Characterization of 4-critical triangle-free toroidal graphs
我们给出了一个精确的表征的3-着色的三角形自由图画在环面中，在186个“模板”（图与某些面填充任意四边形）的形式，使这一类的图是不是3-着色的当且仅当它包含一个子图匹配的模板之一。因此，我们证明了每一个边宽度至少为6的环面上的无三角形图都是3-可着色的，这是一个用于无三角形环面图的有效3-可着色算法的关键属性。
2020-09-02 math.CO
A note on two-colorability of nonuniform hypergraphs
对于一个超图$H$，令$q(H)$表示当$H$中每个顶点的颜色从大小为2的集合中随机均匀采样时单色边的期望数目。令$s_{\min}(H)$表示$H$中边的最小尺寸。1963年，Erdens提出了一个问题：是否存在一个无界函数$g(k)$，使得任何具有$s_{\min}(H) \geq k$和$q(H) \leq g(k)$的超图$H$是两个可着色的。Beck在1978年对这个问题作了肯定的回答，即函数$g(k) = Θ(\log^* k)$。我们改进了这一结果表明，对于一个绝对常数$δ>0$，一个版本的随机贪婪着色过程是可能找到一个适当的两个着色的任何超图$H$与$s_{\min}(H) \geq k$和$q(H) \leq δ\cdot \log k$。
2018-03-08 cs.DM cs.DS math.CO
Graphs with large girth and chromatic number are hard for Nullstellensatz
我们研究的计算效率的方法，希尔伯特的零stellenstructures的基础上，使用系统的线性方程组检测具有大围长和色数的图的非着色性。我们证明了对于每一个具有$n$顶点和围长$g>4k$的非$k$ -可着色图，为了检测其非$k$ -可着色性，该算法需要求解大小至少为$n^{Ω(g)}$的系统.
2022-12-10 math.AG math.CO math.OC
Algorithms and Almost Tight Results for 3-Colorability of Small Diameter Graphs
尽管关于几个基本参数的3-着色问题已经有了广泛的研究，但小直径图（即直径为2或3的图）上的3-着色问题的复杂性状态一直是一个长期存在且具有挑战性的公开问题。对于直径为2的图，我们提供了第一个次指数算法的复杂性$2^{O(\sqrt{n\log n})}$，这是渐近相同的，目前最好的已知的时间复杂度的图同构（GI）的问题。证明了直径为2的3-可着色图的图同构问题是GI-完全的。此外，我们提出了一个子类的图直径为2，承认多项式算法的3-着色。对于直径为3的图，我们证明了对于每一个$\varepsilon \in [0,1)$，直径为3，半径为2，顶点为$n$，最小度为$δ=Θ(n^{\varepsilon})$的无三角形图的3-染色是NP-完全的。此外，假设ETH，我们提供了三个不同的放大我们的硬度结果，以获得每个$\varepsilon \in [0,1)$次指数下界的复杂性，3-着色的三角形自由图直径为3和最小度$δ=Θ(n^{\varepsilon})$。最后，我们给出了一个直径为3的图的3-着色算法$2^{O(\min\{δΔ,\frac{n}δ\logδ\})}$，其中$δ$（resp. $Δ$）是最小值（分别为最大）度。据我们所知，该算法是第一个次指数算法的图与$δ=ω(1)$和图与$δ=O(1)$和$Δ=o(n)$。由于3-着色复杂度的上述下界，当输入图为$δ=Θ(n^{…
2012-10-17 cs.DM cs.DS math.CO
Density of $3$-critical signed graphs
本文扩展了圆形可着色性定义，证明了 $n$ 个顶点的 $3$-临界符号图至少有 $\ rac{3n-1}{2}$ 条边且界限渐近紧确，并得出围长至少为 $6$ 的符号平面图和射影平面图的相关 $3$-可着色性结论。
2023-09-08 math.CO
Complexity and algorithms for proper conflict-free coloring in graphs
Indian Institute of Technology (ISM), Dhanbad（印度理工学院（ISMT））
该研究证明完美消去二分图的PCF k着色问题为NP完全，PCF色数无法在O(n^(1-ε))内逼近，还为四类图的PCF k着色提供线性时间算法并确定其色数上界。
2026-08-13 cs.DM math.CO
On the Classical and Parameterized Complexity of Strong Odd Coloring
