On the number of limit cycles bifurcating from the linear center with an algebraic switching curve
本文研究平面上两段被三次曲线隔开的分段线性微分系统族。通过对所得到的一阶Melnikov函数的分析，给出了在$n$次多项式扰动下从原点周围的周期环分叉出的极限环个数的一个上界.在$n=1$和2的情况下，我们得到了从周期环分别有3个和6个极限环分叉。结果表明，开关曲线影响极限环出现的次数。
2020-01-20 math.DS
Limit Cycles in a Model of Olfactory Sensory Neurons
提出了一种研究解析系统或光滑系统中中心流形上的小极限环分支的方法。然后，我们将其应用到极限环分岔的调查模型中的钙振荡的嗅觉感觉神经元的纤毛，并表明它可以有两个极限环：一个稳定的周期后出现的Bautin（广义Hopf）分岔和一个不稳定的周期后出现的亚临界Hopf分岔。
2018-10-27 math.DS
Generation of and Switching among Limit-Cycle Bipedal Walking Gaits
在本文中，我们提供了一种方法来产生一个连续的极限环使用一个单一的预先计算的指数稳定极限环设计的混合零动态框架内。给出了这些极限环存在性和稳定性的保证。我们推导出的分析约束，确保有界的状态下任意切换之间的一有限集的极限环从连续提取。这些极限环用于改变欠驱动平面双足模型的速度，同时满足所有建模约束，如饱和扭矩和摩擦系数，以可证明正确的方式。建立了允许极限环转换的强连通有向图，得到了速度变化在0.42-0.81 m/s范围内的有效极限环转换。
2017-03-21 math.DS
Emergence of Multiple Crossing Limit Cycles in Planar Piecewise Systems with Isochronous Centers and Nonsmooth Switching Manifolds
Instituto de Matemática Pura e Aplicada（巴西纯粹与应用数学研究所）
研究平面分段系统中多重交叉极限环的产生机制，通过非光滑切换流形增强动力学复杂性，推导出交叉极限环数量的上界并构造实例。
2026-04-21 math.DS
Limit cycles appearing from the perturbation of a cubic isochronous center
本文研究三次等时中心 $S^*_2$ 在任意多项式扰动下的极限环分支问题，并利用阿贝尔积分方法给出了极限环数量的上界。
2025-03-12 math.DS
Limit cycles in refracted Hamiltonian systems with a straight switching line
本文提出一个基于线积分中函数的充分条件准则，用于判定切比雪夫性质，并应用于由直线分隔的两个哈密顿系统构成的折射系统，以研究其极限环数量，最后展示新结果验证准则有效性。
2023-11-16 math.DS
Limit cycles of piecewise smooth vector fields on torus with non-regular switching manifold
本文研究二维环面上分段光滑向量场的交叉极限环最大数量，基于n次多项式首次积分假设，运用代数曲线相交方法获得精确上界，并构造实例证明其最优性。
2025-08-12 math.DS
Switching to nonhyperbolic cycles from codimension two bifurcations of equilibria of delay differential equations
本文研究了延迟微分方程（DDEs）中广义霍普夫（Bautin）、折叠霍普夫（fold-Hopf）、霍普夫-霍普夫（Hopf-Hopf）和跨临界霍普夫（Transcritical-Hopf）分支附近的参数相关中心流形约化。这使我们能够初始化余维一平衡的延续和循环分叉从这些余维二歧点发出。正规形系数推导出的功能解析扰动框架的对偶半群（太阳星演算）使用的Fredholm替代的基础上的归一化技术。得到的表达式给出了明确的公式，已在免费提供的数值软件包DDE-BifTool中实现。虽然我们的理论结果被证明适用于更普遍的，软件实现和例子集中在DDE与许多离散延迟。再加上DDE-BifTool的连续功能，这为研究此类DDE的动态平衡附近提供了一个强大的工具。在各种模型上证明了其有效性。
2019-03-19 math.DS
Switching in heteroclinic networks
研究了在平衡点线性化的所有特征值均为实数的异宿网络附近的动力学。一个共同的连接和对它的传入和传出方向的几何形状的假设甚至排除了最弱的交换形式（即沿着这个连接）。全局转移映射的形式，以及异宿环的类型，在其中起着至关重要的作用。我们看$\mathbb{R}^5$中的两个例子，House和Bowtie网络，以说明当这些条件中的任何一个被打破时可能发生的复杂动态。对于House网络，沿着公共连接进行切换，而对于Bowtie网络，我们发现沿着循环进行切换。
2016-01-08 math.DS
Controlling complex rhythms: A hierarchical approach to limit cycle switching
本研究提出一种分层周期调制方法，实现非线性动力系统中多个极限环之间的可靠切换，为神经工程和合成生物学中复杂节律行为的精确控制提供了新框架。
2025-08-14 math.DS nlin.AO
Activated switching between coexisting limit cycles
ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）；University of Konstanz（康斯坦茨大学）
