Nonseparating trees in 2-connected graphs and oriented trees in strongly connected digraphs
Mader [J. Graph Theory 65（2010）61-69]证明了对于每一个正整数$k$和每一个阶为$m$的有限树$T$，每一个$k$ -连通的，具有$δ(G)\geq \lfloor\frac{3}{2}k\rfloor+m-1$的有限图$G$包含一个与$T$同构的子树$T'$，使得$G-V(T')$是$k$ -连通的。该猜想已被证实的道路，树时，$k=1$，和明星或双星时，$k=2$。本文证明了两类树当$k=2$ .对于有向图，Mader [J. Graph Theory 69（2012）324-329]证明，对于正整数$m$，具有最小半度$δ(D)=min\{δ^+(D),δ^-(D)\}\geq 2k+m-1$的每个$k$ -连通有向图$D$具有$κ(D-V(P))\geq k$的$m$阶的有向路$P$。该猜想仅在与$m=1$、与$m=2$和$k=1$的导径中得到了验证。证明了每一个具有最小半度$δ(D)=min\{δ^+(D),δ^-(D)\}\geq m+1$的强连通有向图都含有一棵定向树$T$，它同构于某些给定的定向星或双星，使$D-V(T)$仍是强连通的.
2017-10-08 math.CO
Oriented cycles in digraphs of large outdegree
1985年，Mader证明了：对每一个无圈有向图$F$，存在$K=K(F)$，使得每一个最小出度至少为$K$的有向图$D$包含$F$的一个细分.这个猜想仍然是广泛开放的，即使是有向图$F$的五个顶点。最近，Aboulker，Cohen，Havet，Lochet，Rima和Rimassé研究了Mader问题的特殊情况，并提出了如下猜想：对于每个$\ell \geq 2$，存在$K = K(\ell)$使得每个最小出度至少为$K$的有向图$D$包含长度为$\ell$的圈的每个方向的细分。我们证明了这一猜想，并回答进一步开放的问题提出的Aboulker等人。
2020-08-30 math.CO
Judicious partitions of directed graphs
明智划分领域考虑了划分问题的一般家族，其中一个寻求同时优化多个参数，并且这些问题已经在各种组合背景下被广泛研究。在本文中，我们研究本质上是最基本的明智的分区问题的有向图，这自然扩展了经典的最大割问题，这个设置：我们寻求bipartisons中，许多边缘在每个方向交叉。很容易看出，一个最小出度条件是必要的，以便问题是非平凡的，我们证明了每一个有向图的M条边和最小出度至少为2承认一个双划分，其中至少有（1/6 + o（1））M条边在每个方向上交叉。我们还证明了，如果最小出度至少是3，那么常数可以增加到1/5。如果最小出度随N趋于无穷大，则常数增加到1/4。所有这些常数都是最佳可能的，并为亚历克斯·斯科特的问题提供了渐进答案。
2014-10-03 math.CO
Locating a Seymour vertex in oriented graphs having minimum outdegree at most 7
Indian Institute of Technology Dharwad（印度理工学院达瓦德分校）
通过局部约简和OR-Tools CP-SAT不可行性检验，证明了最小出度为7的有向图的Seymour第二邻域猜想，将阈值从6提升至7。
2026-10-15 cs.DM math.CO
Partitioning digraphs with outdegree at least 4
Scott提出了确定$c_d$的问题，使得如果$D$是具有$m$弧和最小出度$d\ge 2$的有向图，则$V(D)$具有分区$V_1, V_2$，使得$\min\left\{e(V_1,V_2),e(V_2, V_1)\right\}\geq c_dm$，其中$e(V_1,V_2)$（分别为$e(V_2,V_1)$）是从$V_1$到$V_2$（分别为从$V_2$到$V_1$）的弧的数量。Lee、Loh和Sudakov证明了$c_2=1/6+o(1)$和$c_3=1/5+o(1)$，并证明了$c_d= \frac{d-1}{2(2d-1)}+o(1)$对$d\ge 4$。本文给出了$c_4=3/14+o(1)$并证明了$d\ge 5$的一些部分结果.
