲面同胚的动力学性质。在正拓扑熵的假设下，建立了极大熵的多个遍历不变概率测度的存在性，并证明了周期点个数的一个乘性下界.这是为了作为一个步骤的理解表面的仿射。我们继续建立一个跳跃变换，不使用第一个回报，但仔细选择的“好”回报，以免除马尔可夫分割。我们通过一些熵和遍历参数来控制这些良好的回报。
2009-02-19 math.DS
Matching in a family of piecewise affine maps
考虑了一类单参数区间映射族，并研究了度量（分别为）拓扑）熵随着参数的变化而变化。我们表明，在许多情况下，熵显示半正规的行为，即它是光滑的开放和密集集。这个特征是由于一种叫做匹配的组合属性
2017-07-24 math.DS
Reachability in Injective Piecewise Affine Maps
在动力系统理论中，一个最基本的、长期存在的问题是：具有两个区间的一维分段仿射映射的可达性是否可判定。本文证明了对于内射映射，它是可判定的。我们还研究了各种相关的问题，在每种情况下，无论是建立可判定性，或表明它们是密切相关的丢番图性质的某些超越数，类似于线性递归序列的正问题。最后，我们考虑一维分段仿射映射的轨道的拓扑性质，不一定有两个区间，并否定回答了Bournez，Kurganskyy和Potapov关于扩张映射中轨道集的问题。
2023-03-17 cs.FL cs.LO math.DS
Dimension of the repeller for a piecewise expanding affine map
本文研究了Michael Barnsley提出的欧几里得空间中一类分段仿射系统的维数论，并将其应用于分形图像压缩.这是一个更一般的版本的类考虑在工作的基恩，西蒙和Solomyak [维数图有向吸引子重叠的线，与应用的问题，在分形图像识别。{ \it Fund. Math.}，{ \bf 180}（3）：279-292，2003]，可以认为是[On the dimension of self-affine sets and measures with overlaps. { \it Proc. Amer. Math. Soc.}，{ \bf 144}（10）：4427-4440，2016]，[关于三角自仿射集的维数。{ \it Erg.日\& Dynam。Sys.}，出现）。作者。最后给出了所得结果在广义Takagi函数和分形插值函数上的应用。
2020-03-06 math.DS
Growth of heights in piecewise-affine planar maps
我们考虑增长的高度点的轨道（分段）仿射映射的平面，合理的参数。我们分析了全局和局部（$p$ -adic）高度的渐近增长率，用于划分参数的素数$p$。我们证明了几乎所有的点在一个区域的线性（如一个椭圆岛的面积保持映射）有相同的指数增长性率。我们还表明，收敛的$p$ -adic高度可能是不均匀的，任意大的波动发生任意接近任何点。我们探讨数值的行为高度在混乱的地区，在面积保持和耗散系统。
2014-08-19 math.DS
Quiet sigma delta quantization, and global convergence for a class of asymmetric piecewise affine maps
在本文中，我们介绍了一个家庭的二阶Σ-Δ量化方案的模拟到数字转换是“安静”：量化输出保证下降到零的发病消失输入。在这个过程中，我们证明了原点是一个全局吸性不动点的相关家庭的非对称阻尼分段仿射映射。我们的收敛性证明是双重的：首先，我们使用一个Lyapunov型参数构造一个陷阱集;然后，我们利用考虑中的映射的非对称结构来证明从这个陷阱集收敛到原点。
2010-07-15 math.DS math.OC
Topological dynamics of piecewise λ-affine maps
设$-1<λ<1$和$f:[0,1)\to\mathbb{R}$是分段$λ$ -仿射映射，即存在点$0=c_0<c_1<\cdots <c_{n-1}<c_n=1$和实数$b_1,\ldots,b_n$，使得对每个$x\in [c_{i-1},c_i)$都有$f(x)=λx+b_i$.证明了对几乎所有的$δ\in\mathbb{R}$，Lebesgue映射$f_δ=f+δ\,({\rm mod}\,1)$是渐近周期的.更准确地说，$f_δ$最多有$2n$个周期轨道，并且每个$x\in [0,1)$的$ω$ -极限集都是周期轨道。
2016-05-11 math.DS
On the dimension of stationary measures for random piecewise affine interval homeomorphisms
本文研究由两个分段仿射区间同胚构成的 Alsedà–Misiurewicz 随机系统，证明在开参数集上其唯一非原子平稳测度的 Hausdorff 维数严格小于 1，从而得到奇异性，部分回答了 2014 年的一个公开问题。
2023-07-10 math.DS
Hausdorff dimension of the exceptional set of interval piecewise affine contractions
