Hamilton cycles in random graphs with minimum degree at least 3: an improved analysis

图中存在模$k$的所有长度圈的最小度条件

Minimum degree conditions for the existence of cycles of all lengths modulo $k$ in graphs

1983年，Rassen证明了对正整数$k$，每个最小度至少为$k + 1$的$2$ -连通非二部图包含模$k$的所有长度的圈.本文对这一猜想作了肯定的回答。

$3$ -一致超图中松弛Hamilton圈的最小顶点度条件

Minimum vertex degree conditions for loose Hamilton cycles in $3$-uniform hypergraphs

研究了$3$ -一致超图的最小顶点度条件，该条件保证了松弛Hamilton圈的存在性。一个松散的哈密尔顿圈是一个生成圈，其中只有连续的边相交，这些交点恰好由一个顶点组成。证明了每一个顶点度最小的$3$ -一致$n$ -顶点（$n$偶）超图$\mathcal{H}$ $δ_1(\mathcal{H})\geq \left(\frac7{16}+o(1)\right)\binom{n}{2}$包含一个松弛Hamilton圈。这个界是渐近最佳可能界。

Minimum degree conditions for monochromatic cycle partitioning

A classical result of Erdős, Gyárfás and Pyber states that any $r$-edge-coloured complete graph has a partition into $O(r^2 \log r)$ monochromatic cycles. Here we determine the minimum degree threshold for this property. More precisely, we show that there exists a constant $c$ such that any $r$-edge-coloured graph on $n$ vertices with minimum degree at least $n/2 + c \cdot r \log n$ has a partition into $O(r^2)$ monochromatic cycles. We also provide constructions showing that the minimum degree condition and the number of cycles are essentially tight.

Graphs with large minimum degree and no small odd cycles are $3$-colourable

Answering a question by Letzter and Snyder, we prove that for large enough $k$ any $n$-vertex graph $G$ with minimum degree at least $\frac{1}{2k-1}n$ and without odd cycles of length less than $2k+1$ is $3$-colourable. In fact, we prove a stronger result that works with a slightly smaller minimum degree.

具有少量哈密顿环的4-正则4-连通哈密顿图

4-regular 4-connected Hamiltonian graphs with few Hamiltonian cycles

该研究证明了存在哈密顿环数量有界的无穷多族4-正则4-连通哈密顿图，并提出5-正则5-连通情形下是否存在同类图族的开放问题。

不含哈密顿圈的三度平面正则图

On planar regular graphs degree three without Hamiltonian cycles

给出了可平面图存在哈密顿圈的必要条件。给出了不含哈密顿圈的三度正则可平面图的例子。

关于少色Hamilton圈的一点注记

A remark on Hamilton cycles with few colors

Akbari、Etesami、Mahini和Mahmoody证明了$K_n$的每一个具有$n$颜色的真边着色都包含一个具有$\leq O(\log n)$颜色的Hamilton圈。他们证明了总有一个带有$\leq 8\sqrt n$颜色的Hamilton圈。在本文中，我们将这个界限改进为$O(\log^3 n)$。

三次图和最小度为3的图的短圈覆盖

Short Cycle Covers of Cubic Graphs and Graphs with Minimum Degree Three

Alon和Tarsi的最短圈覆盖猜想证明了所有具有$m$边的无桥图的边都能被总长度不超过$7m/5=1.400m$的圈覆盖。我们证明了每一个立方无桥图的圈覆盖的总尺子至多为$34m/21\approx 1.619m$，每一个最小度为3的无桥图的圈覆盖的总尺子至多为$44m/27\approx 1.630m$ .

计数平铺图中的遍历 Hamilton 圈

Counting traversing Hamiltonian cycles in tiled graphs

该研究把遍历 Hamilton 圈计数推广到广义平铺图，并证明固定瓦片集合下可按图规模线性时间计数，属于固定参数可处理问题。

完全图与不交叉哈密顿圈的交叉数

On the Crossing Number of Complete Graphs with an Uncrossed Hamiltonian Cycle

本文证明了一个完全图的交叉数的新的下界，假设它是以这样一种方式画的，它包含一个哈密顿圈没有交叉。

随机图的模式着色Hamilton圈

Pattern Colored Hamilton Cycles in Random Graphs

考虑了随机着色随机图中模式Hamilton圈的存在性。给定一个在一组颜色$\{1,2,\ldots,r\}$上的字符串$Π$，我们说一个Hamilton循环是$Π$着色的，如果当我们绕着这个循环时，图案以长度$|Π|$的间隔重复。我们证明了这样一个循环存在的一个首中时。我们还证明了一个首中时的结果$Π$ -连接的相关概念。