Indian Institute of Technology (ISM), Dhanbad（印度理工学院（ISM）丹巴德分校）；Indian Institute of Technology, Jodhpur, India（印度理工学院乔德普尔分校）
本文研究强奇$k$-染色问题的复杂度，证明其在完美消去二分图上NP完全且不可近似，同时给出块图的线性时间算法和树宽参数的FPT算法，并证明若干参数化下界与W[1]-难结果。
2026-10-02 cs.DM math.CO
Injective choosability of subcubic planar graphs with girth 6
图$G$的内射着色是指对图$G$的顶点进行颜色分配，使得具有公共邻居的任意两个顶点具有不同的颜色。一个图$G$是$k$ -可内射选择的，如果对任何列表分配$L$，其中$|L(v)| \geq k$对所有$v \in V(G)$，$G$有一个单射$L$ -着色.内射着色在纠错码理论中有应用，并且与其他可着色性概念密切相关。本文证明了围长至少为6的次立方可平面图是5-可内射选择图。这加强了Lužar、Škrekovski和Tancer的一个结果，即围长至少为7的次立方可平面图是5-可注入着色的。我们的结果也改进了其他几个结果在特定情况下。
2017-07-09 math.CO
On the maximum diameter of $k$-colorable graphs
Erdés，Pach，Pollack and Tuza [J. Combin. Theory，B 47，（1989），279-285]证明了如果$δ$是$(r-1)(3r+2)$的倍数，则对于每个$r\ge 2$，阶$n$和最小度$δ\geq 2$的无$K_{2r}$连通图的直径至多为$\frac{2(r-1)(3r+2)}{(2r^2-1)}\cdot \frac{n}δ + O(1)$.对于每个$r>1$和$δ\ge 2(r-1)$，我们构造了具有最小度$δ$和直径$\frac{(6r-5)n}{(2r-1)δ+2r-3}+O(1)$的无$K_{2r}$图，它们是对每个$r>1$和$δ>2(r-1)(3r+2)(2r-3)$猜想的反例.本文的其余部分在更强的假设下证明了积极的结果，$k$ -可着色性，而不是$K_{k+1}$ -free。本文证明了具有最小度$\geq δ$和阶$n$的连通$k$ -可着色图的直径至多为$\left(3-\frac{1}{k-1}\right)\frac{n}δ+O(1)$，而对于$k=3$，直径至多为$\frac{57n}{23δ}+O\left(1\right)$ .
2020-09-05 math.CO
5-cycles in the complement of minimal prime graphs
本文研究了最小素图补图的循环结构，证明了补图中每条边都包含在5环中，强化了关于诱导5环的存在性结论。
2026-02-01 math.CO
Fair Allocation under Conflict Constraints via Strong Colorability
The Academic College of Tel Aviv-Yaffo（特拉维夫-亚法学术学院）
研究冲突约束下公平分配问题，引入强色数层次结构，证明SD-EF1、EF1和EF[1,1]公平分配的存在性与算法条件，给出最大度相关的最优界限。
2026-07-02 cs.DS cs.GT math.CO
Proper 3-orientations of bipartite planar graphs with minimum degree at least 3
Tokyo University of Science（东京科学大学）
研究证明，最小度数至少为3的双部平面图的恰当定向数不超过3。
2019-04-01 math.CO
Graph Coloring with Color Preferences
The University of Tokyo（东京大学）
本文研究带颜色偏好的图着色问题，定义稳定色数，给出其上下界，证明稳定2-着色性多项式可解、k≥3时为NP完全，并基于树宽给出固定参数可处理算法。
2026-09-02 cs.GT math.CO
An almost linear time algorithm for finding Hamilton cycles in sparse random graphs with minimum degree at least three
我们描述了一个算法寻找随机图中的Hamilton圈。我们的模型是随机图$G=\gc$。在该模型中，$G$是从点集为$[n]$，边为$m$，最小度至少为3的图中统一画出的。我们专注于$m=cn$为常数$c$的情况。如果$c$足够大，那么我们的算法在$O(n^{1+o(1)})$时间内运行，并成功w.h. p。
2012-10-23 math.CO
Cycles of Length 4 or 8 in Graphs with Diameter 2 and Minimum Degree at Least 3
