Conflict-Free Coloring of Star-Free Graphs on Open Neighborhoods
给定一个图，开邻域上的无冲突着色问题（CFON）要求对图的顶点着色，使得所有顶点在其开邻域中有唯一着色的顶点。这种着色所需的最小颜色数称为无冲突色数，记为$χ_{ON}(G)$。本文在无$S_k$图上研究这个问题，其中$S_k$是$k+1$上的星.当$G$是$S_k$自由，我们表明，$χ_{ON}(G) = O(k\cdot \log^{2+ε}Δ)$，对任何$ε> 0$，其中$Δ$表示的最大程度的$G$ .此外，我们证明了存在的无爪（$S_3$ -免费）图，需要$Ω(\log Δ)$颜色。
2020-09-14 math.CO
On conflict-free colorings of cyclic polytopes and the girth conjecture for graphs
本文研究循环多面体对应超图的无冲突色数，给出若干偶数维的精确渐近界及一般偶数维上下界，并揭示其与 Erdős 围长猜想的联系。
2025-10-21 math.CO
Single conflict coloring, adaptable choosability and separation choosability
本文研究了单冲突着色、适应列表着色和带分离可选性三个图着色概念之间的关系，构造了特定图族并探讨了平面图中三个不变量的可能取值组合。
2025-09-17 math.CO
Proper conflict-free list-coloring, odd minors, subdivisions, and layered treewidth
本文研究图的正常无冲突列表着色问题，针对稀疏图与稠密图分别证明了两个逆命题，给出相关问题的部分答案，还得到子式闭族的更优界及分层树宽有界图的着色数上界，可应用于(g,k)-平面图。
2023-07-02 math.CO
Double-Partition Coloring problem: a unified approach for conflict-free coloring of hypergraphs and other coloring problems in graphs
Universidad Nacional de Rosario（罗萨里奥国立大学）；CONICET（国家科学技术研究委员会）；Escuela Politécnica Nacional（国立理工学院）
本文研究双划分着色问题（DPCP），提出结构性质、启发式方法及增强的分支定价精确算法，并在CFCP实例上首次进行计算评估，与紧凑整数规划公式互补求解。
2026-10-08 math.CO
The forb-flex method for odd coloring and proper conflict-free coloring of planar graphs
本研究提出贪心着色新工具forb-flex方法，结合放电法改进了平面图奇着色与正常无冲突着色的色数上界，优化了已有研究结果。
2024-01-26 math.CO
Degree-choosability of proper conflict-free list coloring of sparse graphs
Faculty of Science and Technology, Keio University（庆应义塾大学理工学部）；Faculty of Mathematics and Physics, University of Ljubljana（卢布尔雅那大学数学与物理学院）；Faculty of Information Studies, Novo Mesto（新梅斯托信息学院）；Rudolfovo - Science and Technology Centre Novo Mesto（鲁多尔福沃-新梅斯托科学与技术中心）；School of Mathematical and Science, Zhejiang Normal University（浙江师范大学数理学院）
本文研究了稀疏图的正冲突自由列表着色问题，证明了最大平均度受限的图在特定度数加常数条件下具有正冲突自由可选择性。
2026-01-22 math.CO
On variants of conflict-free-coloring for hypergraphs
无顶点染色是超图的一种顶点染色，它要求每一个超边都有一个只出现在一个顶点上的颜色。更一般地，对于正整数$k$，存在$k$ -无冲突着色（简称$k$ -CF-着色）和$k$ -强-无冲突着色（简称$k$ -SCF-着色）。对于某个正整数$k$为%。设$H_n$是顶点集为$V_n=\{1,2,\dots,n\}$的超图，超边集$\cal{E}_n$是由$V_n$的连续元素组成的$V_n$的所有（非空）子集的集合.首先，我们研究了$H_n$的$k$-SCF-染色，给出了$H_n$对$k=2,3$的$k$-SCF-染色色数的精确表达式，并给出了对所有$k$，$H_n$的$k$-SCF-染色色数的上下界.其次，我们对所有的$k$，给出了$H_n$的精确$k$-CF-染色色数。
2014-08-28 math.CO math.PR
Brooks Type Results for Conflict-Free Colorings and {a, b}-factors in graphs
一个超图的顶点染色是无冲突的，如果每一条边都包含一个顶点，该顶点的颜色在该边的任何其他顶点上都不重复。设$f(r, Δ)$是最小整数$k$，使得每个顶点度最大的$r$ -均匀超图$Δ$具有最多$k$颜色的无冲突染色.如Tardos和Pach所示，类似于超图的经典Brooks型定理，$f(r, Δ)\leq Δ+1$。与Brooks定理相比，根据Brooks定理，只有一对图/超图达到了$Δ+1$界，我们证明了有几个无限类的一致超图达到了上界.我们给出了大$Δ$的$f(r, Δ)$的上界，并建立了$r$ -正则图中无冲突着色与所谓的$\{t, r-t\}$ -因子之间的联系.这里，$\{t, r-t\}$因子是其中每个度是$t$或$r-t$的因子。其中，我们证明了Akbari和Kano~[Graphs and Combinatorics 30（4）：821- 826，2014]的一个猜想：对于奇$r$和任何奇$t<\frac{r}{3}$，在每个$r$ -正则图中存在一个$\{t,r-t\}$ -因子.