双重广义Petersen图的Hamilton圈

Hamilton Cycles in Double Generalized Petersen Graphs

Watkins（1969）通过对Petersen图的改进，首次引入了广义Petersen图（GPG）。Zhou和Feng（2012）对GPG进行了改进，引入了双广义Petersen图（DGPG）。Kutnar和Petecki（2016）证明了DGPG在特殊情况下是Hamilton的，并证明了所有的DGPG都是Hamilton的。本文构造了所有DGPG中的Hamilton圈。

最小度数大的3边着色图的长单色偶圈

Long monochromatic even cycles in 3-edge-coloured graphs of large minimum degree

我们证明了对于每个$η>0$，存在$n_0$使得对于每个偶数$n$，$n\ge n_0$，和每个具有$(2+η)n$顶点和最小度至少为$(7/4+4η)n$的图$G$，$G$的边的每个着色都有三种颜色，结果是长度为$n$的单色圈.

On hamiltonian cycles in Cayley graphs of order pqrs

Let $G$ be a finite group. We show that if $|G| = pqrs$, where $p$, $q$, $r$, and $s$ are distinct odd primes, then every connected Cayley graph on $G$ has a hamiltonian cycle.

求三次可平面图中哈密顿圈的一个算法

An algorithm for finding Hamiltonian Cycles in Cubic Planar Graphs

首先证明了在三次可平面图中寻找哈密顿圈与在对偶图中寻找具有特定性质的树之间的一一对应关系。利用这些信息，我们构造了一个精确的算法，在三次可平面图中寻找哈密顿圈。我们的算法的最坏情况下的时间复杂度是O $(2^n)$。

双向反对称图的最小平均圈问题

Minimum Mean Cycle Problem in Bidirected and Skew-Symmetric Graphs

在边权双向图$G=(V,E)$中寻找边的平均权最小的圈的问题推广了有向图和无向图的类似问题。(The问题被认为是在两个变种：为循环没有重复的边缘和循环没有重复的节点）。在这篇文章中，我们开发了一个算法来解决这个问题的$O(V^2 \min(V^2, E\log V))$时间（比较：一个改进版本的Barahona的算法的复杂性为无向循环是$O(V^4)$）。我们的算法是基于一定的一般方法，最小均值问题和使用，作为一个子程序，Gabow的算法的最小重量2-因子问题的图。这个问题承认在反对称图的正规圈方面的一个重新制定。

关于4k阶Hamilton k-正则二部图的圈结构

On the cycle structure of hamiltonian k-regular bipartite graphs of order 4k

证明了一个$2n>8$阶的Hamilton $n/2$ -正则二部图$G$包含一个长为$2n-2$的圈.此外，如果可以选择这样一个圈来省略一对相邻的顶点，则$G$是双泛圈的。

随机一致超图中的紧Hamilton圈

Tight Hamilton Cycles in Random Uniform Hypergraphs

本文证明了对于所有的$k\ge 4$，$e/n$是随机$k$ -一致超图中存在紧Hamilton圈的最佳阈值.当$k=3$，我们表明，$1/n$是一个渐近阈值。我们还确定了其他类型的Hamilton圈的存在的阈值。

莫泽可能会问的问题：在Tourist中计算Hamilton圈

What Moser Could Have Asked: Counting Hamilton Cycles in Tournaments

莫泽要求在$n$顶点上构造至少具有$(\frac{n}{3e})^n$ Hamilton圈的显式竞赛图。我们表明，他本可以要求更多。

给定阶Hamilton阈值图中Hamilton圈的最少个数

The minimum number of Hamilton cycles in a hamiltonian threshold graph of a prescribed order

证明了$n$阶Hamilton阈值图的最小Hamilton圈数为$2^{\lfloor (n-3)/2\rfloor}$，且该最小Hamilton圈数是由度序列为$n-2$的图$n-1,n-1,n-2,\ldots,\lceil n/2\rceil,\lceil n/2\rceil,\ldots,3,2$唯一得到的.该图也是所有$n.$阶Hamilton阈值图中唯一的最小图

用对称张量表示边着色和哈密顿圈的enumeration

The enumeration of edge colorings and Hamiltonian cycles by means of symmetric tensors

