Limit cycles of a class of piecewise smooth Liénard systems
研究了两个多参数Liénard型分段多项式系统的极限环分支问题。基于Melnikov函数理论，我们得到了这两个系统的最大极限环个数.
2015-11-22 math.DS
Some contributions on Melnikov chaos for smooth and piecewise-smooth planar systems: "trajectories chaotic in the future"
本文针对光滑与分段光滑平面系统，利用Melnikov理论证明在周期扰动下存在仅在将来（或过去）混沌的轨迹集合，并给出其直径上界，为无滑动时经典混沌的存在奠定基础。
2025-09-10 math.DS
Global dynamics and unfolding of planar piecewise smooth quadratic quasi-homogeneous differential systems
本文研究了平面分段光滑二次拟齐次非齐次多项式微分系统的全局动力学和分支。给出了分段光滑二次拟齐次系统中心存在的充分和必要条件。而且，如果中心存在，则它是全局非等距的，这在光滑二次拟齐次系统中是不可能出现的。然后研究了分段光滑二次拟齐次非齐次系统的全局结构。最后研究了分段光滑二次拟齐次中心的极限环分支，并应用Melnikov方法对分段光滑近哈密顿系统给出了从中心的周期轨道分支出的极限环的最大个数.
2017-08-11 math.DS
Zeros of complete elliptic integrals and its application to Melnikov functions
School of Mathematical Sciences, Tianjin Normal University（天津师范大学数学科学学院）
本文研究了完全椭圆积分的零点上界，并将其应用于哈密顿三角形在小扰动下的不变直线分析。
2026-03-11 math.DS
Limit Cycles Bifurcating from a Periodic Annulus in Discontinuous Planar Piecewise Linear Hamiltonian differential System with Three Zones
本文研究了由两条平行直线分隔的三个区域的间断平面分段线性Hamilton微分系统从周期环分支出的极限环的个数。证明了如果中心子系统，即定义在两条平行线之间的系统有实中心，而其它子系统有中心或鞍点，则周期环扰动后至少有三个极限环.为此，我们研究了分段哈密顿系统的Melnikov函数零点的个数，并给出了该系统的一个标准形，以简化计算。
2021-09-21 math.DS
Generic behavior of a piecewise smooth vector field with non-smooth switching surface
本文讨论了当开关集是代数簇时，$2D$分片光滑向量场典型奇异点的一般局部分类问题。主要的重点是获得分类结果有关的结构稳定性和一般余维1分叉。
2016-11-11 math.DS
On the number of limit cycles bifurcating from the linear center with an algebraic switching curve
本文研究平面上两段被开关曲线$y=x^{m}$分隔的分段线性微分系统族，其中$m>1$是任意正的.通过对一阶Melnikov函数的分析，给出了在$n$次多项式扰动下，从原点周围的周期环分支出的最大极限环个数的上界和下界.结果表明，开关曲线的切换程度影响极限环的个数。
2020-12-07 math.DS
On the number of limit cycles for Bogdanov-Takens system under perturbations of piecewise smooth polynomials
本文研究了Bogdanov-Takens系统（$\dot{x}=y$，$\dot{y}=-x+x^{2}$）在分段光滑多项式$2$和$n$扰动下的极限环分支.本文给出了一阶Melnikov函数的零点个数的界，该函数控制从中心分叉出的极限环的个数。证明了开关曲线$x=y^{2m}$（$m$为正积分）的极限环个数的上界为$(39m+36)n+77m+21(m\geq 2)$和$50n+52(m=1)$（考虑多重性）.开关线$x=0$和$y=0$的极限环的上限数为11（考虑多重性），可以达到。
2021-08-23 math.DS
Limit cycles in piecewise smooth systems with circular switching manifold
UFMG（米纳斯吉拉斯联邦大学）；UNESP（圣保罗州立大学）；UAB（巴塞罗那自治大学）
