The universal six-functor formalism
Brad Drew, Martin Gallauer
本文证明莫雷尔-沃埃沃德斯基稳定 $\mathbb{A}^1$-同伦理论给出普适系数系统，并由此导出格罗滕迪克六运算。
我们证明莫雷尔-沃埃沃德斯基的稳定 $\mathbb{A}^1$-同伦理论提供了普适系数系统，从而产生了格罗滕迪克的六运算。
We prove that Morel-Voevodsky's stable $\mathbb{A}^1$-homotopy theory affords the universal coefficient system, giving rise to Grothendieck's six operations.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Six-Functor-Formalisms on Higher Stacks
在这篇文章中，它表明，导子六函子形式主义在任何（经典）网站规范地扩展到更高的几何堆栈定义的Toën-Vezzosi在一些自然的局部性条件。作为应用，证明了Morel-Voevodsky-Ayoub的六函子形式在某些固定基格式上局部地推广到有限型的高阶（Nisnevich-）Artin栈.
A six-functor formalism for syntomic cohomology
本文为p进形式概型的合成上同调构造六函子形式体系，将庞加莱对偶性推广到一般光滑态射。
Derivator Six-Functor-Formalisms -- Construction II
从简单和必要的公理（导子增强）四函子形式主义，我们构造导子六函子形式主义使用紧化。例如，这适用于Morel-Voevodsky-Ayoub的稳定同伦范畴，也适用于阿贝尔群层在“好”拓扑空间上的无界复体的经典设定。导子六函子形式主义优雅地编码了六个函子组成之间的所有同构（及其相容性），而且它在对应关系图上给出了一致的增强。这样的形式主义允许使用（共）同调下降将六函子形式主义扩展到堆栈。
Six-Functor Formalisms
本文介绍了六 functor 形式主义的理论发展、2-范畴及其在对偶性结果中的应用，以及与几何环的关系和实例。
Enhanced bivariant homology theory attached to six functor formalism
双变理论是上同调理论和Borel-Moore同调论的统一框架。本文从Gaitsgory-Rozenblyum的六函子理论中提取出一个$\infty$增强的双变同调论.
Abstract Six-Functor Formalisms: Extension to Ind- and Pro- Categories and Functorial Cohomological Purity
本文将抽象六函子形式主义扩展至Ind-与Pro-范畴，应用于定义ind-pro-代数栈的动机稳定同伦理论，并借助Liu-Zheng的多单纯语言证明上同调纯性的函子性。
A Classification of Six Functor Formalisms via Structured Spaces
本文通过无穷范畴和animated S-栈为六函子形式体系建立分类与分解框架，并揭示其背后空间与数量之间的统一张力。
From Six Functors Formalisms to Derived Motivic Measures
在本文中，我们一般描述了一种方法，该方法采用Khan或Cisinski-Déglise意义上的抽象六函子形式主义，并输出Campbell-Wolfson-Zakharevich意义上的派生动机测度。特别是，我们使用这个框架来定义Gillet-Soué motivic措施的提升。
Six Functor Formalisms and Fibered Multiderivators
我们发展了2-multicategories的（op）纤维化理论，并用它来定义抽象的六函子形式主义。我们还给出了Wirthmüller和Grothendieck形式主义（其中$f^!=f^*$或$f_!=f_*$）或中间形式主义的公理，其中我们有例如自然态射$f_! \rightarrow f_*$。最后，它表明，纤维multiderivator（特别是，一个封闭的monoidal导子）可以被解释为六函子形式主义的图（小范畴）。除其他外，这给出了公理和基本性质的证明的相当大的简化，并澄清了（封闭的）monoidal导子中内部和外部monoidal乘积之间的关系。我们的主要动机是发展一个理论的衍生版本的六函子形式主义。
Six-Functor Formalisms II : The $\infty$-categorical compactification
本文作为系列文章之一，复现了Liu-Zheng的抽象六函子形式化，证明了在抽象六函子形式化中定义例外前推函子的$\infty$-范畴版本定理，并描述了与紧致化和拉回方块相关的组合单纯集，为构建该形式化奠定关键基础。
Geometric Criteria for 6-Functor Formalisms in the Setting of Pullback Formalisms
本文研究了产生六 functor 形式及其之间映射的准则，提出了一种增强的 Voevodsky 几何准则，并应用于代数堆的动机同调理论及复解析堆的动机同调理论。
Six-Functor Formalisms I : Constructing functors using category of simplices
本文是系列论文首篇，通过单纯形范畴及标记单纯集语言重新证明了单纯集合间函子构造定理，为后续重建 $\infty$-范畴紧致化和 Enhanced Operation Map 提供关键工具。