本文针对耦合谐振器受驱动非线性系统，实验观测到共存极限环吸引子间的激活切换，用大偏差理论描述其切换速率，扩展了激活动力学概念并建立了对应建模框架。
2026-08-20 math.DS nlin.CD physics.class-ph
On the number of limit cycles for Bogdanov-Takens system under perturbations of piecewise smooth polynomials
本文研究了Bogdanov-Takens系统（$\dot{x}=y$，$\dot{y}=-x+x^{2}$）在分段光滑多项式$2$和$n$扰动下的极限环分支.本文给出了一阶Melnikov函数的零点个数的界，该函数控制从中心分叉出的极限环的个数。证明了开关曲线$x=y^{2m}$（$m$为正积分）的极限环个数的上界为$(39m+36)n+77m+21(m\geq 2)$和$50n+52(m=1)$（考虑多重性）.开关线$x=0$和$y=0$的极限环的上限数为11（考虑多重性），可以达到。
2021-08-23 math.DS
Bi-center conditions and bifurcation of limit cycles in a class of $Z_2$-equivariant cubic switching systems with two nilpotent points
本研究推广Poincaré-Lyapunov方法研究含两个幂零奇点的$Z_2$-等变三次切换系统的双中心问题，得到6个显式双中心条件，并证明其幂零双中心周围至少存在20个小振幅极限环，将环性下界从12提升至20。
2024-03-09 math.CA math.DS
Limit Cycles of Dynamic Systems under Random Perturbations with Rapid Switching and Slow Diffusion: A Multi-Scale Approach
本文研究了一类具有快速切换和小扩散的随机微分方程的动力系统的定性性质，特别是极限环。该系统的特点是多尺度配方，突出了两个小参数$ε$和$δ$的存在。与基本系统相关联的是平均系统或极限系统。假设对于每对参数，相应方程的解具有不变概率测度$μ^{ε,δ}$，并且平均方程具有极限环，其中存在平均方程的平均占用测度$μ^0$。我们的主要工作是证明在适当的条件下，$μ^{ε,δ}$作为$ε\to 0$和$δ\to 0$弱收敛于$μ^0$.此外，我们的结果被应用到一个随机的捕食-食饵模型与数值例子进行演示。
2017-07-19 math.DS math.PR
Limit cycles in piecewise smooth systems with circular switching manifold
UFMG（米纳斯吉拉斯联邦大学）；UNESP（圣保罗州立大学）；UAB（巴塞罗那自治大学）
研究分段光滑系统中极限环的性质，利用莫比乌斯变换建立圆状与直线状不连续性的等价性，通过二阶平均和李雅普诺夫量得出极限环数量的下界，并证明分段反全纯系统中极限环的上界，同时构造了显式代数极限环。
2026-04-28 math.CA math.CV math.DS
Limit cycles and invariant algebraic curves
Universitat Autònoma de Barcelona（巴塞罗那自治大学）；IBILCE–UNESP（圣保罗州立大学生物科学研究所）
本文研究了多项式向量场中极限环与不变代数曲线的关系，通过建立下界并应用于特定模型家族，揭示了希尔伯特数的递归性质。
2025-12-22 math.DS
Crossing limit cycles of discontinuous piecewise differential systems with nilpotent saddles separated by a nonregular line
Instituto de Matemática Pura e Aplicada（巴西数学纯应用研究所）
研究由非正则切换线分隔的平面不连续分段微分系统的穿越极限环，其中子系统为线性微分中心和六类哈密顿幂零鞍系统之一，证明最多存在七个穿越极限环，并给出每个族具有四个穿越极限环的显式例子。
2026-05-22 math.DS
Limit cycles bifurcating from the quasi-homogeneous polynomial centers of weight-degree 2 under non-smooth perturbations
研究三次多项式微分中心在三次分段光滑多项式扰动下的极限环最大数量，利用一阶平均法获得切换线为$x=0$或$y=0$时的精确界，揭示非光滑系统比光滑系统拥有更多极限环。
2025-04-02 math.DS
Bifurcation of limit cycles from a fold-fold singularity in planar switched systems
防抱死制动系统（ABS）是这项研究的主要动机。ABS控制器根据车轮的角速度和加速度来切换制动缸液压执行器中的充液阀和卸液阀的动作。因此，控制器由不连续的微分方程建模，其中两个平滑的向量场由切换流形S分离。控制器的目标是在制动期间最大化轮胎-路面摩擦力（并且特别地，防止车轮锁定）。由于车轮的最佳滑移L是相当近似地已知的，所以控制器的实际目标是实现这样的切换策略，该切换策略使得动态收敛到围绕L的预期值的区域的极限环。在本文中，我们证明了所需的极限环可以得到作为一个分支从点x 0的S时，适当的参数D过0。点x 0是一个折叠-折叠奇点（S两边的向量场在x 0处相切），参数D测量了切换流形与超平面的偏差。所提出的结果是基于经典的折叠分歧理论的光滑映射的扩展。构造一个合适的光滑映射是证明的关键步骤。