研究分段光滑系统中极限环的性质，利用莫比乌斯变换建立圆状与直线状不连续性的等价性，通过二阶平均和李雅普诺夫量得出极限环数量的下界，并证明分段反全纯系统中极限环的上界，同时构造了显式代数极限环。
2026-04-28 math.CA math.CV math.DS
Local bifurcations in a class of piecewise-smooth Filippov systems with a nonregular switching curve via a nonlinear double regularization process
Universidade Estadual Paulista Julio de Mesquita Filho（圣保罗州立大学）；Universidade de São Paulo（圣保罗大学）；Universitat Autònoma de Barcelona（巴塞罗那自治大学）
本文通过非线性双正则化过程研究一类具有非规则切换曲线的分段光滑Filippov系统中局部分岔的保持与变化
2026-02-04 math.DS
On the number of limit cycles for generic Lotka-Volterra system and Bogdanov-Takens system under perturbations of piecewise smooth polynomials
本文研究一般L-V系统（$\dot{x}=y+x^2-y^2\pm\frac{4}{\sqrt{3}}xy,~\dot{y}=-x+2xy$）和B-T系统（$\dot{x}=y,~\dot{y}=-x+x^2$）在$n$次分段光滑多项式扰动下的极限环分支.这里的开关线路是$y=0$。利用Picard-Fuchs方程，给出了控制从中心分支出的极限环个数的一阶Melnikov函数的零点个数的界.证明了一般L-V系统和B-T系统的极限环个数的上界分别为$36n-65~(n\geq4),~37,57,93~(n=1,2,3)$和$12n+6$ .
2018-05-26 math.DS
On the number of limit cycles bifurcating from the linear center with an algebraic switching curve
本文研究平面上两段被三次曲线隔开的分段线性微分系统族。通过对所得到的一阶Melnikov函数的分析，给出了在$n$次多项式扰动下从原点周围的周期环分叉出的极限环个数的一个上界.在$n=1$和2的情况下，我们得到了从周期环分别有3个和6个极限环分叉。结果表明，开关曲线影响极限环出现的次数。
2020-01-20 math.DS
Limit cycles bifurcating from periodic integral manifold in non-smooth differential systems
本文将Melnikov方法推广到具有非线性切换流形和一般周期积分流形的高维非光滑自治微分系统，研究从周期积分流形分支出的极限环，并通过实例验证了结果的适用性。
2024-09-03 math.DS
Bifurcation of limit cycles from a quadratic global center with two switching lines
本文将Picard-Fuchs方程方法推广到研究具有两条开关线的扰动微分系统的极限环分支。利用Picard-Fuchs方程，得到了相应的一阶Melnikov函数的详细表达式，该函数可用于确定扰动系统的极限环个数的上界.值得注意的是，我们大大简化了计算，而且这种方法也可用于研究其他具有两条开关线的微分系统的极限环个数。我们的结果还表明，开关线的数量有本质上的影响极限环从一个周期环分叉的数量。
2018-10-07 math.DS
On the number of limit cycles for polycycles $S^{(2)}$ and $S^{(3)}$ in quadratic Hamilton systems under perturbations of piecewise smooth polynomials
本文利用Picard-Fuchs方程和Chebyshev准则，研究了二次Hamilton系统$S^{(2)}$和$S^{(3)}$：$\dot{x}= y+2axy+by^2$，$\dot{y}=-x+x^2-ay^2$和$a\in(-\frac{1}{2},1)$，$b=(1-a)(1+2a)^{1/2}$以及$a=1$，$b=0$在$n$次分段光滑多项式扰动下的极限环分支.不连续性是$y=0$线。本文给出了一阶Melnikov函数的零点个数的界，该函数控制从中心分叉出的极限环的个数。证明了$S^{(2)}$和$S^{(3)}$的极限环个数的上界分别为$25n+161$ $(n\geq3)$和$24n+126$ $(n\geq3)$（考虑多重性）.