令$I=[0,1)$、$-1<λ<1$和$f\colon I\to I$是区间$I$的分段$λ$ -仿射映射，即，存在将区间$I$划分为$k\geq2$子区间和$b_1,\ldots, b_k\in\mathbb{R}$的分区$0=a_0<a_1<\cdots< a_{k-1}<a_k=1$，使得对于每个$x\in[a_{i-1},a_{i})$和$i=1,\ldots,k$，$f(x)=λx+ b_i$。$f$的例外集$\mathcal{E}_f$是参数$δ\in\mathbb{R}$的集合，使得$R_δ\circ f$不是渐近周期性的，其中$R_δ\colon I\to I$是角度$δ$的旋转。本文证明了$\mathcal{E}_f$的豪斯多夫维数为零.我们得出这一结果从一个更一般的定理关于分段Lipschitz压缩$\mathbb{R}$有独立的利益。
2022-11-25 math.DS
Limit cycles in piecewise-affine gene network models with multiple interaction loops
本文考虑用分段仿射微分方程对基因网络进行建模。我们的工作与任意的衰减率，并表示为连续焦点的对齐条件下的局部假设。系统的交互图可能相当复杂（任何符号的多个复杂循环，多个阈值.）。我们的主要结果是一个替代定理表明，如果一个序列的区域是定期访问的轨迹，然后在我们的假设下，存在一个唯一的稳定的周期解，或原点吸引所有的轨迹在这个序列的区域。这一结果大大扩展了我们以前对单个负反馈回路的研究。我们给出了几个例子和模拟说明不同的情况下。
2009-03-11 math.DS q-bio.MN
Singular cycles connecting saddle periodic orbit and saddle equilibrium in piecewise smooth systems
对于流，连接鞍周期轨道和鞍平衡点的奇异环可能导致所谓的奇异马蹄形，即存在非一致双曲混沌不变集.然而，很难找到一个特定的动力系统，表现出这样的奇异周期一般。本文利用两类分段仿射系统研究了鞍周期轨道所包含的奇异环的存在性：一类是具有只含实特征值的容许鞍点和容许鞍周期轨道的分段仿射系统，另一类是具有容许鞍焦点和容许鞍周期轨道的分段仿射系统。精确地，分别得到了这两类分段仿射系统中仅存在一个异宿环或仅存在两个异宿环的几种充分条件.最后给出了一些算例来说明结果。
2018-08-31 math.DS
Rotation number of 2-interval piecewise affine maps
本文研究了单位区间上图由两个递增线段组成的广义内射映射。这种映射$f_{\p}$由满足不等式的实数的五元组$\p$参数化。将$f_{\p}$看作一个圆映射，证明了它有一个旋转数$ρ(f_{\p})$，并将$ρ(f_{\p})$作为$\p$的函数，用Hecke-Mahler级数表示.作为推论，我们证明了当$\p$的分支是代数数时，$ρ(f_{\p})$是有理数.
2022-12-21 math.DS
Jump-induced mixed-mode oscillations through piecewise-affine maps
混合模式振荡（MMOs）是大振幅弛豫振荡（LAO）与小振幅振荡（SAO）交替的复杂振荡模式。MMO存在于慢-快型常微分方程的奇异摄动系统中，并且通常与这种系统中所谓的折叠奇点和相应的鸭式轨迹的存在有关。在这里，我们介绍了一个典型的家庭的三维慢-快系统，表现出MMO的弛豫型动力学引起的，因此是基于“跳跃机制”，而不是一个更标准的鸭式机制。特别是，我们建立了一个对应关系，家庭和一类相关的一维分段仿射映射（PAM）表现出MMO具有相同的签名。最后，我们给出了一个初步的分类，可容许的混合模式签名，我们用数值例子说明我们的研究结果。
2021-03-09 math.DS
Entropy via multiplicity
研究了分段仿射映射的拓扑熵。结果表明，只有当存在角膨胀时，奇点才可能对熵有贡献，并且我们通过映射的膨胀率来约束熵。作为推论，我们推出非扩张共形分段仿射映射的拓扑熵为零。我们估计分段仿射斜积的熵。异常熵增长的例子。
2005-09-30 math.DS
Periodic solutions of piecewise affine gene network models: the case of a negative feedback loop
本文证明了一类3维及3维以上的分段仿射微分方程在其相互作用结构为负反馈环的情况下，稳定周期轨道的存在性和唯一性。它还表明，相同的系统收敛到一个唯一的稳定的平衡点，在2维。这扩展了Snoussi定理，该定理仅证明了这些轨道的存在。所考虑的一类方程通常作为基因调控网络的模型来研究。没有假设所有的衰变率都是相同的，这在生物学上是不相关的，但在绝大多数以前的研究中已经这样做了。我们的工作依赖于经典的结果单调，凹算子作用于正变量的不动点。此外，所使用的技术很可能适用于更一般的情况，为未来的工作开辟方向。
2006-11-08 math.DS q-bio.QM
Commensurating actions for groups of piecewise continuous transformations