2016-12-05 math.CO
Proper Conflict-free Coloring of Graphs with Large Maximum Degree
本研究针对图的正常无冲突着色问题，基于通用框架结合Rosenfeld计数方法，给出大最大度下图的列表着色上界及渐近最优的分数着色结果，推进了相关猜想的研究。
2024-03-07 math.CO
Extremal Results on Conflict-free Coloring
本文研究图的无冲突开邻域与闭邻域着色的极值问题，围绕CFON和CFCN色数展开分析。
2025-11-09 cs.DM math.CO
Proper conflict-free 7-coloring of planar graphs
Instituto de Ingeniería Matemática – CIMFAV, Facultad de Ingeniería, Universidad de valparaíso（瓦尔帕莱索大学工程学院数学工程研究所-CIMFAV）；Universidade Federal do ABC（ABC联邦大学）
该研究针对不含K₅、Q₆子式的图，证明其恰当无冲突着色的7色上界，改进平面图此前的8色上界，还推导了不含Kₖ₊₁子式图的奇偶无冲突着色的2k-1色相关结论。
2026-08-04 math.CO
Non-Monochromatic and Conflict-Free Coloring on Tree Spaces and Planar Network Spaces
众所周知，在$\mathbb{R}^1$中的任何n个区间的集合允许两种颜色的非单色着色和三种颜色的无冲突着色。我们调查的推广，这一结果着色的对象在更复杂的1维空间，即所谓的树空间和平面网络空间。
2018-05-07 cs.CG cs.DM math.CO
Conflict-Free Coloring on Open Neighborhoods
在无向图中，无冲突着色（相对于开邻域）是对图$G$的顶点的颜色分配，使得$G$中的每个顶点在其开邻域中具有唯一着色的顶点。无冲突着色问题要求找到无冲突着色所需的最小颜色数。无冲突着色问题是NP完全的。Abel et. [SODA 2017]，可以推断每个平面图都有最多9种颜色的无冲突着色。由于平面图最著名的下界是四色，在同一篇论文中有人问，如果更少的颜色就足够了。我们在回答这个问题上取得了进展，证明了每个平面图最多可以用六种颜色着色。同样的证明思想被用来证明每一个外平面图可以用最多五种颜色着色。使用不同的方法，我们进一步表明，每一个outerplanar图可以着色使用最多四种颜色。最后，我们研究了Kneser图上的问题。我们证明了当$n\geq k(k+1)^2 + 1$满足一定条件时，$k+2$着色是对Kneser图$K(n,k)$着色的充分必要条件.
2019-10-02 cs.DM math.CO
Results on proper conflict-free list coloring of graphs
该研究围绕图的正常无冲突列表染色展开，聚焦度加k可选性问题，验证了低最大度图及边细分图的相关染色性质，为相关猜想提供了支撑。
2025-09-04 math.CO
Conflict-free chromatic index of bipartite graphs
School of Mathematics and Statistics, Lanzhou University（兰州大学数学与统计学院）
本文证明了双色图无冲突色数不超过3，验证了Kamyczura等人关于无孤立顶点双色图的猜想。
2026-04-27 math.CO
Conflict-free incidence coloring of outer-1-planar graphs
图$G$的关联是顶点-边对$(v,e)$，使得$v$与$e$关联。图的无冲突关联着色是以这样的方式对关联着色，使得两个关联$(u,e)$和$(v,f)$当且仅当它们彼此冲突时得到不同的颜色，即，(i)$u=v$，（ii）$uv$是$e$或$f$，或（iii）存在顶点$w$，使得$uw=e$和$vw=f$。图的所有无冲突关联着色中使用的最小颜色数是无冲突关联色数。一个图是外1-平面的，如果它可以画在平面上，使得顶点在外边界上，并且每条边最多交叉一次。本文证明了具有最大度$Δ$的外1-平面图的无冲突关联色数是$2Δ$或$2Δ+1$，除非该图是三点圈，并且完全刻画了所有具有无冲突关联色数$2Δ$或$2Δ+1$的外1-可平面图.给出了一个构造连通外1-平面图的最优无冲突关联染色的有效算法。
2022-10-09 cs.DM math.CO
Conflict-Free Coloring Planar Graphs with 4 Colors
Masaryk University（马萨里克大学）