An axiomatization of six-functor formalisms
本文基于Mann的定义，探讨了Nagata六 functor 形式主义及其局部形式主义，通过Nagata紧致化定理证明了其可通过指定伴随三元组来定义，并探讨了其与Grothendieck拓扑的超sheaf条件的关系。
Six-Functor Formalisms III: The construction and extension of 6FFs
本文重新证明了Liu-Zheng的抽象六函子形式化基础思想，通过偏伴随定理与$\infty$-范畴紧化定理在合理几何设置中构造6FFs，并利用DESCENT程序简化版将其从较小几何设置扩张至较大设置。
Smooth categories in a 6 functor formalism and compact generation for nuclear categories in analytic geometry
本文在六 functor 形式主义框架下研究光滑 ∞-范畴，并利用凝聚数学理论和解析堆的结果，证明了刚性解析流形光滑当且仅当其关联的核sheaves范畴光滑，同时将核sheaves范畴的紧生成性与刚性解析流形的代数化联系起来，从而得到一个非原子生成但内部光滑的范畴例子。
Exchange theorems and coherent duality in six functors
研究满足交换定理的两个函子的关系，通过确定泛范畴及相关扭曲实现其典范关联，还将结果应用于三函子形式体系，给出“相干六个运算”的1 - 范畴实现，证明通用性时开发了计算范畴的技术。
An introduction to six-functor formalisms
本文是一篇介绍代数几何中Grothendieck六运算形式体系的课程讲义，并延伸讨论刚性解析动机。
An enhanced six-functor formalism for diamonds and v-stacks
本文利用刘征提出的$\infty$ -范畴技术，将Scholze的钻石六函子形式推广到v-栈之间的栈态射的一般类.
Uniqueness of six-functor formalisms
本研究提出抽象六函子形式化下上同调真与平展概念的新表述，证明Scholze猜想（满足条件的六函子形式化由张量积和逆像函子唯一确定且可由Liu-Zheng与Mann构造得到），同时指出猜想推广不成立并给出K-理论度量方式。
Non-representable six-functor formalisms
该文研究Nis-局部栈的动机同伦范畴性质，对比相关构造与Voevodsky原始构造，拓展例外函子并将六函子相关性质推广到不可表情形。
A^1-Euler classes: six functors formalisms, dualities, integrality and linear subspaces of complete intersections
该论文将代数向量丛的各类欧拉类等同，建立其整性结果与局部指标公式，应用拓扑欧拉数计算射影空间完全交上d-平面算术计数对应的欧拉类。
Universality of span 2-categories and the construction of 6-functor formalisms
本文研究了2-范畴的普遍性，证明了其与双伴随可变换的对应关系，并扩展到对称单子和松散对称单子情形，为6- functor形式的构造提供了理论基础。
The 6-Functor Formalism for $\mathbb Z_\ell$- and $\mathbb Q_\ell$-Sheaves on Diamonds
对于每个核$\mathbb Z_\ell$ -代数$Λ$和每个小v-栈$X$，我们构造了$X$上的核$Λ$ -模的$\infty$ -范畴$\mathcal D_{\mathrm{nuc}}(X,Λ)$.然后，我们为这些层构造了一个完整的6-函子形式，推广了$Λ= \mathbb F_\ell$的经典6-函子形式。$Λ$的突出选择是$\mathbb Z_\ell$，$\mathbb Q_\ell$和$\bar{\mathbb Q_\ell}$，特别是在后两种情况下，没有令人满意的6-函子形式主义已经找到。应用于分类栈，我们得到了一个理论的核表示，即连续表示过滤的Banach空间的上极限。
Six functor formalisms via internal higher algebra
本文通过发展内部高阶代数理论，将六函子形式体系扩展为 $\infty,2$-范畴间的 lax 对称幺半函子，证明 Mann 猜想并推广相关定理。
Poincaré Duality in abstract 6-functor formalisms
本文研究了抽象6- functor形式中的庞加莱对偶性，提出了一组简洁假设以证明其成立，并提供了新统一的证明方法。
The six-functor formalism for rigid analytic motives
本文系统研究一般刚性解析空间上的刚性解析母题，建立其六函子形式体系，并通过归结为代数母题证明扩展真基变换定理，同时借助雷诺方法去除了诺特性质假设。
Motivic six-functor formalism for log schemes
该研究为 fs 对数概型建立动机六函子形式体系，证明了相关性质，还定义了 Borel-Moore 动机同调等，在对数概型的动机理论研究方面取得重要进展。
The six functors for Zariski-constructible sheaves in rigid geometry