本文利用 Exel 的偏作用构造分段变换群的可公度化作用，借助横贯性质与刚性结果证明分段仿射、分段射影作用可共轭到保持几何结构的模型，并推出性质 T 及圆子群分类结论。
2025-02-17 math.DS math.GR math.GT
Qualitative control of periodic solutions in piecewise affine systems; application to genetic networks
混合系统，特别是分段仿射（PWA）系统，经常被用来建模基因调控网络。在本文中，我们阐述了以前的工作，这类模型的控制问题，也使用一些最近的结果，保证存在性和唯一性的极限环，完全基于离散抽象的系统及其相互作用的结构。我们的目标是控制PWA系统的转移图，以获得振荡行为，这在许多生物网络中确实具有主要的功能重要性;我们展示了如何通过对PWA系统的退化率的混合定性作用来控制唯一稳定极限环的出现或消失，通过静态和动态反馈，即控制子网络的充分耦合。这说明了两个经典的基因网络模块，具有混合反馈回路的结构。
2009-12-02 math.DS math.OC q-bio.GN
Complexity of injective piecewise contracting interval maps
研究了区间上单射分段压缩映射行程的复杂性。我们证明了任何这样的地图的复杂性函数的任何行程最终仿射。我们还证明了复杂性的增长率是有界的，从上面的数量$N-1$的不连续的地图。为了证明这个界是最优的，我们构造了分段仿射压缩映射，其行程都具有复杂性$(N-1)n +1$。在这些例子中，渐近动力学发生在包含所有不连续的最小康托尔集中。
2017-02-13 math.DS
Discrete time piecewise affine models of genetic regulatory networks
我们介绍了简单的模型，基因调控网络，我们进行数学分析，其动态。该模型是由分段仿射收缩映射产生的离散时间动力系统，其变量代表基因表达水平。当与其他模型的监管网络相比，这些模型有一个额外的参数被确定为量化的互动延迟。尽管它们很简单，但它们的动力学表现出丰富多样的行为。这种现象不仅限于分段仿射模型，而且扩展到光滑的非线性离散时间模型的调节网络。在第一步中，我们的分析关注的一般性质的网络上的任意图形（特征的吸引子，符号动力学，李雅普诺夫稳定性，结构稳定性，对称性等）。在第二步中，重点是简单的电路，吸引子和它的变化与参数的描述。在负电路的2个基因，提出了一个彻底的研究，其中涉及稳定的（准）周期振荡的单位圆上的旋转-旋转数连续和单调依赖于门限参数。这些规则振荡存在于具有任意数量基因的负回路中，它们最有可能在具有不可忽略的延迟效应的遗传系统中观察到。
2005-05-03 math.DS nlin.AO q-bio.MN
Conditioning problems for invariant sets of expanding piecewise affine mappings: Application to loss of ergodicity in globally coupled maps
提出了一种系统的方法来构造线性分量为各向同性标度的分段扩张仿射映射的不变多面体并（IUP）。该方法依赖于使用嵌入在轨迹中的经验信息，以推断，然后解决，一个所谓的条件反射问题的一些生成的多面体的集合。一个条件问题包括一系列的要求多面体的本地化和这些元素之间的动态转换。该方法的核心要素是重新制定的问题作为一组分段线性不等式的一些矩阵封装几何约束。这样，原始的拓扑难题就转化为计算几何中的标准问题。这种转换涉及一个优化过程，以确保这两个问题是等效的。作为一个概念的证明，该方法被应用到研究的损失的遍历性的基本例子的全球耦合映射。该研究解释，完成和大大扩展了以前的成果，在这些系统中的非对称IUP。与数值的比较揭示了尖锐的存在条件依赖于地图参数，准确拟合的经验遍历组件。此外，该应用程序还揭示了未预料到的功能条件的问题的解决方案，特别是作为一组可容许的面方向的依赖关系。
2022-09-19 math.DS nlin.CD
Quantisations of piecewise affine maps on the torus and their quantum limits
对于一般的量子系统，本征函数的半经典行为与基础经典系统的遍历性质的关系是很难理解的。本征态的维格纳函数弱收敛于经典系统的不变测度，即所谓的量子极限，人们希望了解哪些不变测度可以以这种方式出现，从而对本征函数的半经典行为进行分类。我们介绍了一类地图上的环面的量子化，我们可以了解一套非常详细的量子极限。特别地，我们可以构造以奇异遍历测度作为量子极限的遍历映射的例子，以及以绝对连续遍历测度的任意凸组合作为量子极限的非遍历映射的例子。我们量化的映射是通过切割和堆叠获得的。
2007-04-20 math-ph math.DS math.MP
Piecewise Linear Hamiltonian Flows Associated to Zero-Sum Games: Transition Combinatorics and Questions on Ergodicity