2020-12-23 math.CO
A dense-case theorem for Seymour's second neighborhood conjecture
CoinFund
该研究证明了最小出度为$\delta$、阶数$n=2\delta+2$且缺失边无规定结构的定向图满足Seymour第二邻域猜想，将反例阶数下界从16提至17，条件下提至19。
2026-08-13 math.CO
An exact minimum degree condition for Hamilton cycles in oriented graphs
我们证明了每一个最小入度和出度至少为（3 n-4）/8的足够大的定向图包含一个Hamilton圈.这是最好的可能，解决了1979年的一个问题。
2008-04-10 math.CO
A bound on judicious bipartitions of directed graphs
图上的明智划分问题要求划分同时约束多个量，这一问题近来受到了广泛的关注。斯科特问了下面的自然问题：什么是最大常数$c_d$，使每一个有向图$D$与$m$弧和最小出度$d$承认一个双划分$V(D)= V_1\cup V_2$满足$\min\{e(V_1, V_2), e(V_2, V_1)\}\ge c_d m$？这里，对于$i=1,2$，$e(V_{i},V_{3-i})$表示$D$中从$V_{i}$到$V_{3-i}$的弧的数目。Lee，Loh和Sudakov %[有向图的明智划分，随机结构算法. 48%（2016）147--170]证明了每个有向图$D$具有$m$弧和最小出度至少$d\ge 2$，允许一个双划分$V(D)=V_1\cup V_2$，使得\[ \min\{e(V_1,V_2),e(V_2,V_1)\}\geq \Big(\frac{d-1}{2(2d-1)}+ o(1)\Big)m. \] %虽然不知道单独的最小出度条件%是否足够，w我们证明了这个猜想在最小入度也至少是$d$的附加自然条件下成立。
2018-05-15 math.CO
On the number of vertex-disjoint cycles in digraphs
令$k$为正整数。1981年，Bermond和Kassen证明了最小出度至少为$2k-1$的有向图都含有$k$顶点不交圈.它是著名的一百个未解决的问题之一[邦迪，Murty，图论，Springer-Verlag伦敦，2008年]。Lichiardopol、Por和Sereni在[SIAM J. Discrete Math.23（2）（2009）979-992]中证明了上述猜想对于$k=3$成立。令$g$为周长，即，一个给定的有向图的最短圈的长度。Bang-Jensen，Bessy和Bassé在[J.图论75（3）（2014）284-302]中证明了每个围长为$g$且最小出度至少为$\frac{g}{g-1}k$的有向图都包含$k$顶点不交圈. 2005年左右，Rassé证明了每个周长为$g$且最小出度至少为$h$的定向图（无2-圈的有向图）都包含一条长度为$h(g-1)$的路，其中$h$是正整数。本文首先对$k=3$的情形给出Bermond-Jenassen猜想的一个新的较短证明，然后反证Bang-Jensen，Bessy和Jenassé提出的猜想.最后，我们反驳了由Mr. Bassé提出的猜想的偶数围长情况。
2018-05-30 math.CO
Embedding cycles of given length in oriented graphs
Kelly，Kuehn和Osthus证明了：对任意l>3和不整除l的最小数k>2，任意足够大的定向图G的最小入度和最小出度至少为\lfloor| V（G）|/k \rfloor +1包含长度为l的有向循环。我们证明了这个猜想渐近的情况下，当l是足够大的相比，k和k>6。当k<7时，Kelly、Kuehn和Osthus已经渐近地解决了这个问题。
2012-10-03 math.CO
On directed versions of the Hajnal--Szemerédi theorem
我们称一个（di）图$G$有一个完美的$H$ -packing，如果存在一组$H$的顶点不相交的副本，它们覆盖了$G$中的所有顶点.开创性的Hajnal-Szemerédi定理刻画了确保图$G$包含完美$K_r$ -填充的最小度。本文证明了有向图的下列类比：设$T$是$r$顶点上的竞赛图，$G$是充分大阶$n$的有向图，其中$r$整除$n$ .如果$G$具有至少$ (1-1/r)n$的最小入度和最小出度，则$G$包含完美$T$ -填充。在$T$是循环三角形的情况下，这一结果验证了Czygrinow，Kierstead和Molla（关于大有向图）的一个猜想.此外，在$T$是传递的情况下，我们推测，它足以使$G$中的每个顶点有足够大的入度或出度。我们证明了这个猜想的传递三角形和渐近所有$r \geq 3$。我们的方法利用Keevash和Mycroft关于超图中几乎完美匹配的结果以及有向图移除引理。