本文通过改进的Gallai-Edmonds分解和四色定理，证明每个平面图都可以用4种颜色进行无冲突着色，改进了此前5种颜色的上界，并等价于四色定理。
2026-08-18 cs.DM math.CO
The proper conflict-free $k$-coloring problem and the odd $k$-coloring problem are NP-complete on bipartite graphs
本文研究了图的正常着色问题，证明了对于任意整数 $k\geq3$，PCF $k$-Coloring 和 Odd $k$-Coloring 问题在二部图上均为 NP 完全的，且 PCF $4$-Coloring 问题在平面图上也是 NP 完全的。
2022-08-17 cs.CC math.CO
Proper conflict-free choosability of sparse graphs with girth at least seven
School of Mathematics and Statistics, Shandong University（山东大学数学与统计学院）
本文证明围长至少7且最大平均度小于8/3的图可正常无冲突（度+2）选择着色，并改进平面图围长界至8。
2026-09-29 math.CO
Conflict-Free Coloring and its Applications
设$H=(V,E)$是一个超图。$H$的{ \em无冲突}着色是对$V$的颜色分配，使得在每个超边$e \in E$中存在至少一个相同着色的顶点。这个概念是经典图着色的一个推广。这种着色出现在蜂窝天线的频率分配的上下文中，在传感器网络的电池消耗方面，在RFID协议和其他几个领域中，并且一直是许多最近的研究论文的焦点。在本文中，我们调查这个概念及其组合和算法方面。
2012-01-17 cs.CG cs.DM cs.DS
Combinatorial Bounds for Conflict-free Coloring on Open Neighborhoods
在无向图$G$中，关于开邻域的无冲突着色（表示为CFON着色）是对顶点的颜色分配，使得每个顶点在其开邻域中具有唯一着色的顶点。$G$的CFON着色所需的最小颜色数是$G$的CFON色数，用$χ_{ON}(G)$表示。询问$χ_{ON}(G) \leq k$是否是NP完全的决策问题。我们得到了以下结果：* Bodlaender，Kolay和Pieterse [WADS 2019]显示了上界$χ_{ON}(G)\leq {\sf fvs}(G)+3$，其中${\sf fvs}(G)$表示$G$的最小反馈顶点集的大小。我们证明了$χ_{ON}(G)\leq {\sf fvs}(G)+2$的改进界，它是紧的，从而回答了上述文件中的一个公开问题。* 本文研究了图$χ_{ON}(G)$与图$G$的路宽之间的关系，记为${\sf pw}(G)$ .上述来自WADS 2019的论文显示了上界$χ_{ON}(G) \leq 2{\sf tw}(G)+1$，其中${\sf tw}(G)$代表$G$的树宽。这意味着$χ_{ON}(G) \leq 2{\sf pw}(G)+1$的上界。给出了$χ_{ON}(G) \leq \lfloor \frac{5}{3}({\sf pw}(G)+1) \rfloor$的一个改进的界. * 我们证明$χ_{ON}(G)$的结构参数邻域多样性和聚类距离方面的新的界限，改…
2020-07-10 math.CO
Proper conflict-free and unique-maximum colorings of planar graphs with respect to neighborhoods
图{ \em相对于开}的{ \em无冲突着色}（相应地，{ \em closed}）{ \em neighborhood}是顶点的着色，使得对于每个顶点，在其开域中存在恰好出现一次的颜色（相应地，关闭）社区。类似地，图{\em相对于开}的{\em唯一最大着色}（分别，{ \em closed}）{ \em neighborhood}是顶点的着色，使得对于每个顶点，出现在其开放（相应地，封闭的）邻居只出现一次。关于这两个概念有大量的文献，其中着色不需要适当，即，允许邻顶点具有相同的颜色。本文主要研究可平面图的两种着色问题。我们建立了上界的颜色的数量在类的可平面图的所有考虑的着色，并提供建设的可平面图达到相对较高的值，相应的色数。作为主要结果，我们证明了每个平面图都有关于开邻域的最多10种颜色的唯一最大真染色，并给出了可平面图至少需要$6$颜色的例子.我们还建立了外平面图的紧上界。最后，我们提供了几个新的界限也考虑着色的不适当的设置。
2022-07-11 cs.DM math.CO
Coloring intersection hypergraphs of pseudo-disks