本文证明了直径为2且最小度数至少为3的图中必存在长度为4或8的环，从而支持了埃尔多斯-加法斯猜想。
2026-01-30 math.CO
An upper bound on the distinguishing index of graphs with minimum degree at least two
单图$G$的区别指数（记作$D'(G)$）是指$G$的边标号中不被任何非平凡自同构保持的最少标号数。Pilmartniak（2015）证明了对任意2-连通图$D'(G) \leq \lceil \sqrt{Δ(G)}\rceil +1$ .本文证明了最小度至少为2的图的可区别指数的一个更一般的结果，由此引出猜想。此外，我们提出了图$G$，其中$D'(G)\leq \lceil \sqrt{Δ}\rceil$。
2017-02-12 math.CO
Disjunctive domination in graphs with minimum degree at least two
$G$中顶点的集合$D$是$G$中的析取控制集，如果不在$D$中的每个顶点都与$D$中的一个顶点相邻，或者在$G$中至少有两个顶点与$D$相距$2$。$G$的析取控制数$γ^{d}_2(G)$是$G$中析取控制集的最小基数。本文证明了：如果$G$是阶至少为$3$，$δ(G)\geq 2$的图，且没有分支同构于八个禁止图中的任何一个，则$γ^{d}_2(G)\leq \frac{|G|}{3}$ .此外，我们提供了一个无限族的图达到这个界限。此外，我们还研究了$G$是最小度至少为2的无爪图的情形。
2021-04-14 math.CO
Dipaths of length at least double the minimum outdegree
一个特殊的情况下，猜想的Quarassé是任何定向图的最小出度k包含一个路的长度为2k。为了证明一个反例是否存在，我们给出了一个反例的约简，并建立了一个反例的连通性和顶点数的界。我们进一步猜想，在任何最小出度为k的定向图中，每个顶点都属于一条长为2k的偶路。
2023-03-18 math.CO
Vertex-disjoint directed cycles of prescribed length in tournaments with given minimum out-degree
Bermond-Schlassen猜想指出，对于任意正整数$r$，最小出度至少为$2r-1$的有向图至少包含$r$点不交有向圈.在2014年，Bang-Jensen，Bessy和Bassass ' e证明了竞赛猜想。在2010年，Lichiardopol证明了最小出度至少为$(q-1)r-1$的锦标赛$T$至少包含$r$顶点不相交的$q$ -圈，其中整数为$q\geq3$和$r\geq1$。本文肯定地讨论了Lichiardopol猜想。特别地，$q=3$的情况下，意味着Bermond-Bermassen猜想的比赛。
2018-05-03 math.CO
The minimum number of detours in graphs
本文研究图中最长路径（绕行路径）的最小数量，证明在最小度至少为2且阶至少为9的连通图中，若绕行路径数为奇数则至少为9，并排除3、5、7三种可能，同时提出两个开放问题。
2023-12-03 math.CO
On a Greedy 2-Matching Algorithm and Hamilton Cycles in Random Graphs with Minimum Degree at Least Three
我们描述和分析了一个简单的贪婪算法\2G\，找到一个很好的2-匹配$M$在随机图$G=G_{n,cn}^{\d\geq 3}$时，$c\geq 15$。2-匹配是最大度为2的生成子图，$G$是从顶点集为$[n]$、边集为$cn$且最小度至少为3的图中均匀地画出的.良好是指$M$具有$O(\log n)$组件。然后，我们使用这个2-匹配在$O(n^{1.5+o(1)})$时间\whp内建立一个Hamilton圈。
2011-08-08 math.CO
Bipartite graphs with no $K_6$ minor
Mader的一个定理表明，每一个平均度至少为8的图都有一个$K_6$子图，如果我们用任何更小的常数替换8，这是错误的。用最小度代替平均度似乎没有什么区别：我们不知道是否所有最小度至少为7的图都有$K_6$子图，但最小度6肯定是不够的。对于每一个$c>0$，都有任意大的图，其平均度至少为$8-c$，最小度至少为6，没有$K_6$子图。但是如果我们只研究二部图呢？第一个陈述仍然成立：对于每个$c>0$，存在任意大的平均度至少为$8-c$且没有$K_6$子图的二部图。但令人惊讶的是，现在去最低程度，使一个显着的差异。我们将证明每个最小度至少为6的二部图都有一个$K_6$子图。事实上，在二分块的较大部分中的每个顶点的度至少为6就足够了。