2015-01-24 math.CO
A new connectivity bound for a tournament to be highly linked
本研究针对竞赛图的k-连通性问题，改进了此前的连通性上界，证明最小出度不低于21k-14的⌈12.5k-6⌉-连通竞赛图是k-连通的，同时优化了相关关键引理。
2023-11-07 math.CO
Oriented Trees in Digraphs without Oriented $4$-cycles
本文证明了在最小半度至少为k/2且不含4-圈的有向图中，只要最大出度和入度至少为k，就能包含任意具有k条弧的有向树，并对反有向树和树状结构给出更强结论。
2024-11-20 math.CO
Oriented trees and paths in digraphs
本文综述了有向图中包含所有给定长度定向路径或给定大小定向树的条件，涵盖竞赛图及色数、边密度、最小出度和最小半度等条件，并指出开放问题。
2024-05-24 math.CO
The regularity method for graphs and digraphs
这篇硕士论文调查结果在极值图论，特别是有关汉密尔顿周期。Szeméredi的正则性引理起着核心作用。我们还研究了有向图的鲁棒外扩张性质。Kelly证明了在$n$顶点上的每一个足够大的定向图，其最小的入度和出度至少为$3n/8 +o(n)$，它包含Hamilton圈的任何方向.我们利用Kelly的论证将他的结果推广到任何线性度的鲁棒扩张有向图。
2014-06-27 math.CO
Seymour's second neighbourhood conjecture: random graphs and reductions
本文研究 Seymour 第二邻域猜想，证明在随机图 G(n,p) 中当 p<1/2 时猜想几乎必然成立，并通过 p=1/2 的障碍及最小度分析给出该猜想的两个归约。
2024-08-09 math.CO
Triangle packings and 1-factors in oriented graphs
有向图是一个有向图，它可以从一个简单的无向图通过定向它的边得到。本文证明了任何n阶定向图G的最小入度和出度至少为（1/2-o（1））n，都包含一个至多覆盖3个顶点的循环三角形填充.这几乎回答了Cuckler和Yuster的一个问题，并且是最好的可能，因为对于n = 3 mod 18，存在一个没有完美三角形填充且所有阶和外阶都是（n-1）/2或（n-1）/2 \pm 1的竞赛图。在同样的假设下，我们还证明了可以嵌入任何指定的几乎1-因子，即对于任何序列n_1，...，n_t，其中n_1 +...+ n_t <n-O（1）我们可以找到长度为n_1，.，n_t。此外，在n_i上的一般条件下，我们可以消除O（1）的加法误差，并找到一个指定的1-因子。
2008-06-12 math.CO
Weak and strong local irregularity of digraphs
针对有向图局部不规则性的研究空白，提出弱（基于入度-出度对）和强（基于平衡度）局部不规则性定义，建立分解与着色框架，结合有向图结构性质提出最小颜色数猜想并提供结果支持。
2025-02-11 math.CO
Degree conditions forcing directed cycles
本文研究迫使有向图含指定有向圈的最小半度阈值，解决了 Kelly、Kühn 和 Osthus 关于长度被 3 整除且非 3 的圈的猜想，并给出给定方向圈的渐近阈值。
2024-01-18 math.CO
Optimally large cuts in both directions
Altifina Discovery Lab（Altifina 发现实验室）；Department of Applied Mathematics, Faculty of Mathematics and Physics, Charles University（查理大学数学物理学院应用数学系）
该研究针对最小出度至少为d的有向图，证明了其顶点二分划分的双向最优大割下界，解答了Scott的问题并证明了Lee等人的猜想，还给出d=2时的具体结果及近极值图的稳定性刻画。
2026-10-16 math.CO
Degrees in oriented hypergraphs and Ramsey p-chromatic number
由于$D(k,m)$在估计有向图的最大有向割和有向图的最小有向割覆盖中所起的作用，最近几篇论文研究了一类有向图族$D(k,m)$，使得对于每个顶点$v \in V(G)$，要么（出度）$°^+(v) \le k$，要么（入度）$°^-(v) \le m$.利用图的$d$ -退化度的概念，得到了图族$D(k,m)$中图的色数的一些结果.在本文中，我们考虑了一个深远的推广家庭$D(k,m)$，在一个补充的形式，到$r$-一致超图的背景下，使用Hakimi的定理推广到$r$ -一致超图，并显示出一些紧密的联系与著名的Ramsey数超图。