2016-04-15 math.DS
Hopf-like boundary equilibrium bifurcations involving two foci in Filippov systems
本文研究二维Filippov系统--一维切换流形上不连续的常微分方程。在参数变化时，稳定焦点通过与切换流形碰撞而转变为不稳定焦点的情况下，建立了产生唯一局部极限环的简单充分条件.如果违反了这个条件，则可以同时创建三个嵌套的极限环。结果是通过构建一个庞加莱映射和概括的分析参数，已被用于连续系统。还确定了伪平衡点（切换流形上滑动运动的平衡点）存在的充要条件。为了简单起见，只考虑分段线性系。
2018-12-10 math.DS
Limit cycles bifurcating from periodic integral manifold in non-smooth differential systems
本文将Melnikov方法推广到具有非线性切换流形和一般周期积分流形的高维非光滑自治微分系统，研究从周期积分流形分支出的极限环，并通过实例验证了结果的适用性。
2024-09-03 math.DS
Heteroclinic Dynamics of Localized Frequency Synchrony: Heteroclinic Cycles for Small Populations
许多现实世界的系统可以被建模为相互作用的振荡单元的网络。与振荡器网络功能相关的集体动力学，例如亚稳态之间的切换，通过网络结构和相互作用的相互作用而产生。在这里，我们给出的结果，小网络上的动态不变集的振荡器显示本地化的频率同步之间的异宿周期的存在。这些异宿周期附近的轨迹将表现出局部频率同步的顺序切换：网络中的种群振荡器将比其他振荡器振荡得更快（或更慢），并且具有这种特性的种群随时间顺序变化。由于我们给出了明确的条件，这种动态出现的系统参数，我们的研究结果提供了深入了解网络结构和相互作用（其中包括振荡器之间的高阶相互作用）如何促进本地化频率同步之间的异宿切换。
2018-10-15 math.DS nlin.AO
Bifurcation of limit cycles from the global center of a class of integrable non-Hamilton system under perturbations of piecewise smooth polynomials
本文利用切换线$y=0$扰动三次分段光滑多项式内的平面多项式向量场$\mathcal{X}(x,y)=(-y(x^2+a^2),x(x^2+a^2))$（$a\neq0$）的全局中心.利用一阶平均函数，证明了周期环分叉出的极限环个数的更精确界为6。
2019-04-11 math.DS
Smoothing of nonsmooth differential systems near regular-tangential singularities and boundary limit cycles
了解切向奇点如何在光滑过程下演化是关于Filippov系统正则化的第一个问题之一。本文研究了Filippov系统在偶重数的可见正则切向奇点附近的$C^n$ -正则化。更具体地说，使用Fenichel理论和Blow-up方法，我们的目标是了解正则化系统的轨迹如何通过正则化区域。我们应用我们的结果来研究边界极限环的$C^n$ -正则化与开关流形的偶重接触。
2021-07-13 math.DS
Conley Index of Limit Cycles in Filippov Vector Fields
该研究在多值动力系统框架下，针对平面Filippov系统的极限环，利用Mrozek提出的多值容许映射的Conley指数，计算不同类型极限环的Conley指数，扩展了相关研究范围。
2026-10-14 math.DS
Twenty Hopf-like bifurcations in piecewise-smooth dynamical systems
对于许多物理系统，从稳态解到持续的小振幅振荡的过渡对应于Hopf分岔。然而，对于涉及冲击、阈值、开关或其他突发事件的系统，这种转变可以以根本不同的方式实现。本文综述了20个具有状态依赖切换规则的二维常微分方程系统的“类霍普夫”分支。这些分岔包括边界平衡分岔、平衡点或折叠点的碰撞或稳定性的改变以及由滞后或时滞产生的极限环。在每种情况下，一个稳定的解决方案改变稳定性和可能的形式，并发出一个极限环。每个分支定量分析的一般设置：我们确定的数量，支配的发病，临界性和通用性的分歧，并确定所产生的极限环的周期和振幅的标度律。基于庞加莱映射的渐近展开，提供了完整的推导。其中许多是新的，以前只对分段线性系做过。分叉整理和比较，使动态观测可以匹配的几何机制负责创建一个极限环。结果与冲击振荡器，继电器控制，自动平衡控制，捕食系统，海洋环流，和McKean和Wilson-Cowan神经元模型。
2019-05-03 math.DS
On the number of limit cycles for generic Lotka-Volterra system and Bogdanov-Takens system under perturbations of piecewise smooth polynomials
本文研究一般L-V系统（$\dot{x}=y+x^2-y^2\pm\frac{4}{\sqrt{3}}xy,~\dot{y}=-x+2xy$）和B-T系统（$\dot{x}=y,~\dot{y}=-x+x^2$）在$n$次分段光滑多项式扰动下的极限环分支.这里的开关线路是$y=0$。利用Picard-Fuchs方程，给出了控制从中心分支出的极限环个数的一阶Melnikov函数的零点个数的界.证明了一般L-V系统和B-T系统的极限环个数的上界分别为$36n-65~(n\geq4),~37,57,93~(n=1,2,3)$和$12n+6$ .