2019-10-09 math.DS
On the Piecewise Holomorphic Systems with Three Zones
该研究针对三类不连续集构型的三区分段全纯光滑系统，结合Melnikov方法等工具，建立了极限环存在性条件并给出其最大数量的下界，推动了分段光滑动力系统极限环理论研究。
2025-09-01 math.DS
Limit cycles appearing from the perturbation of differential systems with multiple switching curves
研究了一类具有代数曲线$y=\pm x^2$分隔的四个区域的分段近Hamilton系统的极限环分支问题。通过对所得到的一阶Melnikov函数的分析，给出了在$n$-次多项式扰动下从原点周围的周期环分叉出的极限环个数的一个上界.在$n=1$的情况下，我们得到至少4（分别为）3)如果开关曲线是$y=\pm x^2$，则极限环可以从周期环分叉（分别为$y=x^2$或$y=-x^2$）。研究结果还表明，开关曲线的个数影响极限环的个数。
2019-06-21 math.DS
Upper bound for the number of limit cycles for symmetric piecewise linear differential equations with three zones
Universidad de Extremadura（埃斯特雷马杜拉大学）；Universidad de Sevilla（塞维利亚大学）
本文研究三区对称标量分段线性微分方程，证明极限环数量有限，并利用Melnikov理论得出小扰动下极限环数为一、三或五，支持至多五个的猜想。
2026-10-12 math.CA math.DS
Bifurcations of limit cycles in piecewise smooth Hamiltonian system with boundary perturbation
本文研究边界扰动下分段光滑哈密顿系统，推导了Melnikov函数表达式，并证明极限环数量等于扰动函数正零点个数。
2019-12-20 math.DS
Limit Cycles Appearing from a Generalized Heteroclinic Loop with an Elementary Saddle and a Nilpotent Saddle by Perturbing Piecewise Hamiltonian Systems
本文研究了一类一般拟哈密顿系统在具有初等鞍和幂零鞍的异宿环附近的极限环分支。首先，我们考虑了未扰动系统的行为，利用相关的定性理论给出了系统的相图和出现具有初等鞍点和幂零鞍点的异宿环的必要条件。然后，考虑一阶Melnikov函数的表达式，利用阿贝尔积分的一些技巧和性质，导出了它在异宿环附近的展开式.最后，我们研究了展开式的系数，证明了在扰动下至少存在$4[\frac{n+1}{2}]+1$极限环。
2022-12-05 math.DS
Emergence of Multiple Crossing Limit Cycles in Planar Piecewise Systems with Isochronous Centers and Nonsmooth Switching Manifolds
Instituto de Matemática Pura e Aplicada（巴西纯粹与应用数学研究所）
研究平面分段系统中多重交叉极限环的产生机制，通过非光滑切换流形增强动力学复杂性，推导出交叉极限环数量的上界并构造实例。
2026-04-21 math.DS
On cyclicity in discontinuous piecewise linear near-Hamiltonian differential systems with three zones having a saddle in the central one
研究由两平行直线分三区且中心区含鞍点的不连续分段线性近哈密顿系统，通过线性扰动从周期环域分岔出的极限环数量，证明其最大数量至少为6个。
2022-12-01 math.DS
Simultaneous occurrence of sliding and crossing limit cycles in piecewise linear planar vector fields
在本研究中，我们考虑平面分段线性向量场的两个区域由直线$x=0$。我们的目标是研究这类向量场同时交叉和滑动极限环的存在性。首先，我们为这些系统提供了一个标准型，假设每个线性系有中心，一个真正的一个为$y<0$和一个虚拟的一个为$y>0$，并使真正的中心是一个全球中心。然后，利用一阶分段线性扰动，得到了具有三个交叉极限环的分段线性微分系统。其次，我们看到，一个滑动周期可以检测后，二阶分段线性扰动。最后，在存在滑动极限环的条件下，证明了只能出现一个额外的交叉极限环。此外，我们还刻画了高振幅极限环和无穷大点的稳定性。在我们的证明中使用的主要技术是Melnikov方法，具有正精度的扩展Chebyshev系统，和Bendixson变换。