证明了一类$n$伪圆盘关于另一类伪圆盘的交超图允许$4$颜色的正常染色和$O(\log n)$颜色的无冲突染色.一路上，我们证明了相应的Delaunay图是平面的。我们还证明了一类具有线性并复杂度的$n$区域关于一类伪圆盘的交超图允许常色正常染色和$O(\log n)$色无冲突染色.我们的结果作为一个共同的推广和加强的许多早期的结果，包括正确的和冲突的染色点的伪磁盘，染色区域的线性联盟复杂性的点和染色磁盘的磁盘。
2018-09-18 cs.CG math.CO
Single-conflict colorings of degenerate graphs
Simon Fraser University（西蒙菲莎大学）
退化图的单冲突着色问题通过证明在特定条件下，使用$O(\sqrt{d} \log n)$种颜色即可避免所有禁止颜色对。
2025-01-29 cs.DM math.CO
Conflict-free coloring on open neighborhoods of claw-free graphs
图$G$使用$r$颜色的"无边界开（闭）邻域着色"（CFON（CFCN）着色）是图$G$的顶点的着色，使得每个顶点在其开（闭）邻域中只看到一次颜色。使得$G$具有使用$r$颜色的CFON（CFCN）着色的最小$r$被称为$G$的"CFON色数"（"CFCN色数"）。这表示为$χ_{CF}^{ON}(G)$（$χ_{CF}^{CN}(G)$）。D \k ebski和Przybyno在[J. Graph Theory，2021]中证明了如果$G$是具有最大度$Δ$的线图，则$χ_{CF}^{CN}(G) = O(\ln Δ)$.作为一个开放性问题，他们问这个结果是否可以扩展到无爪（$K_{1,3}$-free）图，这是线图的超类。对于$k\geq 3$，我们证明了如果$G$不含$K_{1,k}$，则$χ_{CF}^{ON}(G) = O(k^2\ln Δ)$.由于已知一个图的CFCN色数至多是它的CFON色数的两倍，这回答了Dhubski和Przybybio提出的问题。
2021-12-22 cs.DM math.CO
Conflict free colorings of (strongly) almost disjoint set-systems
一个集合系统$X$是一个$(λ, κ,μ)$系统当且仅当$|X|=λ$，$|x|=κ$对于每个$x\in X$，并且$X$是$μ$ -几乎不相交的.我们写$[λ, κ, μ] -> ρ$当且仅当每个$(λ, κ,μ)$ -系统都有“与$ρ$颜色无冲突的着色”，即存在$\cup X$的元素与$ρ$颜色的着色，使得对于$X$的每个元素$x$，存在颜色$ξ<ρ$，使得$x$的恰好一个元素具有颜色$ξ$。我们的主要研究对象是关系$[λ, κ, μ] -> ρ$。当$κ$是有限的时，我们给出了这种关系的充分描述。我们还表明，如果$d$是一个自然数，那么$[λ,κ,d]-> ω$始终保持。在GCH下，我们证明了$[λ,κ,ω]-> ω_2$对$κ>ω_1$成立，但关系$[λ,κ,ω]-> ω_1$是独立的（模一些大基数）。
2010-04-01 math.CO math.LO
Conflict-Free Coloring Made Stronger
在FOCS 2002中，Even等人表明，平面中的任何一组$n$盘都可以用总共至多$O(\log n)$颜色进行无着色。也就是说，它可以用$O(\log n)$颜色着色，使得对于任何（覆盖的）点$p$，存在其颜色不同于包含$p$的盘的所有其它颜色的一些盘。他们还证明了这个界是渐近紧的。在本文中，我们证明了以下更强的结果：\begin{enumerate} \item [(i)] Any set of $n$ discs in the plane can be colored with a total of at most $O(k \log n)$ colors such that (a) for any point $p$ that is covered by at least $k$ discs, there are at least $k$ distinct discs each of which is colored by a color distinct from all other discs containing $p$ and (b) for any point $p$ covered by at most $k$ discs, all discs covering $p$ are colored distinctively. We call such a colo…
2010-06-15 cs.CG cs.DS math.CO
Conflict-Free Coloring of String Graphs