彭罗斯之后，我们介绍了一个家庭的图函数定义的某些产品的收缩的对称张量沿边的一个图。这些函数的特例列举了图中任意长度的边着色和圈（特别是哈密顿圈）。

枚举哈密顿路径与回路

Enumerating Hamiltonian Paths and Cycles

本文证明了完全多部图中定向哈密顿路径与回路的计数公式，采用折叠技术关联普通路径图与合法着色路径图。

Hamilton圈的大小界

A Size Bound for Hamilton Cycles

每个边数为$q$且度为$δ$的图都是哈密尔顿图，如果$q\leδ^2+δ-1$ .结果是尖锐的。

关于Hamilton圈覆盖扩张图

On covering expander graphs by Hamilton cycles

随机图和伪随机图的填充Hamilton圈问题已经得到了广泛的研究。本文研究了图的边被Hamilton圈覆盖的对偶问题，证明了：如果一个最大度$Δ$图满足一些基本的扩张性质，并且包含一族$(1-o(1))Δ/2$边不相交的Hamilton圈，那么它的边也存在被$(1+o(1))Δ/2$ Hamilton圈覆盖的问题.这意味着对每个$α>0$和每个$p \geq n^{α-1}$，几乎必然存在一个由$(1+o(1))np/2$ Hamilton圈覆盖的$G(n,p)$的所有边，这是几乎最优的.

The threshold for the square of a Hamilton cycle

Resolving a conjecture of Kühn and Osthus from 2012, we show that $p= 1/\sqrt{n}$ is the threshold for the random graph $G_{n,p}$ to contain the square of a Hamilton cycle.

添加随机边以创建Hamilton圈的平方

Adding random edges to create the square of a Hamilton cycle

我们考虑有多少随机边需要添加到一个图的顺序$n$与最小程度$αn$，以便它包含的平方的汉密尔顿圈w.h.p.。

随机图中Hamilton圈的幂与随机超图中紧Hamilton圈

Powers of Hamilton cycles in random graphs and tight Hamilton cycles in random hypergraphs

我们证明了对每个$k \in \mathbb{N}$都存在$C > 0$，使得如果有$p^k \ge C \log^8 n / n$，则随机图$G_{n,p}$渐近几乎必然包含一个Hamilton圈的$k$ \textsuperscript{th}幂.这决定了汉密尔顿圈的平方出现的阈值达到对数因子，改进了库恩和奥斯托斯的结果。此外，我们的证明提供了一个随机化的准多项式算法找到这样的权力的周期。利用类似的思想，我们还给出了在随机$k$ -一致超图$G_{n,p}^{(k)}$中为$p \ge C \log^8 n/ n$寻找紧Hamilton圈的随机拟多项式算法。证明是基于吸收的方法，并遵循Kühn和Osthus，和Allen等人的策略。新的成分是一个一般的连接引理，它允许我们连接使用任意结构的顶点元组在一个接近最优值的$p$。连接引理及其基于Janson不等式和贪婪嵌入策略的证明可能是独立的。

图的圈长与最小度

Cycle lengths and minimum degree of graphs

关于最小度大的图的圈长问题已经有了广泛的研究。本文在这方面得到了几个新的严格结果。设$G$是最小度至少为$k+1$的图.证明了：如果$G$是二部的，则在$G$中存在$k$圈，其长度构成一个公差为2的等差数列.对于一般图$G$，我们证明了$G$包含连续偶数长度的$\lfloor k/2\rfloor$圈和长度构成公差为1或2的等差数列的$k-3$圈.此外，如果$G$是2-连通的且非二部的，则$G$包含连续奇数长度的$\lfloor k/2\rfloor$圈。Lassen（1983）对模$k$的圈长做了两个证明：（1）最小度至少为$k+1$的图包含模$k$的所有偶数长度的圈;（2）最小度至少为$k+1$的2-连通非二部图包含模$k$的所有长度的圈。这两个假设，如果是真的，是最好的可能。当$k$为偶数时，我们的结果证实了这两种假设。当$k$是奇数时，我们证明了最小度至少为$k+4$就足够了.这改进了以前在这个方向上的所有结果。此外，我们的结果得到了新的上界的色数的最长序列的循环连续（偶数或奇数）的长度。

$4$ -一致超图中紧哈密顿圈的最小对度条件

Minimum pair degree condition for tight Hamiltonian cycles in $4$-uniform hypergraphs