2022-04-21 math.CO
Remarks on proper conflict-free colorings of graphs
一个图的顶点染色称为关于邻域的\textit{conflict-free}，如果对于每个非孤立顶点，在其（开）邻域中有一种颜色只出现一次。如[Fabrici等人，\textit{Proper Conflict-free and Unique-maximum Colorings of Planar Graphs with Respect to Neighborhoods}，arXiv preprint]中，图$G$的任何这样的适当着色中的颜色的最小数目是$G$的PCF色数，记为$χ_{\mathrm{pcf}}(G)$。本文对树、圈、超立方体和完全图的剖分等几类基本图确定了这个图参数的值。我们也给出了$χ_{\mathrm{pcf}}(G)$的上界的其他图参数。特别是，我们表明，$χ_{\mathrm{pcf}}(G) \leq5Δ(G)/2$和表征平等。对$4\le k\le 6$建立了图的PCF $k$ -可染性的几个充分条件.本文的结论与几个开放的问题。
2022-03-02 math.CO
$K_3$-WORM colorings of graphs: Lower chromatic number and gaps in the chromatic spectrum
图$G$的$K_3$ -WORM着色是指对图的顶点进行颜色分配，使得$G$的每个$K_3$ -子图的顶点恰好得到两种颜色。我们研究图$G$，承认至少有一个这样的着色。我们反驳了戈达德等人的一个猜想[大会编号，219（2014）161--173]，他询问是否每个这样的图都有两种颜色的$K_3$ -WORM着色。事实上，对于每一个整数$k\ge 3$，存在一个$K_3$ -WORM可着色图，其中的最小颜色数正好是$k$。还存在$K_3$可着色图，其具有带有两种颜色的$K_3$着色以及带有$k$颜色但不带有任何$3,\dots,k-1$颜色的着色.我们还证明了它是NP-困难的，以确定的最小数量的颜色和NP-完全决定$k$ -可着色性的每一个$k \ge 2$（仍然棘手，即使是最大程度9，如果$k=3$的图）。另一方面，我们证明了$d$ -退化图与小$d$的积极结果，也包括平面图。此外，我们指出了一个基本的联系，混合超图的染色理论。最后，我们列出了许多悬而未决的问题。
2015-08-07 math.CO
Positive Square Energy of Graphs with Minimum Degree at Least Two
Sharif University of Technology（谢里夫理工大学）；Anhui University（安徽大学）
本文针对最小度至少为2的连通图，将平方能量下界从$n-1$加强到$n$，除非该图是圈。
2026-09-09 math.CO
Minimum degree of 3-graphs without long linear paths
图论中的一个著名定理指出，在$n$顶点和最小度至少为$d$的每个图$G$包含长度至少为$d$的路，并且如果$G$是连通的并且$n\ge 2d+1$，则$G$包含长度至少为$2d$的路（Dirac，1952）。本文将Dirac的结果推广到超图。给出了3-图的最小度的渐近下界，并证明了该下界是紧的。
2019-03-11 math.CO
Hamilton cycles in random graphs with minimum degree at least 3: an improved analysis
本文考虑随机图$G=G_{n,m}^{δ\geq 3}$中Hamilton圈的存在性.这是一个从顶点集为$[n]$、边为$m$且最小度至少为3的图集中均匀选取的随机图。我们的最终目标是要证明，如果$m=cn$和$c>3/2$是常数，然后$G$是汉密尔顿的WP。在较早的论文中，第二作者表明，$c\geq 10$是足够的，在本文中，我们减少了下界$c>2.662...$。这个新的下界与Frieze和Pittel \cite{FP}关于所谓Pósa集的扩展的下界相同。
2020-06-22 math.CO
Every $(13k-6)$-strong tournament with minimum out-degree at least $28k-13$ is $k$-linked
一个有向图$D$是$k$ -链接的，如果它满足对于$D$的顶点的不交集$\{x_1,\ldots{},x_k\}$和$\{y_1,\ldots{},y_k\}$的每个选择，都有顶点不交路$P_1,\ldots{},P_k$使得$P_i$是$(x_i,y_i)$ -路。最近Meng等人证明了每个$(40k-31)$ -强竞赛图都是$k$ -关联的.本文利用一个重要引理证明了最小出度至少为$28k-13$的$(13k-6)$ -强竞赛图是$k$ -连通的.
