关于非一致超图的二色性的一个注记
A note on two-colorability of nonuniform hypergraphs
摘要：
对于一个超图$H$，令$q(H)$表示当$H$中每个顶点的颜色从大小为2的集合中随机均匀采样时单色边的期望数目。令$s_{\min}(H)$表示$H$中边的最小尺寸。1963年，Erdens提出了一个问题：是否存在一个无界函数$g(k)$，使得任何具有$s_{\min}(H) \geq k$和$q(H) \leq g(k)$的超图$H$是两个可着色的。Beck在1978年对这个问题作了肯定的回答，即函数$g(k) = Θ(\log^* k)$。我们改进了这一结果表明，对于一个绝对常数$δ>0$，一个版本的随机贪婪着色过程是可能找到一个适当的两个着色的任何超图$H$与$s_{\min}(H) \geq k$和$q(H) \leq δ\cdot \log k$。
英文摘要：
For a hypergraph $H$, let $q(H)$ denote the expected number of monochromatic edges when the color of each vertex in $H$ is sampled uniformly at random from the set of size 2. Let $s_{\min}(H)$ denote the minimum size of an edge in $H$. Erdős asked in 1963 whether there exists an unbounded function $g(k)$ such that any hypergraph $H$ with $s_{\min}(H) \geq k$ and $q(H) \leq g(k)$ is two colorable. Beck in 1978 answered this question in the affirmative for a function $g(k) = Θ(\log^* k)$. We improve this result by showing that, for an absolute constant $δ>0$, a version of random greedy coloring procedure is likely to find a proper two coloring for any hypergraph $H$ with $s_{\min}(H) \geq k$ and $q(H) \leq δ\cdot \log k$.
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