2011-12-14 math.CO
Arbitrary orientations of cycles in oriented graphs
School of Mathematics, Shandong University（山东大学数学学院）；Data Science Institute, Shandong University（山东大学数据科学研究院）；Interdisciplinary Center, Shandong University（山东大学交叉学科中心）
该研究证明了在特定度数条件下，有向图包含任意定向的Hamilton环，并推导了关于任意定向环的pancyclicity结果。
2025-12-30 math.CO
On Even Rainbow or Nontriangular Directed Cycles
设$G = (V, E)$是$n$ -点边着色图. 2013年，H. Li证明了如果每个顶点$v \in V$都至少与$(n+1)/2$有明显颜色的边关联，则$G$允许一个彩虹三角形。对于固定的偶彩虹$\ell$ -圈$C_{\ell}$，我们建立了一个相应的结果：如果每个顶点$v \in V$至少与$(n+5)/3$的不同色边相关联，其中$n \geq n_0(\ell)$足够大，则$G$允许偶彩虹$\ell$ -圈$C_{\ell}$ .当$\ell \not\equiv 0$（mod 3）时，此结果可能最佳。相应地，我们还证明了，对于一个固定的（偶数或奇数）整数$\ell \geq 4$，每一个大的$n$ -顶点定向图$\vec{G} = (V, \vec{E})$最小出度至少$(n+1)/3$允许一个（一致）有向$\ell$ -圈$\vec{C}_{\ell}$。我们的后一个结果与Kelly、Kühn和Osthus的一个结果有关，他们证明了具有大半度的定向图的类似陈述。我们的证明是基于稳定性方法。
2019-12-04 math.CO
On homomorphism related parameters of oriented triangle-free planar graphs
Indian Statistical Institute（印度统计研究所）；Netaji Subhas Open University（内塔吉·苏巴斯开放大学）；Indian Institute of Technology Dharwad（达瓦德印度理工学院）
研究无向三角形平面图的同态相关参数，证明其定向相对团数为10，还证明特定条件下基础图最小度至少为10，借此得出一些参数的改进下界。
2026-07-07 cs.DM math.CO
Antidirected trees in directed graphs
本文将 KSS 定理的有向图推广与较小阶树嵌入变体结合，证明在最小半度、最大度及出入度条件下，有向图必包含有界度的平衡反有向树。
2025-07-02 math.CO
Seymour's Second Neighborhood Conjecture for orientations of (pseudo)random graphs
Seymour的第二邻域猜想（SNC）指出，每个有向图都包含一个顶点，其第二邻域与其第一邻域一样大。我们研究了二项图和伪随机图的方向SNC，证明了SNC渐近几乎必然（a.a.s.）(i)对于$G(n,p)$的所有方向，如果$\limsup_{n\to\infty} p < 1/4$ ;以及（ii）对于每个弱$(p,A\sqrt{np})$ -双混杂图的一致随机方向，顺序为$n$和密度为$p$，其中$p=Ω(n^{-1/2})$和$1-p = Ω(n^{-1/6})$和$A>0$是独立于$n$和$p$的普适常数。我们还表明，a.a.s. SNC几乎适用于$G(n,p)$的每个方向。更具体地说，我们证明，a.a.s. (iii)对于所有具有$\limsup_{n\to\infty} p \le 2/3-\varepsilon$的$\varepsilon > 0$和$p=p(n)$，具有最小出度的$G(n,p)$的每个取向$Ω_\varepsilon(\sqrt{n})$满足SNC;以及（iv）对于所有$p=p(n)$，$G(n,p)$的随机取向满足SNC。
2022-11-12 math.CO
Short rainbow cycles in edge-colored graphs
本文扩展了Guo关于Aharoni彩虹圈猜想的研究，证明了当边着色图中超过半数的颜色类为大小为2的匹配或三角形时，必然存在长度为 $O(\log n)$ 的短彩虹圈，并验证了该对数界的数量级正确性。
2023-11-21 math.CO math.PR