本文考虑一类轨道为分段直线的分段仿射Hamilton向量场。我们给出了这类系统的第一个分类结果，并表明这类微分方程流的轨道结构是惊人的丰富。
2010-11-24 math.DS
Rotation number and dynamics of 3-interval piecewise $λ$-affine contractions
本文研究3-区间分段$\lambda$-仿射压缩映射族，给定$\lambda$和$d$，确定参数$\delta$和$a$使映射具有指定旋转数，并保证其符号动力学包含相应旋转的符号动力学，从而刻画周期轨道数量与Cantor集吸引子的复杂度。
2025-10-08 math.DS
Symbolic dynamics, shadowing and representation of real numbers with some countably piecewise linear Markov maps
受2022年施韦策竞赛问题启发，研究可数分段线性马尔可夫映射，引入ℓ-马尔可夫分割并关联符号动力学与马尔可夫转移，证明竞赛系统的伪轨跟踪性质，研究有理数轨道及最终周期性，提供示例系统。
2025-08-23 math.DS
Renormalization for piecewise smooth homeomorphisms on the circle
本文研究了作用在圆上分段光滑同胚上的重整化算子，其实质是研究亏格为1的广义区间交换映射的Rauzy-Veech重整化.特别是，我们证明了零平均非线性和满足一定的光滑性和组合假设的重正化的映射收敛到一组分段仿射区间交换映射。
2012-09-18 math.DS
Global Dynamics for Steep Sigmoidal Nonlinearities in Two Dimensions
我们介绍了一种新的方法来获得数学上严格的结果的全球常微分方程的动力学。受调节网络模型的启发，我们从一个分段仿射常微分方程构造了一个状态转移图。我们使用高效的图形算法来计算相关的莫尔斯图，编纂的经常性和梯度的动态。我们证明了对于2维系统，Morse图定义了一个Morse分解的任何光滑微分方程的动力学是足够接近原来的分段仿射常微分方程。
2015-08-10 math.DS
Smooth Livsic regularity for piecewise expanding maps
我们考虑了上同调方程\[ ϕ= χ\circ T -χ, \]的可测解$χ$的正则性，其中$(T,X,μ)$是一个动力系统，$ϕ\colon X\rightarrow \R$是一个$C^k$值的上循环，其中$T \colon X\rightarrow X$是一个分段$C^k$ Gibbs-Markov映射，单位区间的仿射$β$ -变换，或者更一般地是一个区间的分段$C^{k}$均匀扩展映射.我们表明，在温和的假设下，有界解$χ$拥有$C^k$版本。特别地，我们证明了如果$(T,X,μ)$是$β$ -变换，则$χ$具有$C^k$版本，从而改进了Pollicott等人的结果。\cite{Pollicott-Yuri}。
2010-07-23 math.DS
Dynamics of piecewise increasing contractions
令$I_1=[a_0,a_1),\ldots,I_{k}= [a_{k-1},a_k)$是将区间$I=[0,1)$划分为$k$子区间的划分。设$f:I\to I$是一个映射，使得每个限制$f|_{I_i}$是一个递增的Lipschitz收缩。我们证明了任何$f$承认在最$k$周期轨道，其中上界是尖锐的。我们还对分段线性$λ$ -仿射映射的动力学问题感兴趣，其中PDMATHAMT.令$b_1,\ldots,b_k$为实数，并令$F_λ: I\to \mathbb{R}$为函数，使得每个约束$F_λ|_{I_i}(x)=λx +b_i$。在参数$a_1,\ldots,a_{k-1},b_1,\ldots,b_k$的一般性假设下，证明了直到Hausdorff维数为零的$λ$的斜率集，分段$λ$ -仿射映射$f_λ:x\in I \mapsto F_λ(x)\pmod{1}$在每一点的$ω$ -极限集都等于一个周期轨道，且至多存在$k$周期轨道.此外，设$\mathfrak{E}^{(k)}$是定义非渐近周期$f$的参数$λ,a_1,\ldots,a_{k-1},b_1,\ldots,b_k$的例外集，证明了$\mathfrak{E}^{(k)}$是Hausdorff维数大于或等于$k$的Lebesgue零测度集.
2021-03-15 math.DS
On arithmetic progressions in non-periodic self-affine tilings
我们研究了R^d中自仿射镶嵌中面片的重复。特别地，我们研究了等差数列的存在性和不存在性。我们首先证明了自仿射拼接的扩张映射的算术条件隐含着某些一维等差数列的不存在性。其次，我们证明了满秩无穷等差数列、纯离散动力谱和极限周期的存在性对于某类自仿射镶嵌是等价的。最后，我们给出了R^d中自相似镶嵌中满秩无限等差数列的存在性/不存在性的一个完整的图像。
2021-03-30 math-ph math.DS math.MG