本文证明了特征零非阿基米德域上刚性解析几何中的一个一般光滑性结果。证明依赖于一个新的概念，泛点在严格的解析几何是很好地适应“展开”的论点，在类比中使用的泛点的计划理论。作为应用，我们发展了特征零刚性空间上的Zagliki可构造的étale层的六函子形式。除此之外，这意味着特征零刚性空间支持一个行为良好的反常层理论。
A six-functor formalism for quasi-coherent sheaves and stratifications on rigid-analytic varieties
本文建立导出刚性空间上拟凝聚层与解析分层的六函子形式体系，并揭示解析晶体范畴与 Ardakov–Wadsley 的 D-cap-模理论之间的联系。
Motivic Hodge modules
我们构造了复数上有限型格式的拟范畴增强的Grothendieck六函子形式。除了满足许多与M相同的性质之外。Saito的导出范畴的混合霍奇模，这个新的六函子形式主义接收规范motivic实现函子兼容Grothendieck的六函子的可构造对象。
Finiteness and duality of cohomology of $(φ,Γ)$-modules and the 6-functor formalism of locally analytic representations
本文通过分析堆和6- functor形式主义，研究了局部解析表示的上同调性质，并推广了Kedlaya-Pottharst-Xiao的结果。
Six-functor formalism for Kummer étale cohomology of log schemes
该研究针对诺特fs预对数概形，在系数环Λ被S上可逆整数零化的条件下，建立库默-平展上同调的六函子形式主义，证明其满足多项不变性并实现庞加莱对偶性。
A $p$-Adic 6-Functor Formalism in Rigid-Analytic Geometry
我们发展了刚性解析几何中$p$ -扭转层的一个完整的6-函子形式。更具体地说，我们使用最近发展的凝聚数学的克劳森-Scholze关联到每个小的v-栈（例如刚性解析品种）$X$与pseudoniformizer $π$的$\infty$ -范畴$\mathcal D^a_\square(\mathcal O^+_X/π)$的“导出拟相干完全拓扑$\mathcal O^+_X/π$ -模块”$X$。然后，我们构建六个函子$\otimes$，$\underline{Hom}$，$f^*$，$f_*$，$f_!$和$f^!$在此设置，并表明他们满足所有预期的兼容性，类似于$\ell$ -adic的情况。通过引入$φ$ -模结构和证明$p$ -挠Riemann-Hilbert对应，我们将$\mathcal O^+_X/π$ -层与$\mathbb F_p$ -层联系起来.作为这种形式主义的一个特例，我们证明了刚性解析簇上$\mathbb F_p$ -上同调的Poincaré对偶。在构造$\mathcal D^a_\square(\mathcal O^+_X/π)$的过程中，我们还发展了凝聚环上凝聚模的一般下降形式。
A 6-functor formalism for solid quasi-coherent sheaves on the Fargues-Fontaine curve
本文在小v-栈上建立了带$\mathbb{Z}_p$系数的6-函子形式体系，应用于刚性解析簇的pro-étale上同调的对偶与有限性，并给出局部Langlands对应$p$-进几何化纲领的首批例子。
Coherent six-functor formalisms: Pro vs Solid
本文研究相干层的六 functor 形式化，通过证明 Deligne 和 Clausen-Scholze 的构造在 Pro 系统上是自然等价的，从而填补了经典理论中缺失的 j_! 构造。
Exponentiation of coefficient systems and exponential motives
我们构建了新的六函子形式主义捕捉上同调不变量的潜在品种。从任何六函子形式主义$C$，编码为系数系统，我们关联一个新的六函子形式主义$C_{\text{exp}}$。这特别需要在$\infty$ -范畴水平上构造卷积积对称monoidal结构。我们研究了$C_{\text{exp}}$及其与$C$的关系。我们还定义了动机在$C_{\text{exp}}$附加到品种的潜力和研究他们的属性。
Six operations on dg enhancements of derived categories of sheaves
我们提升了Grothendieck-Verdier-Spaldier的六函子形式主义的导出范畴层上的戴环空间域的微分分次增强。我们的主要工具来自丰富模型范畴论。
Unusual functorialities for weakly constructible sheaves
该研究针对层上六个Grothendieck运算相关态射的性质问题，通过分析弱上同调可构造层的特性，证明了这类态射在限制于弱可构造层时为同构，并推导了其在弱$\boldsymbol{\rm R}$-可构造层下的运算相容性，推进了代数几何中层论的相关研究。
Trace formalism for motivic cohomology
本文旨在构建Voevodsky、Ayoub和Cisinski-Déglise提出的动机上同调六 functor 形式中的跟踪映射，并构建其∞增强形式。通过使用Suslin-Voevodsky的相对循环群以更 functorial 的方式重新解释跟踪形式。
Some results on the motivic nearby cycle
将Ayoub的motivic邻近圈函子形式推广到$\infty$ -范畴水平，并将motivic邻近圈函子与motivic同伦中的局部非圈性联系起来，证明了一些期望的上同调性质.