2021-10-07 math.DS
Stochastically Perturbed Sliding Motion in Piecewise-Smooth Systems
滑动运动是一个不连续的，分段光滑的常微分方程系统的切换流形上的演化。本文定量地研究了小振幅加性高斯白噪声对稳定滑动运动的影响。对于在平行于切换流形的方向上是静态的方程，轨道到切换流形的距离接近准稳态密度。从这个密度，我们计算的平均值和方差的近滑动的解决方案。继电器控制系统的数值结果表明，噪声会显著影响滑动段周期解的周期和振幅。
2012-04-25 math.DS
The stability of fixed points on switching manifolds of piecewise-smooth continuous maps
本文研究了$\mathbb{R}^d$上的分段光滑映射，这些映射在切换流形上连续但不可微（其中映射的函数形式改变）。在单侧导数局部有界的情形下，研究了切换流形上不动点的稳定性。可微性的缺乏使得不动点成为Milnor吸引子，尽管它是不稳定的。出于这个原因，除了标准的稳定性概念外，还考虑了测量论的稳定性概念。局部的映射是很好的近似的分段线性映射，是线性齐次的不动点是在原点。对于一类连续线性齐次映射及其$o({\bf x})$扰动，得到了原点指数稳定的一个充分条件.它示出了如何稳定的起源可以通过分析不变的概率测度的$\mathbb{S}^{d-1}$上的地图来确定。结果以二维边界碰撞范式为例进行了说明。即使映射的两个光滑分量都是面积扩张的，不动点也可能是渐近稳定的，即使它是$\mathbb{R}^d$中几乎所有点的$ω$极限集，也可能是不稳定的。
2016-12-09 math.DS
Bifurcation of Limit Cycles from a Periodic Annulus Formed by a Center and Two Saddles in Piecewise Linear Differential System with Three Zones
本文研究了具有三个被两条平行直线隔开的区域的不连续平面分段线性Hamilton微分系统，使得定义分段线性Hamilton微分系统的线性微分系统具有一个中心和两个鞍点，可以从周期环分支出的极限环的个数.也就是说，在两条平行线之间的区域中的线性微分系统（即中心子系统）具有中心，并且其它子系统具有鞍。我们证明了，如果中心子系统有一个真正的或边界中心，那么我们至少有六个极限环分叉的周期环的线性扰动，四个通过三个区域和两个通过两个区域。现在，如果中心子系统有一个虚中心，那么我们至少有四个极限环通过线性扰动从周期环分叉，三个通过三个区域，一个通过两个区域。为此，我们得到了这类分段哈密顿系统的规范形，并研究了其Melnikov函数在两区和三区的零点个数
2022-07-11 math.DS
Limit cycles of piecewise smooth vector fields on torus with non-regular switching manifold
本文研究二维环面上分段光滑向量场的交叉极限环最大数量，基于n次多项式首次积分假设，运用代数曲线相交方法获得精确上界，并构造实例证明其最优性。
2025-08-12 math.DS
Study of periodic orbits in periodic perturbations of planar reversible Filippov systems having a two-fold cycle
研究了一类由可逆分段光滑微分系统的非自治周期扰动得到的平面Filippov系统周期解的存在性。假设未扰动系统是一个简单的二重循环，其特征是一个封闭的轨迹连接一个可见的二重奇点。证明了在一定的一般条件下，摄动系统存在滑动周期解和交叉周期解。为了得到我们的结果，Melnikov的想法一起应用的工具，从几何奇异扰动理论。最后，研究了扰动的分段哈密顿模型。
2020-06-12 math.DS
Small limit cycles bifurcating in pendulum systems under trigonometric perturbations
本文研究三角摄动下摆系统原点附近的小振幅极限环分岔问题，推导了两类摄动多项式对应的一阶Melnikov函数正零点个数的精确上界。
2023-10-08 math.DS
Crossing limit cycles of discontinuous piecewise differential systems with nilpotent saddles separated by a nonregular line