2018-05-26 math.DS
Higher order Melnikov analysis for planar piecewise linear vector fields with nonlinear switching curve
本文主要研究了具有两个由曲线$y=x^n$分隔的区域的平面分段线性微分系统的极限环$H(n)$的最大个数的下界估计，其中$n$是正整数.为此，我们进行了高阶Melnikov分析的线性中心的分段线性扰动。特别地，我们得到了对于$n\geq 4$偶数的$H(2)\geq 4,$ $H(3)\geq 8,$ $H(n)\geq7,$和对于$n\geq 5$奇数的$H(n)\geq 9,$。本文的分析主要是基于Chebyshev系统的正精度和Melnikov理论的一些最新结果，这些结果将在任意阶下推广到一类具有非线性切换流形的非光滑微分系统。
2021-04-23 math.DS
On the number of limit cycles for piecewise polynomial holomorphic systems
本文研究带直线不连续的分段多项式全纯系统极限环下界，综合平均函数零点、退化Andronov-Hopf分支和滑移效应，并利用Poincaré-Miranda定理构造出具有3个极限环的显式分段线性全纯系统，改进了文献中仅1个极限环的已知结果。
2023-12-03 math.CA math.DS
Dynamical systems with fast switching and slow diffusion: Hyperbolic equilibria and stable limit cycles
本文研究快速 Markov 切换、小扩散 SDE 的长期行为，证明在平均 ODE 具有限不稳定或双曲不动点时，不变概率测度弱收敛于极限环上的平均占据测度，并推广至状态依赖切换。
2021-05-18 math.DS math.PR
Melnikov analysis for planar piecewise linear vector fields with algebraic switching curve $y^n-x^m=0$
本文研究了一类平面分段线性微分系统的极限环的最大个数$H(m,n)$，其中两个区域由曲线$y^n-x^m=0$分隔，其中$n,m$为正整数.更准确地说，我们提供了一个较低的估计$ H(m,n)$。利用Chebyshev系统的一些正精度结果和Melnikov理论，对所有的$m,n\in \mathbb{N}$，对线性中心的分段线性扰动
2022-02-06 math.CA math.DS
Saddle-node canard cycles in planar piecewise linear differential systems
应用奇异扰动方法，分析了一类奇异摄动平面分段线性（PWL）微分系统的鸭式极限环。所进行的研究涉及双曲和非双曲鸭式极限环后出现的超临界和亚临界Hopf分叉。所得结果与光滑向量场的结果完全一致。在某种意义上，手稿可以被理解为Krupa和Szmolyan [18]对光滑系统所获得结果的PWL框架的扩展。此外，还得到了一些新的慢-快行为。特别是，在超临界的情况下，并在适当的条件下，证明了极限环组织沿曲线展示两个折叠。这些褶皱中的每一个对应于鸭式极限环的鞍结分叉，一个涉及无头鸭式环，而另一个涉及有头鸭式环。这种配置允许三个鸭式极限环共存。
2020-04-14 math.CA math.DS
Bifurcation analysis of multiple limit cycles created in boundary equilibrium bifurcations in hybrid systems
本研究针对任意维混合系统中边界平衡点分岔（BEB）产生的多极限环问题，分析了两类余维二情形下小振幅极限环的分岔机制，给出了双参数分岔图的一般结构，并通过三维及八维模型验证了理论结果。
2024-12-09 math.DS nlin.CD