2021-08-05 math.CO
Nonseparating K4-subdivisions in graphs of minimum degree at least 4
首先证明了对4-连通图G的每个顶点x，存在G中的一个子图H同构于完全图K4在四个顶点上的一个剖分，使得G-V（H）是连通的且包含x.这意味着对W的一个问题的肯定回答。Kuehnel证明了：任意4-连通图G是否包含K 4的一个子图H，使得G V（H）连通。我们的归纳法的发动机是Fontet和Martinov的一个结果，他们指出，每个4-连通图都可以通过收缩一条边来减少到一个更小的图，除非这个图是一个圈的平方或一个三次图的线图。事实证明，这是证明中唯一使用4-连通性的成分。然后，我们将我们的结果推广到连通图的最低程度至少为4，通过发展各自的电动机：一个结构定理类简单的连通图的最低程度至少为4。
2011-01-27 math.CO
Decomposing $C_4$-free graphs under degree constraints
Stiebitz的一个著名定理指出，任何最小度至少为$s+t+1$的图都可以划分为两部分，这两部分分别导出两个最小度至少为$s$和$t$的子图.这就解决了马森的一个猜想。本文证明了：对于$s,t\geq 2$，如果图$G$不含长度为4的圈，且最小度至少为$s+t-1$，则$G$可划分为两部分，这两部分分别导出最小度至少为$s$和$t$的两个子图.这改进了Diwan的结果，Diwan证明了围长至少为5的图的相同陈述。我们的证明也适用于可变函数的情况下，其中的界限是尖锐的，如一些极性图所示。作为一个推论，任何不包含最小度至少为$k+1$的长度为4的圈的图都包含$k$顶点不交圈。
2017-06-22 math.CO
The order of monochromatic subgraphs with a given minimum degree
设$G$是一个图。对于给定的正整数$d$，设$f_G(d)$表示最大整数$t$，使得在$G$的边的每一个双色着色中，都存在最小度至少为$d$且阶至少为$t$的单色子图.对于$n > k > d$，让$f(n,k,d)$表示$f_G(d)$的最小值，其中$G$在所有具有$n$顶点和最小度至少为$k$的图上。在本文中，我们建立$f(n,k,d)$时，$k$或$n-k$是固定的，和$n$是足够大的。我们还考虑了允许两种以上颜色的情况。
2002-12-30 math.CO
Minimum Size of Feedback Vertex Sets of Planar Graphs of Girth at least Five
图的反馈顶点集是与所有圈相交的顶点的子集。本文给出了围长至少为5的可平面图的最小反馈顶点集的大小的严格上界。证明了如果$G$是$n$顶点和$m$边围长至少为5的连通可平面图，则$G$有一个大小最多为$\frac{2m-n+2}{7}$的反馈顶点集。根据欧拉公式，这意味着$G$具有大小至多为$\frac{m}{5}$和$\frac{n-2}{3}$的反馈顶点集。这些结果不仅改进了Dross，Montassier和Pinlou的一个结果，证实了他们的一个猜想的围长为5的情形，而且对Kowalik，Lužar和Škrekovski的一个猜想作出了最著名的进展，解决了他们的猜想的次立方情形.我们证明的一个重要步骤是提供一个上界的最小反馈顶点集的大小的次立方图的围长至少为5，没有诱导细分的成员的有限族的非可平面图。
2016-10-28 math.CO
Improved upper bounds on the domination number of graphs with minimum degree at least five
证明了图的控制数$γ$的一个算法上界，它是由图的阶$n$和最小度$δ$表示的。它表明，该界改善了以前的最佳界限的任何$5\le δ\le 50$。特别地，对于$δ=5$，Xing等人\在2006年证明了$γ\le 5n/14 < 0.3572 n$。该结合被改进为$0.3440 n$。对于$δ=6$，Clark等人\ 1998年建立了$γ<0.3377 n$，而Biró等人最近将其改进为$γ<0.3340 n$。此处，将界限进一步改进为$γ< 0.3159 n$。对于$δ=7$，最佳早期结合的$0.3 088 n$改进为$γ< 0.2927 n$。
2014-10-16 math.CO
Hamilton cycles in random digraphs with minimum degree at least one