Instituto de Matemática Pura e Aplicada（巴西数学纯应用研究所）
研究由非正则切换线分隔的平面不连续分段微分系统的穿越极限环，其中子系统为线性微分中心和六类哈密顿幂零鞍系统之一，证明最多存在七个穿越极限环，并给出每个族具有四个穿越极限环的显式例子。
2026-05-22 math.DS
On absolute continuity of invariant measures associated with a piecewise-deterministic Markov processes with random switching between flows
本文研究了生物模型中分段确定性 Markov 过程平稳分布的绝对连续性，该过程由 Poisson 过程跳跃和连续半流切换组成，提出了一组可验证条件，证明其不变分布具有关于 Lebesgue 测度的密度。
2021-02-18 math.DS math.PR
Exponential ergodicity in the bounded-Lipschitz distance for a subclass of piecewise-deterministic Markov processes with random switching between flows
本文研究了一类在流之间随机切换的分段确定性马尔可夫过程，提出了仅依赖流性质和跳跃后位置转移律的可验证条件，以保证其在有界Lipschitz距离下的指数遍历性，并为适用于生物模型的特例建立了简单判据。
2021-02-19 math.DS math.PR
Non-isochronicity on piecewise Hamiltonian differential systems with homogeneous nonlinearities
本文针对具有直线切换线和齐次非线性哈密顿子系统的平面分段光滑微分系统，证明了其Σ-中心的非等时性。
2024-01-20 math.DS
On the Hilbert number for piecewise linear vector fields with algebraic discontinuity set
希尔伯特第十六问题的第二部分在于确定平面多项式向量场的次数为$n$的极限环数目的上限$\mathcal{H}(n)$。对于$n\geq2$，仍然不知道$\mathcal{H}(n)$是否是有限的。到目前为止所取得的主要成就确立了$\mathcal{H}(n)$的下限。关于渐近行为，最好的结果是$\mathcal{H}(n)$与$n^2\log(n)$增长一样快。在研究文献中已知$n$的小值的更好的下限。在A. Gasull，问题18提出了另一个希尔伯特第十六型问题，即改进$\mathcal{L}(n)$的下界，$n\in\mathbb{N}$，其被定义为具有由次数$n$的代数曲线的分支分离的两个区域的平面分段线性微分系统可以具有的极限环的最大数目。到目前为止，$\mathcal{L}(n)\geq [n/2],$ $n\in\mathbb{N}$是最著名的一般下界。同样，在研究文献中已知$n$的小值的更好的下限。本文利用最近发展起来的二阶Melnikov方法，对非线性不连续流形的非光滑系统，证明了$\mathcal{L}(n)$的增长与$n^2.$一样快。这将通过提供$\mathcal{L}(n)$的下界来实现，它改进了以前对$n\geq 4$的估计。
2022-01-06 math.DS
Bifurcation of limit cycles from the global center of a class of integrable non-Hamilton system under perturbations of piecewise smooth polynomials
本文利用切换线$y=0$扰动三次分段光滑多项式内的平面多项式向量场$\mathcal{X}(x,y)=(-y(x^2+a^2),x(x^2+a^2))$（$a\neq0$）的全局中心.利用一阶平均函数，证明了周期环分叉出的极限环个数的更精确界为6。
2019-04-11 math.DS
Monodromy and Dulac's Problem for Piecewise analytical planar vector fields
考虑具有$0$作为其正则值的解析函数$f:V\subset\mathbb R^2\rightarrow\mathbb R$、切换流形$Σ=f^{-1}(0)$和分段解析向量场$X=(X^+,X^-)$（即$X^\pm$）是定义在$Σ^\pm=\{p\in V: \pm f(p)>0\}$上的解析向量场。我们刻画了向量场$X$在$Σ$中存在单值奇点的情形，称之为$Σ$ -单值奇点.在一定条件下，证明了$X$的$Σ$ -单值奇点存在一个无极限环的邻域.