证明了每一个顶点数为$n$且最小度至少为$(5/9+o(1))n^2/2$的4-一致超图都包含一个紧哈密顿圈.这个度条件是渐近最优的。

随机一致超图中的松弛Hamilton圈

Loose Hamilton Cycles in Random Uniform Hypergraphs

在随机超图$H_{n,p;k}$中，每个可能的$k$ -元组以概率$p$独立出现。一个松散的哈密尔顿圈是一个圈，其中每对邻边相交于一个单一的顶点。我们证明，如果$p n^{k-1}/\log n$趋于无穷大的$n$，然后$$\lim_{\substack{n\to \infty 2(k-1) |n}}\Pr(H_{n,p;k}\ contains\ a\ loose\ Hamilton\ cycle)=1.$$这是渐近最好的可能。

具有少量或大量Hamilton圈的高连通平面三次图

Highly-connected planar cubic graphs with few or many Hamilton cycles

本文研究了具有高圈边连通度的平面三次图中Hamilton圈的个数，回答了Chia和Jassen提出的两个问题（“On the number of longest and almost longest cycles in cubic graphs”，Ars Combin. 104，307- 320，2012）关于这些族中的极值图。特别地，我们发现了一类循环$5$ -边连通平面三次图，它们比广义Petersen图$P(2n,2)$具有更多的Hamilton圈.图本身是富勒烯图，对应于某些被称为纳米管的碳分子-更准确地说，该家族由（固定）宽度$5$和增加长度的锯齿形纳米管组成。为了计算纳米管中的Hamilton圈，我们开发了受统计物理学的转移矩阵启发的方法。我们概述了这些方法如何可以适应计数更大（但仍然固定）的宽度的纳米管中的汉密尔顿周期，与警告，所得到的表达式涉及矩阵的权力。我们还考虑了具有少量Hamilton圈的循环$4$ -边连通的三次可平面图，并给出了一个这样的图的无限族，每个图都恰好具有$4$ Hamilton圈.最后我们考虑了这两类图的“另一个极端”，从而研究了具有多个Hamilton圈的循环$4$ -边连通三次平面图和具有少个Hamilton圈的循环$5$ -边连通三次可平面图.在每一种情况下，我们提出了部分结果，例子和插图关于图的几个或多个Hamilton圈。

随机图中具有Hamilton圈的最优覆盖

Optimal covers with Hamilton cycles in random graphs

图G的Hamilton圈填充是指图G中边不相交的Hamilton圈的集合。最近的结果表明，G_n，p a.a.s.大小为\lfloor delta（G_n，p）/2 \rfloor。Glebov、Krivelevich和Szabó最近开始研究“对偶”问题，其中要求一组覆盖G的所有边的Hamilton圈。我们的主要结果表明，对于log^{117}n / n < p < 1-n^{-1/8}，a.a.s. G_n，p的边可由\lceil Delta（G_n，p）/2 \rceil Hamilton圈覆盖.这显然是最优的，并且改进了Glebov、Krivelevich和Szabó的近似结果，该结果对p > n^{-1+ \eps }成立。我们的证明是基于Knox，Kühn和Osthus关于伪随机图中填充Hamilton圈的一个结果.

随机图中的哈密顿环：一份文献目录

Hamilton Cycles in Random Graphs: a bibliography

本文通过提供一份带注释的文献目录，梳理了随机图与超图中哈密顿环的研究工作，为相关领域学者提供便利的文献参考。

Colour-biased Hamilton cycles in random graphs

We prove that a random graph $G(n,p)$, with $p$ above the Hamiltonicity threshold, is typically such that for any $r$-colouring of its edges there exists a Hamilton cycle with at least $(2/(r+ 1)-o(1))n$ edges of the same colour. This estimate is asymptotically optimal.

3-一致超图中紧哈密顿圈的最小顶点度条件

Minimum vertex degree condition for tight Hamiltonian cycles in 3-uniform hypergraphs

证明了每一个顶点数为$n$且最小顶点度至少为$(5/9+o(1))\binom{n}2$的3-一致超图都包含一个紧哈密顿圈.已知的下界构造表明，这个度条件是渐近最优的。

关于Hamilton圈的一个注记

A Note on Hamilton Cycles

如果$G$是$n$上的一个以上的坚韧图，且对于给定的$a>0$，$n$具有$δ\ge \frac{n}{2}-a$，且$n$足够大，则$G$是Hamilton图.

无爪哈密顿图的圈谱

The Cycle Spectrum of Claw-free Hamiltonian Graphs

如果$G$是阶为$n$且最大度为$Δ$且具有$Δ\geq 24$的无爪哈密顿图，则$G$至少有$\min\left\{ n,\left\lceil\frac{3}{2}Δ\right\rceil\right\}-2$许多不同长度的圈。

Hamilton cycles in line graphs of 3-hypergraphs

We prove that every 52-connected line graph of a rank 3 hypergraph is Hamiltonian. This is the first result of this type for hypergraphs of bounded rank other than ordinary graphs.