该研究针对最小入度、出度均不小于1的随机有向图$D_{n,m}^{(δ≥1)}$，证明了当边数$m$取特定含$c_n$的对数形式时，图存在定向哈密顿环的概率随$c_n$的极限趋势呈现三阶段阈值行为。
2025-06-16 math.CO
A proof of a conjecture of Erdős, Faudree, Rousseau and Schelp on subgraphs of minimum degree $k$
Erdégs，Faudree，Rousseau和Schelp对每个固定整数$k\geq 2$观察到以下事实：每个$n\geq k-1$顶点上至少有$(k-1)(n-k+2)+{k-2\choose 2}$边的图都包含一个最小度至少为$k$的子图。然而，有一些例子，其中整个图是唯一的这样的子图。Erdalos等人证明了多一条边意味着在至多$(1-\varepsilon_k)n$顶点上存在一个最小度至少为$k$的子图，其中$\varepsilon_k>0$仅依赖于$k$。我们证明了这个猜想，使用和扩展的思想Mousset，Noever和Škorić。
2018-06-26 math.CO
The spectra of the complements of graphs with given connectivity
本文研究给定连通度的连通简单图的补图，确定了其中谱半径最小和最小特征值最小的极图。
2023-05-25 math.CO
The minimum color degree and a large rainbow cycle in an edge-colored graph
设$G$是一个顶点数为$n$的边有色图.如果$E(H)$中每对边的颜色不同，则称$G$的子图$H$为$G$的彩虹子图。我们定义$G$的最小颜色度为对于所有$v\in V(G)$，入射到顶点$v$的边的颜色的最小数目。假设$G$不包含长度为4的彩虹循环子图。证明了如果$G$的最小色度至少为$\frac{n+3k-2}{2}$，则$G$包含一个长度至少为$k$的彩虹循环子图，其中$k\geq 5$ .此外，如果$G$的条件被限制为包含长度至少为$\frac{3k}{2}$的彩虹路径的无三角形图，则保证存在长度至少为$k$的彩虹循环子图的$G$的最小色度的下界可以被降低到$\frac{2n+3k-1}{4}$。
2017-09-25 math.CO
Shadows of 3-uniform hypergraphs under a minimum degree condition
我们证明了Kruskal-Katona定理的一个最小度版本：给定$d\ge 1/4$和一个最小度至少为$d\binom n2$的$n$顶点上的三元系$F$，我们得到了其阴影大小的渐近紧下界.等价地，对于$t\ge n/2-1$，我们渐近地确定了一个图在$n$顶点上的最小尺寸，其中每个顶点至少包含在$\binom t2$三角形中。这可以看作是Rademacher-Turán问题的一个变种。
2022-07-17 math.CO
On splitting digraphs
1995年，Stiebitz提出了一个问题：对任意正整数$s,t$，是否存在一个有限整数$f(s,t)$使得每一个最小出度至少为$f(s,t)$的有向图$D$都有一个二分图$(A, B)$，使得$A$导出一个最小出度至少为$s$的子有向图，$B$导出一个最小出度至少为$t$的子有向图？我们给出了一个肯定的答案竞赛，多部竞赛，有界最大入度的有向图。特别地，我们证明了对于每个具有$0<ε<1/2$的$ε$，存在一个整数$δ_0$，使得每个具有最小出度至少$δ_0$的竞赛图都有一个二分$(A, B)$，使得每个顶点在$A$和$B$中至少有$(1/2-ε)$的外邻居.
2018-04-10 math.CO
Metric dimensions vs. cyclomatic number of graphs with minimum degree at least two
顶点（resp.边）度量维数;记为dim（G）（分别edim（G））定义为V（G）中区分所有顶点对的最小集合S的大小。在G中：dim（G）<= L（G）+2c（G）和edim（G）<= L（G）+2c（G），其中c（G）是G的圈数，L（G）依赖于G的叶数，已知对仙人掌成立，对一般图也成立.在无叶图中，L（G）= 0成立，因此对于这样的图，限制的上界变为2c（G）。本文证明了无叶仙人掌不能达到2c（G）的上界，从而使无叶仙人掌的上界降为2c（G）-1，并刻画了所有极值无叶仙人掌的降界.我们猜想，降低的界限保持所有的无叶图，即最小度至少为2的图。我们证明了这个猜想对所有最小度至少为3的图都成立，证明它对所有2-连通图都成立是足够的，并且我们还证明了这个猜想对小阶图也成立.