图$G = (V,E)$的无着色（CF-着色）是指图$V$的一种着色，使得每个顶点的邻域都包含一个顶点，该顶点的颜色与该邻域中任何其他顶点的颜色不同。本文研究了一般图和几何形状的交图的CF-色数的界。在本文中，我们得到了几类字符串图，即，（1）给出了任意顶点为$n$的弦图$G$的CF-色数的$O(χ(G)^2 \log n)$关于经典色数$χ(G)$的一般上界。这一结果与一般图的CF-色数可以是$Ω(\sqrt{n})$已经为二部图相反。(ii)对于某些中心类的弦图，CF-色数与$Θ(\sqrt{n})$一样大，这是任何图的上界，即使在非几何的背景下。对于几个这样的类（例如，图的交叉图），我们证明了一个紧界的$Θ(\log n)$关于$k$-CF-着色的概念（其中每个顶点的打孔邻域包含的颜色，出现在最多$k$时间），对于一个小的常数$k$。(iii)本文得到了任意超图的$k$-CF-色数的一个一般上界：任何具有$m$超边的超图都可以被$\tilde{O}(m^{\frac{1}{k+1}})$着色.这个界扩展了Pach和Tardos（2009）的界，对于某些弦图是紧的，直到对数因子。(iv)我们的第四个结果涉及圆图中的着色问题的动机VLSI设计。证明了$Θ(\log n)$关于圈图CF-色数的一个紧界，以及$O(\log^{3} n)$对于包含圈图的更广泛的一类，即接地L-形的交图…
2019-01-18 math.CO
Conflict-free coloring on closed neighborhoods of bounded degree graphs
图$G$的闭邻域无冲突色数，记为$χ_{CN}(G)$，是对图$G$的顶点进行着色所需的最小颜色数，使得对于每个顶点，在其闭邻域中存在恰好出现一次的颜色。Pach和Tardos [Combin.可能吧Comput. 2009]表明，对于任何$\varepsilon > 0$，$χ_{CN}(G) = O(\log^{2+\varepsilon} Δ)$，其中$Δ$是最大程度。在[Combin.可能吧Comput. 2014]，Glebov，Szabó和Tardos证明了图$G$与$χ_{CN}(G) = Ω(\log^2Δ)$的存在性。在本文中，我们通过证明$χ_{CN}(G) = O(\log^2 Δ)$。
2020-04-23 cs.DM math.CO
Conflict-Free Coloring: Graphs of Bounded Clique Width and Intersection Graphs
该研究探讨图的无冲突着色问题，分析团宽度与最少着色数的关系，针对多种图类给出紧的上下界与判定复杂度，解决了区间图开邻域无冲突着色的公开问题。
2024-03-11 cs.DM math.CO
Remarks on odd colorings of graphs
称图$G$的正常点着色$φ$是奇数的，如果对每个非孤立点$x\in V(G)$都存在一个颜色$c$使得$φ^{-1}(c)\cap N(x)$是奇数大小的.在$G$的任何奇数着色中，最小的颜色数，记作$χ_o(G)$，是奇数色数。奇数着色最近在[M.~]中引入。彼得鲁舍夫斯基河~Škrekovski：\textit{Colorings with neighborhood parity condition} ]。本文讨论了这个新的图参数的各种基本性质，用奇色数刻画了无圈图和超立方体，建立了关于退化度或最大度的几个上界，并提出了几个问题和疑问.
2022-07-20 math.CO
Conflict-free coloring with respect to a subset of intervals
给定一个超图H =（V，E），如果对每个超边S \in E，S中至少有一个顶点的颜色与S中所有其他顶点的颜色不同，则称H的顶点的染色是无冲突的.离散区间超图Hn是顶点集为{1，...，n}和超边集{1，.，n}。本文给出了H_n的任意子超图的无冲突着色的一个多项式时间算法，证明了该算法的逼近比为2，并证明了我们的分析是严密的，即，存在一个子超图，该算法针对该子超图计算使用两倍于最优解的颜色数量的解。我们还表明，问题的决定是否一个给定的子超图Hn可以着色与最多k种颜色有一个拟多项式时间的算法。
2012-04-28 cs.DM cs.DS math.CO
On odd colorings of sparse graphs
本文刻画了最大平均度达到临界值的非无冲突可染色图，改进了奇4-染色和奇6-染色的充分条件，解决了Cranston猜想相关的极值问题。
2025-02-24 math.CO
Conflict-Free Coloring of Planar Graphs