单纯集与超可解超平面排列中的哈密顿环

Hamiltonian Cycles in Simplicial and Supersolvable Hyperplane Arrangements

研究超平面排列的tope图中哈密顿环的存在性，特别是单纯集、反射和超可解排列，并证明所有3维单纯集排列及有限反射排列均存在哈密顿环。

大最小度有向图中 Hamilton 圈的任意定向

Arbitrary orientations of Hamilton cycles in directed graphs of large minimum degree

本文将 Ghouila-Houri 的有向 Hamilton 圈定理渐近推广到任意圈定向，证明最小度至少为 (1+o(1))n 的有向图包含所有可能长度圈的各种定向，仅非强连通情形下有向 Hamilton 圈例外。

稀疏随机图中Hamilton圈的最优填充

Optimal packings of Hamilton cycles in sparse random graphs

证明了存在一个正常数ε，使得若\log/\le ^{-1+ε}，则随机图G ~ G（n，p）渐近几乎必然包含\lfloor δ（G）/2 \rfloor边不交Hamilton圈的集合.

有向图的连通性与有序圈

Linkedness and ordered cycles in digraphs

有向图D的最小半度是它的最小出度和最小入度中的最小者。证明了最小半度至少为n/2 +k-1的充分大有向图D是k-连通的.最小半度上的界是最好的，并且证实了Manoussakis在1990年提出的一个猜想。我们还确定了最小的最小半度，它确保了一个足够大的有向图D是k-序的，即对于D的每个k个不同顶点的有序序列，都有一个有向圈以这个顺序遇到这些顶点。

M-交错Hamilton路与M-交错Hamilton圈

M-alternating Hamilton paths and M-alternating Hamilton cycles

本文研究了具有完美匹配$M$的简单连通图$G$中关于$ν$顶点的$M$ -交错Hamilton路和$M$ -交错Hamilton圈.设$G$是一个二部图，证明了：如果对$G$的不同部分中的任意两个顶点$x$和$y$，$d(x)+d(y)\geq ν/2+2$，则$G$有一个$M$ -交错Hamilton圈.对于一般图，给出了$M$中存在以边为起点和终点的$M$ -交替Hamilton路的一个条件.然后证明了：如果$κ(G)\geqν/2$，其中$κ(G)$表示$G$的连通度，则$G$有一个$M$ -交错Hamilton圈或属于一类例外图. Lou和Yu \cite{LY}证明了：每个具有$k\geqν/4$的$k$ -可扩图$H$是二部图或满足$κ(H)\geq 2k$ .结合这个结果，我们证明了$H$中存在$M$ -交错Hamilton圈.

超图中颜色偏置哈密顿环的最小度阈值

A minimum-degree threshold for colour-biased Hamilton cycles in hypergraphs

该研究确定了使双色3-超图存在颜色偏置紧哈密顿环的渐近最优最小顶点度条件，证实了相关学者提出的猜想。

最小圈分解：树宽为2且结点度为2和4的图的一个构造性刻画

Minimum Cycle Decomposition: A Constructive Characterization for Graphs of Treewidth Two with Node Degrees Two and Four

已经进行了大量的努力来计算或估计划分欧拉图的边所需的最小圈数$c(G)$。本文给出了树宽为$2$和最大度为$4$的欧拉图的一个等价刻画.这种特性使我们能够提出一个线性时间算法的计算$c(G)$的所有$G$在这个类。

有向图中Hamilton圈的研究

A survey on Hamilton cycles in directed graphs

本文综述了关于有向图、定向图和竞赛图中Hamilton圈的一些最新结果。我们还结合其中的一些证明了下面的近似结果对凯利的猜想汉密尔顿分解的定期比赛：每一个定期比赛的边缘可以覆盖的一组汉密尔顿圈是'几乎'边不相交。我们还强调的作用，“强大的扩展”的概念在几个证据中发挥作用。讨论了新的和旧的开放问题。

完全$k$ -部图的标号和非标号哈密顿圈的Enumeration

Enumeration of Labelled and Unlabelled Hamiltonian Cycles in Complete $k$-partite Graphs

