发表机构
Indian Institute of Science Education and Research (IISER) Mohali（印度科学教育研究所（莫哈利））
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该论文研究概形的 $\mathbb{P}^1$ 局部 motivic 同伦理论，证明了非稳定与稳定的 $\mathbb{P}^1$-连通性定理，并建立了同伦 $t$-结构。
AI 中文摘要
我们在 $Sm_S$ 上的 Nisnevich 拓扑下研究 $\mathbb{P}^1$-局部 motivic 同伦理论。我们证明，尽管同伦范畴 $\mathcal{H}^{\mathbb{P}^1}(-)$ 具有标准的概形函子性，但它不满足六函子粘合，从而阻碍了完整的六函子形式体系的建立。在非稳定方面，我们证明非稳定的 $\mathbb{P}^1$-motivic 局部化保持 Nisnevich 连通性，尽管 $\mathbb{P}^1$ 上缺乏区间结构。在完美域上，我们利用 Bloch-Ogus-Gabber 定理建立了高阶非稳定同伦群层 $\pi_i^{\mathbb{P}^1}$（$i \geq 1$）的 $\mathbb{P}^1$-不变性。在稳定方面，我们证明了域上的稳定 $\mathbb{P}^1$-连通性定理。作为推论，我们在 $\mathbb{P}^1$-不变的 Nisnevich 谱的稳定 $\infty$-范畴上获得了一个同伦 $t$-结构，并推导出稳定 $\mathbb{P}^1$-同伦群层的严格 $\mathbb{P}^1$-不变性。
英文摘要
We study the $\mathbb{P}^1$-local motivic homotopy theory under the Nisnevich topology on $Sm_S$. We show that although the homotopy category $\mathcal{H}^{\mathbb{P}^1}(-)$ admits standard schematic functorialities, it fails six-functor gluing, thereby obstructing a full six-functor formalism. On the unstable side, we prove that the unstable $\mathbb{P}^1$-motivic localization preserves Nisnevich connectivity, despite the absence of an interval structure on $\mathbb{P}^1$. Over perfect fields, we then establish the $\mathbb{P}^1$-invariance of the higher unstable homotopy group sheaves $π_i^{\mathbb{P}^1}$ ($i \geq 1$) using the Bloch-Ogus-Gabber theorem. On the stable side, we prove the stable $\mathbb{P}^1$-connectivity theorem over fields. As a consequence, we obtain a homotopy $t$-structure on the stable $\infty$-category of $\mathbb{P}^1$-invariant Nisnevich spectra, and deduce the strict $\mathbb{P}^1$-invariance of stable $\mathbb{P}^1$-homotopy group sheaves.