图的无冲突k-染色将k种不同颜色中的一种分配给某些顶点，使得对于每个顶点v，都有一种颜色分配给v和v的邻居中的一个顶点。这种着色在无线网络、机器人和几何学中有应用，并且在图论中得到了很好的研究。本文研究了无冲突色数chi_CF（G）（存在无冲突k-着色的最小k）的自然问题。我们提供了封闭邻域N[v]的结果，其中顶点v是其邻域的成员，以及开放邻域N（v）的结果，其中顶点v不是其邻域的成员。对于闭邻域，我们证明了著名的Hadwiger猜想的无冲突变体：如果任意图G不包含K_{k+1}作为子图，则chi_CF（G）<= k.对于平面图，我们得到了一个紧的最坏情况界：三种颜色有时是必要的，总是足够的。我们还给出了无冲突着色的计算复杂性的完整刻画。判定chi_CF（G）<= 1对于平面图G是NP-完全的，而对于外平面图G是多项式的.此外，判定chi_CF（G）<= 2对于平面图G是NP-完全的，但对于外平面图G总是成立的.对于最小化着色顶点数的双准则问题，我们给出了一个完整的算法的复杂性和近似的外平面和平面图。对于开邻域，我们证明了每个平面二部图都有最多四种颜色的无冲突着色;另一方面，我们证明了对于{1，2，3}中的k，判断平面二部图是否具有无冲突k-着色是NP完全的。此外，我们建立了任何一般的}平面图有一个冲突的无染色，最多有八种颜色。
2018-09-12 cs.DM cs.DS math.CO
Essentially disjoint families, conflict free colorings and Shelah's Revised GCH
利用Shelah修正的GCH定理，我们证明了如果mu<beth_omega <= lambda是基数，则[lambda]^{beth_omega}的每个mu-几乎不相交的子族B本质上是不相交的，即对于B中的每个b，存在大小< |b|的b的子集f（b），使得族{b-f（b）b in B}是不相交的。我们还证明了，如果mu<=kappa<=lambda，且kappa是无限大的，且（x）[lambda]^kappa的每个mu-几乎不相交的子族本质上是不相交的，则（xx）每个λ的子集的mu-几乎不相交的族B（对于B中的所有b，|b| >=kappa）都有kappa色的无冲突着色.把这些结果放在一起，我们得到，如果mu<beth_omega<=lambda，那么每个具有|b| >=beth_omega的lambda子集的mu-几乎不相交族B，对于B中的所有b，都具有与beth_omega颜色的无冲突着色。为了得到上述结果，我们还需要证明一个关于奇异基数的紧性定理。
2022-09-21 math.CO math.LO
Conflict-free chromatic number vs conflict-free chromatic index
给定图$G$的顶点着色是无冲突的，如果每个顶点的闭邻域包含唯一的颜色（即颜色在邻域中只出现一次）。这种着色中的最小颜色数是$G$的无冲突色数，表示为$χ_{CF}(G)$。对于给定的最大度$Δ$，图的最大可能无冲突色数是多少？简单地说，是$χ_{CF}(G)\leq χ(G)\leq Δ+1$，但它远不是最优的-由于Glebov，Szabó和Tardos的结果，以及Bhyravarapu，Kalyanasundaram和Mathew的结果，答案已知是$Θ\left(\ln^2Δ\right)$。我们证明了在线图类中同样问题的答案是$Θ\left(\lnΔ\right)$ --也就是说，具有最大度$Δ$的图的无冲突色指数的极值远小于无冲突色数的极值。对于$χ_{CF}(G)$，在近正则图类中也得到了同样的结果，即具有最小度$δ\geq αΔ$的图.
2020-09-04 math.CO
Bounds and Hardness Results for Conflict-free Choosability
Indian Institute of Technology Hyderabad（印度理工学院海得拉巴分校）
本文研究了冲突自由着色的部分和完整列表变体，改进了闭包邻域冲突自由色数的上界，并探讨了列表开/闭邻域冲突自由色数的计算复杂性。
2026-05-13 cs.DM math.CO
Proper conflict-free degree-choosability of outerplanar graphs
本文证明除5-圈外的所有连通外平面图均为正常无冲突(degree+2)-可选，且该界最优，并提出了两个开放问题。
2025-09-08 math.CO
Conflict-free connection of trees
研究了树的无冲突连通染色，这也是所谓树的边路超图的无冲突染色。本文首先证明了对于序为$n$的树$T$，有$cfc(T)\geq cfc(P_n)=\lceil \log_{2} n\rceil$，从而完全证实了Li和Wu的猜想.然后，我们提出了一个尖锐的上界的无冲突连接数的树通过一个简单的算法。进一步证明了具有$2^{k-1}$顶点的二叉树的无冲突连接数为$k-1$。最后，研究了$cfc$ -临界树，证明了如果树$T$是$cfc$ -临界树，则$T$的无冲突连接着色等价于$T$的边排序.