我们在完全$n$ -部图$K_{d,d,\ldots,d}$中列举了标号和非标号哈密顿圈，这些图的每一部分都有精确的$d$顶点（换句话说，图兰图$T(nd, n))$）.我们得到的递归关系，使我们能够找到精确的值$b_{n}^{(d)}$，这样的周期为任意$n$和$d$

Small cycles, generalized prisms and Hamiltonian cycles in the Bubble-sort graph

The Bubble-sort graph $BS_n,\,n\geqslant 2$, is a Cayley graph over the symmetric group $Sym_n$ generated by transpositions from the set $\{(1 2), (2 3),\ldots, (n-1 n)\}$. It is a bipartite graph containing all even cycles of length $\ell$, where $4\leqslant \ell\leqslant n!$. We give an explicit combinatorial characterization of all its $4$- and $6$-cycles. Based on this characterization, we define generalized prisms in $BS_n,\,n\geqslant 5$, and present a new approach to construct a Hamiltonian cycle based on these generalized prisms.

有向图中的有向Hamilton圈与二部图中的匹配交错Hamilton圈

Directed Hamilton cycles in digraphs and matching alternating Hamilton cycles in bipartite graphs

1972年，Woodall提出了有向图中有向Hamilton圈的Ore型条件：设$D$是有向图。如果对于每个顶点对$u$和$v$，其中没有从$u$到$v$的弧，我们有$d^+u)+d^-(v)\geq |D|$，则$D$有一个有向Hamilton圈。利用二部图与有向图之间的对应关系，上述结果等价于Las Vergnas的结果：设$G = (B,W)$是平衡二部图.如果对于任何$b \in B$和$w \in W$，其中$b$和$w$不相邻，我们有$d(w)+d(b) \geq |G|/2 + 1$，则$G$的每个完美匹配都包含在一个Hamilton圈中。两个结果的下界都很紧。在本文中，我们减少这两个界限$1$，并证明结论仍然成立，只有少数例外的情况下，可以清楚地描述。

定向图中Hamilton圈的任意定向

Arbitrary Orientations Of Hamilton Cycles In Oriented Graphs

本文利用随机嵌入方法证明了：对于α>0，任何具有最小入度和最小出度δ^+（G），δ^-（G）\geq（3/8+α）|G|的足够大的定向图G包含Hamilton圈的所有可能的定向.这证实了Häggkvist和Ekasason的一个猜想。

不含最小度为3的真子图和短圈的图

Graphs without proper subgraphs of minimum degree 3 and short cycles

本文研究了$n$顶点上的图，这些图有$2n-2$边且没有最小度的真诱导子图$3$ . Erdés、Faudree、Gyárfás和Schelp指出，对于某个趋于无穷大的函数$C(n)$，这样的图总是有长度为$3,4,5,\dots, C(n)$的圈。我们证明了这个猜想是错误的，解决了树中叶到叶路径长度的相关问题，并刻画了具有$n$顶点和$2n-2$边的图，不包含最小度的真子图$3$。

最小度为$3n/4$的$2$着色图的单色圈划分

Monochromatic cycle partitions of $2$-coloured graphs with minimum degree $3n/4$

Balogh、Barát、Gerbner、Gyárfás和Sárközy提出了以下猜想。设$G$是$n$顶点上的图，其最小度至少为$3n/4$ .然后，对于$G$的每个$2$ -边着色，顶点集$V(G)$可以被划分成两个顶点不相交的循环，每个颜色一个。我们证明，这个猜想持有$n$足够大，改善上述作者和DeBiasio和Nelsen的近似结果。

$3$-一致超图中几乎生成紧圈的最小顶点度

The minimum vertex degree for an almost-spanning tight cycle in a $3$-uniform hypergraph

本文证明了最小顶点度至少为$\left(\frac{5}{9} + o(1) \right)\binom{n}{2}$的$3$-一致超图存在几乎生成紧圈，即不含$o(n)$顶点的紧圈.顶点度的界是渐近最佳可能的。我们的证明使用超图正则性方法，特别是最近版本的超图正则性引理证明艾伦，Böttcher，库利和麦考夫。

随机3-一致超图的松弛Hamilton圈

Loose Hamilton Cycles in Random 3-Uniform Hypergraphs

在随机超图H=H（n，p;3）中，每一个可能的三元组都以概率p独立出现。一个松散的Hamilton圈可以描述为边序列{x_i，y_i，x_{i+1} \}，其中i= 1，2，.，n/2。证明了存在一个绝对常数K>0，使得当p> \log n/n^2时，有lim_{n->oo 4 |n} }Pr（H（n，p;3）包含一个松弛Hamilton圈）=1.