Motivic Homotopy Theory of Algebraic Stacks
本文利用∞-范畴语言和增强运算映射，将动机同伦理论及六函子形式体系从概形推广到一大类代数栈，并证明其满足同伦不变性、局部化和纯性。
Holonomic D-cap-modules on rigid analytic spaces
本文定义了刚性解析空间上的全微分D-cap模，并证明了其在五种操作下的稳定性，同时探讨了其与常规六 functor 形式的关系。
Universal functors on symmetric quotient stacks of Abelian varieties
我们考虑阿贝尔簇的对称商栈上的某些泛函子。在第二个维度，我们发现了一个家庭的$\mathbb{P}$ -函子诱导新的推导自等价的希尔伯特计划的点上的阿贝尔曲面;一组辫子关系的全纯辛六重;和一对球面函子的希尔伯特平方的阿贝尔曲面，其扭曲有关的著名Horja扭曲。在一维中，我们的泛函子是完全忠实的，从而导致椭圆曲线的对称商堆栈的半正交分解（我们将其与Polishchuk-Van den Bergh发现的那个进行比较），并且它们提升到正则覆盖上的球面函子，诱导扭曲下降，从而在这里也给出新的自等价。
The formalism of Grothendieck's six operations in p-adic cohomologies
设$\mathcal{V}$是具有混合特征$(0,p)$的完备离散值环，$K$是它的分式域，$k$是它的剩余域，它被假定为完美的.设$X$是一个分离的有限型$k$ -概型，$Y$是$X$的开子概型.我们构造了$(Y,X)/K$上的超完整类型范畴$F\text{-}D ^\mathrm{b}_\mathrm{ovhol} (\mathcal{D} ^†_{(Y,X)/K})$.我们检查，这些类别满足形式主义的格罗滕迪克的六个操作。
$p$-adic sheaves on classifying stacks, and the $p$-adic Jacquet-Langlands correspondence
利用Lubin-Tate塔的上同调，建立了Scholze定义的$p$ -adic Jacquet-Langlands函子的几个新性质.特别地，我们重新证明了Scholze的基本有限性定理，证明了一个对偶定理，并给出了一种偏Künneth公式。利用这些结果，我们推出了Gelfand-Kirillov维数的界，以及一些新的消失和非消失结果。我们的关键新工具是六函子形式主义与固体几乎$\mathcal{O}^+/p$ -系数最近开发的第二作者[曼22]。本文的一个主要观点是扩展[Man 22]中开发的$!$ -函子形式主义的有效域，以允许某些“堆叠”映射。在这种扩展的形式主义的语言，我们表明，如果$G$是一个$p$ -进李群，分类小v-栈$B\underline{G}$的结构图是$p$ -上同调光滑。
A Comparison of Categories of Nori Motivic Sheaves
本文证明了两种Nori动机sheaves理论的自然等价性，并提供了与六操作兼容的实现实用函子。
Obvious natural morphisms of sheaves are unique
我们证明了一个大类的自然变换（大致包括那些通过组合从“函子”或“基地变化”的转换）之间的形式$\cdots f^* g_* \cdots$两个函子实际上只有一个元素，因此，任何图这样的地图必然commutes。我们确定了精确的公理定义我们所谓的“地理纤维类”，确保这样一个一致性定理的存在。我们的结果适用于所有通常的层理论的代数几何的背景下。类似的结果，包括任何其他六个函子仍然未知。
Towards $\mathbb{A}^1$-homotopy theory of rigid analytic spaces
该研究为刚性解析空间赋予\(\mathbb{A}^1\)-不变同伦范畴，展示其函子性质，借助阿尤布论文构建六函子形式体系，还证明了\(\mathbb{Q}_p\)上刚性空间的模\(p\)刚性及模\(\ell\)情形下两类不变层的等价性。
Etale cohomology of diamonds
本文发展了钻石的戴斯上同调六 functor 形式，以及更一般的完美oid 空间上的小 v-堆，以解决 Rapoport-Zink 空间及其推广的戴斯上同调问题，并验证局部朗兰兹对应猜想的几何化猜想。