2023-02-19 math.DS
Twenty Hopf-like bifurcations in piecewise-smooth dynamical systems
对于许多物理系统，从稳态解到持续的小振幅振荡的过渡对应于Hopf分岔。然而，对于涉及冲击、阈值、开关或其他突发事件的系统，这种转变可以以根本不同的方式实现。本文综述了20个具有状态依赖切换规则的二维常微分方程系统的“类霍普夫”分支。这些分岔包括边界平衡分岔、平衡点或折叠点的碰撞或稳定性的改变以及由滞后或时滞产生的极限环。在每种情况下，一个稳定的解决方案改变稳定性和可能的形式，并发出一个极限环。每个分支定量分析的一般设置：我们确定的数量，支配的发病，临界性和通用性的分歧，并确定所产生的极限环的周期和振幅的标度律。基于庞加莱映射的渐近展开，提供了完整的推导。其中许多是新的，以前只对分段线性系做过。分叉整理和比较，使动态观测可以匹配的几何机制负责创建一个极限环。结果与冲击振荡器，继电器控制，自动平衡控制，捕食系统，海洋环流，和McKean和Wilson-Cowan神经元模型。
2019-05-03 math.DS
The stability of boundary equilibria of three-dimensional Filippov systems
Massey University（梅西大学）
本文研究了三维Filippov系统中边界平衡点的稳定性，通过分析四参数族分段线性混合系统的再注入机制，揭示了稳定性决定因素。
2026-02-09 math.DS nlin.CD
Slow--fast systems and sliding on codimension 2 switching manifolds
在这项工作中，我们考虑分段光滑向量场$X$定义在$\R^n\setminus Σ$，其中$Σ$是一个自相交切换流形。$X$的双重正则化是一个2参数光滑向量场族$X_{\e.η}$，$\e,η>0,$满足$X_{\e,η}$在$\R^n\setminusΣ$上逐点收敛到$X$，当$\e,η\rightarrow 0$ .定义$Σ$非正则部分上的滑动区域为$X_{\e.η}$不变流形的极限。由于双重正则化提供了一个慢-快的系统，几何奇异扰动理论是我们的主要工具。
2018-08-23 math.DS
Bifurcation analysis of a smoothed model of a forced impacting beam and comparison with an experiment
本文从第一性原理出发，建立了具有局部质量和对称止动块的垂直悬臂梁的单自由度分段线性模型。通过一个开关函数（非线性同伦）来平滑所得到的分段线性动力系统。对于所选择的平滑函数，它示出的平滑可以诱导分叉在某些参数制度。这些诱导的分叉消失时，充分的切换和日益本地化的影响变得更加困难。通过驱动频率和/或强迫振幅的周期轨道的一个和两个参数的延续的碰撞振子响应的分岔结构进行了研究。计算结果与实验测量值吻合较好。
2013-08-16 math.DS
The Infinitesimal Phase Response Curves of Oscillators in Piecewise Smooth Dynamical Systems
极限环的稳定流形中的初始点$x$的渐近相位$θ$将流动$ϕ_t(x)$收敛到的极限环上的点的相位标识为$t\to\infty$。无穷小相位响应曲线（iPRC）量化了由于极限环轨迹的小扰动而引起的时序变化。对于光滑动力系统中的稳定极限环，iPRC是相函数的梯度$\nabla_x(θ)$，其可以通过变分方程的伴随来获得。对于具有不连续动态的系统，获得iPRC的标准方法失败。本文导出了任意维分段光滑（Filipov）动力系统在横向流动条件下极限环的无穷小相响应曲线（iPRC）公式。iPRC中的不连续跳跃可以发生在分隔子域的边界处，并且由线性匹配条件捕获。匹配矩阵$M$可以从相关的变分问题中产生的突变矩阵导出。对于远离开关边界的线性动力学的特殊情况下，我们得到了一个明确的表达的iPRC。我们提出了来自细胞生物学（玻璃网络）和神经科学（中央模式发生器模型）的例子。我们应用所得到的iPRC研究分段光滑极限环系统的同步和锁相，在该系统中，同步仅仅是由于切换流形的交叉而产生的。
2018-04-12 math.DS
Planar constant piecewise smooth vector fields with large hysteresis
IBILCE–UNESP（巴西圣保罗州立大学伊比拉塞普学院）；UFSCar（联邦圣卡洛斯大学）
针对应用中广泛使用但缺乏极限集理论基础的滞后控制系统，本文在平面情形下分析两个线性向量场和两个切换边界，分类其极限集。
2026-06-19 math.DS