2018-05-17 cs.DM math.CO
Remarks on proper conflict-free degree-choosability of graphs with prescribed degeneracy
本文研究图的适当无冲突度可选性，证明d-退化图是适当无冲突(degree+d+1)-可选的，并进一步证明每棵树都是适当无冲突(degree+1)-可选的，从而减少所需颜色数。
2025-09-19 math.CO
The potential to improve the choice: list conflict-free coloring for geometric hypergraphs
给定一个几何超图（或范围空间）$H=(V,\cal E)$，如果对于每个超边$S \in \cal E$，$S$中至少有一个顶点的颜色不同于$S$中所有其他顶点的颜色，则称其顶点的着色是无冲突的。这个概念的研究是由无线网络中的频率分配问题。我们研究这个概念的列表着色（或选择）版本。在这个版本中，每个顶点都与一组（可接受的）颜色相关联，并且只允许使用其集合中的颜色进行着色。列表着色在无线网络环境中自然出现。我们的主要结果是一个列表着色算法的基础上一个新的潜在的方法。该算法产生更强的唯一最大着色，其中颜色是正整数，并且每个超边的最大颜色唯一出现。作为一个推论，我们为许多几何超图（例如，平面中的盘或伪盘或相对于盘的点）。此外，我们提供了一个算法，这样，给定一个家庭的列表具有适当的大小，计算这样的着色从这些列表。
2010-12-12 cs.CG cs.DM cs.DS
Complexity and algorithms for proper conflict-free coloring in graphs
Indian Institute of Technology (ISM), Dhanbad（印度理工学院（ISMT））
该研究证明完美消去二分图的PCF k着色问题为NP完全，PCF色数无法在O(n^(1-ε))内逼近，还为四类图的PCF k着色提供线性时间算法并确定其色数上界。
2026-08-13 cs.DM math.CO
Proper Conflict-Free Choosability for Graphs with Bounded Average Degree
School of Mathematics and Statistics, Shandong University（山东大学数学与统计学院）
本研究针对正常无冲突列表着色猜想，通过引入正常无冲突代表系方法与保最大平均度界的辅助图构造，在两类有界平均度图中证实了该猜想，推广了已有结果。
2026-09-01 math.CO
Remarks on the distribution of colors in Gallai colorings
完全图$K_n$的Gallai染色是不含三种不同颜色的三角形的边染色。如果是$\sum_{i=1}^k e_i=\binom{n}{2}$，则正整数序列$e_1\ge \dots \ge e_k$是$(n,k)$ -序列。如果存在$K_n$与$k$颜色的Gallai着色，使得对于所有$i,1\le i \le k$都存在颜色$i$的$e_i$边，则$(n,k)$序列是G序列。Gyárfás，Pálvölgyi，Patkós和Wales证明了对于任意整数$k\ge 3$，存在一个整数$g(k)$使得每个$(n,k)$ -序列是G-序列当且仅当$n\ge g(k)$。他们显示$g(3)=5, g(4)=8$和$2k-2\le g(k)\le 8k^2+1$。我们表明，$g(5)=10$和几乎匹配的上下界$g(k)$显示，与适当的常数$α,β>0$，$\frac{αk^{1.5}}{\ln k}\le g(k) \le βk^{1.5}$的所有足够大的$k$。
2020-08-22 math.CO
Pliable Index Coding via Conflict-Free Colorings of Hypergraphs
在柔性索引编码（PICOD）问题中，服务器要为多个客户端提供服务，每个客户端拥有完整消息集的唯一子集作为边信息，并请求一个它没有的新消息。服务器的目标是使用尽可能少的传输来完成此操作。这项工作提出了一个超图着色的标量PICOD问题的方法。一个超图的\textit{conflict-free coloring}从文献中被称为它的顶点的颜色分配，使得图的每个超边包含一个唯一着色的顶点。对于一个给定的PICOD问题所代表的超图组成的消息作为顶点和请求集作为hyperedges，我们提出了可实现的PICOD计划使用冲突的PICOD超图的着色。各种图论参数所产生的这种着色（和一些新的着色变种），然后给出了一些上界的最佳PICOD长度，我们在这项工作中研究。假设PICOD超图有$m$顶点和$n$超边，其中每个超边至多与$Γ$其它超边重叠.我们容易实现随机算法如下：（a）对于单请求的情况下，我们给出了长度为$O(\log^2Γ)$的PICOD。（b）对于$t$ -请求情形，我们给出了一个长度为$\max(O(\log Γ\log m), O(t \log m))$的MDS码.此外，如果超边（请求集）足够大，我们会给出与上述长度相同的PICOD，这不是基于MDS构造的。一般来说，这给出了优于先前的可重构性结果的改进。我们的代码是接近最佳的长度（高达$\log t$的乘法因子）。
2022-12-26 cs.DM cs.IT math.CO
Conflict-free vertex-connections of graphs