2021-08-21 math.CO
Fractional triangle decompositions in graphs with large minimum degree
图的三角形分解是将图的边划分成三角形。图的分数三角形分解是将非负权重分配给其每个三角形，使得包含任何给定边的三角形的权重之和为1。证明了对所有的$ε> 0$，$n$顶点上的最小度至少为$(0.9 + ε)n$的所有足够大的图都有一个分数三角分解.这改进了Garaschuk的一个结果，即对于最小度至少为$0.956n$的图，同样的结果也成立。结合Barber，Kühn，Lo和Osthus最近的一个结果，这意味着对于所有的$ε> 0$，$n$顶点上的每一个足够大的三角形可分图，其最小度至少为$(0.9 + ε)n$，都允许一个三角形分解.
2015-07-21 math.CO
Degree 2 vertices in minimal prime graph complements
本文研究极小素图补图中二度顶点的结构，证明其结构为有限重复的5-cycle，属于reseminant图类。
2025-11-30 math.CO
Partitioning graphs with linear minimum degree
该研究证明了满足线性最小度条件的图可划分成两个子图，各子图最小度及跨边邻居数均达指定阈值，证实了相关猜想且结果紧，证明结合概率方法与基于二部图f-因子Ore定理的结构论证。
2023-06-14 math.CO
Subdivisions of maximal 3-degenerate graphs of order $d+1$ in graphs of minimum degree $d$
本文证明了最小度至少为$d \ge 1$的图都包含某个阶为$d+1$的极大3-退化图的一个剖分.这推广了Dirac（$d=3$）和Pelikán（$d=4$）的经典结果.我们猜想：对于任意阶为$d+1$的平面极大3-退化图$H$和任意最小度至少为$d$的图$G$，$G$包含$H$的一个细分.我们在$H$是$P_6^3$且$P_7^3$的情况下验证了这一点
2020-04-18 math.CO
Vertex-disjoint cycles in tournaments
Bermond-Schlassen猜想指出，对于任意正整数$r$，最小出度至少为$2r-1$的有向图至少包含$r$点不交有向圈. Bessy，Sereni和Lichiardopol证明了最小度为$2r-1$的正则竞赛图$T$至少包含$r$点不交有向圈，从而证明了上述猜想对竞赛图成立.之后，Lichiardopol通过证明$2r-1$ -正则竞赛图至少包含$\frac{7}{6}r-\frac{7}{3}$顶点不相交的有向圈改进了这个结果。本文通过证明一个更一般的结果，将该结果推广到最小出度至少为$2r-1$的竞赛图。
2018-05-03 math.CO
Cycle lengths and minimum degree of graphs
关于最小度大的图的圈长问题已经有了广泛的研究。本文在这方面得到了几个新的严格结果。设$G$是最小度至少为$k+1$的图.证明了：如果$G$是二部的，则在$G$中存在$k$圈，其长度构成一个公差为2的等差数列.对于一般图$G$，我们证明了$G$包含连续偶数长度的$\lfloor k/2\rfloor$圈和长度构成公差为1或2的等差数列的$k-3$圈.此外，如果$G$是2-连通的且非二部的，则$G$包含连续奇数长度的$\lfloor k/2\rfloor$圈。Lassen（1983）对模$k$的圈长做了两个证明：（1）最小度至少为$k+1$的图包含模$k$的所有偶数长度的圈;（2）最小度至少为$k+1$的2-连通非二部图包含模$k$的所有长度的圈。这两个假设，如果是真的，是最好的可能。当$k$为偶数时，我们的结果证实了这两种假设。当$k$是奇数时，我们证明了最小度至少为$k+4$就足够了.这改进了以前在这个方向上的所有结果。此外，我们的结果得到了新的上界的色数的最长序列的循环连续（偶数或奇数）的长度。
2015-08-31 math.CO
Sufficient minimum degree conditions for the existence of highly connected or edge-connected subgraphs
Technische Universität Ilmenau（伊尔梅瑙工业大学）
研究图存在高连通或高边连通子图的最小度条件，证明了最小度至少为3k-1保证存在(k+1)-连通子图，以及平均度至少2k保证存在(k+1)-边连通子图等结果，并说明这些结果在某种意义下是紧的。
2026-08-14 math.CO
Further results on the least Q-eigenvalue of a graph with fixed domination number
本文研究了在$n\geq 5$顶点上的连通非二部图中，控制数为$\frac{n+1}{3}<γ\leq \frac{n-1}{2}$的图的最小$q_{min}$.进一步得到了如下结果：$\mathrm{(i)}$是$n\geq 5$阶非二部连通图中最小$\frac{n-1}{2}$的完全确定，$\mathrm{(ii)}$是$n\geq 5$阶非二部连通图中最小$q_{min}$的完全确定，$q_{min}$是$n\geq 5$阶非二部连通图中最小$q_{min}$的完全确定，$q_{min}$是$n\geq 5$阶非二部连通图中最小$\frac{n+1}{3}<γ\leq \frac{n-2}{2}$的完全确定.