Regularity of the stationary density for systems with fast random switching
我们考虑了由紧集上的光滑向量场的有限集所产生的流之间的随机切换所得到的分段确定的马尔可夫过程。我们得到的向量场的Hörmander型条件，保证平稳密度是：$C^k$每当跳跃率足够快，任何$k<\infty$ ;无界每当跳跃率足够慢，较低的半连续的跳跃率无关。我们的证明是概率的，依赖于一个新的应用程序的停时。
2023-02-12 math.AP math.DS math.PR
Chaotic attractors from border-collision bifurcations: stable border fixed points and determinant-based Lyapunov exponent bounds
在分段光滑映射中，不动点与切换流形（或边界）的碰撞可以产生许多不同类型的不变集。本文探讨了两种技术的结合，建立一个混沌吸引子产生在边界碰撞分岔$\mathbb{R}^d$ $(d \ge 1)$。首先，渐近稳定性的不动点在分歧的特点，并暗示一个本地吸引子创建。其次，由与不动点相关的单边雅可比矩阵的行列式得到最大李雅普诺夫指数的下界。特别注意的是，以适应点的前向轨道相交的开关流形，因为这样的交叉点可以有一个稳定的效果。将结果应用于二维边界碰撞范式，重点是参数值的地图是分段面积扩大。
2019-11-11 math.DS
Existence of n-cycles and border-collision bifurcations in piecewise-linear continuous maps with applications to recurrent neural networks
分段线性循环神经网络（PLRNN）是时间序列预测和动力系统识别的许多成功机器学习应用的基础，但对其动力学和性质的严格数学分析却相对滞后。在这里，我们有助于这一主题的存在性的n-圈$(n\geq 3)$和边界碰撞分支的一类n维分段线性连续映射，具有一般形式的PLRNN。这一点特别重要，因为对于一维映射，3-圈的存在意味着混沌。结果表明，这些n-圈在边界碰撞分岔中与开关边界发生碰撞，并从理论上推导出稳定和不稳定n-圈及边界碰撞分岔的参数区域.然后，我们将讨论如何将我们的结果扩展并应用于PLRNN。最后，数值模拟证明了我们的结果的实施，并发现与理论推导是一致的。因此，我们的研究结果为理解PLRNN中的周期性行为，它如何出现在分叉中以及它如何导致混沌提供了基础。
2020-07-01 math.DS
Hopf-like boundary equilibrium bifurcations involving two foci in Filippov systems
本文研究二维Filippov系统--一维切换流形上不连续的常微分方程。在参数变化时，稳定焦点通过与切换流形碰撞而转变为不稳定焦点的情况下，建立了产生唯一局部极限环的简单充分条件.如果违反了这个条件，则可以同时创建三个嵌套的极限环。结果是通过构建一个庞加莱映射和概括的分析参数，已被用于连续系统。还确定了伪平衡点（切换流形上滑动运动的平衡点）存在的充要条件。为了简单起见，只考虑分段线性系。
2018-12-10 math.DS
Classifications and bifurcations of tangent points and their loops of planar piecewise-smooth systems
本文针对平面分段光滑系统中切点及其连接环，提出按切触阶数和构型进行分类，并通过构造显式开折研究一般切触阶数下的分岔，得到了切触阶数与分岔切点、切轨道及环数目之间的关系。
2024-04-30 math.DS
Bifurcations of grazing loops of arbitrary tangent multiplicity in piecewise-smooth systems
School of Mathematics, Sichuan University（四川大学数学学院）；School of Mathematics, China University of Mining and Technology（中国矿业大学数学学院）；School of Mathematics, Southwestern University of Finance and Economics（西南财经大学数学学院）
研究分段光滑系统中 grazing 循环在任意切乘数下的分支特性，提出新的函数扰动方法和局部化技术，建立切乘数与极限环、滑动环数量的关系。
2026-05-07 math.DS
How to compute multi-dimensional stable and unstable manifolds of piecewise-linear maps