顶点有色图中的一条路称为\emph{conflict free}，如果在它的一个顶点上使用了一种颜色。一个顶点有色图称为\emph{conflict-free vertex-connected}，如果它的任意两个顶点都由一条无冲突的路连接.本文研究了这样一个问题：对于一个连通图$G$，为了使$G$成为无冲突的顶点连通的，它的顶点着色所需的最少颜色数是多少.结果表明，对于$2$ -连通图，这一问题的求解是容易的，而对于割点数较多的连通图，包括树，这一问题的求解是非常困难的。
2017-05-20 math.CO
Monochromatic graph decompositions inspired by anti-Ramsey theory and the odd-coloring problem
本研究针对受反拉姆齐理论与奇着色启发的极值边着色问题，定义函数f(n,G|F)，给出三类关键结果：存在常数保证特定着色下G拷贝的存在性、奇图类下f(n,Kₖ|F)的渐近形式，以及小图在多奇/偶约束图族下f(n,G|F)的精确值。
2024-08-08 math.CO
Proper conflict-free choosability of planar graphs
School of Mathematics and Statistics, Xidian University（西安电子科技大学数学与统计学院）
本文证明了特定平面图类的适当无冲突可选性，包括最小圈长至少12的平面图和外1-平面图，且证明了这些图类的适当无冲突6-可选性。
2025-12-28 cs.DM math.CO
Remarks on the Local Irregularity Conjecture
局部不规则图是指每条边的端点具有不同度的图。图G的局部不规则边染色是指图G的任意边染色，使得每种颜色都诱导出图G的一个局部不规则子图。一个图G是可着色的，如果它允许局部不规则边着色。可着色图G的局部不规则边染色所用的最小颜色数，记为CHI'irr（G）.局部不规则猜想认为除了奇长路、奇长圈和某类仙人掌图外，所有图都可以用3种颜色着色。由于该猜想对最小度大的图是有效的，并且所有不可着色图都是顶点不交的仙人掌，因此我们将研究方向转向了稀疏图。本文给出了一个与这个猜想相矛盾的仙人掌图B，即CHI'irr（B）= 4.尽管如此，我们证明了该猜想对于具有顶点不相交圈的单圈图和仙人掌成立。
2021-11-15 math.CO
Conflict-free connections: algorithm and complexity
一个（a）边（点）着色图中的一条路称为\emph{a conflict-free path}，如果只在它的一条边（点）上使用一种颜色.一个（A）边（顶点）着色图称为\emph{conflict-free (vertex-)connected}，如果在每对不同的顶点之间存在一条无冲突路.我们称这个图为$G$ \emph{strongly conflict-free connected }，如果对于每两个顶点$u,v\in V(G)$存在一条长度为$d_G(u,v)$的无冲突路。连通图$G$的\emph{strong conflict-free connection number}，记作$scfc(G)$，定义为使$G$强无冲突连通所需的最小颜色数.本文首先研究了如下问题：给定一个连通图$G$和它的一个着色$c: E(or\ V)\rightarrow \{1,2,\cdots,k\} \ (k\geq 1)$，在着色$c$下，判定$G$是否分别是无冲突连通的、顶点无冲突连通的和强无冲突连通的.我们通过提供多项式时间算法来解决这个问题。然后，我们表明，它是NP-完全的，以决定是否有一个k-边着色$(k\geq 2)$的$G$，使所有对$(u,v)\in P \ (P\subset V\times V)$是强无冲突连接。最后，我们证明了判定给定图$G$的$scfc(G)\leq k$ $…
2018-09-19 cs.CC cs.DM math.CO
A remark on Kashin's discrepancy argument and partial coloring in the Komlós conjecture
本文讨论了B的一个早期部分着色结果。Kashin [C. R. Acad.美国科学院，1985年]。虽然这一结果只意味着斯宾塞的六个标准差[美国数学会，1985]在一个$\log\log n$因子下，Kashin的论证给出了Komlós猜想中存在常数偏差部分染色的一个简单证明.
2022-08-25 cs.DM cs.DS math.CO
A remark on Petersen coloring conjecture of Jaeger
如果$G$和$H$是两个三次图，则我们记为$H\prec G$，如果$G$允许一个具有$H$的边的适当边染色$f$，使得对于$G$的每个顶点$x$，都有一个具有$f(\partial_G(x))=\partial_H(y)$的$H$的顶点$y$.设$P$和$S$分别是Petersen图和Sylvester图。本文介绍了Sylvester着色猜想。此外，我们还证明了如果$G$是一个连通无桥三次图，且有$G\prec P$，则有$G=P$ .最后，如果$G$是一个连通三次图，且有$G\prec S$，则有$G=S$ .
2012-07-24 cs.DM math.CO
The parameterized complexity of Strong Conflict-Free Vertex-Connection Colorability
Univ Lyon, EnsL, CNRS, LIP（里昂大学，巴黎高等师范学院，法国国家科学研究中心，信息与计算机实验室）
本文研究了强冲突自由顶点连接色数的参数复杂性，证明了其在顶点覆盖数参数下的固定参数可 tractable 性，但3-着色问题在二分图上不具有多项式核。
2025-12-12 cs.CC cs.DM cs.DS