2019-01-02 math.CO
A refinement of theorems on vertex-disjoint chorded cycles
1963年，Corrádi和Hajnal解决了Erdés的一个猜想，证明了对所有$k \geq 1$，任何具有$|G| \geq 3k$且最小度至少为$2k$的图$G$包含$k$顶点不交圈。在2008年，Finkel证明了对于所有的$k \geq 1$，任何具有$|G| \geq 4k$且最小度至少为$3k$的图$G$包含$k$顶点不相交的弦圈。Finkel的结果在2010年得到了Chiba，Fujita，Gao，and Li的加强，他们证明了，对于所有的$k \geq 1$，任何具有$|G| \geq 4k$和最小Ore度至少为$6k-1$的图$G$包含$k$顶点不交圈。我们改进了这个结果，表征图$G$与$|G| \geq 4k$和最小Ore度至少$6k-2$，没有$k$不相交弦圈。
2015-11-13 math.CO
Smaller subgraphs of minimum degree k
1990年Erdés，Faudree，Rousseau和Schelp证明了对$k\geq 2$，每个具有$n\geq k+1$个顶点和$(k-1)(n-k+2)+\binom{k-2}{2}+1$条边的图在至多$n-\sqrt{n}/\sqrt{6k^3}$个顶点上包含一个最小度$k$的子图.他们证明，对于某些$ε_k>0$，至少可以去掉$ε_k n$许多顶点，并保留最小度$k$的子图。我们取得进展，他们的猜想表明，可以删除至少$Ω(n/\log n)$许多顶点。
2017-03-01 math.CO
Minimum degree conditions for graph rigidity
本文研究了保证 $n$ 顶点图在 $\mathbb{R}^d$ 中刚性的最小度条件，针对不同 $d$ 值给出了紧界与近似界，并作为副产品证明了关于伪着色数的紧界结果。
2024-12-18 math.CO
Long paths and cycles in random subgraphs of graphs with large minimum degree
对于给定的最小度至少为$k$的有限图$G$，设$G_{p}$是$G$的随机子图，通过以概率$p$独立地取每条边而得到.我们证明了：（i）如果$p \ge ω/k$的功能$ω=ω(k)$，趋于无穷的$k$没有，那么$G_p$渐近几乎必然包含一个周期（从而路径）的长度至少$(1-o(1))k$，（ii）如果$p \ge (1+o(1))\ln k/k$，那么$G_p$渐近几乎必然包含一条路径的长度至少$k$。我们的定理推广了经典的关于二项随机图的路和圈的结果，这些结果是通过把$G$看作是$k+1$顶点上的完全图而得到的。
2013-05-25 math.CO
Bipartite graphs with minimum degree at least 15 are antimagic
Huaqiao University（华侨大学）
本文证明了最小度至少为15的二部图是反魔法的，使用了König定理的推论、避免欧拉分量的特定大小子图的存在性以及一个确保某些顶点和能被3整除而其他不能的标号引理。
2026-05-29 math.CO
On the minimum degree required for a triangle decomposition
我们证明了，对于足够大的$n$，每一个图的顺序$n$的最小度至少$0.852n$有一个分数边分解成三角形。我们通过改进Dross用来建立$0.9n$的一个界限的方法来做到这一点。利用Barber，Kühn，Lo和Osthus的一个结果，我们的结果意味着：对于每个$ε>0$，每个最小度至少为$(0.852+ε)n$的足够大阶$n$图都有三角分解当且仅当它的度都是偶数，且边数是3的倍数.
2020-01-16 math.CO