Rational motives on pro-algebraic stacks
该研究定义了前代数栈的有理动机∞-范畴，证明其对特定态射类有6函子形式体系且在前概形上符合Liu-Zheng定义，为不可表示代数栈和非有限型态射的动机理论提供新途径。
$(\infty,\infty)$-Categorical Universal Motives
本文提出$(\infty,\infty)$-范畴的通用动机形式化，用于解决不同类型的拓扑问题及p-adic几何中的关键问题。
The six Grothendieck operations on o-minimal sheaves
在本文中，我们发展的形式主义的Grothendieck六个操作的o-最小层。Grothendieck形式主义允许我们获得o-最小版本：（i）导出投影公式;（ii）泛系数公式;（iii）导出基变换公式;（iv）Künneth公式;（v）局部和全局Verdier对偶。
Universal Properties and Constructions of Pullback Formalisms in Terms of Invariance and Stability
本文基于 Drew-Gallauer 的工作研究拉回形式体系的概念与构造，主要构造复解析叠动机同伦论的 $\mathbf{SH}^{\mathrm{hol}}$，并为其胶合、六函子结构及兼容六运算的实现映射奠定基础。
$\mathbb{P}^1$ Homotopy Theory of Schemes
该论文研究概形的 $\mathbb{P}^1$ 局部 motivic 同伦理论，证明了非稳定与稳定的 $\mathbb{P}^1$-连通性定理，并建立了同伦 $t$-结构。
Nearby cycles at infinity as a triangulated functor
本文将 Raibaut 的无穷远处 motivic 邻近循环不变量推广为 motivic 同伦理论中的函子版本，使其能捕获无穷远处奇点的上同调信息，并证明该构造对任何基于六运算的邻近循环函子理论具有普遍适用性。
Lisse extensions of weaves
本文证明概形上层理论的lisse扩张可保持Grothendieck六运算形式体系，将weave推广至（高阶）Artin栈，并适用于稳定motivic同伦范畴与拓扑栈上的谱层。
Mixed Motives and Geometric Representation Theory in Equal Characteristic
设$\mathbb{k}$是特征$p$的域。我们介绍了一种形式主义的混合层系数$\mathbb{k}$和展示其使用的表示论。更精确地说，我们构造了$\mathbb{F}_p$的代数闭包上的所有拟射影概形$X$的一个$X$上的$\mathbb{k}$ -线性三角化动机范畴.利用Ayoub（2007）、Cisinski-Deglise（2012）和Geisser-Levine（2000）的工作，我们证明了这个范畴系统有一个六函子形式，并计算了更高的Chow群。事实上，它的行为类似于人们习惯的其他类别的层。我们试图使它的建设也可以访问非专家。然后我们考虑了定义在亲和分层簇$X$上的分层混合Tate动机的子范畴，讨论了反常和奇偶动机，并证明了形式性结果。作为一个例子，我们结合这些结果和Soergel（2000）来构造Soergel模范畴$\mathscr O(G)$的几何和分次版本，由分裂半单群$G/\mathbb{k}$的有理表示组成，从而使其具有完整的六函子形式主义（其他方法参见Riche-Soergel-Williamson（2014）和Achar-Riche（2016））。以这种方式在几何表示论中使用动机的主要思想以及关于分层混合泰特动机的许多结果都是直接从索格尔和温特那里借用的，他们在特征零中讲述了这个故事。
Six-dimensional supermultiplets from bundles on projective spaces
本文利用纯旋量超场形式研究六维超多重态，通过项目空间上的向量丛构造多种多重态，包括向量、超和引力子多重态，并探讨了相关理论问题。
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