本文提出用凸多胞形精确表示分段线性映射的稳定与不稳定流形，通过迭代细分计算，并用于可视化三维边界碰撞正规形的吸引子与分岔，识别出异维环及同宿切触类似物。
2023-10-15 math.DS nlin.CD
Detecting invariant expanding cones for generating word sets to identify chaos in piecewise-linear maps
我们展示了如何存在的三个对象，$Ω_{\rm trap}$，${\bf W}$，$C$，连续分段线性映射$f$上$\mathbb{R}^N$，意味着$f$有一个拓扑吸引子与正的李雅普诺夫指数。首先，$Ω_{\rm trap} \subset \mathbb{R}^N$是$f$的捕获区。其次，${\bf W}$是一个有限的字集，它对$Ω_{\rm trap}$中所有点的前向轨道进行编码。最后，$C \subset T \mathbb{R}^N$是由${\bf W}$中的词形成的$f$的组合的导数的不变扩展锥。我们开发了一个算法，确定这些对象的二维同胚由两个仿射片。主要工作是明确构造$Ω_{\rm trap}$和$C$。它们的存在性一般等价于一组可计算条件。这导致在整个相对较大的参数空间政权的计算机辅助证明混乱。我们还观察到如何失败的$C$扩展可以符合一个分支的$f$。李雅普诺夫指数使用单侧方向导数进行评估，以便与切换流形相交的前向轨道（其中$f$不可微）可以包括在分析中。
2020-10-16 math.DS
Cyclicity of sliding cycles in regularizations of piecewise linear two-folds
Hasselt University（哈瑟尔特大学）；Technical University of Denmark（丹麦技术大学）；University of São Paulo (USP)（圣保罗大学）；Universidade de Brasília（巴西利亚大学）
本文研究分段线性双折叠正则化中滑动环的环数，通过慢散度积分零点与辅助系统极限环的关联，证明环数以二为界，并给出可见折叠存在两个极限环的充要条件。
2026-09-17 math.DS
On Structural Stability of 3D Filippov Systems: A Semi-Local Approach
这项工作的主要目的是提供一个非本地的方法来研究方面的结构稳定性的三维Filippov系统。我们引入了半局部结构稳定性的概念，它检测当一个分段光滑的向量场是强大的整个切换流形，我们给这样的系统的一个完整的表征。特别是，我们提出了一些方法，在定性理论的分段光滑向量场，强调几何分析的叶理所产生的轨道。这种方法显示出令人惊讶的丰富的动力学行为，已在这项工作中详细研究。值得一提的是，这一问题最近没有处理从非本地的角度来看，我们希望在这项工作中采用的方法有助于理解的结构稳定性分段光滑向量场在其最全球意义上。
2017-08-20 math.DS
Threshold dynamics and ergodicity of an SIRS epidemic model with Markovian switching
研究了一类具有非线性发生率和变总体规模的随机SIRS传染病模型的传播动力学，该模型表示为分段确定的马尔可夫过程.由基本再生数$\mathcal{R}_{0}$确定的阈值动态被建立：如果$\mathcal{R}_{0}<1$，疾病几乎肯定可以被根除，而如果$\mathcal{R}_{0}>1$，疾病几乎肯定会持续存在。推广了已有的分析种群系统遍历性态的方法。改进的方法弱化了所需的条件，并且对所考虑的系统的环境状态的数量和维度都没有限制。当$\mathcal{R}_{0}>1$时，得到了一个平稳概率测度的存在性。在适当的条件下，证明了系统的$Ω$ -极限集的全局吸引性和系统的全变差收敛于平稳测度.
2017-07-20 math.DS
An Efficient Symbolic Algorithm for Computing Lyapunov Constants in Planar Switching Systems
School of Mathematical Sciences, Beijing Normal University（北京师范大学数学科学学院）；College of Mathematics and Physics, Beijing University of Chemical Technology（北京化工大学理学院）
本文提出一种基于Laurent多项式的代数符号算法，通过代数运算替代符号积分高效计算平面切换系统的Lyapunov常数，并应用于广义切换四次Liénard系统（证明10个极限环）和Alpazur振荡器电路，验证了方法的有效性与实用性。
2026-09-16 math.DS
